Att undervisa om multiplikation i grundskolans tidigare år

Transkript

1 Att undervisa om multiplikation i grundskolans tidigare år Lärares tankar om introduktion, fortlöpande undervisning och tabellträning Teaching multiplication in primary school Teachers thoughts on the introduction, continuing teaching and table training Andréa Magnusson Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap Matematik/ Lärarutbildningen Avancerad nivå, 15 hp Handledare: Yvonne Liljekvist Examinator: Arne Engström 2015/08

2 Abstract The purpose of this study is to illustrate how teachers describe their multiplication teaching in grades 1 3 and 4 6 when it comes to the introduction, continuous teaching and table training. Qualitative interviews with six teachers have been conducted to examine what objectives the interviewed teachers have with their multiplication teaching and how they describe the contents of their multiplication teaching. The reason behind is that teachers perception of what multiplication means and their thoughts on what multiplication teaching should cover affects the learning opportunities pupils receive. This includes teachers choice of explanatory models, methods and lesson content which highly affects the pupils development of understanding regarding the concept of multiplication. The fact that Swedish teachers typically base their teaching on textbooks is indicated by research to be a contributing factor why Swedish pupils number sense and understanding of arithmetic is weak. Teachers therefore need to complement the presentations that textbooks contain regarding multiplication in teaching. The result of this study shows that teachers teaching objectives affects areas that the curriculum and research highlights as important for pupils conceptual understanding and procedural knowledge, but that important pieces seems to be missing in their teaching. These concerns the teaching about the multiplicative models of explanation, mathematical properties and concepts related to multiplication. However, teachers teaching about the basic multiplication facts, where both strategies to derive facts and drill exercises of facts is said to be included, seems to correspond largely with what research highlights as important in achieving automaticity in multiplication facts. Keywords: Multiplication, multiplication teaching, explanatory models, table training, automaticity

3 Sammanfattning Syftet med denna studie är att belysa hur lärare beskriver sin undervisning av multiplikation i årskurs 1 3 och årskurs 4 6 när det kommer till introduktion, fortlöpande undervisning och tabellträning. Kvalitativa intervjuer med sex lärare har genomförts för att undersöka vilka mål de intervjuade lärarna har med sin multiplikationsundervisning samt hur lärarna beskriver innehållet i sin multiplikationsundervisning. Bakgrunden är att lärares uppfattning om vad multiplikation är samt vad multiplikationsundervisningen ska innehålla påverkar vilka lärandemöjligheter eleverna får. Detta innefattar val av förklaringsmodeller, arbetssätt samt lektionsinnehåll, vilket i högsta grad påverkar elevers förståelseutveckling av multiplikationsbegreppet. Att svenska lärare typiskt sett baserar sin undervisning på läromedel lyfts av forskning som en orsak till att svenska elevers taluppfattning och kunskap om aritmetik är svag. Lärare behöver därför komplettera läromedlens framställning av multiplikation i undervisningen. Studiens resultat visar att lärarnas mål med undervisningen berör områden som enligt läroplan och forskning är viktiga för elevers begreppsförståelse och procedurkunskap, men att viktiga bitar i undervisning verkar saknas. Detta berör undervisning om multiplikativa förklaringsmodeller, räknelagar och begrepp kopplade till multiplikation. Lärarnas undervisning om de grundläggande multiplikationstabellerna, där både strategier för att härleda tabellfakta samt drillövningar av dessa uppges ingå, verkar ligga i fas med vad forskning lyfter fram som viktigt för att uppnå automatisering av tabellerna. Nyckelord: Multiplikation, multiplikationsundervisning, förklaringsmodeller, tabellträning, automatisering

4 Innehållsförteckning Inledning... 1 Bakgrund... 3 Multiplikationens plats i matematikundervisningen... 3 Lärarnas uppfattning påverkar undervisningen... 4 Räknelagar och begrepp kopplade till multiplikation... 5 Förklaringsmodeller och olika situationer där multiplikation kan ingå... 5 Automatisering av tabeller och säkrare procedurhantering... 8 Procedurhanteringens roll i undervisningen Undervisa om multiplikation Sammanfattning av kapitlet Metod Val av metod Urval Hur intervjuguiden och extramaterialet utformades Beskrivning av hur intervjun utfördes Analysprocedur Etiska överväganden Resultat Lärarnas beskrivning av sin matematikundervisning samt om de förutsättningar och material som de har att tillgå Läromedel och konkret materiel Digitala hjälpmedel Ämnesintegrering och tematisk undervisning Lärarnas introduktion av multiplikation Förkunskaper som krävs för att få förståelse för multiplikation Förklaringsmodeller och visualisering av multiplikation Fortlöpande undervisning... 26

5 Undervisning om räknelagarna Begrepp kopplade till multiplikation Procedurhantering vid multiplikation Tabellträning Automatisering av de grundläggande multiplikationstabellerna Strategier för att beräkna de grundläggande multiplikationstabellerna Elevstrategier Färdighetsträning/Tabellträning Resultatsammanfattning Vilka mål har de intervjuade lärarna med sin multiplikationsundervisning? Hur beskriver lärarna innehållet i sin multiplikationsundervisning? Diskussion Resultatdiskussion Vad lärarnas multiplikationsundervisning grundar sig på Hur lärarna ser på förkunskaper kopplade till multiplikation Bruket av förklaringsmodeller Undervisningen om räknelagarna och begrepp Användning av konkret materiel och visualisering Procedurhantering Lärarnas undervisning gällande tabellträning Avslutande reflektion Metoddiskussion Hur den valda metoden fungerade Urval och intervjudeltagares betydelse för resultatet Utförande av intervjuerna Hur intervjuguiden och extramaterialet fungerade Analysproceduren... 50

6 Tillförlitlighet Etiska överväganden i resultatet Vidare forskning Reflektioner efter arbetet med denna rapport Referenser Bilagor... 55

7 Inledning Att förstå innebörden av de fyra räknesätten, addition, subtraktion, multiplikation och division, samt att kunna utföra beräkningar med hjälp av dessa är avgörande för elevers fortsatta matematiklärande (McIntosh, 2008). Kursplanen i matematik för grundskolan beskriver att kunskaper i ämnet matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundande beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser (Skolverket, 2011, s. 62). Det kan handla om situationer alltifrån att beräkna priset för glasstrutarna i strandkiosken till att upprätta en budget för en jorden runt resa. Oavsett anledning till att göra beräkningen är det viktigt att resultatet blir korrekt och för det mesta räcker det inte med att bara kunna utföra själva räkneoperationen. Man behöver även kunna tolka situationerna för att förstå vilket räknesätt som är aktuellt samt vilken metod som är mest effektiv (Skolverket, 2012; Niss, 2003). Multiplikation är ett räknesätt som säkerligen får många att tänka tillbaka på den egna skolgången. Kanske har man spenderat åtskilliga timmar åt att lära sig de grundläggande multiplikationstabellerna utantill. Hur undervisningen går till ute i landets skolor i dag varierar säkerligen något från klassrum till klassrum då varje lärare är unik och har unika erfarenheter och kunskaper. Vi vet samtidigt att undervisningen till stor utsträckning domineras av elevernas eget arbete i matematikboken (Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Helenius, Lithner, Palm, & Palmgren, 2010). Flodström och Johnsson (2010) analyserade i sitt examensarbete fem olika läromedel i matematik, riktade mot årskurs 1 3, för att få en bild av hur multiplikation framställs i dessa. Deras syfte var att undersöka hur elevers taluppfattning möjliggjordes av hur böckerna behandlade multiplikation. Deras resultat visar att flera av de analyserade läromedlen inte ger tillräckligt med stöd för elevernas inlärning. De pekar på att läromedlen inte ger en tillräckligt heltäckande bild av multiplikation och att lärare därför behöver komplettera framställningen i sin undervisning. Denna studie kan ses som en fortsättning på Flodström och Johanssons (2010) studie. I denna uppsats är det lärares syn på undervisning av multiplikation som är i fokus, närmare bestämt hur lärarna beskriver sitt arbete med introduktion, fortlöpande undervisning och tabellträning. Det är lärarna som undervisar och ansvarar för planering och upplägg av undervisningen. Deras uppfattning om vad multiplikation är och om hur man kan undervisa om multiplikation påverkar därför vilka lärandemöjligheter eleverna får (Cai, 2007; Sowder, 1

8 Armstrong, Lamon, Simon, Sowder & Thompson, 1998). Lärarnas val av förklaringsmodeller, arbetssätt och lektionsinnehåll påverkar i högsta grad elevernas förståelseutveckling av multiplikationsbegreppet (Hattie, 2003). 2

9 Bakgrund I detta bakgrundskapitel presenteras en kort forskningsöversikt över vilken betydelse lärares kunskaper och uppfattning om ett ämne och om undervisning är relaterade till de lärandemöjligheter som skapas för eleverna. Studiens fokus är på lärares beskrivningar av sin multiplikationsundervisning, därför presenteras aspekter av multiplikativt tänkande och multiplikationsundervisning som beskrivs i forskning och litteratur relevant för området. I bakgrunden beskrivs främst kunskapsläget gällande vad elever behöver möta i den inledande och fortsatta undervisningen, samt betydelsen av (och hur) en automatisering av den grundläggande multiplikationstabellen kan uppnås. Multiplikationens plats i matematikundervisningen Matematikundervisningen syftar till att ge eleverna möjligheter att utveckla matematiska förmågor och i undervisningen gällande multiplikation handlar det till stor del om att eleverna utvecklar både sin begreppsförmåga och sin procedurella förmåga (jfr. McIntosh, Revs & Reys, 1992; Wallace & Gurganus, 2005; Parkhurst, Skinner, Yaw, Poncy, Adcock & Luna, 2010). Enligt Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, Lgr11 (Skolverket, 2011) ska elever introduceras för de fyra räknesätten samt för hur man kan använda dem för att utföra beräkningar med naturliga tal under årskurs 1 3. Det betyder att eleverna inför årskurs 4 ska ha fått möjlighet att lära vad multiplikation innebär, dess samband med de övriga räknesätten och användningsområde. I kommentarmaterialet till kursplanen i matematik, under rubriken Förändringar jämfört med den tidigare läroplanen (Skolverket, 2012, s. 6) kan man läsa att de yngre elevernas kunskap gällande de fyra räknesätten behöver utvecklas. Detta kan ses som ett skäl att undersöka vad lärare har för syn på multiplikation och multiplikationsundervisning. Kommentarmaterialet tar vidare upp att elever som har god kunskap om hur man använder räknesätten kan lägga energi på mer centrala delar i matematikanvändningen. Detta handlar om att eleverna ska automatisera den grundläggande multiplikationstabellen och räknereglerna för att kunna utveckla effektiva räknestrategier. I och med detta förväntas därför mycket av den inledande multiplikationsundervisningen i årskurs 4 utgöras av repetition av de grundläggande matematiska lagar som gäller för räknesättet. Den efterföljande undervisningen kommer således vara fördjupande gällande när och hur beräkningar kan genomföras. I årskurs 4 6 ska även enkla tal i decimalform förekomma i beräkningarna (Skolverket, 2011). Kursplanen är dock inte föreskrivande vad gäller multiplikationsundervisningens innehåll eller vilka metoder lärare bör använda i sin undervisning för att stötta eleverna att nå kunskapskraven. 3

10 Lärarnas uppfattning påverkar undervisningen Thompson pekade redan 1984 på att det var viktigt att undersöka lärares syn på sin egen matematikundervisning (Thompson, 1984). I ett antal fallstudier visade hon bland annat att lärarens syn på matematik och vilka undervisningsformer de tyckte passade i olika situationer påverkade hur de sedan faktiskt undervisade. Ernest (1989) menar att lärares tankar kring matematik samt undervisning och lärande i matematik påverkar hur de undervisar. De föreställningar lärarna har, menar han, bland annat påverkar hur självständigt läraren agerar och hur kritisk den förhåller sig gentemot exempelvis läromedel och andra undervisningsmateriel. Wilkins (2008) utgår från Ernests forskning när han i en stor studie undersöker lärares kunskap och hur den förhåller sig till olika former av undervisningsmodeller. Wilkins visar att lärares föreställningar om matematik och matematikundervisning har en stark påverkan på hur de sedan arbetar. Detta är särskilt viktigt att beakta i den här studien eftersom undervisningen i svenska klassrum är typisk sett beroende av och tar i stor utsträckning sin utgångspunkt från läromedel (Bergqvist m.fl., 2010). Enligt resultaten från TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) och Bergqvist m.fl. (2010) är detta en bidragande orsak till att svenska elevers taluppfattning och kunskap om aritmetik är svag. Förutom lärares syn på matematik och lämpliga undervisningsformer påverkar lärarnas syn på elevers förkunskaper de lärandemöjligheter eleverna ges (Bakker, Van den Heuvel-Panhuizen & Robitzsch, 2013). Bakker m.fl. visar att eleverna redan innan de stöter på multiplikationsundervisning i skolan har byggt upp förkunskaper kopplade till multiplikation, med rötter både i tidigare skolundervisning (se även Heiberg Solem, Alseth och Nordberg, 2011) samt i vardagen utanför skolan. Bakker m.fl. menar att lärare behöver uppmärksamma och bygga vidare på dessa förkunskaper i multiplikationsundervisningen för att eleverna ska kunna få en djupare förståelse för vad multiplikation innebär. Enligt den forskning som författarna har sammanställt är detta dock något som undervisningen ofta brister i, vilket de menar kan bero på att lärarna inte tar frågan om elevernas förkunskaper på allvar. Vi vet nu att lärares uppfattning om undervisningens form och innehåll påverkar hur de faktiskt undervisar. För att kunna beskriva lärarnas mål med sin undervisning behöver centrala aspekter av matematiklärande och matematikundervisning gällande multiplikation beskrivas. Nedan kommer därför texten behandla kunskapsläget gällande begrepp och lärandeprocesser kopplade till multiplikativt tänkande och multiplikationsundervisning. 4

11 Räknelagar och begrepp kopplade till multiplikation Räknelagarna är centrala för elevers förståelse av multiplikation (McIntosh m.fl., 1992; Sowder m.fl., 1998). Specifikt handlar det om kommutativa lagen:, den associativa lagen: och den distributiva lagen:. Eleverna behöver förstå innebörden av dessa räknelagar och hur de kan användas när det kommer till multiplikation, samt att det finns en motsvarande kommutativ och en associativ lag för addition (Niss, 2003; McIntosh, 2008). McIntosh (2008) förklarar att lagarna behöver bearbetas ingående och att det bästa tillfället för detta är i samband med huvudräkningsövningar, där eleverna får förklara hur de tänker. Även Heiberg Solem m.fl. (2011) lyfter fram vikten av att eleverna förstår dessa räknelagar för en utvecklad förståelse av multiplikation och beskriver att de bör ingå i undervisningen för att eleverna ska nå den fjärde utvecklingsnivån av multiplikativt tänkande (de fyra utvecklingsnivåerna beskrivs mer ingående längre fram i kapitlet under rubriken Undervisa om multiplikation). Att elever även får lära sig vad multiplikation med 0 och 1 innebär är en viktig delförståelse eleverna behöver utveckla (Wallace & Gurganus, 2005;Woodward, 2006). Begreppen faktor, produkt, multiplikator, multiplikand och multipel är centrala när det gäller multiplikation och forskning visar att det är viktigt att lärare använder begreppen som ska läras ut ofta och i sina rätta sammanhang (Sowder m.fl., 1998; Wallace & Gurganus, 2005; McIntosh, 2008). Det handlar till exempel om att lärare kan ta upp att faktorerna i en multiplikation kan representera två olika enheter i ett praktiskt sammanhang, även om produkten inte påverkas utav faktorernas inbördes ordning i multiplikationen (Heiberg Solem m.fl., 2011). Detta kan synligöras med en multiplikationsuppgift där man ska beskriva det sammanlagda antalet karameller för 5 godispåsar med 7 karameller i varje. För att beskriva detta korrekt måste faktorerna skrivas i ordningen 5 7, eftersom det inte handlar om 7 påsar med 5 karameller i varje (jfr. Heiberg Solem m.fl., 2011). Sammanfattningsvis innebär det att lärares syn på räknelagar och begrepp och undervisningen kring dessa påverkar vilka lärandemöjligheter elever erbjuds. Nedan kommer förklaringsmodeller och olika situationer där multiplikation kan ingå att beskrivas utifrån ett undervisningsperspektiv. Förklaringsmodeller och olika situationer där multiplikation kan ingå Wallace och Gurganus (2005) visar i sina studier vikten av att lärare presenterar olika förklaringsmodeller och situationer där multiplikation ingår. Även att eleverna behöver få 5

