Ämnesöversikter ämnesrådet för naturvetenskap och teknikvetenskap

Transkript

1 Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för naturvetenskap och teknikvetenskap

2 Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP

3 Förord Vetenskapsrådet har som en del av sitt strategiska arbete behov av ämnesöversikter för svensk forskning, vilka dels täcker det nuvarande tillståndet, dels är prognoser för utvecklingen under de närmaste fem till tio åren. Vetenskapsrådets ämnesråd, råd och kommittéer har under år 2010 fått i uppdrag att ta fram ämnesöversikter inom respektive område. Arbetet med ämnesöversikter blir dessutom ett återkommande inslag i Vetenskapsrådets strategiska arbete för att stödja svensk forskning av högsta vetenskapliga kvalitet. Ämnesöversikterna utgör underlag för en process där vi syftar till att ta fram ett gemensamt dokument med förslag till prioriteringar inom svensk forskningsfinansiering. Detta gemensamma dokument beslutas av Vetenskapsrådets styrelse i oktober Uppdraget med att ta fram ämnesöversikter har lösts på olika sätt inom olika områden. En ledstjärna för arbetet har dock varit bred förankring i forskarsamhället. I uppdraget har legat att beskriva bland annat vilken forskning som är vanlig respektive ovanlig i Sverige och vilken forskning som är stabil och väletablerad respektive sporadisk. Beskrivningar finns även av vilka forskningsfält som är på väg att försvinna eller vilka som är under tillväxt och vilka skälen till detta är, vilken forskning som väntas expandera eller har rönt förnyat intresse. Forskningen inom ett visst område kan dras med problem eller svårigheter som i förlängningen innebär hot mot områdets utveckling, antingen kvalitativt eller kvantitativt. På motsvarande sätt kan forskningsfält innehålla möjligheter som, rätt utnyttjade, leder till att fältet stärks. Denna volym innehåller den ämnesöversikt som tagits fram av ämnesrådet för naturvetenskap och teknikvetenskap. Vid läsningen bör man alltså hålla i minnet att texten utgör underlag för en övergripande prioritering som arbetas fram och beslutas av Vetenskapsrådets styrelse. Alla goda förslag har därför inte kunnat tas med i den sammanvägda prioriteringen, men har naturligtvis mycket noga övervägts. Jag vill här rikta ett stort tack till alla representanter för forskarsamhället som bidragit till arbetet. Mille Millnert Generaldirektör Vetenskapsrådet

4 Innehåll MATEMATISKA VETENSKAPER...6 Övergripande områdesbeskrivning...6 Matematisk analys Algebra, geometri och diskret matematik Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering...11 Sannolikhetsteori och statistik...14 fysik...17 Övergripande områdesbeskrivning...17 Astropartikelfysik och subatomär fysik Atomfysik och molekylfysik...21 Kondenserade materiens fysik...24 Fusions-, rymd- och plasmafysik Astronomi och astrofysik Teoretisk och matematisk fysik kemi...39 Övergripande områdesbeskrivning...39 Organisk kemi...39 Biokemi...43 Oorganisk kemi Fysikalisk och analytisk kemi...49 Teoretisk kemi geovetenskaper...56 Övergripande områdesbeskrivning...56 Atmosfärsvetenskap Exogen geokemi...60 Geologi och geofysik...63 Oceanografi, hydrologi och glaciologi...68 biovetenskaper...72 Övergripande områdesbeskrivning...72 Cell- och molekylärbiologi Organismbiologi Ekologi Genetik och systematik samt bioinformatik...81 DATA- OCH INFORMATIONSVETENSKAP...85 Övergripande områdesbeskrivning...85 Algoritmer och komplexitet...86 Bildanalys, datorgrafik och människa datorinteraktion...88 Datorarkitekturer Programvaruteknik SYSTEMTEKNIK...98 Övergripande områdesbeskrivning...98 Reglerteknik Signalbehandling Robotik och automation Kommunikationssystem

5 ELEKTROTEKNIK Övergripande områdesbeskrivning Elektronik, sensorik och radioteknik Elteknik Halvledarteknik, fotonik och kvantinformation TEKNISK MEKANIK Övergripande områdesbeskrivning Fluiders mekanik och teknisk akustik Fastkroppsmekanik Biomekanik KEMITEKNIK Övergripande områdesbeskrivning Cellulosa-, pappers- och fiberteknik Kemisk processteknik och livsmedelsteknik MATERIALVETENSKAP Övergripande områdesbeskrivning Polymera material och kompositer samt biomaterial Halvledarmaterial, keramer och glaser Metalliska material TEKNISK FYSIK Övergripande områdesbeskrivning Teknisk fysik BIOTEKNIK Övergripande områdesbeskrivning Bioteknik MEDICINSK TEKNIK Övergripande områdesbeskrivning Medicinsk teknik Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 5

6 MATEMATISKA VETENSKAPER Övergripande områdesbeskrivning Sverige har stolta matematiska traditioner, och har under 1900-talet varit världsledande framför allt inom centrala delar av analysen, främst harmonisk och komplex analys samt partiella differentialekvationer (PDE:er). Gradvis har den svenska matematikforskningen breddats, och vi har idag ledande verksamhet också inom bland annat beräkningsmatematik, dynamiska system, algebraisk geometri, sannolikhetsteori och kombinatorik. Vi har kommit så långt att verksamheten täcker in flertalet av matematikens viktigare områden. Likväl finns alltjämt luckor inom områden som algebraisk talteori och stokastiska PDE:er. Genom dess generalitet och stringens har matematiken kommit att spela en avgörande roll i vetenskapens utveckling. Dagens ökande informationshantering gör dess roll än viktigare. Matematikens mest uppenbara samhällsnytta finns inom utpräglat tillämpade områden som beräkningsmatematik, optimering och statistik. Genom datorutvecklingen och den lavinartade ökningen av tillgängliga datamängder ändras den tillämpade matematikens villkor i rask takt. För inte så förskräckligt många årtionden sedan dominerades beräkningsmatematiken av tillämpningar inom kontinuummekaniken, där en rent matematisk förståelse av problemställningarna räckte långt. Den nya utvecklingen har skapat en efterfrågan på matematisk modellering inom ett långt bredare spektrum av ämnesområden inom framförallt naturvetenskap och teknik områden som ställer helt andra krav på tvärvetenskaplig kompetens. På samma vis ökar behovet av statistisk metodutveckling för hantering av stora, komplicerade och högdimensionella datamängder. Framtida framgångar inom vetenskap, teknisk utveckling och samhället i stort kommer i stor utsträckning att bero på hur vi lyckas med detta. Dagens matematik präglas i hög grad av en allt intimare sammanflätning av olika områden, och många av genombrotten sker där områdena möts; ett aktuellt exempel är det senaste årtiondets dramatiska utveckling där mötet mellan komplexanalys och sannolikhetsteori givit nya insikter om fasövergångar i två dimensioner. Detta gör att de klassiska uppdelningarna i exempelvis analys, algebra och geometri, eller i ren och tillämpad matematik, blir alltmer diffusa. Ett svenskt paradexempel är hur upptäckten av wavelets, vilka idag är viktiga inom bildkompression, möjliggjordes av framsteg inom grundläggande harmonisk analys. Av dessa skäl är det angeläget med matematiska miljöer där många områden inom både ren och tillämpad matematik är representerade. Några sådana miljöer finns i Sverige, men saknas i stort sett på de mindre högskolorna. Behovet av mångfacetterade miljöer betyder dock inte att tendensen i svensk forskningsfinansiering mot ökad satsning på stora projekt med många inblandade personer passar matematiken tvärtom. Överhuvudtaget är det finansieringen som är det allvarligaste problemet inom svensk matematisk forskning: flertalet lektorer och professorer har alltför begränsade möjligheter att bedriva forskning inom ramen för sina anställningar. Detta i sin tur har lett till en forskarflykt, där många av våra mest framstående svenska matematiker valt att förlägga karriären utomlands. Om inte finansieringssituationen förbättras finns en risk att den matematiska forskningen reduceras till konsulteri, och att den samlade kompetens som mödosamt byggts upp går om intet med förödande konsekvenser också för den framtida kompetensförsörjningen. Jämte forskarflykten har vi givetvis också haft ett inflöde av matematiker, främst från Östeuropa och Ryssland. Det är påtagligt hur många av våra viktigaste utlandsrekryteringar som föregåtts av att personen i fråga först deltagit i något program vid Institut Mittag-Leffler. Detta är blott ett av skälen till varför det är av vital betydelse för svensk forskning att institutet, som är en unik resurs men som saknar tillfredsställande finansiering, får möjlighet att leva vidare. Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 6

7 Matematisk analys Sammanfattande bedömning Svensk matematisk analys har en stolt tradition och Sverige var tillsammans med Chicago/Princeton världsledande i klassisk analys under en stor del av 1900-talet. Analys i Sverige är alltjämt av mycket hög internationell klass. Forskningen är fortfarande till stor del inspirerad av de klassiska områdena: komplex och harmonisk analys och partiella differentialekvationer, men nya områden ofta med anknytning till de ovan nämnda har etablerats, som teorin för analytiska funktioner av flera komplexa variabler, dynamiska system, gränsområdena mellan sannolikhetsteori och analys, konform invarians av stokastiska processer, spektralteori för slumpmatriser och spektralteori i matematisk fysik. Ämnesbeskrivning Matematisk analys utgör ett mycket stort område i matematiken och har traditionellt en stark anknytning till problem i naturvetenskap och teknik. Många metoder har utvecklats för lösa sådana problem, och analys spelar till exempel en viktig roll i elektroteknik, signalbehandling, hållfasthetslära, reglerteknik, fysik, kemi och biologi. Analys är traditionellt det starkaste området i svensk matematik och har varit och är av internationellt högsta klass, men numera har svensk matematik breddats. Det finns framför allt två traditioner i svensk analys. Den ena är Uppsala/Stockholmsskolan vars område är harmonisk och komplex analys. Upphovsmännen är här Arne Beurling och Lennart Carleson. Den andra traditionen är partiella differentialekvationer där Marcel Riesz, Lars Gårding och Lars Hörmander initialt var de drivande krafterna. En annan gigant i svensk analys är Torsten Carleman, som arbetade i samtliga de ovan nämnda områdena, och vars arbeten än i dag är högst aktuella men som inte på samma sätt gav upphov till en skolbildning via sina elever. Från dessa traditionella områden har nya utkristalliserats. Ett i Sverige starkt och väl företrätt område är komplex analys i flera variabler, som metodmässigt lånat mycket från teorin för partiella differentialekvationer, men också har anknytning till geometri. Ett av de nyare områdena i Sverige är dynamiska system, som naturligt ligger mycket nära teorin för ordinära differentialekvationer, men som här har anknytning till harmonisk och komplex analys. Den senaste viktiga trenden i Sverige och även internationellt är växelverkan mellan matematisk analys och sannolikhetsteori. Områden under stark utveckling är spektralteorin för slumpmatriser och stokastiska diskreta strukturer med anknytning till konform avbildning. Styrkor, svagheter och ämnesmässiga trender Styrkan i svensk analys bottnar i mycket i den långa och starka traditionen. Många av de senaste genombrotten har delvis sitt ursprung i arbeten ganska långt tillbaka i tiden. I harmonisk och komplex analys är Beurling en portalfigur. De extremallängdsmetoder i geometrisk funktionsteori som Beurling utvecklade först i sin avhandling och sedan i samarbete med Lars Ahlfors har varit helt avgörande. Andra områden är spektralsyntes i harmonisk analys, operatorteori, hela funktioner och entydighetsfrågor i harmonisk analys, och Dirichletrum. Hans studenter skrev uppmärksammade avhandlingar, till exempel om Fouriermetoder för centrala gränsvärdessatser och inversa problem för ordinära differentialekvationer. Lennart Carleson är elev till Beurling, och influerad av denne men i högsta grad också med en egen profil. Carlesons arbeten kom tillsammans med Chicagoskolan (Calderon, Zygmund, Stein och Fefferman och deras elever) att utgöra grunden för modern harmonisk analys, däribland teorin om wavelets, som har sitt ursprung i Sverige och som nu är central i beräkningsmatematik. Några av de mest berömda av Carlesons resultat är Koronasatsen och lösningen av Lusins problem för konvergens av Fourierserier. Lars Hörmander är den enskilde forskare som har haft störst inflytande på teorin för linjära partiella differentialekvationer. Många av de centrala begreppen och idéerna härstammar från honom, Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 7