12 möta multiplikation i flera olika kontexter för att räknesättets olika betydelser ska synliggöras. Enligt McIntosh m.fl. (1992) är det viktigt att lärare även belyser modellernas fördelar och nackdelar för att ge eleverna möjlighet att utveckla både taluppfattning och räknefärdigheter. McIntosh (2008) förklarar att multiplikation behöver presenteras både med endimensionella och tvådimensionella representationer. Dessa båda representationsformer samt olika situationer/uppgiftsstrukturer där multiplikation ingår presenteras nedan. Med den endimensionella förklaringsmodellen av multiplikation kan 3 5 förklaras som en upprepad addition av 5 (dvs. att den skrivs om som 5+5+5) eller genom att den visualiseras på en endimensionell tallinje. Enligt McIntosh (2008) är det ofta den endimensionella representationen som eleverna får möta när de först introduceras för multiplikation, där förklaringen som används är av typen: ett visst antal lika stora grupper med lika många i varje grupp (s. 70). Stöd för detta belägg, dvs. att det är den upprepade additionen ofta används i början av multiplikationsundervisningen, finns i ytterligare litteratur och forskning (se t.ex. resultat från Clark & Kamii, (1996) beskrivna i Bakker m.fl, (2013) och även Heiberg Solem m.fl., (2011)). Fördelen med att använda denna modell är att den visar räkneoperationen för eleverna på ett konkret sätt. En nackdel är dock att eleverna riskerar att invaggas i att tro att multiplikation alltid ger ett större tal (McIntosh m.fl., 1992). Den endimensionella representation kan även kopplas till en multiplikationssituation där en viss mängd/antal av något är arrangerat i ett visst antal grupper och där innehållet är identiskt för samtliga grupper (Wallace och Gurganus, 2005). För att räkna ut mängden (antalet), dvs. produkten för den multiplikation som den upprepade additionen beskriver, av samtliga föremål utförs en upprepad addition. Alla föremål ingår endast i en av grupperna och grupperna existerar samtidigt (Wallace & Gurganus, 2005). Heiberg Solem m.fl. (2011) kallar denna uppgiftsstruktur för Likadana grupper (s. 180) och förklarar att faktorerna i detta fall består av två olika enheter, liksom fallet för den tidigare beskrivna uppgiften om sammanlagda antalet karameller för fem påsar med sju karameller i varje. Den tvådimensionella förklaringsmodellen, som visar att de två tal som multipliceras representerar två oberoende dimensioner (McIntosh, 2008, s. 70), ger en mer utförlig beskrivning av vad multiplikation innebär och möjliggör en djupare begreppsförståelse jämfört med den endimensionella och är vad multiplikationsundervisningen bör fokusera på (McIntosh, 2008; Wallace & Gurganus, 2005; Heiberg Solem m.fl., 2011). Den kan illustreras 6

13 med ett rutnät, där antal rutor lodrätt och vågrätt representerar faktorerna i en multiplikation. Rutnätet kan även användas till att visa att multiplikation gäller för alla rationella tal, samt användas för att synliggöra innebörden av den kommutativa, associativa och distributiva lagen (McIntosh, 2008). Wallace och Gurganus (2005) kallar detta för en area-relaterad situation och i likhet med McIntosh (2008) förklarar de att arean för en rektangulär yta kan beräknas genom att antal enheter på längden multipliceras med antal enheter på bredden. Heiberg Solem m.fl. (2011) beskriver även att rutorna i ett rutnät kan bytas ut mot objekt arrangerade i rader och kolumner. Skillnaden mot modellen Likadana grupper är att faktorerna här har samma enhet. En tredje situation där multiplikation ingår är vid en jämförelse där två olika mängders förhållande beskrivs och benämns av Wallace och Gurganus (2005) för Scalar, vilket kan översättas till Skalär. Vid denna situation multipliceras en viss mängd ett visst antal gånger vid en jämförelse. Det vill säga att produkten för multiplikationen utgörs av den ursprungliga mängden multiplicerat ett visst antal gånger (Wallace & Gurganus, 2005). En uppgift i denna kontext skulle kunna lyda: Erika har 5 äpplen. Sofia har 4 gånger så många. Hur många äpplen har Sofia? Svaret för denna uppgift kan beräknas genom 4 multiplicerat med 5. Enligt McIntosh (2008) handlar detta om proportionalietsförhållanden och han lyfter fram vikten av att uppmärksamma vilka ord som används i en textuppgift där proportionalitet behöver uppmärksammas för att undvika missförstånd. Det handlar både om elevernas begreppsförmåga och kommunikationsförmåga (jfr. Niss, 2003). Innebörden av exempelvis tre gånger fler och tre gånger så många är inte desamma och misstolkning, av vad det egentligen frågas efter i uppgiften, leder till ett felaktigt svar. Det handlar om att försäkra sig om vad det är som efterfrågas (McIntosh, 2008) och enligt McIntosh m.fl. (1992) utvärderar elever med utvecklad taluppfattning sitt svar, samt sitt tillvägagångssätt för att nå svaret, mot uppgiftsfrågan för att kontrollera att de gjort rätt. En fjärde situation där multiplikation ingår handlar enligt Wallace och Gurganus (2005) om hur en viss uppmätt enhet multiplicerat men en viss längd eller ett visst värde utgör produkten och benämns av dem för Rate, vilket kan översättas till Förändringshastighet. En uppgift skulle kunna lyda: En bil kör 6 mil på en timme. Hur många mil har bilen kört efter 7 timmar? Svaret beräknas då genom 6 7=42. Förhållandet mellan antal timmar och mil kan exemplifieras på följande sätt, där övre raden representerar antal timmar och den undre raden antal mil (jfr. Wallace & Gurganus, 2005): 7

14 En bil kör 6 mil på en timme. Hur många mil har bilen kört efter 7 timmar? Den sista situationen där multiplikation ingår kallar Wallace och Gurganus (2005) för Cartesian product, vilket kan översättas till Kartesisk produkt, och har att göra med hur många gånger ett visst antal av något kan kombineras med ett visst antal av något annat. Produkten för en sådan här multiplikation utgörs av antalet möjliga kombinationer (Wallace & Gurganus, 2005). Det skulle kunna handla om att räkna ut antalet glassvarianter man kan köpa i en kiosk, där man kan välja mellan tre olika sorters våfflor och fem olika smaker på glassen. Produkten beräknas då genom att multiplicera antalet våffelalternativ med antalet glassmaker (dvs. 3 5=15) (jfr. Wallace & Gurganus, 2005; Heiberg Solem, m.fl., 2011). Sammanfattningsvis lyfter forskningen fram att eleverna ska ges möjlighet att se hur multiplikation kan ses både som endimensionell och tvådimensionell samt att de får möta situationer där de olika uppgiftsstrukturerna ovan ingår; dvs. Skalär, Förändringshastighet och Kartesisk produkt. Nedan beskrivs vilka fördelar en automatisering av de grundläggande multiplikationstabellerna ger. Automatisering av tabeller och säkrare procedurhantering För att kunna utföra mer avancerade beräkningar inom matematik underlättar det om eleverna har lärt sig de grundläggande multiplikationstabellerna utantill eller att de kan använda sig av lämpliga strategier för att komma fram till dem (McIntosh m.fl., 1992; Wallace & Gurganus, 2005; Woodward, 2006; McIntosh, 2008) Elever som automatiserat multiplikationstabellen är bättre rustade för den fortsatta matematikundervisningen. Eleverna kan då mer effektivt fokusera på andra matematiska områden och slipper att ägna sig åt att beräkna rutinuppgifter (Wallace & Gurganus, 2005; Woodward, 2006; Parkhurst m.fl., 2010; Skolverket, 2012). När en elev behöver lägga ner stor mängd energi på att få fram dessa baskunskaper, som ett led i mer avancerade uppgifter, finns det risk för att eleven misslyckas med att nå hela vägen fram till ett korrekt svar (Parkhurst m.fl., 2010;Woodward, 2006). Att uppmuntra elever att förklara hur de tänker är viktigt enligt McIntosh (2008) (jfr. skrivningar om förmågor i Lgr 11 (Skolverket, 2011) och om matematiska resonemang och kommunikation i Niss, (2003)). Enligt McIntosh (2008) är det viktigt att undervisningen först fokuserar på att eleverna lär sig att konstruera de grundläggande tabellerna med hjälp av olika 8

15 strategier: Genom att uppmuntra elevernas egna tankeformer och strategier för huvudräkning och ta upp dem till diskussion i klassen kan eleverna utveckla en bred och flexibel uppsättning av metoder (s. 103). Först när de har den kunskapen är det lämpligt att gå vidare med att automatisera tabellerna, menar han. Wallace och Gurganus (2005) varnar för att tabellfakta som drillas in utan att elever fått förståelse för hur dessa kan räknas ut inte blir betydelsefull kunskap för eleverna och kan leda till att eleverna börjar tycka illa om ämnet. Ett ytterligare skäl till att arbeta med strategier är att elever med hjälp av dessa kan räkna ut tabellfakta som de har glömt bort (Wallace & Gurganus, 2005; McIntosh, 2008). Woodward (2006) drar slutsatsen, efter att ha läst in sig på forskning inom detta område, att det i huvudsak finns två olika undervisningsmetoder som används för att eleverna ska automatisera de grundläggande tabellerna. Det ena sättet innebär att eleverna ska lära sig tabellerna genom att arbeta med olika strategier för att lära sig hur man kan beräkna fram dem. I den andra metoden fokuserar undervisningen på ren drillning (exempelvis övningar där man löser ett antal multiplikationsuppgifter på tid). Då den forskning Woodward (2006) tagit del av pekade på att en undervisning där de båda metoderna kombinerades var bättre för eleverna valde han att utföra en undersökning gällande detta. Den gick ut på att utvärdera hur en undervisning som fokuserade på drillning, kontra en undervisning där drillning och strategier integrerades påverkade elevernas utveckling. Resultatet visade att elever från båda grupper hade förbättrat sina tabellkunskaper, men dessutom att de elever som fått integrerande undervisningen generellt sett uppvisade en bättre förmåga i att generalisera sin kunskap för att kunna lösa mer avancerade uppgifter (Woodward, 2006). Även andra forskare förespråkar att en del av undervisning av multiplikationstabellen bör innehålla drillning (jfr. Wallace & Gurganus, 2005; Parkhurst m.fl., 2010). Parkhurst m.fl. (2010) framhåller, i samband med detta, vikten av att lärare och elever är uppmärksammade på vilka tabeller som eleverna redan har lärt sig och på så endast drilla de tabeller de inte har automatiserat. Då används tiden mer effektivt, menar Parkhurst m.fl. och lyfter att man i samband med detta måste se till att eleverna inte lär in felaktig tabellfakta. Ett sätt att uppmärksamma eleverna på detta kan vara genom att använda en hundraruta där tabellfakta som elever redan har lärt sig döljs (Wallace & Gurganus, 2005). Nu vet vi att en automatisering av de grundläggande multiplikationstabellerna är en värdefull för elevers framtida matematikanvändning. Vi vet även att eleverna gynnas av en 9

16 undervisning som kombinerar arbete med strategier och drillning (Wallace & Gurganus, 2005; Woodward, 2006; McIntosh, 2008). Procedurhanteringens roll i undervisningen Procedurhantering med formella algoritmer är och har länge varit en viktig del i skolans matematikundervisning, men trots detta finns det en risk för att denna kunskap och användande av dessa algoritmer tränger undan andra strategier för att utföra samma beräkningar (McIntosh m.fl., 1992). McIntosh m.fl. lyfter fram att algoritmer inte kräver lika stor tankeverksamhet jämfört med vad strategier och huvudräkning kan göra. De förklarar att detta kan vara en anledning till att elever, när de väl har lärt sig att använda algoritmer, väljer att använda dessa vid beräkningar utan att reflektera över om det är den mest effektiva lösningen. McIntosh m.fl. (1992) menar att multiplikativt tänkande är något elever börjar utveckla redan innan formell skolundervisningen samt att multiplikativa förkunskaper kan innefattas i delar av det som det som McIntosh m.fl. kallar för Number sense, vilket kan beskrivas som: a person s general understanding of number and operations along with the ability and inclination to use this understanding in flexible ways to make mathematical judgements and to develop useful strategies for handling numbers and operations. It reflects an inclination and an ability to use numbers and quantitative methods as means of communicating, processing and interpreting information. It results in an expectation that numbers are useful and that mathematics has a certain regularity (McIntosh m.fl., 1992, s. 3). Det handlar om elevens kunskaper om tal och tals användning, vilket i fortsättningen av denna uppsatts kommer att kallas taluppfattning. Dagens tekniksamhälle kräver dock att vi har utvecklat vår taluppfattning för att kunna tolka information i samhället (McIntosh m.fl., 1992). Trots detta beskriver Niss (2003) att det i den offentliga debatten, där personer bland annat inom industrin och politiken ingår, diskuteras om alla matematikkunskaper är nödvändiga för den stora massan med dagens alla tekniska hjälpmedel. Undervisa om multiplikation Enligt Sowder m.fl. (1998) är övergången till multiplikativt tänkande en av de mest omvälvande tankeövergångarna som elever är med om inom matematiken i den tidigare skolgången. Heiberg Solem m.fl. (2011) beskriver hur multiplikativt tänkande kan delas in i fyra nivåer samt vilken typ av undervisning eleverna behöver möta på varje nivå. För att visa på hur de tre första nivåer skiljer sig åt förklarar Heiberg Solem m.fl (2011) hur elever går till väga för att lösa en multiplikationsuppgift visualiserad med ett rutnät. 10

17 Elever på den första nivån skulle räkna varje enskild ruta för att komma fram till det totala antalet rutor. Elever på den andra nivån skulle endast behöva räkna ut antalet rutor i en rad (alternativt rutorna i en kolumn) och sedan lägga ihop antalet rutor för varje rad med upprepad addition. Eleverna på den tredje nivån skulle även de räkna antalet rutor i en rad (alternativt rutorna i en kolumn), men till skillnad mot elever i den andra nivån skulle de sedan multiplicera antalet rutor med antalet rader. De har insett att antalet rutor i en rad (eller alla föremål i en grupp om det rör sig om det) kan ses som en enhet. Här har eleverna övergått från ett additivt tänkande till ett multiplikativt tänkande (Heiberg Solem, m.fl., 2011). McIntosh (2008) varnar för att elever utan förståelse för enhetsbegreppet kan blanda ihop multiplikation med addition. När det gäller undervisningen för den första nivån lyfter Heiberg Solem m.fl. (2011) fram att eleverna behöver arbeta med modeller för att visualisera en multiplikationsuppgift. Att eleverna får använda konkret material eller rita bilder (t.ex. lägga fram tre högar med fem klossar i varje för att visualisera 3 5) menar Heiberg Solem och kollegor är ett bra sätt att låta eleverna bekanta sig med multiplikation i den inledande undervisningen. Samtidigt förklarar de att metoden inte är effektiv i ett senare skede där de ingående talen är högre, eftersom det då skulle ta för lång tid att räkna varje föremål för sig. I den andra utvecklingsnivån bör undervisningen istället fokusera på att arbeta med strategier som dubbling och upprepad addition, för att eleverna inte ska behöva räkna varje enskilt föremål i en grupp. För att stimulera eleverna att gå in i den tredje utvecklingsnivån anses ett arbete med uppräkning av kända, väletablerade enheter (Heiberg Solem, 2011, s. 178) vara lämpligt då uppgifter liknande: Hur många ben har 7 hundar tillsammans? inriktar fokus mot multiplikativt tänkande (Heiberg Solem m.fl., 2011). Den fjärde nivån kräver slutligen att eleverna använder sina förvärvade kunskaper från de tre tidigare nivåerna för att dra nytta av räknelagarna vid beräkningar. Undervisningen bör således syfta till att förklara, visa och förankra innebörden samt användningen av räknelagarna (Heiberg Solem m.fl., 2011). Detta betyder att lärare behöver anpassa sin undervisning efter den nivå deras elever befinner sig på för att eleverna därigenom ska kunna få rätt stöd för att övervinna eventuella svårigheter. Orsaken till att vissa elever har svårt att få grepp om multiplikation kan ha att göra med flera aspekter. McIntosh (2008) hävdar att det kan bero på att eleverna inte har utvecklat förståelse 11

18 för att en enhet kan representera en grupp med flera föremål (jfr. med Heiberg Solem m.fl. (2011) tredje nivå av multiplikativt tänkande beskrivet ovan). Det kan även bero på att eleverna har problem med själva symbolspråket eller att de har problem med att förstå hur att vissa situationer hänger ihop med multiplikation (McIntosh, 2008; Wallace & Gurganus, 2005). Att undervisa om olika strategier för att beräkna de grundläggande multiplikationstabellerna nämndes tidigare som en metod för att elever ska kunna automatisera tabellerna (McIntosh m.fl. 1992; McIntosh, 2008; Wallace & Gurganus, 2005, Woodward, 2006). Lärprocessen att upptäcka och befästa mönster och principer gynnar elevernas lärande (Jonsson, Norqvist, Liljekvist & Lithner, 2014). Miniräknare, appar eller konkretiserande materiel kan t.ex. användas som ett hjälpmedel för att visa och undersöka mönster (McIntosh m.fl., 1992). Det handlar om att ge eleverna möjligheter att koppla samman sina multiplikativa tankar och därmed utveckla begreppsförståelsen. Sammanfattning av kapitlet Detta kapitel har berört viktiga delar gällande multiplikativt tänkande och multiplikationsundervisning. Förståelse för multiplikation kräver både begreppsförmåga och procedurella förmågor. Här ingår förståelse för de begrepp och räknelagar som tillhör multiplikation, samt för hur räknelagarna kan användas i praktiken. Det handlar om att ta tillvara på elevernas förkunskaper och dessutom ge eleverna möjlighet att ta del av och undersöka flera förklaringsmodeller av multiplikation och möta multiplikation i flera olika situationer. Att ha de grundläggande multiplikationstabellerna automatiserade är en värdefull kunskap inför kommande matematikundervisning/användning och det handlar om att eleverna både behöver få arbeta med strategier för att beräkna de grundläggande tabellerna och drilla/traggla tabellfakta. En övergång från ett additivt tänkande till ett multiplikativt är en komplicerad, men nödvändig, process där förståelse för att en enhet kan representera flera föremål är en grundläggande idé. Både under den inledande förståelseuppbyggnadsfasen samt under automatiseringsfasen av de grundläggande tabellkunskaperna kan elever stöta på omständigheter som kan hindra dem i deras kunskapsutveckling. Medvetenhet om vilka dessa svårigheter kan vara och om hur de kan uppstå är viktigt. Dels för att kunna hjälpa eleverna att övervinna dem, dels för att förhindra att de uppstår från första början. Hur ovanstående tar sig uttryck i klassrummen i skolorna är något som lärarna själva ansvarar för. Forskning har visat att lärares uppfattning av matematik och matematikundervisning (Thompson, 1984; Ernest, 1989 & Wilkins, 2008), i den här studien specifikt multiplikation och multiplikationsundervisning, styr planeringen av och utförandet av den och att den 12