8 däribland pseudodiffentialoperatorer, Fourierintegraloperatorer samt begreppet hypoellipticitet och dess roll i lösningen till Cauchyproblemet. När Hörmander fick American Mathematical Society Steele Prize för hans fyra volymers verk om partiella differentialoperatorer och boken Several Complex variables var prismotiveringen I matematikens historia är det svårt att finna något jämförbart översiktligt verk som spänner över så mycket material och med ett sådant djup och en sådan insikt, över ett så brett område av matematiken. Hörmander har haft ett utomordentligt stort inflytande genom sina studenter. Viktiga resultat har uppnåtts bland annat i mikrolokal analys och teorin för Fourierintegraloperatorer. Lösningen av en förmodan av Nirenberg och Trèves om lösbarhet för partiella differentialekvationer av en lundaforskare år 2005 var ett stort genombrott. Ett viktigt och stort område i svensk analys är sedan ganska länge teorin för komplex analys i flera variabler där särskilt gruppen i Göteborg varit mycket framgångsrik. En nyare influens är spektralteori för partiella differentialoperatorer där forskare utbildade i St. Petersburg spelat en viktig roll. Ett område som initierades i Sverige på 1970-talet om variationskalkyl på rummet av begränsade funktioner har under de senaste åren visat sig ha många tillämpningar. Ännu ett område, med viktiga tillämpningar inom bland annat finansmatematik, är teorin för fria randvärdesproblem för partiella differentialekvationer. Ett relativt nytt område i svensk matematik är dynamiska system. En viktig framgång var beviset att Hénonattraktorn är kaotisk. Detta bevis ledde till nya metoder i icke-likformigt hyperboliska dynamiska system som delvis är inspirerad av harmonisk analys. En annan framgång är det datorbaserade beviset av att Lorenzattraktorn är kaotisk. Arbeten om små nämnare i dynamiska system, de så kallade Lindstedtsserierna som beskriver celest mekanik, spektralteori för Schrödingeroperatorer och diagonalisering av tillhörande matriser har rönt stor uppmärksamhet. Växelverkan mellan analys och sannolikhetsteori har under den senaste tiden varit mycket framgångsrik både i Sverige och internationellt och denna trend kan förväntas fortsätta. Några nya områden i svensk matematik är talteori med anknytning till kvantkaos samt differentialgeometri med anknytning till allmän relativitetsteori, samt topologiska metoder för variationsproblem och ickelinjära partiella differentialekvationer. En mera tillämpad riktning är användningen av metoder från harmonisk analys för att organisera datamängder (diffusionsgeometri). En annan är teorin för inversa problem till exempel i datortomografi. En intressant riktning är här lösningen av Calderons inversa konduktivitetsproblem i planet (2006) av finska forskare. En svensk forskare i internationellt samarbete gav 2007 ett viktigt bidrag till teorin i högre dimension. Det kanske mest uppmärksammade resultatet som gjorts i Sverige under de senaste tio åren är beviset av konform invarians av kritisk perkolation, år 2001, vid KTH. Detta resultat var ett av huvudmotiven till en av 2010 års Fieldsmedaljer. Den svenska traditionen i geometrisk komplex analys som via Carleson går tillbaka på Beurling och Ahlfors spelade en viktig roll i denna forskning. Ett sätt att se omvärldens uppskattning av svensk analys är att Lars Hörmander tilldelades Fieldsmedaljen 1962 och Lennart Carleson Abelpriset Båda har fått det israeliska Wolffpriset. Två svenskar, och en forskare verksam i Sverige, har fått Salempriset, den främsta utmärkelsen i klassisk analys. Clay Research Award har tilldelats en svensk analytiker och en utlandsfödd forskare verksam i Sverige. De områden som är aktuella i svensk analys avspeglas i hög grad av de aktuella ämnena för Mittag- Leffler-institutets program, "Complex analysis of Several Variables", "Dynamical Systems and PDE", "Complex analysis and integrable systems", "Hamiltonians in Magnetic Fields" och "Inverse problems and applications". Hot och möjligheter Det allvarligaste problemet är den begränsade möjligheten att bedriva forskning i tjänsten för lektorer och professorer. Ett annat är forskarflykten många framstående svenskar väljer en karriär utomlands. En förstärkning av basresurserna för universiteten skulle kunna förbättra situationen avsevärt. Ett aktuellt område som har stark anknytning till de svenska traditionerna är ickelinjära partiella differentialekvationer, där man kan hoppas på en växelverkan mellan harmonisk analys, global analys, Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 8