19 således påverkar vilka lärandemöjligheter eleverna ges. Det är därför viktigt att undersöka hur lärarna beskriver sin undervisning. Lärarnas val av innehåll i multiplikationsundervisningen är avgörande för elevers utveckling av begreppsförståelse och procedurkunskap, dvs. vilka förklaringsmodeller, räknelagar och begrepp de uppger att de undervisar om samt hur de säger sig undervisa om procedurkunskap och tabellträning. Med utgångspunkt i detta har följande syfte med tillhörande forskningsfrågor utformats för detta examensarbete: Syfte med undersökningen: Syftet med studien är att belysa hur lärare beskriver sin undervisning av multiplikation i årskurs 1 3 och årskurs 4 6 när det kommer till introduktion, fortlöpande undervisning och tabellträning. Nedanstående frågeställningar kommer att besvaras i studien: 1. Vilka mål har de intervjuade lärarna med sin multiplikationsundervisning? 2. Hur beskriver lärarna innehållet i sin multiplikationsundervisning? 13

20 Metod I detta kapitel beskrivs den metod som används i studien. Även de överväganden som har gjorts vid urval av intervjupersoner och om de val som ligger bakom intervjuguiden presenteras. Avsnittet beskriver även de etiska avväganden som gjorts. Val av metod För att besvara syfte och frågeställningar för denna studie genomfördes kvalitativa intervjuer med sex lärare som undervisar i matematik antingen i årskurs 1 3 eller 4 6. Det är andra ordningens perspektiv på multiplikationsundervisning som har undersöks då det är lärarnas syn på multiplikationsundervisning och inte deras faktiska undervisning som varit i fokus. Urval Urvalskriterierna för studien var att lärarna skulle vara ämnesbehöriga och undervisa i matematik i årskurs 1 3 eller 4 6. Inbjudningar till att ingå i studien skickades ut till fem av den aktuella kommunens åtta skolor efter att de lottats fram. Rektorerna på dessa fem skolor informerades, via telefon eller e-post, om att lärare på deras skola(or) hade fått inbjudan till denna undersökning (se inbjudan i bilga1). Slutligen deltog sex lärare från tre av dessa skolor i undersökningen. Nedan beskrivs proceduren och de lärare som intervjuats. Beskrivning av hur inbjudningarna delades ut Skolorna, dvs. rektorerna eller i vissa fall skolexpeditionerna, kontaktades via telefon och e- post, för att få tillgång till e-postdresserna till de lärare som undervisade i matematik i årskurs 1 3 och/eller i årskurs 4 6. Endast från en av skolorna gick lärarnas e-postadresser att få tag på direkt via detta kontaktförsök. För övriga skolor vidarebefordrades inbjudan istället till de aktuella lärarna via en lärare eller via rektorn på skolan. Då få lärare hade lämnat besked angående deltagande, efter utsatt svarstid, skickades ytterligare en inbjudan ut. De lärare som lämnade besked angående deltagande, gjorde detta via e-post, sms eller telefon. Tid och plats för intervjuerna bokades sedan in via någon av dessa kommunikationskanaler. En påminnelse skickades via sms samma dag som respektive intervju skulle genomföras. Fem intervjuer genomfördes i lärarnas klassrum. En intervju genomfördes på begäran av läraren på en annan plats. Intervjuerna genomfördes antingen före eller efter lärarnas undervisningstid, beroende på vad lärarna ansåg passa bäst. Beskrivning av de sex lärare som deltar i studien 14

21 Fyra av deltagarna i studien arbetar i årskurs 1 3 och de två andra i årskurs 4 6. Två av lärarna undervisar i grupper med åldersintegrering, en 2-3:a och en 4-6:a, men läraren i 2-3:an undervisar för det mesta eleverna i årskurs 2 just i matematik. Alla lärare i undersökningen är över 35 år och tre av dem är över 50 år. Den största undervisningsgruppen består av cirka 30 elever och i den får läraren stöd av en resursperson under matematikundervisningen. Den minsta undervisningsgruppen utgörs av cirka 10 elever. I de övriga undervisningsgrupperna ligger elevantalet på cirka 20 elever. Alla lärare i undersökningen är behöriga att undervisa i matematik för den undervisningsgrupp de undervisar i, men då de har tagit lärarexamen vid olika tillfällen har det inte samma examen. De deltagare som har längst erfarenhet av läraryrket har arbetat närmare 40 år i skolan och några andra har undervisat i cirka 20 år. En av lärarna har tagit examen inom de senaste fem åren. Lärarna har även olika mycket erfarenhet av att undervisa om multiplikation eftersom de har arbetat olika mycket i högre årskurser än i årskurs 1. De flesta har arbetat inom grundskolan hela sin yrkesverksamma tid, även om någon har en bakgrund som förskolelärare och någon kommer från ett helt annat yrkesområde. Flera av lärarna har även undervisat i andra årskurser än de som de undervisar i nu. Bortfallsanalys Från början var ett slumpmässigt urval bland kommunens skolor och bland de lärare som uppfyllde urvalskriterierna tänkt att ligga till grund för undersökningen. Eftersom det inte var möjligt att få tag på e-postadresserna till alla aktuella lärare övergick dock urvalsproceduren till att bli ett bekvämlighetsurval. Detta innebär att uppgifter om antal lärare som totalt sett uppfyllde urvalskriterierna vid de framlottade skolorna, antal lärare som erhöll inbjudan till intervju, antal lärare som erhöll inbjudan men som inte svarat inte finns tillgängliga. Av alla inbjudna lärare hörde sex stycken av sig och tackade nej till att delta i studien på grund av tidsbrist, men de allra flesta inte hörde av sig alls. Två av de lärare som inbjudits, samt tackat ja, valdes i samråd med handledare bort. Det handlade dels om att arbetsuppgifterna inte stämde med urvalskriterierna, dels om bias i förhållande till författaren av rapporten. Ytterligare två lärare hörde av sig och förklarade att de av olika skäl inte ansåg sig falla in under urvalskriterierna, men med besked om att de kunde tänka sig att ställa upp på en intervju ändå. Även dessa valdes dock bort på grund av att de inte passade in under urvalskriterierna. 15

22 Hur intervjuguiden och extramaterialet utformades Upplägg och innehåll för intervjuguiden är till viss del inspirerad av utformningen på den intervjuguide som användes i rapporten Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet: Grundskolan våren 2009 (Bergqvist, m.fl., 2010). Frågorna i guiden är bearbetade i samråd med handledaren för examensarbetet. Inledningsvis behandlas de frågor som har med lärarens bakgrund och nuvarande arbetsuppgifter att göra. Den andra delen i guiden berör frågor om hur lärarna beskriver hur de ser på sin multiplikationsundervisning, nämligen vilka mål de har med den samt hur de arbetar för att eleverna ska nå upp till dem. Den tredje delen berör lärarnas tankar kring hur Lgr11 påverkar deras planering av och undervisning i matematik. I den avslutande delen av intervjuguiden erbjuds lärarna att lyfta fram aspekter av multiplikation som de inte anser har berörts tidigare under intervjun. Denna rapport omfattar endast analysen av den första, andra samt den avslutande delen. Den tredje delen analyserades inte i tillräckligt stor grad för att ingå rapporten, på grund av tidsbrist. Till några frågor i den andra delen av intervjuguiden finns det tillhörande extramaterial (se bilagor 2 och 3). Det handlade om att ge lärarna ett stöd för att kunna svara på dessa frågor. Där presenteras den endimensionella och den tvådimensionella bilden av multiplikation (McIntosh, 2008, s. 70), den kommutativa, den associativa och den distributiva lagen för multiplikation (Heiberg Solem, m.fl., 2011, ss ), begreppen faktor (Hultqvist, 2014), produkt (Andersson, 2014), multiplikator, multiplikand (McIntosh, 2008, s.105) samt några exempel på olika multiplikationsstrategier (McIntosh, 2008, s. 105; Löwing & Kilborn, 2003, ss ). Beskrivning av hur intervjun utfördes Följande materiel användes under intervjuerna: en intervjuguide, ett extramaterial med exempel och förklaringar till vissa av frågorna, ett utdrag ur kursplanen för matematik (aktuellt för lärarnas undervisningsgrupper), samt penna och papper. Vid intervjutillfället var avsikten att frågeordning i guiden skulle följas för att underlätta analyseringsarbetet, men eftersom frågorna i intervjuguiden i stor utsträckning berör varandra berördes relativt ofta frågor i andra delar av guiden, delvis eller helt, innan de hunnit ställas till lärarna. Trost (2010) menar att det är viktigt att samspelet mellan intervjuaren och den intervjuade fortlöper smidigt och i denna studie fick frågeformuleringarna därför relativt ofta formuleras om under intervjuerna. Ibland blev frågorna även förenklade, vilket kan ha påverkat de intervjuades förståelse av frågans innebörd samt det svar som framkom. Då svaren från intervjupersonerna varierade gällande innehåll och utförlighet tillkom följdfrågor, som anpassades under 16

23 pågående intervju. Detta för att vidga, fördjupa eller förtydliga svaret. Intervjuerna var både semistrukturerade och semistandardiserade i sin utformning (jfr. Bergqivst, m.fl., 2010). Alla intervjuer spelades in med hjälp av en smartphone. Under intervjuerna fördes även anteckningar av svaren samt noteringar för hållpunkter in i intervjuguiden. Detta för att underlätta navigeringen i det inspelade materialet under analysfasen. Efter varje intervju spelades även en kort reflektion in av hur intervjun gick, både till innehåll och genomförande, dvs. en reflektion av min upplevelse i egenskap av intervjuare. Analysprocedur Analysen av intervjusvaren genomfördes i olika steg för att säkerställa tillförlitligheten i tolkningen av intervjuerna. Under analysen av intervjuerna användes en smartphone för uppspelning av inspelningarna. Inledningsvis spelades intervjun upp i sin helhet och ytterligare anteckningar av hållpunkter i svarens innehåll gjordes på intervjuguiden. Även mer exakta tider för när de olika frågorna ställdes, eller vid tillfällen då något extra viktigt sades, noterades. För att få en överblick av alla svar utformades sedan en tabell, med en rad för varje intervju och en kolumn för varje fråga/frågeområde (jfr. Trost, 2005, s. 131). Genom att läsa igenom anteckningar samt att återigen lyssna igenom delar av inspelningarna fördes innehållet i svaren in i tabellen. För att få en bättre insikt om hur lärarnas svar skilde sig åt för varje enskild fråga analyserades svaren på en fråga i taget för alla intervjuerna. Eftersom respondenterna ibland besvarade frågor som ännu inte hade ställts eller återkom till tidigare ställda frågor, togs innehållet i svaren från hela intervjun i beaktning vid analys av de olika intervjufrågorna. Det handlade om att frågor kan vara svåra att besvara helt isolerat från varandra, eftersom alla delar i multiplikationsundervisningen hänger samman. Tabellträning är ett exempel på ett sådant område, vilket i flera intervjuer berördes i flera frågor. I den färdiga tabellen markerades likheter och skillnader mellan svaren med överstrykningspennor i olika färger för att kunna urskilja mönster. När resultatdelen i rapporten skrevs lyssnades delar av intervjun igenom ytterligare gånger för att säkerhetsställa att inget viktigt i svaren hade missuppfattats eller fallit bort. Etiska överväganden De inspelade intervjuerna har under arbetets gång varit sparade på en smartphone, min personliga dator samt på ett USB-minne. Inspelningarna lagras och raderas enligt vetenskapsrådets rekommendationer för humanistisk och samhällsvetenskaplig forskning (se Under arbetet med denna rapport har endast jag själv samt min handledare 17

24 tagit del av intervjumaterial samt intervjudeltagarnas identiteter. Identiteten för intervjudeltagarna, samt de uppgifter som de lämnat i undersökningen, har behandlats konfidentiellt under skrivandet av rapporten. I den färdiga rapporten har deltagarna även fått löfte om att vara anonymiserade. Då kommunen där undersökningen har utförts i är relativt liten har det varit viktigt att hela tiden överväga vilken information som ska redovisas i denna rapport eller inte för att säkerhetsställa deltagarnas anonymitet. Det kan röra sig om information gällande intervjudeltagarnas bakgrund, nuvarande arbetsplats eller annan information som gör att deltagarna går att identifiera (Trost, 2010, s. 41). Deltagarna i studien fick ta del av informationskravet samt samtyckeskravet för inspelning av intervjun bifogade i intervjuinbjudan. Innan varje intervju genomfördes upprepades denna information (se bilaga 1). Särskilt fokus låg då på att erhålla godkännande från lärarna till att spela in intervjuerna. Deltagarna informerades även om syftet med examensarbetet i samband med detta (Patel & Davidsson, 2003). 18

25 Resultat Resultatdelen inleds med en beskrivning av hur lärarna skildrar sin matematikundervisning i allmänhet, samt de förutsättningar och material de beskriver att de har att tillgå. Den efterkommande texten uppdelad i de tre huvudområden som återfinns i inledningen för denna rapport, nämligen Lärarnas introduktion av multiplikation, Fortlöpande undervisning samt Tabellträning. För att underlätta läsningen av resultatet har ett antal underrubriker använts i varje huvudområde. Avsnittet avslutas med en sammanfattning av resultatet. Lärarnas beskrivning av sin matematikundervisning samt om de förutsättningar och material som de har att tillgå För att ge en uppfattning om hur lärarnas förutsättningar för undervisningen ser ut i de elevgrupper där intervjudeltagarna är verksamma (främst gällande multiplikation, men även för mattematikundervisningen i allmänhet) följer här en kort redogörelse av lärarnas tankar kring, tillgång till samt användning av: läromedel, konkret materiel, digitala hjälpmedel samt ämnesintegrering och tematisk undervisning. Läromedel och konkret materiel När lärarna får beskriva hur läromedel används i undervisningen framkommer det att samtliga lärare, använder en mattebok som stöd för sin planering. Det som skiljer lärarna åt är i vilken utsträckning de säger sig avvika från böckernas planering, t.ex. hur de sållar bland uppgifter och lägger till annat innehåll i sin undervisning. Det betyder att läromedel spelar en stor roll för planeringen av undervisningen. Det innebär att de lärare som intervjuas inte skiljer sig från lärargruppen i stort när det gäller läromedelsanvändning (jfr. Skolverket, 2008; Bergqvist m.fl, 2010). På samtliga intervjuskolor finns det tillgång till en matteverkstad, där lärarna har möjlighet att låna med konkret materiel till sina klassrum. I vilken utsträckning de låter eleverna använda detta i undervisningen varierar en del. Tre av 1 3 lärarna säger sig använda mycket konkret materiel i undervisningen, dels material som finns i klassrummet hela tiden, dels sådant som går att hämta från matteverkstan. När det kommer till multiplikationsundervisningen nämner de plockmateriel, spel, klossar, magnettavlor, piprensare med pärlor, kulramen med mera som exempel på vad som används både i visualiseringssyfte samt för utantillärning. Lärarna reflekterar över materialet både ur ett didaktiskt och ur ett praktiskt perspektiv. En lärare nämner att det är viktigt att materiel som används inte är opraktiskt och ger exempel på materiel som följt med elevernas 19