9 teorin för partiella differentialekvationer och dynamiska system. Det ultima problemet i detta område är förståelsen av Navier Stokes ekvationer och turbulens. Ett exempel på forskarflykten är att en mycket framstående utlandsfödd forskare i ickelinjära partiella differentialekvationer, tidigare verksam i Lund, nu lämnat Sverige. Den höga internationella nivå som svensk analys haft och den breddning mot nya områden som skett under senare tid skapar goda förutsättningar för en fortsatt stark verksamhet. Väsentliga utvecklingslinjer framöver kommer att vara gränsområden mellan olika delar av analys och även andra områden i matematiken, till exempel icke-linjära partiella differentialekvationer/geometri/matematisk fysik, analys/sannolikhetsteori/kombinatorik och spektralteori/talteori/dynamiska system. Svensk matematik har, med rätt stöd, goda förutsättningar att lämna väsentliga bidrag till utvecklingen i dessa och andra gränsområden. Forskningsinfrastruktur Den viktigaste aspekten på infrastruktur för svensk matematik och nordisk matematik är Institut Mittag-Leffler. Institutet arbetar genom terminsvisa program i olika områden med inslag av världsledande forskare. Programmen har oftast varit i ren matematik, ofta analys, men också i mer tillämpade områden som numerisk analys, systemteori och reglerteknik, kommunikationsnätverk och innevarande termin i kvantinformatik. Många viktiga upptäckter har skett vid institutet. Låt oss bara nämna två. Lennart Carleson löste utvidgningsproblemet för kvasikonforma avbildningar i högre dimension i samarbete med finska matematiker under ett program vid institutet. Malliavinkalkylen som är mycket viktig i modern finansmatematik och teorin för finansiella derivat utvecklades där. En annan viktig aspekt är att nästan all utländsk rekrytering i matematik till svenska universitet har skett genom att personen i fråga först deltagit i ett program vid Institut Mittag-Leffler. Institutet har en potential att ytterligare öka sin insats för svensk matematik om det får bättre finansiering för att också inkludera sommar-/vinterskolor, konferenser och doktorandkurser, som skulle stärka nordiska matematikers kompetens. Algebra, geometri och diskret matematik Sammanfattande bedömning Algebra, geometri och diskret matematik är tre stora och i huvudsak distinkta delar av matematiken. Det finns vissa delvis överlappande delområden, liksom djupa samband med andra delar av matematiken. Framför allt för algebra och diskret matematik finns också stora kontaktytor mot tillämpningar utanför matematiken. För 50 år sedan var dessa områden i Sverige sparsamt representerade av enstaka individer, och den matematiska analysens dominans var nästan total. Idag är situationen en helt annan. Vad gäller i första hand den diskreta matematiken har tillväxten till stor del att göra med områdets betydelse för datavetenskap i synnerhet för algoritmer och komplexitet. Algebra, geometri och diskret matematik är centrala områden i modern matematik. De är väl representerade i Stockholm, och ganska väl i Göteborg och Uppsala. Vid resten av landets matematikinstitutioner är områdenas förekomst mer sporadisk. En fortsatt tillväxt och spridning av dessa områden behövs om Sverige ska kunna följa med i matematikens internationella utveckling. Ämnesbeskrivning Denna beskrivning omfattar områdena algebra, geometri, diskret matematik och logik. En del skillnader i fördelningen av svensk matematisk forskning på olika områden jämfört med den internationella fördelningen kan förekomma, men det är inte klart i vilken utsträckning detta är ett problem som behöver lösas. För i synnerhet algebra och geometri har områdenas historiska utveckling stor betydelse för förståelsen av hur de fungerar idag. De genomgick alla en avgörande förändring, användandet av den axiomatiska Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 9

10 metoden, på och 1900-talen. Denna förändring började inom geometrin där diskussionen om parallellaxiomet spelade en avgörande roll. I sin moderna form består den axiomatiska metoden i att man ställer upp ett antal axiom eller villkor och att man sedan endast använder dessa axiom för sina vidare resonemang. Detta betyder att för varje situation för vilken axiomen är sanna så är alla slutsatser också sanna. Detta ger en speciell flexibilitet åt matematiska resultat eftersom de kan användas i olika situationer som till synes inte är relaterade. Denna idé kan sägas vara det som förenar alla de matematiska ämnena men har haft en speciell betydelse för de ämnen som tas upp i denna beskrivning. För geometri har den lett till att man istället kan tala om olika sorters geometri som alla har olika fokus. Algebra kan idag sägas vara nästan helt uteslutande baserat på den axiomatiska metoden. Diskret matematik är något mindre axiomatisk eftersom den mycket sysslar med mer specifika problem. Trots det är dessa problem ofta av en sådan abstrakt karaktär att de likt axiomatiska resultat kan användas i många olika situationer. Geometri använder sig i stor utsträckning av algebraiska metoder. I motsatt riktning har algebra inspirerats mycket av geometri och använder sig i sin tur även av geometriska metoder. Dessa områden har också förbindelser med en rad andra, såväl inom som utanför matematiken. Geometri i en vidare mening än som hittills avsetts i denna text innefattar delar av analysen, såsom differentialgeometri, dynamiska system och komplex analys. Algebra och speciellt så kallad representationsteori har haft och har alltjämt nära förbindelser med teoretisk fysik. Homologisk algebra spelar en viktig roll inom bland annat algebraisk topologi, representationsteori och algebraisk geometri. Modern diskret matematik är ett vitalt forskningsområde, och omfattar bland annat kombinatorik (vilket i sin tur inkluderar algebraisk, enumerativ, extremal, probabilistisk och topologisk kombinatorik), grafteori, delar av algebran och sannolikhetsteorin, samt koder och kryptering. Rika förgreningar finns in i datavetenskap (främst algoritmer och komplexitet) och statistisk mekanik. Grafteorin och kombinatoriken drivs dels av sina egna interna frågeställningar, dels av kontakt med annan matematik och med tillämpningar, framför allt från datavetenskap och optimering. Metoder från den diskreta matematiken får dessutom allt större genomslag på andra matematiska områden. Kvantitativa kombinatoriska argument har nyligen ersatt de kvalitativa topologiska argumenten i en rad talteoretiska satser som tidigare bara haft ergodteoretiska bevis, en utveckling som medfört att man nu har kvantitativa uppskattningar där sådana tidigare saknats. Ett annat exempel är Szemerédis regularitetslemma som funnit tillämpningar långt utanför kombinatoriken. Ett tredje är den återkommande dikotomin mellan slumpmässighet och struktur. Matematisk logik (som förenklat kan beskrivas som det matematiska studiet av axiomatik) är ett ur inommatematisk synvinkel något mer isolerat område. Däremot har det täta förbindelser med exempelvis programvaruteknik. Modellteori ger också förbindelser med algebra och algebraisk geometri. Styrkor, svagheter och ämnesmässiga trender Ett tidsperspektiv på 5 10 år för ämnesmässiga trender är för matematiken inte så relevant. De naturliga perspektiven är dels ett kortare, dels ett betydligt längre. Det längre perspektivet kan kopplas till matematikens långa historia, medan det kortare har att göra med att det går mycket snabbt att utveckla nya resultat eftersom utvecklingen ofta inte är beroende av fysikaliska begränsningar som behovet av experiment. En kort trend uppstår när ett genombrott görs oftast av en enskild eller några mycket få personer som haft en speciell insikt. Detta tas mycket snabbt upp av en större grupp matematiker som börjar använda sig av dessa nya metoder. Under en period som sällan är så lång som 5 år leder detta till en rad nya resultat. Efter denna inställer sig normalt, inom det relevanta området, en period av långsammare utveckling. Det är viktigt att inse att denna långsammare period är också viktig eftersom den producerar den bakgrund som behövs för nästa genombrott. Längre trender sträcker sig över mycket längre tidsperioder. Till exempel genomgick två delområden till geometri, algebraisk topologi och algebraisk geometri, en period (ungefär samtidigt med en kulmen på och 1960-talen) av utveckling av grundläggande tekniker. Dessa nya tekniker har sedan med mycket stor framgång använts på mer specifika problem under en period av 40 år. Eftersom olika Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 10

11 matematiska områden i flera perioder har fokuserat på en utveckling av de grundläggande verktygen finns det anledning att tro att det så småningom kommer att dyka upp behov av en ny vidareutveckling även inom dessa områden. Något sådant behov kan dock för närvarande inte identifieras, och hittills har flera smärre vidareutvecklingar skett utan att de lett till en förändring av områdenas fokus. Det går relativt lätt att identifiera var svensk forskning har sitt fokus. Inom de här behandlade ämnesområdena finns i Sverige omfattande forskning av hög internationell klass i algebraisk geometri, analytisk talteori, grafteori, kombinatorik, representationsteori och ringteori. Den starka svenska forskningen i komplex analys har under senare år delvis orienterats mot globala fenomen vilket gör det till mer av en geometrisk angelägenhet. Högklassig forskning finns också inom logik och konstruktiv matematik. Det finns även vissa internationellt starka områden som är sparsamt representerade eller rentav saknas helt i Sverige. Här kan nämnas algebraisk talteori, algebraisk topologi, extremal kombinatorik och Riemannsk geometri. Dock är det inte givet att en särskild satsning på att fylla dessa luckor är den klokaste vägen att gå. Mycket talar för att det är mer lönande att satsa på de begåvningar som finns i landet, och deras intressen, snarare än att försöka detaljstyra utvecklingen. Ett reellt problem är istället att svensk matematik som helhet är så underfinansierad som den är. Hot och möjligheter Det utan tvivel största hotet mot all matematisk forskning i Sverige står att finna i forskningsfinansieringsstrukturen. Matematikutvecklingens inneboende dynamik, såsom den skisserats ovan, är svår att kombinera med tendensen till att ensidigt satsa på stora forskningsprojekt i dagens forskningspolitik. Genombrotten är förmodligen omöjliga att tvinga fram genom stora forskningsinsatser. Man skulle möjligen kunna tänka sig att den utvecklingsfas som följer på ett genombrott skulle kunna gynnas genom större forskargrupper, men med tanke på att den är relativt kortvarig verkar detta oklokt. All erfarenhet i de matematiska vetenskaperna pekar mot att det är individer eller mindre grupper som gör de stora genombrotten, men det går inte att förutse när och från vem. Därför optimeras möjligheterna genom att alla tillräckligt kvalificerade matematiker får rimlig tid att forska inom sin anställning, enligt internationell förebild. Ett potentiellt mycket allvarligt hot mot fortsatta svenska forskningsframgångar på de här diskuterade områdena består alltså, paradoxalt nog, i försöken att styra utvecklingen mot att större grupper av matematiker gemensamt ska arbeta inom på förhand identifierade strategiska områden. Vilka ämnesmässiga trender som än identifieras och prioriteras idag, så kommer situationen om 5 10 år att vara annorlunda. Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering Sammanfattande bedömning Samhället ökar sin användning av beräkningar, baserade på mer data, bättre modeller, nya algoritmer och bättre datorer. Exempel hittar vi bland annat i Google, i optimering, prognoser och riskbedömningar för väder och finans, samt i simulering inom vetenskap och industri. Matematik får då nya uppgifter, till exempel att optimalt hantera stora datamängder, vilka genererar matematiska frågeställningar där beräkningsmatematik och optimeringslära är centrala. Beräkningsmatematik och optimeringslära spelar en viktig roll som kunskapsbrygga mellan matematik och andra vetenskaper, som nu använder mer avancerade och beräkningskrävande modeller. Även i Sverige pågår mer tillämpad matematikforskning inom högdimensionella problem och hantering av stora datamängder. Dess tidigare fokus på fysikproblem och kontinuummekanik har breddats till att omfatta exempelvis beräkningar i kemi/biologi och diskreta problem i informationsvetenskap, med väsentliga inslag av hög dimension, stokastik och algoritmer för mer parallell datorarkitektur. Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 11