26 mattebok. Detta föll enligt läraren lätt sönder och var därför svårt att hålla reda på. En annan lärare berättar att eleverna, förutom det som finns att tillgå gemensamt i klassrummet, har en matteask med lite materiel i sina bänkar, samt att linjalen kan användas som en representation av tallinjen. Den 1 3 lärare som uppger att den inte använder konkret materiel i så stor utsträckning berättar att den har upplevt att det kan bli hämmande för en del elever. Läraren förklarar att det speciellt gäller plockmateriel, där de elever som är i störst behov av stöd bara plockar och att de då egentligen inte lär sig något av att använda materialet. Det blir inte effektivt[ ]det blir bara grejer som de flyttar, menar läraren. Istället får eleverna arbeta med sin egen kropp som stöd för sitt lärande, vilket läraren motiverar med att den har de alltid med sig. Lärarens val att inte använda konkret materiel handlar alltså om en erfarenhetsbaserad didaktisk reflektion. Även en av de 1 3 lärare som säger sig använda konkret materiel i stor utsträckning framhäver att kroppen, framförallt händerna och fingrarna när det handlar om multiplikation, är bra att använda som stöd med samma motivering som läraren innan. Att använda fingrarna kan dock väcka motstånd hos en del pedagoger, tillägger denna lärare, men hävdar samtidigt att de flesta eleverna ändå släpper fingrarna sen i alla fall. Intervjusvaren visar att de två 4 6 lärarnas beskrivning av användning av konkret materiel skiljer sig åt. Den ena läraren berättar att den under vissa lektioner släpper matteboken helt och hållet för att istället låta eleverna spela spel eller jobba med det materiel som läraren finner lämpligt. Vidare beskriver läraren att de försöker ha så mycket praktisk matte som det går, men tillägger att det är inte så himla lätt i en stor klass. Till just multiplikation ger läraren spel, olika läggmateriel, snottror och memory som exempel på konkret materiel som används. En del kan behöva lägga det som en bild framför sig när de ska räkna, säger läraren och syftar på en multiplikationsuppgift. Läraren berättar att konkret materiel används främst i början av det aktuella området. Här visar läraren att den har en idé över vilka material som passar i olika delar av lärandet för eleverna kopplat till ett visst innehåll. Den andra läraren uppger att den endast använder sig av konkret materiel i undervisningen när behov uppstår hos eleverna och att den inte har använt sig av detta i någon stor utsträckning hittills. Samtidigt säger läraren att det kan vara bra att använda konkret materiel även med elever i årskurs 4 6. Läraren verkar främst se användning av konkret materiel som något som avviker från huvudfåran av undervisningen. 20

27 Sammantaget visar intervjuerna att användningen av konkret materiel varierar beroende på lärarnas uppfattning om dess för- och nackdelar. Alla lärare har tillgång till en matteverkstad och de flesta säger att konkret materiel är ett viktigt stöd för visualisering vid introduktion av multiplikation. Konkret materiel passar enligt lärarna att användas av elever både i årskurs 1 3 och 4 6. Dock uttrycker några lärare att man måste reflektera över när det är lämpligt att låta eleverna använda det, då de ser risker med att det kan bromsa istället för att stödja elevernas utveckling. Den reflektion lärarna ger här indikerar att de främst anpassar användningen av konkret materiel efter elevernas behov, men anpassningen till undervisningens innehåll beskrivs inte så tydligt, dvs. om anpassningen sker utifrån de fyra nivåerna av multiplikativt tänkande. Digitala hjälpmedel Samtliga lärare berättar under intervjuerna att de har tillgång till datorer som de låter eleverna använda under vissa matematiklektioner. Hur ofta detta sker skiljer sig dock åt mellan lärarna. I de flesta klassrum finns det några få datorer att tillgå och lärarna säger även att de har möjlighet att boka tid för eleverna i en datasal eller för att låna en datavagn. Lärarna förklarar att datorerna främst används av eleverna då de, enskilt eller i par, arbetar med att träna på multiplikationstabellerna eller för att arbeta med de olika räknesätten. Detta sker i olika matematikprogram som skolorna har att tillgång till eller via olika webbsidor. En av 4 6 lärarna berättar att matte och tabeller ofta anses vara tråkigt av eleverna och att de tycker att undervisningen blir roligare om de får arbeta vid datorn. Läraren är dock osäker på om datoranvändningen verkligen ger resultat för elevernas utveckling, eller om den endast bidrar till att det blir roligare att arbeta för eleverna. Lärarnas beskrivningar tyder på en på en viss begränsning i hur datorerna kan ses som verktyg i undervisningen och stöd för elevernas lärande. Förutom datorer har tre av 1 3 lärarna tillgång till interaktiva skrivtavlor för sin undervisning och två av dem berättar att läsplattor kommer att köpas in till klassrummet. En av dessa lärare uppger att den interaktiva skrivtavlan har underlättat enormt för multiplikationsundervisningen, bland annat genom att bidra till att göra traditionell tabellträning i multiplikation mer inspirerande. Läraren berättar hur ett egentligen helt vanligt, tråkigt läxförhör, med hjälp av den teknik skrivtavlan erbjuder, beskrivs som jätteroligt av eleverna och att de ofta ber om den typen av aktiviteter. De andra två lärarna förklarar att de inte har använt dessa tavlor i någon större utsträckning än. Orsakerna till det är att den ena läraren nyligen fått sin monterad och att den andra läraren endast har tillgång till 21

28 tavlan i en kollegas klassrum. Båda uppger dock, baserat på vad de sett hittills av tavlornas funktioner, att de tror att det finns många fördelar med detta hjälpmedel och då inte bara inom matematikundervisningen. Utöver datorer och de interaktiva skrivtavlorna är det endast en av de intervjuade lärarna, en 1 3 lärare, som uppger att miniräknaren används som digitalt hjälpmedel i undervisningen. Då för att visa eleverna hur man kan få fram olika tabeller på den. Intervjuerna med lärarna visar att digitala hjälpmedel främst används i samband med tabellträning och då främst till drillövningar. Det kan handla om att lärarna sett att eleverna verkar tycka att datorer och den interaktiva skrivtavlan gör undervisningen roligare och att träning och drillövningar traditionell sett inte har varit så populära. Ämnesintegrering och tematisk undervisning Ingen av de intervjuade lärarna säger sig ägna sig åt planerad ämnesintegrerande eller tematisk undervisning när det kommer till matematik, även om några uttrycker att det pratades mycket om detta under deras grundutbildningar eller i olika fortbildningskurser som vissa av dem deltagit i. Det är utanför studiens ram att vidare fördjupa sig i anledningen till detta, men givet studiens fokus på multiplikation kan det tyckas något anmärkningsvärt att elevernas myckna arbete med tal och tals användning inte knyts till någon sorts verklig användbarhet. Lärarnas introduktion av multiplikation Detta är det första huvudområdet för resultatdelen och här presenteras lärarnas intervjusvar angående vilka förkunskaper de anser att elever behöver ha för att kunna få förståelse för multiplikation, samt vilka förklaringsmodeller de säger att de använder när de introducerar eleverna om vad multiplikation innebär. Förkunskaper som krävs för att få förståelse för multiplikation Under intervjuerna fick lärarna berätta om vilka förkunskaper som de anser att elever behöver ha för att få förståelse för innebörden av multiplikation. Att förstå talens innebörd och att kunna talens ordning, att ramsräkna och att kunna hoppa på tallinjen är förkunskaper som 1 3 lärarna lyfter fram. Det handlar om att veta vad siffrorna står för i positionssystemet och vad likhetstecknet har för betydelse, att förstå innebörden av addition och subtraktion samt att ha grundläggande additions- och subtraktionstabellerna automatiserade. En lärare berättar att eleverna arbetar med multiplikation redan innan de vet om att det handlar om multiplikation och beskriver hur eleverna fått träna på multiplikationstabeller i en lek som kallas för Burr. 22

29 Den går enligt läraren ut på att eleverna ska stå på en rad och sedan räkna högt för varje person, utan att säga var tredje tal (om det är multiplarna av 3 som ska synliggöras). Var tredje person ska säga burr istället, förklarar läraren. En annan lärare berättar att den vanligtvis börjar undervisa multiplikation höstterminen i 2:an, men förklarar att man tjuvstartar redan i 1:an med att man hoppar på tallinjen [ ] 2-skutt, 5-skutt och 10-skutt och markerar varje skutt med handklapp. Det innebär att 1 3 lärarnas förväntningar på förförståelse handlar om att eleverna förstår grunder i talsystemets uppbyggnad och har additiva, endimensionella tankestrukturer att bygga vidare på. Det framgår även att detta är förkunskaper som några lärare vill bygga upp hos eleverna innan den formella multiplikationsundervisningen. Även 4 6 lärarna fick under intervjuerna beskriva vilka förkunskaper som de anser är viktiga för multiplikationsförståelse. Enligt den ena läraren är det bra om eleverna förstår att multiplikation är upprepad addition redan när de börjar på mellanstadiet. Läraren resonerar vidare om att eleverna behöver kunna se samband mellan räknesätten, men säger samtidigt att det är vad eleverna ska lära sig mer om under årskurs 4 6 och att det kanske inte ska räknas som en förkunskap. Den andra 4 6 läraren anser, liksom lärarna i årskurs 1 3, att det är viktigt att eleverna kan positionssystemet, dvs. att de vet vad siffrorna står för [ ] vad som är ental, vad som är tiotal, vad som är hundratal. Detta kallar läraren för basic. Eleverna behöver även ha andra baskunskaper för att kunna få förståelse för multiplikation säger läraren och nämner att automatisering av additions- och subtraktionstabellerna, först upp till 10 och sedan upp till 20, är viktigt för att eleverna ska slippa att sitta och räkna på fingrar till exempel. Det är dock inte självklart att eleverna har dessa förkunskaper när de kommer upp till årskurs 4 6 och dessa elever behöver därför få fortsätta med att nöta och träna dessa förkunskaper, hävdar läraren. Även lärarna i årskurs 4 6 lyfter alltså fram vikten av grundläggande taluppfattning som förförståelse av multiplikationsbegreppet. Om dessa förkunskaper saknas hos vissa elever fokuserar undervisningen delvis på att fylla igen dessa luckor. Idealet är dock att eleverna ska ha fått med sig den endimensionella förståelsen av multiplikation i form av den upprepade additionen inför årskurs 4, och att undervisningen nu ska syfta till att stärka elevernas kunskap gällande samband mellan räknesätten. Ingen av 4 6 lärarna pekar på tvådimensionella förklaringsmodeller som en viktig förförståelse inför årskurs 4. 23

30 Förklaringsmodeller och visualisering av multiplikation Både den endimensionella och den tvådimensionella bilden av multiplikation ingår enligt samtliga lärare i deras undervisning. En 1 3 lärare berättar att den tvådimensionella representationen inte används i årskurs 2, men att den förmodligen kommer att beröras i årskurs 3. Endimensionella förklaringsmodeller Flertalet lärare säger att multiplikation är upprepad addition och att det är den endimensionella förklaringsmodellen som deras undervisning fokuserar mest på. Flera lärare berättar att de bland annat visar detta för eleverna genom att skriva en multiplikationsuppgift som en upprepad addition (t.ex. 3 4 = 4+4+4) och en lärare visar hur samma sak förklaras i matteboken. En av 1 3 lärarna berättar att den innan den undervisat eleverna om multiplikation visar en upprepad addition på tavlan för att sen förklara för eleverna att man även kan skriva detta som en multiplikation. En annan 1 3 lärare berättar att eleverna förutom att skriva också får rita den upprepade additionen. Ytterligare en 1 3 lärare berättar att den, till skillnad från de andra lärarna, förutom att visa den endimensionella modellen med upprepad addition främst förklarar innebörden av multiplikation för eleverna genom att använda eleverna själva. Läraren berättar att den säger till eleverna att det handlar om olika grupper med ett visst antal i varje och visualiserar detta genom att låta ett visst antal elever ställa sig upp framför klassen. Sedan frågar läraren frågor som hur många armar har de ihop eller hur många munnar har de och talar om att detta handlar om multiplikation, samt skriver upp den multiplikation som eleverna visualiserar på tavlan. Denna förklaring kan vid första anblick uppfattas som felaktig på grund av att ordet olika används. Trots detta visar lärarens beskrivning av hur eleverna används, även om läraren inte är medveten om det själv, att detta kan kopplas till den multiplikativa situationen Likadana grupper. Denna uppgiftsstruktur får eleverna antagligen även möta i undervisningen hos de lärare som säger sig använda konkret materiel som plockmateriel i undervisningen, eftersom multiplikation kan visualiseras genom att ett visst antal av t.ex. träkuber läggs i ett visst antal högar. När det kommer till 4 6 lärarna är det en av dem som inte ger några direkta exempel på hur den undervisar om varken den endimensionella eller den tvådimensionella förklaringsmodellen. Läraren hävdar dock att eleverna behöver få innebörden av multiplikation förklarad för sig på många olika sätt. De måste dels förstå att det är en upprepad addition, men även att de får den här bilden[och pekar på den tvådimensionella 24

31 förklaringsmodellen i extramaterialet], säger läraren. Den andra 4 6 läraren berättar att den visar för eleverna att 3 4 = = 3 4 samt att detta kan visualiseras med hjälp av att använda pengar. Då genom att göra tre högar med 4 kr i varje som eleverna sedan får räkna ihop. Sammantaget visar lärarnas beskrivningar att det är olika hur väl de beskriver kopplingen mellan endimensionella förklaringsmodeller och olika typer av representationsformer. Tvådimensionella förklaringsmodeller Under tiden som lärarna besvarar frågan gällande om och hur den tvådimensionella förklaringsmodellen används i undervisningen är det flera av dem som hämtar och bläddrar i sina läromedel. De verkar leta efter uppgifter eller något annat som kan kopplas till denna modell. En 1 3 lärare visar en multiplikationsuppgift illustrerad med skalbaggar i motsvarande antal rader och kolumner som uppgiften visar, och säger att det är ett exempel på hur modellen kan komma med i undervisningen. En annan 1 3 lärare berättar att den låter eleverna få måla rutor för att sedan jämföra rutbilderna av t.ex. 3 4 och 4 3 för att på så sätt få en förståelse. De två sista lärarna förklarar att denna modell kommer med när eleverna får läsa av tabeller i, samt arbeta med, hundrarutan. Den ena 4 6 läraren berättar att den tvådimensionella bilden av multiplikation hjälper till med förståelsen i undervisning om geometri och area. Läraren förklarar att det är främst då och inte under multiplikationsundervisningen som denna förklaringsmodell används. Senare hittar läraren dock en illustration av en chokladkaka i matteboken och förklarar att man faktiskt kan använda metoden att rita och räkna varje ruta för sig för att lösa en multiplikationsuppgift, men lägger till att detta blir för tidskrävande att göra när talen blir för stora. Man tittar på barnen och om man märker att de inte förstår så får man försöka förklara på ett annat sätt, avslutar läraren med. Reflektioner lärarna lyfter kring den inledande multiplikationsundervisningen En av lärarna i årskurs 1 3 uppger att eleverna i den tidiga multiplikationsundervisningen behöver få använda flera sinnen för att få förståelse för multiplikation. De behöver få arbeta med både med kroppen och huvudet; så man befäster det och få saker förklarade på många olika sätt, samt att yngre eleverna behöver få arbeta mycket med konkreta grejer. En annan 1 3 lärare berättar att elever för det mesta inte har svårt för att förstå sambandet mellan multiplikation och upprepad additionen när de får multiplikationen visualiserad framför sig 25

32 med hjälp av bilder eller när de får lägga den framför sig med plockmaterial som t.ex. träkuber eller pengar. Alla behöver det nog först [konkret materiel], men en del lägger ganska snart bort det om de knäcker själva koden, säger läraren. Läraren förklarar även att några elever kan behöva detta stöd längre än andra. Enligt läraren kan problemet då ligga vid att de inte förstår innebörderna av symbolerna (dvs. siffrorna och multiplikationstecknet) i en multiplikationsuppgift och att konkret materiel därför blir nödvändigt som visuellt stöd. I förlängningen ska man ju kunna se det inom sig, betonar läraren, men förklarar att en del elever kan behöva längre tid för att det ska mogna. Utifrån vad lärarna berättar om förklaringsmodeller och introduktion av multiplikation verkar det som att det främst är den endimensionella förklaringsmodellen som används. Av lärarnas beskrivningar kan man se att det skiljer sig åt från lärare till lärare hur de uppger att de förankrar den endimensionella förklaringsmodellen hos eleverna. De uppger flera olika sätt där de visar innebörden av den för eleverna och under intervjun presenterar alla lärare utom den ena 4 6 läraren att både konkret materiel samt eleverna själva kan användas för att visualisera innebörden. Även om samtliga lärare uppger att de undervisar om den tvådimensionella förklaringsmodellen ges det ingen tydlig beskrivning av hur den används av lärarna i någon stor utsträckning. Enligt den ena 4 6 läraren kopplas denna förklaringsmodell främst samman med geometri och inte med multiplikativt tänkande. Även de övriga lärarnas beskrivningar verkar tyda på att eleverna inte ges en fullständig bild av vad förklaringsmodellen innebär. Ingen av de intervjuade lärarna uppger att de lyfter fram innebörden av multiplikativa situationer där Skaläritet, Förändringshastighet, och Kartesisk produkt ingår i undervisningen. Fortlöpande undervisning Undervisning om räknelagarna När lärarna fick berätta om hur de undervisar om räknelagarna för multiplikation framkommer det att samtliga lärare undervisar eleverna om den kommutativa lagen. Dock varierar det mellan lärarna i vilken utsträckning de kräver att eleverna ska känna till denna lag. Samtliga lärare säger sig undervisa om lagens innebörd och de flesta uppger att de nämner för eleverna vad den heter, men kräver inte att eleverna ska lägga namnet på minnet. En lärare i årskurs 1 3 berättar att den i undervisningen brukar dra paralleller till att det inte heller vid addition spelar någon roll för summan i vilken ordning termerna adderas. En annan 26

33 lärare i årskurs 1 3 uppger att den ska barnen lära sig i tvåan, den är med i den här boken och pekar på sitt läromedel, men ger samtidigt uttryck för att den anser att det är överkurs. Läraren förklarar att den inte tror eleverna kommer att komma ihåg namnet för alltid, men uppger att den tror att det är lättare för eleverna att komma ihåg det efter att ha fått höra det flera gånger under skolgången. De två sista 1 3 lärarna uppger att de berättar för eleverna om att det inte spelar någon roll i vilken ordning faktorerna står i en multiplikation när man räknar ut produkten, men att de belyser för eleverna att ordningen kan ha betydelse i praktiken. Den ena läraren ger här exempel på att multiplikationen där man beräknar antal ögon på tre elever med två ögon var måste skrivas i ordningen 3 2, eftersom det inte rör sig om två barn med tre ögon. Ingen av lärarna uppger att de undervisar om den associativa lagen. Lärarna i årskurs 1 3 påstår att den är för avancerad för deras elever och några uppger att de tror att det är först i årskurs 4 6 som den ingår i undervisningen. Lärarna i årskurs 4 6 säger dock i sin tur att de inte har arbetat med denna lag i någon större utsträckning. Inte heller den distributiva lagen sägs ingå i l 3 lärarnas undervisning, med undantag för en lärare. De framhåller att den är för avancerad för deras elever och att även denna lag förmodligen behandlas senare i skolgången. Läraren som uppger sig undervisa om lagen förklarar att de använder den fast med mindre tal än i exemplet som ges i extramaterialet (tillhörande intervjuguiden dvs ) och nämner 8 7= som mer representativt för undervisningen. Läraren säger att den förklarar innehållet för eleverna, men att den inte (liksom för den kommutativa lagen) fokuserar på att eleverna ska lära sig namnet på lagen. Inte heller 4 6 lärarna uppger att de undervisar om denna räknelag i någon direkt mening. Den ena läraren berättar dock att de i klassrummet pratar om att försöka lösa smart och uppger att det är väl den här lagen, samtidigt som den pekar på den distributiva lagen i extramaterialet. Den andra läraren förklarar att den, liksom de flesta 1 3 lärarna, tror att lagen berörs först senare i skolgången. Lärarnas intervjusvar pekar på att det främst är den kommutativa lagen som de presenterar i undervisningen, oavsett vilken årskurs de undervisar i. En 1 3 lärare uppger dock även att den samtalar med eleverna om den distributiva lagens innebörd och användningsområde. Begrepp kopplade till multiplikation Under intervjuerna tillfrågades lärarna om och i så fall på vilket sätt de undervisar om de fyra begreppen faktor, produkt, multiplikator och multiplikand. Samtliga 1 3 lärare uppger att 27

34 faktor och produkt är begrepp som de vill att eleverna ska få lära sig om i deras undervisning. Två av lärarna uttrycker att eleverna har nytta av att känna till och bli bekanta med dessa begrepp inför undervisning högre upp i åldrarna, men att de inte förväntar sig att eleverna själva ska använda dem redan i årskurs 1 3. En av dessa lärare beskriver även att innebörden av multiplikator och multiplikand berörs i undervisningen, men utan att den nämner namnen på begreppen. Den förklarar att ordningen på 2:an och 4:an i 2 4 spelar ju ingen roll när man bara ska räkna ut det för att få en produkt, men fortsätter sedan beskriva att uppgiften 2 4 och 4 2 inte har samma innebörd när de representerar ett visst antal skalbaggar i ett antal grupper. Här ger läraren eleverna en konkret beskrivning av innebörden av den abstrakta uppgiften. En annan lärare säger dock att det är viktigt att eleverna använder rätt ord redan från början och hävdar att elever inte har svårare för att lära sig dessa ord än för att lära sig andra nya ord. Den sista läraren uppger att den förutom faktor och produkt även använder begreppet multiplikand i undervisningen. Läraren berättar, liksom de två första lärarna, att den nämner begreppen för eleverna, men säger att det är ingenting vi har tränat på [ ] vi har skyltar så att de finns i klassrummet. Den ena 4 6 läraren berättar att den kanske har pratat lite grann om faktor och produkt i undervisningen, men säger sig inte känna igen begreppen multiplikator och multiplikand. Läraren uttrycker att det finns många svåra ord i matte, samt uppger att den inte är så säker på att det verkligen underlättar för eleverna att man använder dem i undervisningen. Den andra 4 6 läraren använder inte heller begreppen multiplikator och multiplikand, men säger att deras innebörd synliggörs i undervisningen om upprepad addition. Läraren ger ett exempel på att den kan gå igenom med klassen att 3 4 kan betyda att jag har fyra saker av någonting och det tar jag tre gånger [ ] så att de får bilden utav det, och syftar då på elevernas förståelse. Faktor och produkt är dock begrepp som läraren vill att eleverna ska bli bekanta med både till namn och till innebörd. Även denna lärare verkar ge eleverna en konkret förklaring av begreppens innebörd. När lärarna tillfrågas om dessa olika begrepp är det två 1 3 lärare som berättar att de har upplevt att vikten av att introducera rätt begrepp för elever redan i tidig ålder har uppmärksammats från olika håll. Detta säger de har påverkat deras undervisning genom att de har blivit mer medvetna om sin egen begreppsanvändning. Även användningen av de korrekta namnen för räknesätten uppmärksammas av tre 1 3 lärare samt av den ena 4 6 läraren. De framför att de själva försöker använda dessa begrepp för att göra eleverna mer bekväma med 28

35 dem, men medger att både de och eleverna ofta säger plus, minus, gånger och delat med istället för dessa begrepp. Sammantaget uppger samtliga lärare att begreppen faktor och produkt ingår i deras undervisning i olika utsträckningar. En 1 3 lärare uppger t ex. att eleverna ska lära sig dessa till både namn och innebörd. Även innebörden av begreppen multiplikator och multiplikand uppges beskrivas eller synliggörs för eleverna enligt flera lärare, men för det mesta används då inte namnen för dessa begrepp. Man kan även se att lärarna ger upphov till två skilda reflektioner kring värdet av att eleverna lär sig dessa matematiska begrepp, dvs. om det bidrar till elevernas kunskapsutveckling eller inte. Procedurhantering vid multiplikation Under intervjuerna fick lärarna dela med sig av sina tankar gällande metoder och användandet av tekniska hjälpmedel för och vid multiplikationsberäkning. De fick även frågan om det undervisar eleverna om regler för ordningen mellan räkneoperationer. Deras svar gällande detta beskrivs i följande avsnitt. Multiplikationsalgoritmer Ingen av 1 3 lärarna säger sig undervisa om den traditionella multiplikationsalgoritmen. Den främsta orsaken som anges är att det inte är aktuellt för deras elever, då de inte arbetar med så stora tal i årskurs 1 3. Samma gäller för skriftlig huvudräkning och mellanled av samma anledning. En av lärarna säger dock att den tror att den traditionella uppställningen finns med i slutet på den mattebok den använder (i årskurs 2). Läraren bläddrar i boken för att visa detta under intervjun, men hittar till sin förvåning inget sådant och utbrister då att: det får de ta i trean. Några lärare berättar dock om vilka fördelar och nackdelar de ser med uppställningen kontra skriftlig huvudräkning och mellanled, dels utifrån tidigare erfarenheter och dels utifrån vad de tror är viktigt gällande undervisning om dessa i årskurs 4 6. När det kommer till skriftlig huvudräkning och mellanled berättar en lärare att det var ju lätt för de barnen som har lätt för matematik, men det krånglade till det för dem som har svårt för matematik. En annan lärare uppger att alla elever behöver lära sig använda den traditionella uppställningen och att den tror mellanled kan röra till det när elever stöter på stora tal. Lärarna i årskurs 4 6 berättar att de presenterar den traditionella uppställningen för eleverna i undervisningen, vilken även uppges presenteras i deras läromedel. De säger att de föredrar att eleverna använder denna uppställning framför skriftlig huvudräkning och mellanled, när det kommer till multiplikationsberäkning. Den ena läraren förklarar dock att eleverna får använda 29

36 sig av skriftlig huvudräkning och mellanled om de vill, samt att uppställningar kanske inte ger lika bra förståelse. Slutligen framhäver läraren ändå att uppställningen alltid fungerar och är ett bättre val av algoritm vid beräkningar när talen är större. Det viktigaste är dock, enligt läraren, att eleverna själva bestämmer sig för en strategi som de sedan håller sig till (i detta sammanhang använder lärarna ordet strategi men syftar på algoritm och ska därför inte förväxlas med olika strategier för att räkna ut de olika multiplikationstabellerna som presenteras senare i denna resultatdel). Annars finns det enligt lärarens erfarenhet risk för att eleverna blir dåliga på två strategier. Den andra läraren framhåller, när det kommer till eleverna, att det är väldigt många fler som rör till det och som har svårt att hålla ordning på talsorterna i mellanled än vid uppställning. Även denna lärare säger dock att det inte är fel att använda det om eleverna behärskar det, men säger att den anser att de oavsett ska känna till och kunna använda sig av den vanliga uppställningen också. Här kan man se att ingen av lärarna i årskurs 1 3 uppger att de undervisar eleverna om multiplikationsalgoritmer. 4 6 lärarna uppger dock att de undervisar eleverna om den traditionella uppställningen, men att de låter eleverna välja om de hellre vill använda skriftlig huvudräkning och mellanled när de räknar om de behärskar den metoden. Intervjusvaren pekar på att samtliga lärare anser att den traditionella multiplikationsalgoritmen är det bästa valet av algoritm med hänvisning till att alla elever inte klarar av att hantera skriftlig huvudräkning och mellanled. Tekniska hjälpmedel som stöd vid multiplikationsberäkning Att använda tekniska hjälpmedel som stöd vid multiplikationsberäkning är inget som lärarna, varken i årskurs 1 3 eller 4 6, uppger att de låter eleverna göra i någon större utsträckning vid räkning i matteboken. Tre 1 3 lärare uppger att eleverna främst får använda miniräknare är när fokus i undervisningen ligger på att lära sig använda just miniräknaren. Den fjärde 1 3 läraren säger istället att miniräknaren inte används över huvudtaget i multiplikationsundervisning. En anledning som ges till varför eleverna inte ska använda miniräknaren är att de helst ska använda sig av olika strategier för att beräkna tabellerna. Två av 1 3 lärarna berättar dock att elever i enstaka, individuella fall får använda miniräknare som stöd. Den ena läraren drar paralleller till att en elev med dyslexi kan behöva extra stöd och säger att är det någon som har svårt för multiplikation så får de ha den som hjälpmedel, och syftar då på miniräknaren. Den andra läraren säger att en elev som förstår hur multiplikation fungerar, men som har 30

37 problem med att automatisera tabellerna, kan få använda en miniräknare eller ett annat hjälpmedel för att inte tappa självförtroendet i att räkna bara för att man inte kan tabellen. Läraren förklarar att detta kan hända om eleven alltid måste sitta och räkna ut de grundläggande tabellerna i uppställningen och då hela tiden tappa bort sig. En annan 1 3 lärare berättar att elever som inte är säkra på tabellerna får använda en lathund som stöd. När det kommer till årskurs 4 6 säger den ena läraren att miniräknaren bara används när boken uppmanar till det och den andra läraren säger, liksom en av 1 3 lärarna, att elever som inte är säkra på tabellen får använda en lathund som stöd vid den vanliga räkningen i boken. Här pekar intervjusvaren på att ingen lärare verkar anse att miniräknaren ska användas som ett hjälpmedel i undervisningen vid beräkning i matteboken. Två 1 3 lärare anser dock att den passar att användas som stöd för de elever som har svårt för att automatisera tabellerna. Regler för ordningen mellan räkneoperationer Reglerna för ordningen mellan räkneoperationer är inget som lärarna säger sig undervisa om i någon direkt mening. 1 3 lärarna hänvisar till att detta är för avancerat för elever i deras undervisningsgrupper. En av lärarna uppger dock att det kan vara bra att börja träna på de saker som eleverna ska lära sig senare i skolan redan tidigt, så att de kommer in i det tänket vi vill att de ska ha i skolan. En annan lärare berättar även att den kanske kan nämna något om dessa regler, men hävdar att detta inte är något de ska lära sig i årskurs 1 3. Den brukar säga till eleverna att multiplikation och division, dem är lite bättre och att de går före addition och subtraktion. Inte heller den ena 4 6 lärarna uppger att den berör detta i sin undervisning för tillfället, men säger att det kanske är något som kommer att beröras senare i årskurs 6. Den andra 4 6 lärarens svar gällande detta saknas från intervjun, på grund av att frågan missades att ställas. Tabellträning När det kommer till undervisning gällande de grundläggande multiplikationstabellerna, 0-10, fick lärarna i denna undersökning dela med sig av sina tankar och erfarenheter gällande automatisering av dem och om olika multiplikationsstrategier för att beräkna dessa, samt berätta om vilka sätt eleverna får möjlighet att träna på tabellerna. Detta redovisas i det följande tredje och sista huvudavsnittet av resultatkapitlet. 31

38 Automatisering av de grundläggande multiplikationstabellerna Samtliga lärare i denna undersökning uppger under intervjuerna att en automatisering av de grundläggande multiplikationstabellerna är en nyttig kunskap. 1 3 lärarna motiverar detta med att automatiseringen underlättar för eleverna längre fram i skolgången, när lösandet av mattematikuppgifter kräver mer fokus på läsförståelse och på själva utförandet av mer avancerade beräkningar. En elev som behöver lägga energi och fokus på att komma fram till vad 7 8 är, den tappar ju mycket lättare bort sig i själva uppställningen, säger en av dessa lärare. Kan du vad 5 4 är så vet du ju vad 5 40 är och [ ] och kan generalisera, tillägger denna lärare senare under intervjun. En annan av lärarna lyfter också att de elever som alltid måste lägga tid på att räkna ut tabellerna, vilka läraren hävdar är kunskap som är lätt att lära sig utantill, kan bli uttråkade då det är så tidsödande. Man måste göra det många gånger för att det ska sitta ordentligt, hävdar läraren dock och syftar på drillning av tabellkunskaperna och en av de andra lärarna förklarar att det handlar ju väldigt mycket om hur enträgen och hur målmedveten du är på att du vill lära dig, hur viktigt du känner att det är och att den tror många kan lyckas med detta bara de ger sig tusan på att göra det. Trots att lärarna berättar om fördelar med en automatisering lyfter de att en del elever faktiskt inte lär sig tabellerna utantill och att det viktigaste därför är att eleverna klarar av att räkna ut tabellerna med hjälp av strategier. Två av lärarna hävdar dessutom att de elever som har svårt för tabellerna inte ska behöva stanna upp för att bara träna tabeller, utan bör då istället få använda hjälpmedel för att kunna gå vidare i matematiken. Den ena av dem nämner en hundraruta eller en miniräknare som exempel på hjälpmedel för dessa elever och tillägger: så kanske det[automatiseringen] lossnar så småningom. En annan lärare lyfter också att vissa multiplikationskombinationer, som t.ex. 7 8, 8 7 och 6 8, är svårare att lära sig än andra. Ingen av 1 3 lärarna uppger under intervjuerna att de har ett formellt krav på att eleverna ska automatisera vissa tabeller under årskurs 1 3, men en av lärarna uppger att 2:an, 5:an och 10:ans tabeller är bra att lära sig redan i början av årskurs 1 3. En av de andra lärarna berättar att den ser det som en fördel om eleverna åtminstone har lärt sig upp till 5:ans tabell i slutet av årskurs 3, men helst ännu fler. När det kommer till vad lärarna i årskurs 4 6 berättar om sin syn på automatisering syns en del likheter med 1 3 lärarnas tankar. Båda menar att det är positivt för eleverna att automatisera de grundläggande tabellerna. Den ena läraren säger att det är otroligt viktigt och förklarar att eleverna då kan utnyttja denna kunskap för att se samband. Läraren ger ett 32

39 exempel på hur detta kan se ut i en divisionsuppgift som Då ska eleverna snabbt kunna se att 3 6 är 18, rest 1, enligt läraren. Den andra 4 6 läraren uppger, liksom 1 3 lärarna, att den inte har ett krav på att eleverna ska lära sig tabellerna utantill. En del går ju in för att lära sig och en del tränar inte särskilt mycket märker man, säger läraren om elevernas arbete med tabellträningen. Men enligt läraren får de elever som inte lär sig tabellerna lägga mycket tid på att få fram svaren på annat sätt. Här nämner läraren att eleverna får räkna på fingrarna eller använda hjälpmedel som lathundar och hundrarutor. När intervjun går in på strategier för att beräkna multiplikationstabellerna tillägger läraren att eleverna vid multiplikationsuppgifter får använda alla sätt som de kan komma fram till det [produkten] på ett bra sätt. Av intervjusvaren kan man se att samtliga lärare lyfter fram fördelar med automatisering av tabellerna. 1 3 lärarna och en av 4 6 lärarna lyfter främst fram att de elever som har automatiserat tabellerna slipper lägga tid och energi på rutinuppgifter då läsförståelse och mer avancerade beräkningar kräver elevernas koncentration i högre grad. Den andra 4 6 läraren lyfter istället fram att automatiseringen hjälper elever att se samband mellan multiplikation och division. Ingen av lärarna verkar dock ha någon genomtänkt strategi för att undervisa elever som inte med lätthet automatiserar tabellerna, t.ex. minnesstrategier. Det handlar i stället i huvudsak om elevens tragglande, och om det inte fungerar erbjuds istället eleverna hjälpmedel i form av hundraruta eller räknare. Dock visar lärarna, som vi kommer att se i nästa stycke, undervisning om olika typer av strategier för att beräkna tabellerna när de inte är automatiserade. Strategier för att beräkna de grundläggande multiplikationstabellerna Vid intervjutillfällena fick lärarna ta del av olika exempel på strategier för att beräkna de grundläggande multiplikationstabellerna, i extramaterialet, som stöd för att berätta om vilka olika strategier som ingår i deras undervisning. Intervjusvaren presenteras nedan med utgångspunkt i dessa olika strategier. Skutträkning säger sig samtliga 1 3 lärare, samt den ena 4 6 läraren, presentera för eleverna i undervisningen. En lärare återkommer här till vad den berättade om tidigare under intervjun, det vill säga att den hoppar på tallinjen tillsammans med eleverna samtidigt som de markerar skutten med handklapp. En annan lärare hävdar att skutträkning används främst för 1:an, 2:an och 3:ans tabeller. Ytterligare en lärare berättar att eleverna ibland får skuttläsa tabellerna högt, antingen i kör eller enskilt (både med och utan lärare) när matteboken hänvisar till det, samt att de skuttläser 2:ans tabell när de kontrollerar närvaron i klassen. 4 6 läraren berättar 33