12 Några exempel på forskningsfält i beräkningsmatematik är: En pålitlig beräkning behöver en skattning av felen från modellen, data och diskretiseringen; svensk forskning är framstående i sådan a posteriori felanalys baserad på variationskalkyl; Datorernas kapacitet ökar möjligheterna att lösa svåra beräkningsproblem, men utvecklingen av snabbare algoritmer för att lösa problem listigare har visat sig vara minst lika värdefull, bildkompression med wavelets (i mpeg) istället för med Fourierserier (i jpeg) är ett exempel där svensk harmonisk analys lagt grunderna; Den ökande beräkningskapaciteten gör det möjligt att lösa svårare problem, till exempel har svensk beräkningsmatematik en framträdande roll för lösning av problem med flera rums- och tidsskalor och är aktivt inom beräkningar med stokastik och hantering av högdimensionella problem med hjälp av gleshet. Ämnesbeskrivning Beräkningsmatematik och optimering är en metodvetenskap för numeriska beräkningar och matematisk modellering inom naturvetenskap, teknik och samhällsvetenskap. Ämnet innehåller inslag av matematisk analys och algoritmutveckling, studium av matematiska modeller för tillämpningar, numeriska experiment samt programutveckling. Några exempel på viktiga beräkningsfrågeställningar som studeras i stor utsträckning av matematiker är att optimera, att säkert avgöra beräkningars noggrannhet, att konstruera nya snabbare algoritmer och att hantera osäkerhet i data. I algoritmutveckling studeras också frågor som rör utveckling av mjukvara för modern avancerad datorarkitektur då hänsyn tas till distribuerade system och minneshierarkier. Beräkningsmatematiken startade med konstruktionen av de första datorerna på fyrtiotalet. Sveriges satsning på beräkningar var också tidig med den egna datorn BESK som blev klar I ett internationellt perspektiv har svensk forskning tidigt intagit en ledande plats i analys och utveckling av metoder för lösning av differentialekvationer, vilka bildar basen för modellering i naturvetenskap. Sverige har därför en god position för fortsatt framgång i en ny fas där fokus är mer på problem i hög dimension, optimering av större problem, mer fundamental modellering och närmare kontakt med tillämpningar. Beräkningsmatematikens tidigare fokus på fysikproblem och deterministisk kontinuummekanik breddas nu till att omfatta beräkningar i kemi och biologi (ofta med stokastisk modellering), diskreta högdimensionella problem i informationsvetenskap, och utveckling av nya algoritmer för ny datorarkitektur. Styrkor svagheter och ämnesmässiga trender Ett förenklat sätt att beskriva trenden i matematikens samverkan med tillämpningar är följande. Vid begynnelsen av kvantitativ beskrivning i naturvetenskap av Newton var matematisk och naturvetenskaplig forskning bedrivet av en och samma person. Djupet och bredden i matematiken utvecklas hela tiden samtidigt som realismen i naturvetenskapens modeller förbättras med mer insiktsfull modellering. Det blir då svårare för en enskild forskare att följa med utvecklingen både i den djupare generalitet matematik får och i den mer krävande modellering som används i naturvetenskap. Å andra sidan har forskningen både i matematik och i andra vetenskaper mycket att vinna på att stimulera varandra, så kontakten mellan dem är viktig. Där ser beräkningsmatematikern typiskt sin forskningsuppgift att aktivt bidra med ny matematisk modellering och beräkning för att lösa problem. Idag krävs ofta avancerade beräkningar för att kunna jämföra de teoretiska modellerna med experiment. Förenklat kan sägas att beräkningsmatematiken i förra århundradet dominerades av lösning av problem i kontinuummekanik behovet av direktkontakt med tillämpningar var därmed inte så stort eftersom den matematiska förståelsen av dessa problem räcker långt. Idag, med mer avancerad modellering krävs också mer kunskap om tillämpningar för att göra beräkningar. Traditionella beräkningar sätts också i ett större sammanhang, som till exempel hur man istället för att bara beräkna hållfastheten i en konstruktion söker svar på den svårare frågan om att beräkna en optimal konstruktion som uppfyller givna last- och hållfasthetskrav. Detta kräver mer av beräkningsmatematikern som nu ofta Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 12