40 att denna strategi förekommer mest i det tidiga skedet när eleverna börjar med multiplikation. Dessa lärare säger även att de undervisar om strategin dubbelt (med 2:an som multiplikator). En av 1 3 lärarna hävdar att eleverna lär sig denna snabbt eftersom den är lätt att komma ihåg. När det kommer till 9:ans tabell (eller när 9:an är multiplikator) berättar några av lärarna att de undervisar om lite olika strategier. Flera lärare säger att de känner till strategin med att böja ned fingret, men endast en av 1 3 lärare uppger att den faktiskt visar den för eleverna. En 1 3 lärare berättar att den istället ber eleverna att först tänka multiplicerat med 10 och sedan dra bort en mängd. Två andra 1 3 lärare säger att de istället upplyser eleverna om hur man kan få fram produkten för 9:ans tabell genom att titta på mönstret som kan utläsas i svaren för tabellen. Strategierna dubbelt och en mängd till samt dubbelt dubbelt är det endast den ena 4 6 läraren som säger sig använda i undervisningen. Den säger även att den använder hälften av tio gånger liksom endast en av 1 3 lärarna. Förutom tankar om exempelstrategierna ovan ger några lärare ytterligare reflektioner kring multiplikationsstrategier. En av 1 3 lärarna förklarar att det är viktigt att eleverna kan dela upp tabellerna och pekar i samband med detta på strategin fem gånger plus två mängder till (för sjuans tabell). Enligt läraren brukar den instruera eleverna om att först multiplicera ett tal (multiplikanden) med fem för att sedan lägga till resterande mängder av detta tal för att nå svaret när de möter en uppgift de inte kan utantill. Läraren förklarar att det är så den visar detta för eleverna, men säger samtidigt att den inte har benämnt eller pratat med eleverna om att detta är en speciell strategi, med ett särskilt namn. En annan 1 3 lärare berättar att den brukar låta eleverna träna på att se mönster, både i talföljden och i en hundraruta, för de grundläggande tabellerna. Eleverna får, enligt läraren, då upptäcka att det skiljer x antal steg mellan talen i varje tabell eller att det blir x antal hopp på tallinjen för respektive tabell. De får även leta efter tal som är gemensamma för 2:an och 4:ans tabeller respektive för 5:an och 10:ans tabeller. Läraren säger att den tror att elever får större förståelse för vad multiplikationerna innebär om de får upptäcka sambanden mellan de olika tabellerna, samt att man sysslar mer med detta i dag än vad man gjorde förr. Läraren varnar dock för att elever som har svårt att få ordning på multiplikationsbegreppet kan känna att det här blir för mycket på en gång [ ] att det blir så mycket information för en del. Läraren menar att dessa elever kan behöva fokusera på endast ett sätt att tänka. Anledningen som läraren lyfter fram är att eleverna inte ska översköljas av information och därmed riskera att tappa självförtroendet och känna att allt bara blir en enda röra. 4 6 läraren berättar att den brukar börja med att visa olika strategier i början av ett multiplikationsområde eller i början på en lektion. Läraren 34

41 berättar att eleverna gynnas av att arbeta med mönster och samband mellan olika tabeller. Denna lärare visar även att den genom erfarenhet upptäckt att för mycket information istället för att stärka kan stjälpa vissa elever. Läraren verkar ha gjort en didaktisk reflektion och kommit fram till att det är viktigt att stärka självförtroendet till sin matematiska förmåga hos de elever som har svårt att få förståelse för multiplikationsbegreppet. När det gäller strategier kan ett sätt vara att ge dessa elever känslan av att kunna lösa en multiplikationsuppgift på åtminstone ett sätt. Som det har framgått ovan beskriver inte den andra 4 6 läraren sin undervisning och sina tankar om exempelstrategierna. Det beror helt enkelt på att läraren uppger att den fokuserar mest på att eleverna ska automatisera tabellerna. Läraren hävdar att om man ska använda sig av strategier bör dessa inte vara för krångliga. Det är naturligtvis bäst om man förstår, säger läraren, men hävdar även att det är svårt att förklara uppgifter som 6 7 för eleverna och att det då kanske är bättre att de får automatisera tabellerna. Eleverna uppmanas enligt läraren att tänka smart och ta hjälp av vad de redan vet. Ett exempel som läraren ger på detta är att eleverna ska kunna komma fram till att 9 4=36 eftersom de vet att 10 4 är 40. Att dra nytta av vad man redan vet är något som även två 1 3 lärare lyfter fram som en strategi. Den ena förklarar att om man vet vad 4 5 är så vet man ju vad 5 5 är, då lägger du ju bara till en mängd till. Först verkade denna lärare dock vara osäker på om man kan kalla detta för en strategi eller inte. Den andra 1 3 läraren kallar denna strategi för att lägga till en mängd till används dock även av ytterligare en 1 3 lärare som en slags strategi. Denna 4 6 lärare verkar inte se det som lönsamt för elever att arbeta med strategiinlärning, där fokus ligger på att eleverna ska förstå hur tabellerna kan härledas. Att tänka smart och att ta hjälp av vad man redan vet ses inte som strategianvändning av läraren. Strategin de två 1 3 lärarna lyfter fram kan ses som en variant av upprepad addition. Övriga lärare visar med sina svar att de verkar undervisa om olika strategier för olika multiplar. Några lärare i de lägre årskurserna verkar blanda in arbete med strategier i vardagliga moment och en lärare vill att eleverna ska få med kroppen i arbetet. Det handlar om att lärarna verkar sträva efter att använda flera representationer och att eleverna därmed behöver använda fler modaliteter. Elevstrategier När det kommer till att lyfta fram elevernas egna strategier i undervisningen är det två lärare som avviker från de övriga med sina svar, dvs. en 1 3 lärare samt den 4 6 lärare som 35

42 fokuserar på automatisering. 1 3 läraren säger att den inte kan komma på någon direkt strategi som eleverna använder själva förutom att de kanske använder sina fingrar som stöd vid skutträkning. Detta genom att de lägger fram dem samtidigt som de räknar (t.ex. tre fingrar för varje hopp i 3:ans tabell). Att lista ut 9:ans tabell genom att titta på mönstret i tabellens produkter är en strategi som läraren berättar att eleverna brukar ha lärt sig hemma. Inte heller 4 6 läraren säger sig komma på något tydligt exempel på elevstrategier under intervjun och berättar att den inte på ett planerat sätt lyfter fram elevernas egna strategier. Läraren förklarar dock samtidigt att den tycker det är kul att få göra det om eleverna har bra saker, men ger inget exempel på vad detta kan vara. Dessa tillfällen kan enligt läraren uppstå när den ställer frågor till klassen under lektionerna eller vid tillfällen då eleverna ska förklara hur de tänker för sina klasskamrater vilket läraren säger att de ska göra ibland. Dessa lärare verkar inte lyfta fram elevernas egna strategier medvetet i undervisningen eller anse att det är viktigt för elevernas kunskapsutveckling att deras val av strategier blir belysta. Bland Två 1 3 lärare samt den andra 4 6 läraren ger dock mer likartade beskrivningar av hur de lyfter fram elevernas egna strategier. De berättar att de låter eleverna få räkna ut en uppgift och sedan förklara för övriga klassen, antingen på tavlan eller muntligt, hur de gjorde (det vill säga vilken strategi de använde). Den ena 1 3 läraren förklarar att den då kan synliggöra för eleverna vilka strategier de har använt sig av och därmed hjälpa de elever som räknat fel att se var felet är. Läraren berättar att den poängterar för eleverna att det inte är svaret som är viktig, utan att det är processen som är intressant. Enligt läraren har eleverna ofta en bra strategi, men att de inte alltid klarar av att nå hela vägen fram till ett korrekt svar. 4 6 läraren förklarar att de övriga eleverna vid dessa situationer får chansen att upptäcka vilka strategier som klasskamraterna använder, samt att läraren själv får möjlighet att visa alternativa strategier. Tidigare under intervjun säger läraren även att den brukar visa olika strategier för eleverna under genomgångar i början på ett multiplikationsområde eller i början på en lektion. Den andra 1 3 läraren förklarar att eleverna kan tycka att detta är svårt att förklara hur de tänker i början, men att den då ber dem låtsas att den (läraren) inte förstår hur man ska räkna ut svaret. Sedan kan läraren säga att jag tror inte jag klarar det, för det var så långt att gå och att den vill ha ett enklare sätt att räkna ut uppgiften på. Detta hävdar läraren utmanar eleverna till att hitta ett mer effektivt sätt att lösa uppgiften på. Både 4 6 läraren och den sistnämnda 1 3 läraren säger att de låter eleverna själva avgöra vilken strategi de vill använda, samt att de inte värderar de olika lösningsexempel som eleverna ger. Dock förklarar 36

43 1 3 läraren att den strävar efter att eleverna ska upptäcka och använda så enkla strategier som möjligt för att beräkna en uppgift. Till skillnad mot de två första lärarna tyder intervjusvaren för dessa lärare på att de medvetet lyfter fram elevernas tankar och strategier i undervisningen. Det handlar om att uppmärksamma och att stötta de elever som inte når hela vägen fram till svaret för en beräkning. Det handlar även om att kunna visa alternativa strategier och ge möjlighet att diskutera dessa. Även den fjärde 1 3 läraren berättar att den låter eleverna välja den/de strategier som passar dem bäst, men att den brukar börja med att presentera exempel på olika strategier. Anledningen till denna ordning är, enligt läraren, att eleverna oftast inte vet hur de ska göra när de stöter på något helt nytt. Läraren berättar även att det är dumt att ändra på elevers tankeform eller de strategier de använder om de kan visa hur de tänker och gör för att komma fram till rätt svar. Men ibland kan det vara så att eleverna tänker rätt fast att det inte blir rätt när de skriver ned det, förklarar läraren, och menar att man som lärare då får gå in och ge stöd. Denna lärare indikerar med sina svar att den till skillnad mot föregående lärare först ger eleverna exempel olika strategier, men att eleverna sedan får välja vilka strategier de vill använda. Läraren verkar dock inte reflektera i termer av vilka strategier som är effektiva. Färdighetsträning/Tabellträning Bland 1 3 lärarna uppges det att eleverna får färdighetsträna tabellerna genom att träna på datorn (olika program och webbsidor), genom att spela spel, träna med multiplikationsstickor och multiplikationskort samt att de får i läxa att memorera dem. En lärare förklarar att multiplikationskort kan hjälpa eleven att se vilka kombinationer den behöver träna mer på, genom att eleven sorterar de kort som de kan i en hög och de som de behöver träna mer på i en annan. Här visar lärarens svar att fokus läggas på de tabeller där det verkliga behovet finns. En annan av lärarna berättar att eleverna brukar få titta på var olika tal möts i en hundraruta. En av 1 3 lärarna sticker dock ut från de övriga gällande tabellträningen. Den berättar att eleverna har fått i läxa att träna på två tabellerna i taget varje vecka ( 2:an och 3:an, 4:an och 5:an osv. ) och sedan på alla tabeller upp till 10 blandat. Efter detta har läraren sagt åt eleverna att de ska träna på tabellerna regelbundet och de ganska ofta har förhör via ett program på den interaktiva skrivtavlan. Upplägget för detta läxförhör är, enligt läraren, att det på den interaktiva skrivtavlan visas digitala kort med en multiplikationsuppgift på varje. Eleverna får sedan skriva ner uppgifternas svar på ett papper. När de är klara får eleverna gå 37

44 fram till skrivtavlan, en och en, säga svaret på ett av korten och sedan vända på det genom att flippa runt det. På baksidan finns då facit och eleverna kan på så sätt rätta sina svar. Läraren berättar att utfallen på dessa läxförhör brukar vara väldigt bra. På grund av tidsbrist har att de enligt läraren inte färdighetstränat på så många andra sätt, även om den uttrycker att det är bra med variation i undervisningen. Denna känsla av tidsbrist uttrycks även hos en av de andra lärarna. Den ena 4 6 läraren uppger att man automatiserar tabellerna genom att träna, träna, träna och berättar att eleverna får tabellerna i läxa för att lära sig utantill. Enligt läraren lägger inte alla elever ner tillräckligt med energi på detta, vilket läraren beklagar. Eleverna uppges även få träna på olika webbsidor anpassade för tabellträning via datorn. Den andra 4 6 läraren ger, liksom de flesta 1 3 lärarna, eleverna flera sätt att träna tabellerna på. Den berättar att eleverna får träna på en tabell per vecka med läxförhör på fredagarna. Antingen får det med sig tabellerna på ett vanligt papper eller på multiplikationskort. När de har tränat på tabellerna 1 5 har de ett blandat läxförhör. Sedan går det på nästa block (tabellerna 6 12), tar en tabell i taget och avslutar återigen med ett blandat förhör. Även datorer och konkret materiel som snottror och memoryspel uppges användas under lektionstid. Av lärarnas beskrivningar kan man se att det förekommer flera olika typer av färdighetsövningar. Eleverna får använda konkret materiel samt datorer och den interaktiva skrivtavlan används som medel för färdighetsträning. Den ena 4 6 läraren, som inte använder konkret materiel i någon stor utsträckning, nämner endast datorn och läxor som vägar för eleverna att automatisera tabellerna. Det här innebär att eleverna har olika förutsättningar att färdighetsträna. Sammanfattningsvis indikerar intervjusvaren i detta tredje huvudavsnitt att samtliga lärare strävar efter att eleverna ska automatisera den grundläggande multiplikationstabellen. Alla lärare förutom den ena 4 6 läraren strävar även för att eleverna ska kunna använda sig av strategier för att beräkna dessa. Undervisningen verkar därför bestå av en integrering av strategier och drillning. I något fall uppges mängdträning ske på ett metodiskt sätt där fokus ligger på de tabeller som eleverna inte redan har automatiserat. En viktig del i arbetet med strategier uppges av fem lärare vara att lyfta fram elevernas egna strategier. 4 6 lärarens svar tyder på att den till skillnad från övriga lärare endast fokuserar på drillövningar vilket den menar är svårt att motivera eleverna till. 38

45 Resultatsammanfattning I det här avsnittet har de viktigaste resultaten från intervjusvaren sammanställts utifrån de två forskningsfrågor och det syfte som studien har grundat sig på. Detta för att ge en överblick över vad som kommer att beröras under resultatdiskussionen. Vilka mål har de intervjuade lärarna med sin multiplikationsundervisning? Samtliga lärare har som mål att eleverna ska utveckla förståelse för multiplikationsbegreppets innebörd samt att de antingen automatiserar hela eller delar av den grundläggande multiplikationstabellen, eller att de lär sig att härleda tabellfakta genom att använda olika strategier. Detta anser lärarna ger eleverna goda förutsättningar för att lyckas med sina fortsatta studier. Enligt lärarna behöver eleverna få förståelse för att multiplikation kan ses både som endimensionell och tvådimensionell, samt för innebörden av den kommutativa lagen för multiplikation. En 1 3 lärare uppger även att den undervisar om den distributiva lagen för multiplikation och en 4 6 lärare menar att innebörden av lagen berörs. Namn och innebörd av begreppen faktor och produkt behöver eleverna lära sig enligt samtliga lärare. Tre lärare uppger att de även tar upp innebörden av begreppen multiplikator och multiplikand och en av dessa lärare uppger att den även nämner namnen på dem. Ingen 1 3 lärare undervisar om procedurhantering för multiplikationsberäkning eftersom det inte anses vara aktuellt för deras elever, enligt dem själva. 4 6 lärarna berättar att de låter eleverna själva få välja metod vid multiplikationsberäkningar, men anser att samtliga elever bör lära sig använda den traditionella uppställningen. Hur beskriver lärarna innehållet i sin multiplikationsundervisning? Planering av undervisning uppges utgå mer eller mindre från ett läromedel. Konkret materiel uppges av de flesta lärarna användas i visualiseringssyfte och två lärare lyfter fram att eleverna även kan använda sina egna kroppar som stöd för förståelsen. 1 3 lärarna beskriver att grundläggande taluppfattning och additiva tankestrukturer krävs för att elever ska kunna få förståelse för multiplikation. Dessa kunskaper säger sig några av lärarna försöka bygga upp hos eleverna inför den formella multiplikationsundervisningen. Även 4 6 lärarna uppger att grundläggande taluppfattning, men att den endimensionella förståelsen av multiplikation nu finns hos eleverna inför årskurs 4. Är kunskaperna bristfälliga arbetar de med att stärka dessa. 39

46 Den endimensionella förklaringsmodellen förklaras av samtliga 1 3 lärare som en upprepad addition. En av dessa lärare beskriver att multiplikation även kan förklaras med att det handlar om olika grupper med ett visst antal i varje. Innebörden av den tvådimensionella förklaringsmodellen uppges av två 1 3 lärare beröras med när eleverna får arbeta med hundrarutan. En annan 1 3 lärare berättar att den belyser innebörden av denna modell genom att eleverna får fylla i rutor och jämföra t.ex. 3 4 och 4 3. Den sista 1 3 läraren och den ena 4 6 läraren visar hur den tvådimensionella förklaringsmodellen berörs i deras läromedel, men kopplar främst samman modellen med undervisning i geometri. Den andra 4 6 läraren ger inga konkreta exempel på hur någon av förklaringsmodellerna kommer med i undervisningen. Vid undervisningen av den kommutativa lagen beskriver två 1 3 lärare att ordningen på faktorerna inte har någon betydelse för uträkningen av produkten, men att ordningen kan ha betydelse i praktiken. Detta sammankopplar en av dessa lärare även till innebörden av begreppen multiplikator och multiplikand, men tar inte upp dessa två termer med eleverna. Innebörden av den distributiva lagen presenterar en 1 3 för eleverna genom att ge ett exempel på hur ett multiplikationstal kan delas upp i två multiplikationer som sedan läggs ihop. Den ena 4 6 läraren beskriver att den uppmanar eleverna till att försöka lösa smart och kopplar under intervjun samman detta med den distributiva lagen. Övriga lärare ger inga konkreta exempel på hur de undervisar om lagarna. Alla lärare förutom den ena 4 6 läraren uppger att de undervisar om olika strategier för hur man beräknar de grundläggande tabellerna, men även att drillövningar förekommer. 4 6 läraren säger sig fokusera på automatisering endast genom drillning. Enligt lärarna presenteras olika förslag på strategier och fyra lärare belyser elevernas egna strategier. Det beskrivs att tillfälle då ges både för lärare och för elever att upptäcka eventuella omvägar eller eventuella misstag som eleven tar eller gör. Lärarna förklarar att de då kan gå in med stöd till elevens egen tankegång och/eller ge förslag på alternativa strategier. Färdighetsträning uppges ske på flera olika sätt. Här beskrivs bland annat olika typer av konkret materiel, spel eller via övningar på datorn samt läxor. Detta varierar från lärare till lärare. En 1 3 lärare uppger att den använder en interaktiv skrivtavla vid läxförhören. 40

47 Diskussion Resultatdiskussion Inledningsvis i denna rapport belystes det faktum att lärares förståelse för vad multiplikation innebär samt hur de väljer att undervisa om detta styr vilka lärandemöjligheter eleverna får (Cai, 2007; Sowder, J., Armstrong, Lamon, Simon, Sowder, L & Thompson, 1998). Detta påverkar därmed även elevernas förståelseutveckling av multiplikationsbegreppet (Hattie, 2003). Det är därför viktigt att undersöka hur lärare beskriver sin undervisning, samt att deras val av innehåll i multiplikationsundervisningen är avgörande för elevers utveckling av begreppsförståelse och procedurkunskap. Här ingår de förklaringsmodeller, räknelagar och begrepp de uppger att de undervisar om samt hur de säger sig undervisa om procedurkunskap och tabellträning. Syftet för rapporten har fokuserats mot att belysa hur lärare beskriver sin undervisning av multiplikation i årskurs 1 3 och årskurs 4 6 när det kommer till introduktion, fortlöpande undervisning och tabellträning; det vill säga: Vilka mål har de intervjuade lärarna med sin multiplikationsundervisning? Hur beskriver lärarna innehållet i sin multiplikationsundervisning? I resultatsammanfattningen har resultatet sammanfattats utifrån dessa forskningsfrågor och i och med detta anser jag att syftet för studien har uppfyllts. Nedan diskuteras dessa sammanställningar i förhållande till bakgrunden. Vad lärarnas multiplikationsundervisning grundar sig på Forskning har visat att lärare i stor utsträckning utgår från läromedel när de planerar sin undervisning (Bergqvist m.fl., 2010), samt att detta är en bidragande orsak till att elevers matematikkunskaper gällande taluppfattning och aritmetik har minskat (Skolverket, 2008; Bergqvist m.fl., 2010). Då läromedlens framställning av multiplikation anses bristfällig krävs det således att lärare kompletterar sin undervisning (Flodström & Johnsson, 2010). Även för lärarna i den här studien verkar läromedlet spela en stor roll, då de uppger att det används som stöd för planering av undervisningen. Men att lärarna säger sig både sålla och lägga till innehåll i sin undervisning, när det anses lämpligt, tyder på att elevernas lärandemöjligheter gynnas. Självklart är det i denna situation av vikt att bortsållat eller kompletterat innehåll är relevant för undervisningen. 41

48 Hur lärarna ser på förkunskaper kopplade till multiplikation Att elever förstår grunder i talsystemets uppbyggnad och har additiva, endimensionella tankestrukturer att bygga vidare på är förkunskaper som1 3 lärarna förväntar sig/anser att eleverna behöver ha med sig inför den formella multiplikationsundervisningen. Även 4 6 lärarna uppger att grundläggande taluppfattning är av vikt för förståelse av multiplikationsbegreppet samt att eleverna helst ska ha fått förståelse om den endimensionella representationen av multiplikation. Det kan dock ses som anmärkningsvärt att ingen av dem lyfter fram förkunskap om innebörden tvådimensionella förklaringsmodeller som en viktig förförståelse inför årskurs 4. Detta verkar tyda på att de inte förväntar sig att eleverna får möta denna förklaringsmodell under årskurs 1 3. Om lärarna väljer att utgå från elevers förkunskaper och bygger vidare på dem får eleverna goda chanser att utveckla en djupare förståelse för multiplikation (jfr. Bakker m.fl., 2013). I denna studie framgår det inte huruvida lärarna uppmärksammar de förkunskaper som elever har med sig från vardagen utanför skolan, men intervjusvaren visar att de anser att vissa kunskaper krävs för förståelsen av multiplikation. I och med att det hos 1 3 lärarna beskrivs att de försöker bygga upp förkunskaper hos eleverna inför introducering av multiplikation och att det bland 4 6 lärarna beskrivs att undervisningen delvis fokuserar på att fylla igen eventuella luckor, kan ses som föredömligt av lärarna. Om eleverna inte får arbeta med att stärka bristfällig kunskapen får de problem med att hänga med i multiplikationsundervisningen. Bruket av förklaringsmodeller Resultatet av studien visar att det främst är den endimensionella förklaringsmodellen som lärarna i den här studien uppger sig använda i undervisningen. Detta tyder på otillräckliga lärandemöjligheter för eleverna eftersom de i multiplikationsundervisningen behöver få möta olika förklaringsmodeller av multiplikation och situationer där räknesättet ingår, samt i olika kontexter för att dess olika betydelser ska synliggöras (Wallace & Gurganus, 2005). McIntosh (2008) lyfter fram den endimensionella och den tvådimensionella förklaringsmodellen som mycket betydelsefulla för förståelse av multiplikation. Förståelse för den tvådimensionella innebörden av multiplikation krävs för att eleverna ska kunna övergå från ett additivt till ett multiplikativt tänkande (jfr. Heiberg Solem m.fl., 2011). Sowder m.fl. (1998) hävdar att detta är en mycket komplicerad tankeövergång och att eleverna förmodligen behöver ett stort stöd av sina lärare. Den multiplikativa betydelsen av den tvådimensionella förklaringsmodellen verkar inte bli belyst på ett tydligt sätt i undervisningen enligt någon av lärarnas 42

49 beskrivningar, även om samtliga lärare uppger att de undervisar om den. Även detta tyder på att lärarna brister i sin framställning av multiplikation. De två 1 3 lärare som ger exempel på skalbaggeuppgiften i matteboken (där en multiplikationsuppgift är illustrerad med skalbaggar i motsvarande antal rader och kolumner) respektive låter eleverna jämföra bilder av en multiplikationsuppgift som 3 4 och 4 3 verkar ge eleverna vissa aspekter av förklaringsmodellen, men uppvisar tveksamhet på om detta verkligen är vad modellen innebär. De lärare som förklarar att modellen kommer med i arbetet med hundrarutan indikerar till och med en bristande förståelse för vad förklaringsmodellen innebär och dess betydelse för elevernas utveckling av multiplikativt tänkande. Det sista verkar även gälla för den 4 6 lärare som främst kopplar samman modellen med geometri. Om så är fallet behöver de utveckla sina kunskaper kring detta för att kunna ge sina elever det stöd de behöver. Undervisningen om räknelagarna och begrepp Att det i denna studie endast är en 1 3 lärare som uppger att den, utöver den kommutativa lagen, samtalar med sina elever om den distributiva lagen verkar tyda på att lärarna inte ger sina elever någon chans att nå den fjärde nivån för multiplikativt tänkande (jfr. Heiberg Solem m.fl., 2011). En anledning till att lärarna i årskurs 1 3 inte uppger att de berör alla lagar kan kanske vara att deras elever inte är redo för detta än, det vill säga att de inte nått den tredje nivån av multiplikativt tänkade ännu. Men eftersom eleverna redan inför årskurs 4, enligt Lgr 11 (Skolverket, 2011), ska ha fått undervisningen om de fyra räknesättens egenskaper och samband verkar det som att lärarna haltar i undervisningen jämfört med läroplanen. Att inte heller lärarna i årskurs 4 6 uppger sig undervisa om samtliga lagar är dock mer allvarligt, eftersom forskning pekar på att räknelagarna är centrala för elevers förståelse av multiplikation (McIntosh m.fl., 1992; Sowder m.fl., 1998). Samtliga tre lagar för multiplikation, dvs. den kommutativa lagen, den associativa lagen och den distributiva lagen, bör alltså ingå i multiplikationsundervisningen (Niss, 2003; McIntosh, 2008). Om lärarnas undervisning gällande räknelagar är bristfällig, hindras därför eleverna i att få fullgod förståelse, men även från att utveckla effektiva räknestrategier (Skolverket, 2012). Att lärarna i årskurs 1 3 inte uppger att de berör alla lagar kan kanske förklaras med att deras elever inte är redo för detta än, det vill säga att de inte nått den tredje nivån av multiplikativt tänkande. Men eftersom Lgr 11 (Skolverket, 2011) beskriver att detta ska ingå i undervisningen redan inför årskurs 4 verkar det som att de haltar i undervisningen jämfört med läroplanen. Att inte heller lärarna i årskurs 4 6 uppger sig undervisar om samtliga lagar, 43

50 är dock mer allvarligt eftersom forskning tyder på dessa är centrala för elevers förståelse av multiplikation (McIntosh m.fl., 1992; Sowder m.fl., 1998). När det kommer till begrepp visar resultatet att lärarna ger upphov till två skilda reflektioner kring värdet av att eleverna lär sig matematiska begrepp i undervisningen, dvs. huruvida det är viktigt för eleverna att lära sig dessa begrepp eller inte (i denna studie handlar det främst om begrepp kopplade till multiplikation, men reflektionerna ges gällande begrepp rent allmänt). Samtliga lärare uppger dock att faktor och produkt ingår i deras undervisning i olika utsträckningar. Även innebörden av begreppen multiplikator och multiplikand beskrivs eller synliggörs för eleverna enligt flera lärare, men för det mesta används då inte namnen för dessa begrepp. I bakgrundskapitlet presenterades att begreppen faktor, produkt, multiplikator, multiplikand och multipel är centrala när det gäller multiplikation samt att det är viktigt att lärare använder begreppen som ska läras ut ofta och i sina rätta sammanhang (Sowder, m. fl., 1998; Wallace & Gurganus, 2005; McIntosh, 2008). Med tanke på hur lärarna i denna studie beskriver innehållet i sin undervisning, samt att två olika synsätt på nyttan av kunskap om matematiska begrepp, tyder på att elevernas begreppsundervisning i stor grad påverkas av vilken syn läraren har på nyttan av begreppskunskap. Användning av konkret materiel och visualisering När lärarna beskriver sin användning av konkret materiel i undervisningen verkar det som att de först och främst utgår ifrån elevernas behov. Det framförs att materielet är ett viktigt visualiseringsstöd för elever i den introducerande undervisningen, men även att elever kan behöva ha stöd med detta materiel längre. McIntosh m.fl. (1992) beskriver att konkret materiel kan ge elever möjligheter att koppla samman sina multiplikativa tankar och därmed utveckla begreppsförståelsen. Lärarna beskriver dock inte på något tydligt hur konkret materiel kan används utifrån innehållet i undervisningen, vilket skulle vara ett bra stöd för att eleverna ska utveckla sitt multiplikativa tänkande. När det gäller visualisering för elever som befinner sig på den första nivån av multiplikativt tänkande visar svaren att lärarna i årskurs 1 3 ger sina elever ett bra stöd. Även om lärarna kanske inte är medvetna om att det så verkar deras användning av flera olika varianter av konkret materiel ligga i fas med de undervisningsråd som Heiberg Solem m.fl. (2011) förespråkar för denna nivå. Även den lärare som uppger att den istället för konkret materiel vill att eleverna ska använda sig själva kan sägas ge eleverna ett liknande stöd. 44

51 De båda 4 6 lärarna beskriver att konkret materiel även kan fungera bra för deras elever. Det verkar dock bara vara en av dem som verkligen använder det i undervisningen. Här kopplas dock användningen mer ihop med färdighetsträning av tabeller. Procedurhantering Resultatet visar att det endast är lärarna i årskurs 4 6 som uppger sig undervisa om multiplikationsalgoritmer. Intervjusvaren visar även att lärarna inte verkar undervisa individualiserat kring detta, eftersom de elever som föredrar att använda skriftlig huvudräkning och mellanled inte får samma förutsättningar i undervisningen för att utveckla sina beräkningsstrategier som de elever som har större fallenhet för att använda uppställningar. Det verkar som att anledningen är att lärare är mer positiva till den traditionella multiplikationsalgoritmen än till skriftlig huvudräkning och mellanled (även bland de andra lärarna, som inte uppger att de undervisar om multiplikationsalgoritmer med sina nuvarande elever). McIntosh m.fl. lyfter dock fram att elever, när de väl har lärt sig att använda algoritmer, väljer att använda dessa vid beräkningar utan att reflektera över om det är den mest effektiva lösningen. Med anledning av detta kan det kanske ändå vara positivt för elever att få med sig flera metoder/algoritmer för att utföra beräkningar. På så vis får eleverna en bredare repertoar när de ställs inför en uppgift. Lärarnas undervisning gällande tabellträning Två olika synsätt gällande undervisning kopplat till tabellträning kommer fram i studien. 1 3 lärarna och den ena 4 6 läraren beskriver att de integrerar strategier och drillning (med olika typer av undervisningsmateriel) för att eleverna ska nå målen, medans den andra 4 6 läraren mest verkar fokusera på automatisering genom drillning (med liten variation av undervisningsmateriel). Att det är fördelaktigt för elever att automatisera de grundläggande tabellerna eller att de utvecklar strategier för att ta fram tabellkunskaper är något som är välkänt inom forskning och inom skolan (McIntosh m.fl., 1992; Wallace & Gurganus, 2005; Woodward, 2006; McIntosh, 2008). Automatisering kan tolkas som det bästa alternativet av dessa två, eftersom eleverna då slipper ägna sig åt rutinuppgifter (Wallace & Gurganus, 2005; Woodward, 2006; Parkhurst m.fl., 2010; Skolverket, 2012). Detta kan ses som en anledning till att 4 6 läraren uppger att den väljer bort strategier till förmån för drillning i undervisningen. Samtidigt vet vi att elever behöver veta hur man kan räkna ut tabellerna innan undervisningen bör gå in på automatisering (McIntosh, 2008) för att de inte ska riskera att uppleva tabellfakta som betydelselös kunskap (Wallace & Gurganus, 2005). Denna kunskap riskerar alltså eleverna att gå miste om vid en undervisning som endast fokuserar på 45