13 behöver expertkunskap inte bara om diskretisering av differentialekvationer, utan också om stokastisk modellering och optimering, jämte god kontakt med vetenskapsområdet för beräkningen. Att beräkningar får allt större genomslag ger beräkningsmatematiken nya förutsättningar. Matematiker dominerade användandet av de tidiga datorerna, medan det idag bara är en bråkdel av alla beräkningar som görs av matematiker. Många bra idéer om beräkningar kommer från andra än matematiker. Man kan då undra om det behövs matematiker som arbetar med beräkningar? Svaret är att beräkningar bara har ett värde om de är pålitliga och därför är matematikens stringens avgörande. Matematiker har också visat att deras insats är betydelsefull för att konstruera nya snabbare algoritmer; till exempel visar det sig matematikernas insats i algoritmutveckling, från direkt Gausseliminering till avancerade multigridmetoder, har gett lika mycket tidsvinst för lösning av partiella differentialekvationer som hårdvarans fenomenala utveckling. Svenska exempel på algoritmutveckling är numerisk simulering av differentialekvationer, algoritmer inom linjär algebra, de första waveletsmetoderna samt adaptiva metoder med inbyggd felkontroll. Beräkningsmatematiken fyller också en viktig roll i samverkan mellan matematiken och andra vetenskaper, både för att föra ut matematik till andra vetenskaper och för att fånga in nya frågeställningar till matematiken. Till exempel söker matematiken och andra vetenskaper metoder för att hantera fler biologiska fenomen där ny matematisk modellering behövs. Den traditionella uppdelningen av matematikinstitutioner i separata avdelningar för matematisk statistik och numerisk analys, som i dess skapande var värdefull för att bygga upp dessa nya ämnen, kan nu vara hämmande eftersom det är svårare att skilja frågor om beräkning och osäkerhet i data. Internationellt kan man därför allt oftare se att matematisk statistik/sannolikhetslära, numerisk analys och optimering ingår som en enhet i forskarutbildningar i beräkningsmatematik. Kortfattat kan sägas att en modern beräkningsmatematiker behöver bredare kunskap än sina föregångare. Sverige hänger väl med i denna krävande trend med goda exempel på beräkningsmatematiker som överbryggar flera områden, men vår traditionella organisation av separerade avdelningar på universitet behöver vitaliseras, till exempel med forskarutbildningsprogram som sträcker sig över flera avdelningar och forskningsråd som stimulerar matematikens samverkan med andra vetenskaper. Hot och möjligheter Eftersom beräkningar görs av fler kvantitativa vetenskaper och i större omfattning får forskningen om beräkningar ökad betydelse; den moderna forskningen i beräkningsmatematik och optimering kräver ofta djupa kunskaper i tillämpningar och därmed bredare kompetens. En styrka är beräkningsmatematikens goda teoretiska grund, speciellt i Sverige. En utmaning är att organisera forskarutbildningen i tillämpad matematik för att bättre samverka med tillämpningar. En av matematikens huvudstyrkor är dess generalitet, men det finns som i alla vetenskaper en tendens till att forskare blir mer specialiserade, medan de stora forskningsfrågorna ofta kräver bred kompetens. Sådan specialisering pågår överallt och i alla ämnen, men ett litet land som Sverige har i mindre utsträckning råd med många specialiserade grupper. Kanske är också matematiken mer sårbar för specialisering eftersom en av dess huvudpoänger är att vara generell. Det finns en lovande trend i bredare forskarutbildningar i tillämpad matematik i Sverige. Nya lektorer som anställs i beräkningsmatematik har typiskt utmärkt meritering, med postdok-anställning på internationellt ledande universitet. Det är väsentligt att beräkningsmatematiken är fortsatt väl förankrad i tvärvetenskapliga forskningssatsningar, till exempel e-science. Beräkningsmatematiken har en nyckelroll för att åstadkomma samverkan mellan matematik och andra vetenskaper men också mellan olika vetenskaper, till exempel för frågeställningar i multifysik med samband mellan strömning och hållfasthet, eller mellan kemi, elektromagnetism och mekanik i biologi. Forskningsinfrastruktur Storskaliga beräkningar stimulerar matematisk forskning med nya problem, både på den tillämpade och den fundamentala sidan. Dessa beräkningar bidrar också till ökad samverkan med andra vetenskaper. Därför är investeringar i superdatorer värdefulla. Sverige har ett forskningsinstitut för matematik, Institut Mittag-Leffler, som har haft en fundamental betydelse för utvecklingen av svensk och nordisk matematik genom sina terminsvisa teman Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 13

14 i aktuella matematiska forskningsfält och inbjudan av världsledande forskare. Institut Mittag-Leffler har en potential att ytterligare öka sin insats för svensk matematik genom ökade inslag av beräkningsmatematik i verksamheten, särskilt om det får bättre finansiering för att också inkludera sommar-/ vinterskolor, konferenser och doktorandkurser, som skulle stärka nordiska matematikers kompetens. Sannolikhetsteori och statistik Sammanfattande bedömning Vi är i en period av enorma framsteg i vår förmåga att samla in, skapa och förvara data. Datamängderna är fantastiskt värdefulla, men också komplexa och ofullständiga. De väntar på att utnyttjas till landvinningar inom klimatvetenskap, energiforskning, biologi och medicin. De ger nya möjligheter att hantera risker i vårt alltmer komplicerade och sårbara samhälle. De har potential till utveckling av produkter och tjänster som vi ännu inte ens föreställt oss. För att utveckla potentialen maximalt behöver de hanteras med statistiska metoder. Svenska forskare i statistik samarbetar intimt med många andra vetenskapsområden. För att statistiken ska kunna bidra fullt ut krävs emellertid nya satsningar på teoriutveckling. Områden som bör stärkas inkluderar statistisk teori för komplicerade och högdimensionell data, inklusive maskinlärande, samt metoder att kombinera information från datakällor av vitt skilda slag och varierande kvalitet. Kontaktytorna med datavetenskap är viktiga. Möjligheter att komma snabbare framåt genom rekrytering från utlandet bör tas tillvara. I det angränsande området sannolikhetsteori är Sverige väl rustat att utnyttja möjligheterna. Området har många forskare i världsklass och har utvecklats så att den nu täcker hela fältet från inomvetenskaplig forskning till många och nära samarbeten med andra vetenskaper och industri. För att potentialen ska realiseras behövs fortsatt utveckling inom det egna ämnet och av samarbetet med andra vetenskaper och med industri, både i Sverige och internationellt. En brist som bör avhjälpas gäller forskning om partiella stokastiska differentialekvationer. En viktig uppgift är att öka forskningstiden för etablerade forskare. Nyrekrytering och doktorandutbildning är viktigt, men om de seniora forskarna inte hinner forska kommer Sverige inte kunna hävda sig. Utvecklingen från enmansforskning till större samarbeten och nödvändigheten av större engagemang i att utveckla livaktiga forskningsmiljöer understryker betydelsen av detta. Ämnesbeskrivning Sannolikhetsteori är den gren av matematiken som studerar modeller för slumpen. Den utgör stora delar av den teoretiska grunden för statistiken och är ett viktigt redskap för fysik, kemi, teknik, biologi och medicin. Den har kommit att spela en allt större roll inom matematiken, både som eget forskningsområde och som ett verktyg för andra delar av matematiken. Den statistiska vetenskapen utvecklar metoder för att använda data till att förstå och beskriva vår värld. Statistiska metoder och ett statistiskt synsätt används inom snart sagt all vetenskap och har stor betydelse för samhället. Statistik används till att förbättra världens produktion av mat och gör att industrin kan tillverka och distribuera produkter och utföra tjänster mer effektivt. Speciellt spelar statistiska metoder en central roll inom försäkringsindustri, finans, läkemedelsindustri och telekommunikation. Modern sannolikhetsteori och statistik ger möjlighet att förstå och hantera allt mer komplicerade situationer. Det kan gälla perkolation: hur vätskor tränger igenom slumpmässigt uppbyggda strukturer eller hur information sprids i tekniska, sociala och biologiska nätverk. Analys och utveckling av sofistikerade beräkningsmetoder algoritmer är ett annat exempel. Det kan också gälla hur gener förändras och arter uppstår under evolutionen, eller hur brus förändrar signaler och bilder. Ofta är forskningen inriktad mot risker: farliga biverkningar av mediciner, svängningar på de finansiella marknaderna eller stormar, översvämningar och epidemier. Bayesianska metoder baserade på subjektiva sannolikheter har genom utvecklingen av nya beräkningsmetoder fått en renässans som verktyg för beslutsfattande och för lösning av komplicerade statistiska problem. Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 14