52 automatisering. Detta skulle kanske kunna förklara det faktum att 4 6 läraren upplever att en del elever inte lägger ner tillräckligt med energi på att lära in tabellerna. Trots att denna 4 6 lärares intervjusvar tyder på att den inte ser det som lönsamt för elever att arbeta med strategiinlärning beskriver läraren att den uppmanar eleverna till att ta hjälp av redan inlärd kunskap vid beräkningar. Läraren verkar dock inte vara medveten om att detta kan ses som en form av strategianvändning. Även för de övriga lärarna är automatisering ett mål de strävar efter i undervisningen, men enligt lärarna är det viktigast att eleverna erhåller kunskapen att kunna beräkna uppgifterna med hjälp av strategier. Om detta är fallet i undervisningen ges eleverna lärandemöjligheter för att ta fram tidigare automatiserad tabellfakta som de har glömt bort med hjälp av strategier. Att de har fått förståelse för hur tabellfakta som ska läras in utantill kan härledas bidrar även till att eleverna ser kunskapen som betydelsefull att automatisera (jfr. Wallace & Gurganus, 2005). En viktig del i arbetet med strategier uppges av fyra av lärarna ligga i att elevernas egna strategier lyfts fram och att de då har möjlighet att stötta eleverna i deras tankegångar samt att lyfta upp olika strategier till diskussion. Detta anses även betydelsefullt enligt både forskning och läroplanen (McIntosh, 2008 (jfr. skrivningar om förmågor i Lgr 11 (Skolverket, 2011) och om matematiska resonemang och kommunikation i Niss, (2003)). McIntosh (2008) beskriver att positiva aspekter med att belysa elevers sätt att gå tillväga och tänka är att andra elever får tillgång till fler sätt att tänka. Även det faktum att elever som inte har automatiserat viktiga baskunskaper riskerar att misslyckas lösa mer avancerade uppgifter fullt ut (Woodward, 2006; Parkhurst m.fl. 2010) styrker lärarnas i deras tankar om att belysa elevernas strategier, då de kan analysera var elever gör sina misstag och sätta in lämpligt stöd. Med avseende av detta skulle de andra två lärare i studien, som inte säger sig lyfta fram elevernas egna strategier, kunna ge sina elever bättre lärandemöjligheter genom att lyfta in detta i undervisningen. När det kommer till mängdträning av tabellfakta är det endast en lärare som beskriver att den kan utföras på ett metodiskt sätt, där fokus ligger på de tabeller som eleverna inte redan har automatiserat. Enligt Parkhurst m.fl. (2010) sparar denna typ av fokusering både tid och energi för eleverna. Detta är därför något som övriga lärare skulle kunna ta till sig för att utveckla sin undervisning. Det är även intressant att notera att den förväntade progressionen är så liten, dvs. att eleverna till så stor del fortfarande ägnar sig åt tabellträning i årskurs

53 Avslutande reflektion Att lärares syn på multiplikation och multiplikationsundervisning påverkar hur de faktiskt undervisar finns beskrivet i forskning (Thompson, 1984; Ernest, 1989 & Wilkins, 2008). Denna studie visar även att lärarnas mål med undervisningen och det innehåll som ingår i undervisningen varierar en del mellan de intervjuade lärarna. Även om lärarna i stort berör samma ämnen så tyder deras beskrivning av undervisningen på att elevers lärandemöjligheter ser olika ut beroende på vilken lärare de har. Detta innebär att det är avgörande för elever att deras lärare har rätt kunskap för att kunna ge eleverna de stöd de behöver gällande multiplikationsundervisning. Denna diskussion visar att lärarna i denna studie verkar brista i sin undervisning på en del punkter och att deras elever med anledning av detta skulle gynnas av att lärarna får möjlighet att utveckla sina kunskaper gällande multiplikationsundervisning. 47

54 Metoddiskussion Hur den valda metoden fungerade Den valda metoden för undersökningen, med kvalitativa intervjuer, fungerade bra i förhållande till syftet eftersom det var lärarnas uppfattningar om multiplikation och multiplikationsundervisning som efterfrågades. Om syftet istället hade varit att undersöka hur den faktiska undervisningen ser ut i klassrummet hade en observationsstudie varit nödvändig. En alternativ metod hade att varit att använda enkäter med liknande frågor som i intervjuguiden. Det hade inneburit att den stora tidsåtgång som utförande, genomlyssning, transkribering och analys av intervjusvaren hade kunnat minskas. Det hade även gjort det möjligt att ta med fler deltagare i undersökningen, vilket hade gjort att jag kunnat dra mer generella slutsatser. När det kommer till enkäter finns det dock en stor risk att antalet deltagare blir lågt, vilket hade minskat möjligheterna till generalisering. Det är enligt Patel och Davidson (2003) relativt svårt att motivera ett deltagande i enkäter. En enkät hade även inneburit att jag inte hade kunnat ställa följdfrågor eller kunnat förtydliga frågorna vilket är möjligt när man träffas personligen. Urval och intervjudeltagares betydelse för resultatet I metoddelen beskrivs att det var få lärare som svarade på inbjudan om att delta i denna undersökning. En del av de inbjudna lärare som tackade nej till att delta hänvisade till tidsbrist, eftersom de hade fullt upp med utvecklingssamtal och arbetet med de nationella proven. Detta samt att det under perioden som inbjudningarna skickades ut inföll påsklov och att andra helgdagar är förmodligen några orsaker till att det var få lärare som hörde av sig. Även insamlandet av e-postadresser till lärarna på de framlottade skolorna försvårades med anledning av detta. Flera av skolorna saknade dessutom fullständiga register med e- postadresser till de lärare som var verksamma i årskurs 1 6. Detta påverkade urvalsprocessen, som där urvalet gick från ett slumpmässigt till ett bekvämlighetsurval. Detta har medfört att studiens resultat endast är en bild av hur de studiens sex respondenters multiplikationsundervisning skulle kunna se ut. Det går inte att generalisera studiens resultat till resten av lärarna varken i hela den aktuella kommunen eller för resten av landet. Då krävs det enligt Patel och Davidson (2003) att intervjupersonerna är slumpmässigt utvalda stickprov ur en avgränsad population. Det hade även varit önskvärt att intervjua fler lärare från årskurs 4 6, där det i undersökningen endast deltar två lärare, för att på så vis öka möjligheten att hitta skillnader mellan lärare i årskurs 1 3 och

55 Utförande av intervjuerna När det kommer till utförandet av intervjuerna så finns det flera faktorer som kan ha påverka intervjusvaren. Enligt Trost (2003) kan respondenternas svar påverkas av platsen för intervjuerna, vilket intervjumaterial som används och erfarenheten hos mig som intervjuperson. Jag anser inte att platsen för intervjun har påverkat lärarna i någon större utsträckning. De fick själva välja tid och plats, samt svarade för det mesta utförligt på intervjufrågorna och jag upplevde inget motstånd från lärarna till att svara. Däremot upplevde jag att jag som intervjuare fick större erfarenhet för varje intervju som utfördes. Det medförde att jag blev tryggare både med innehållet i intervjuguiden och i mitt sätt att lyssna på lärarna. Samtidigt hade jag vid de sista intervjuerna byggt upp fler förväntningar på vad lärarna skulle svara, vilket (både när dessa uppfylldes och inte) kan ha påverkat min reaktion på svaren. För att inte påverka lärarnas svar försökte jag därför ge dem tillräckligt med betänketid för att besvara frågorna (Trost, 2010). Ibland ställde jag dock följdfrågor till dem som byggde på erfarenheter från de tidigare intervjuerna; dels för att få ett utförligare svar och dels för att få fram alternativa åsikter om aspekter på multiplikationsundervisning som de övriga intervjupersonerna tagit upp tidigare. Hur intervjuguiden och extramaterialet fungerade Intervjuguiden fungerade som ett bra stöd under intervjuerna. Det var tryggt för mig som intervjuare att ha med den, eftersom den bland annat försäkrade att samtliga frågor skulle ställas och gav ramar åt intervjun (både tidsmässigt och innehållsmässigt). Ibland valde jag dock att inte läsa upp alla de instruktioner som finns i guiden och frågeformuleringarna fick även relativt ofta omformuleras (ibland även förenklas) under intervjuerna för att skapa ett smidigt samspel mellan intervjuare och lärare för att intervjun skulle flyta på (Trost, 2010). Detta kan ha påverkat de intervjuades förståelse av frågans innebörd och de svar som gavs. Dock eftersträvade jag att hålla mig så nära originalfrågorna som möjligt för att ge lärarna liknande förutsättningar att svara på frågorna. Även det tillhörande extramaterialet, med exempel och förtydliganden av några frågor i intervjuguiden fungerade som ett bra stöd. Syftet var att det skulle kunna begränsa lärarnas svar till de exempel som gavs. Flera exempel på olika multiplikativa förklaringsmodeller/situationer, begrepp och strategier kunde ha tagits med, men jag anser ändå att lärarna fick chansen att uppge och beskriva alternativ till dessa exempel i följdfrågorna. Om lärarna själva upplevde att extramaterialet fungerade som ett bra stöd är svårare att svara på. De läste igenom och tittade på dem, men skrev och ritade inte när de 49

56 svarade på intervjusvaren. Flera gånger under intervjuerna gick lärarna runt i klassrummet och visade materiel eller bläddrade i böcker under tiden de svarade. Detta skulle kunna tolkas som att lärarna var osäkra på vad de skulle svara eller är att de behövde ytterligare stöd för att kunna förtydliga sina svar. Analysproceduren Analysarbetet av intervjusvaren var mycket tidskrävande på grund av den mängd information som lärarna gav, samt att lärarna i relativt stor utsträckning berättade om annat än det som undersökningen fokuserade på. Mycket i svaren behövde därför skalas bort vilket givetvis gjordes med beaktning av rapportens syfte och frågeställningar. För att undvika detta skulle jag som intervjuare ha kunnat ta kontrollen under intervjuerna genom att styra in lärarna mer mot ämnet, men enligt Trost (2003) är det viktigt att vara följsam och att inte störa den intervjuades tankegång, och endast avbryta när om man hamnat helt bort från studiens ämne. Denna balansgång tror jag blir lättare att hantera ju mer erfaren intervjuare man blir. Tillförlitlighet Enligt Patel och Davidson (2003) är det vid kvalitativa studier viktigt att redovisa alla steg och val i forskningsprocessen, för att studien ska få en så god tillförlitlighet som möjligt. I denna rapport har jag därför varit noga med att beskriva vad jag har gjort och på vilket sätt, i allt från hur jag valt ut deltagare till studien, utformat och genomfört intervjuerna till hur jag analyserat intervjusvaren. Jag har även bifogat intervjuguide och extramaterial för att en liknande studie ska gå att genomföra. Etiska överväganden i resultatet I och med att lärarnas intervjusvar inte redovisats tydligt var för sig i resultatet går det inte att dra några direkta slutsatser eller se samband mellan svaren på frågorna för varje lärare var för sig. Detta skulle ha gett en tydligare helhetsbild av varje lärare. Anledning till den aktuella redovisningen var dock nödvändig för att behålla lärarna anonymiserade. Vidare forskning Under genomförandet av denna studie samt i rapporteringen av den väcktes följande frågor: Hur ser lärarnas undervisning ut i praktiken? Uppnår lärarna de mål som de uppger att de har med sin multiplikationsundervisning genom sin faktiska undervisning? Ger lärarnas faktiska undervisning eleverna bättre lärandemöjligheter än vad intervjusvaren ger sken av? Dessa frågor skulle eventuellt kunna besvaras, i alla fall delvis, genom att utföra en observationsstudie av den faktiska undervisningen. Ett första ordningens perspektiv skulle då 50

57 kunna ge en mer rättvisande bild av de lärandemöjligheter eleverna får. Att sedan jämföra detta med lärarnas egna uppfattningar, vilka framkommer i denna studie, kan hjälpa till att belysa var lärares kunskaper behöver fördjupas. På så vis kan undervisningen förbättras. En större variant av denna intervjustudie skulle även kunna ge en översikt av hur de intervjuade lärarnas tankar om multiplikation och multiplikationsundervisning förhåller sig till lärare i resten av landet. Reflektioner efter arbetet med denna rapport I och arbetet med detta examensarbete har jag som framtida pedagog lärt mig mycket om vad multiplikationsundervisningen behöver innehålla och hur den kan genomföras för att elevernas kunskapsutveckling ska få stöd, vilket är vad mitt kommande uppdrag som lärare innebär. Jag har fått en djupare kunskap om de förberedelser som krävs inför, hur själva genomförandet av, samt hur analysarbete av resultaten från kvalitativa intervjuer går till. Förutom detta har jag även fått insikt om att det är viktigt att forskning gällande undervisning uppmärksammas och kommer den verkliga undervisningen tillgodo. Om lärare får diskutera forskningsresultat i förhållande till sin egen undervisning anser jag att de får möjlighet att inte bara stärka sin egen utan även sina kollegors undervisning. Dessa lärdomar kommer jag att ta med mig i framtida matematikundervisning samt i mitt arbete för att hela tiden utvecklas som pedagog. 51

58 Referenser Andersson, K. G. (2014). Produkt. I Nationalencyklopedin. Hämtat från Bakker, M., van den Heuvel-Panhuizen, M., & Robitzsch, A. (2014). First-graders knowledge of multiplicative reasoning before formal instruction in this domain. Contemporary Educational Psychology, 39 (1), Bergqvist, E., Bergqvist, T., Boesen, J., Helenius, O., Lithner, J., Palm, T. & Palmgren, B. (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet: Grundskolan våren Göteborg: Nationellt Centrum för matematikutbildningen, NCM, Göteborgs universitet. Cai, J. (2007). What is effective mathematic teaching? A Study of teachers from Australia, mainland China, Hong Kong SAR, and the United States. Mathematics Education, 39, Ernest, P. (1989). The knowledge, beliefs and attitudes of the mathematics teacher: A model. Journal of Education for Teaching, 15(1), Hattie, (2003). Teachers make a difference: What is the research evidence? Distinguishing Expert Teachers from Novice and Experienced Teachers. University of Auckland Australian Council for Educational Research. Heiberg, Solhem I., Alseth, B & Nordberg, G. (2011). Tal och tanke - matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3. Lund: Studentlitteratur AB. Hultqvist, L. (2014). Faktor. I Nationalencyklopedin. Hämtat från Flodström, M. & Johnsson, L. (2010). Multiplikation och taluppfattning: En läromedelsanalys av hur framställning och strukturering av multiplikation kan påverka elevers taluppfattning. Mälardalens högskola: Examensarbete. Jonsson, B., Norqvist, M., Liljekvist, Y., & Lithner, J. (2014). Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 36,

59 Löwing, M. & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning - En Inkörsport till matematiken. Lund: Studentlitteratur AB McIntosh, A., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of Mathematics, 12(3), 2-8. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal- En handbok. Göteborg: Nationellt Centrum för matematikutbildningen, NCM, Göteborgs universitet. Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project, in Gagatsis, A. & Papastavridis, S. (eds.): 3 rd Mediterranean Conference on Mathematical Education 3-5 January Athens: Hellenic Mathematical Society, Parkhurst, J., Skinner, C. H., Yaw, J., Poncy, B., Adcock, W. & Luna, E. (2010). Efficient class-wide remedation: Using technology to identify idiosyncratic math facts for additional automaticity drills. International Journal of Behavioral Consultation and Therapy, 6(2), Patel, R. & Davidsson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder Att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur AB. Skolverket (2008) TIMSS Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2011, a) Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, Lgr 11. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2011, b) Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Skolverket. Sowder, J., Armstrong, B., Lamon, S., Simon, M. & Thompson, A. (1998). Educating teachers to teach multiplicative structures in the middle grades. Journal of Mathematics Teacher Education, 1(2), Thompson, A. G. (1984). The relationship of teachers conceptions of mathematics and mathematics teaching to instructional practice. Educational Studies in Mathematics, 15 (2), Trost, J. (2005). Kvalitativa intervjuer. Lund: Studentlitteratur. 53

60 Wallace, A. H. & Gurganus, S. P. (2005). Teaching for mastery of multiplication. Teaching Children Mathematics, 12(1), Wilkins, J. L. M. (2008). The relationship among elementary teachers content knowledge, attitudes, beliefs, and practices. Journal of Mathematics Teacher Education, 11(2) Woodward, J. (2006). Developing automaticity in multiplication facts: Integrating strategy instruction with timed practice drills. Learning Disability Quarterly, 29(4),

61 Bilagor Bilaga 1 Årjäng 16 april 2014 Inbjudan till intervju Mitt namn är Andréa Magnusson och jag läser till lärare mot grundskolans tidigare år (1-6), med inriktningen Svenska och matematik i samspel, vid Karlstad universitet. Jag bor i Årjäng tillsammans med min sambo och våra två barn och arbetar just nu med det allra sista i utbildningen, nämligen examensarbetet. Det är med anledning av detta som jag skriver till dig, då jag undrar om du skulle kunna tänka dig att ingå i min undersökning genom att ställa upp på en intervju? I mitt arbete vill jag genom intervjuer lyfta fram vad lärare, som undervisar i matematik på låg- och mellanstadiet, har för syn på multiplikation och multiplikationsundervisning. Jag beräknar att intervjun kommer ta högst en timme och naturligtvis har jag möjlighet att komma till dig på din skola. Om det inte är möjligt att träffas kanske vi kan genomföra intervjun via telefon. Du behöver inte förbereda dig inför intervjun på något speciellt sätt. Min önskan är att intervjun skulle gå att genomföra under vecka 18, eller senast i början på vecka 19, för att jag ska ha möjlighet att hålla tidsramarna inför min deadline för examensarbetet. Jag anpassar mig efter de tider som skulle kunna passa dig. Till detta brev har jag bifogat en information gällande de etiska överväganden som gäller för dig som blir intervjuad. Om du har några frågor angående min studie är du välkommen att kontakta mig eller min handledare via e-post eller telefon, se kontaktuppgifter nedan. Som jag beskrev innan har jag en avgränsad tid till förfogande, så jag är väldigt tacksam för svar via e-post eller telefon senast fredagen den 18 april, oavsett om du kan tänka dig att delta eller inte. Hoppas att jag får möjlighet att träffa dig och tills dess önskar jag dig en trevlig påsk! Andréa Magnusson. 55