15 Styrkor, svagheter och ämnesmässiga trender Svensk forskning inom sannolikhetsteori har en mycket stark internationell ställning. En trend är att diskret och kombinatorisk sannolikhetsteori inriktad mot nätverk och algoritmer är i stark tillväxt, i världen och i Sverige. Detta har lett till att delar av forskningen flyttas från de matematisk-statistiska institutionerna till de matematiska. Mera generellt är huvudfåran i svensk sannolikhetsteori stokastiska processer, modeller för slumppåverkade fenomen som utvecklar sig i tid och rum, eller i mera komplexa strukturer, till exempel de som behandlas i modern diskret sannolikhetsteori. Vanligen är det omöjligt att finna exakta lösningar till problemen. Istället är forskningen inriktad mot gränsvärdesteori som på olika sätt ger ungefärliga lösningar. Klassiska starka svenska forskningsområden är extremvärdesteori och populationsdynamik. Extremvärdesteori studerar metoder att uppskatta risker, till exempel för extrema havsvågor eller finansiella sammanbrott, och populationsdynamiken beskriver hur bestånd eller befolkningar tillväxer och dör ut. Båda områdena fortsätter att växa, både som resultat av framsteg inom teorin och motiverat av praktiska behov. Svensk forskning täcker nästan hela sannolikhetsteorin. Undantaget är partiella stokastiska differentialekvationer. Dessa ger modeller för brusstörda fysikaliska system och kommer att få allt större betydelse. Svensk forskning inom området saknas nästan helt, förutom undersökningar inriktade på numerisk lösning av ekvationerna. Forskning om medicinska och biologiska problem har länge varit i centrum för svensk statistisk forskning. Under senare tid har detta område växt ytterligare genom att en omfattande ny forskning inom bioinformatik, systembiologi och epidemiologi tillkommit. Ett ytterligare område i stark tillväxt är hantering av extrema finansiella risker. Ett tredje stort svenskt forskningsområde är bildbehandling och spatial statistik. Sverige har också internationellt framstående forskning om statistiskt beroende och kausalitet, om statistiska metoder för stokastiska processer och om smittspridning. Ett växande forskningsområde är utveckling av metoder som tar hänsyn till att data inte har samlats på ett slumpmässigt sätt. Svensk forskning har genom sin tillgång till unika medicinska dataregister goda möjligheter att bidra till området. Emellertid är den svenska statistiska forskningen inom ett antal viktiga områden för liten, eller saknas helt. Ett exempel är forskningen om stora, komplicerade, och högdimensionella datamängder. Ett annat är stort utvecklingsområde är metoder för effektiv kombination av statistisk information från olika och olikartade källor. Ett tredje exempel är forskning inom grundläggande statistisk teori. Sverige har internationellt konkurrenskraftiga forskare inom dessa områden, men som helhet räcker verksamheten inte alls till. Hot och möjligheter Enormt stora datamängder samlas in och skapas i en takt och omfattning som kommer att revolutionera vetenskap, industri och samhälle nya digitala datamängder som är dubbelt så stora som hela innehållet i världens största bibliotek produceras nu varje timme. Och om 10 år kommer datatillväxten vara hundra gånger snabbare. Framtida framgångar inom vetenskap, teknik och samhälle kommer till stor del att bero på hur vi lyckas hantera dessa data. Detta är den stora möjligheten och den stora utmaningen för svensk forskning i sannolikhetsteori och statistik. Det gäller att finna ny förståelse: om hur man bäst planerar gigantiska försök, om hur man finner mönster och strukturer i enorma datamängder, eller om vilka metoder man ska använda för att hitta guldkorn som finns gömda i berg av siffror. Den fantastiska utvecklingen av datorernas förmåga och datorprogrammens komplexitet gör att teoretisk analys och förståelse av resultaten ofta ligger långt efter. En viktig uppgift för sannolikhetsteori och statistik är att utnyttja och utveckla samarbete och beröringsytor med datavetenskap. Igen, utan god förståelse är resultaten av datorernas nya intelligens mycket mindre användbara än vad de kunde vara, och omvänt, om statistiken inte förstår att utnyttja datorernas nya förmågor missar den stora möjligheter. Ämnesöversikter 2010 ämnesrådet för NATURVETENSKAP OCH TEKNIKVETENSKAP 15