Hur bra fungerar prognoser med Lee-Cartermodellen?

Matematisk statistik Stockholms universitet Hur bra fungerar prognoser med Lee-Cartermodellen? Helen Teclu Eamensarbete 27:13

Postal address: Matematisk statistik Dept. of Mathematics Stockholms universitet SE-16 91 Stockholm Sweden Internet: http://www.math.su.se/matstat

Matematisk statistik Stockholms universitet Eamensarbete 27:13, http://www.math.su.se/matstat Hur bra fungerar prognoser med Lee-Cartermodellen? Helen Teclu September 27 Sammanfattning Under större delen av 19-talet har man i Sverige utjämnat dödligheten med Makehamsfunktionen. I praktiken brukar e dödligheten ges i form av ettåriga dödlighetssannolikheten q medan man vid användande av Makehamsfunktioner utjämnar dödlighetsintensiteten µ istället, representerar olika åldrar. Men nu har den så kallade Lee-Carter modellen använts för att skatta dödligheten. I DUS6 har undersökts hur den framtida dödligheten kommer att bete sig. Med hjälp av Lee-Carter modellen med poissonfördelade dödsfall och linjär etrapolering av κ t -funktionen har svenska befolkningens dödlighet prognostiserats fram till 25. Dödlighetsestimeringen bygger på etrapolation dvs man tar hänsyn till historisk data för att kunna prediktera kommande dödlighet. Syftet med det här eamensarbetet är att skapa en uppfattning om felen i prognoser av framtida dödlighet. Fördenskull har vi studerat historisk data med Lee-Carter modellen och sedan jämfört detta med verkliga utfallet. Slutsatsen av denna studie är ju längre periods prognos man gör över dödligheten desto mer ökar osäkerheten i prognosen. Som ma bör man göra 2 års prognos. 1 års prognos ger bästa prognosen. Men trots att det är osäkert att göra långtidsprognos över dödligheten med Lee- Carters modellen måste försäkringsbolaget göra dödlighetsprognoser cirka 5 år framåt. Postal address: Matematisk statistik, Stockholms universitet, SE-16 91, Stockholm, Sweden. E-mail: teclu_helen@hotmail.com. Handledare: Anders Björkström

Abstract During the 2 th century the Makeham model was the most common model that used to smooth the mortality in Sweden. Usually the observed mortality gives in the form of q while the Makeham function is used to smooth the death rate µ, represent dierent ages. But now the Lee-Carter model is used to estimate the mortality. Using the Lee-Carter model with Poisson deaths and linear etrapolating of κ(t)-function, we have predicted the Swedish population until 25. The mortality estimating is based on etrapolation,which means we consider the historical data to predict the future mortality. The purpose with this paper has been to get knowledge of the possible aws Lee-Carter models of the future mortality. By using Lee-Carter model we have studied historical data by taking dierent variables as comparable variables in dierent periods of time. The conclusion of these studies are that the longer periods of time you predict the mortality the more insecure is the prognosis. As ma you should do 2 years prognosis with the Lee-Carter model. 1 years prognosis gives the best prognosis. Even though insurance companies realize it is not a good option to make long term prognosis because of the insecure mortality rate, they do them. 2

Innehåll 1 Förord 4 2 Introduktion 5 2.1 Syfte................................ 5 3 Metod och datamaterialet 5 3.1 Lee-Carter modell........................ 5 3.2 Datamaterialet.......................... 6 4 Skattning av parametrarna i Lee-Carter med ML-metoden 7 5 Jämförelsevariabler 17 5.1 Jämförelse mellan den e ˆµ (t) och den verkliga utfallet 17 5.2 Sannolikheten att man avlider i ett visst åldersintervall.... 28 5.3 Premien.............................. 34 6 Långperiodska prognoser 39 6.1 2 års prognos........................... 39 6.1.1 Sannolikheten att man avlider i ett visst åldersintervall 47 6.1.2 Relativa felet för premien................ 5 6.2 4 års prognos........................... 53 6.2.1 Sannolikheten att man avlider i ett visst åldersintervall 56 6.2.2 Relativa felet för premien................ 59 7 Slutsats 61 3

1 Förord Detta arbete är ett 2 poängs eamensarbete i matematik-statistik. Det har utförs på uppdrag av nansinpktionen. Jag vill särskilt tacka min handledare Bengt von Bahr som har visat intresse diskuterat arbetet med mig då jag haft frågor i ämnet men även annars uppmuntrat mig och gett mig en bredare syn på arbetet. Även Göran Ronge förtjänar att nämnas för att ha hjälpt mig att få eamensarbetet. Jag vill även tacka all personal på nansinspktionen på aktuarieavdelningen för det trevliga bemötandet. Slutligen vill jag tacka min handledare på Stockholms universitet Anders Björkström och alla mina föreläsare och doktorander som jag har haft under mina studier vid Stockholm universitet. 4

2 Introduktion 2.1 Syfte I DUS6 har undersökts hur den framtida dödligheten kommer att bete sig. Med hjälp av Lee-Carter modellen med Poisson-fördelade dödsfall och linjär etrapolering av κ t -funktionen har svenska befolkningens dödlighet prognostiserats fram till 25. Dödlighetsestimeringen bygger på etrapolation d.v.s man tar hänsyn till historisk data för att kunna prediktera kommande dödlighet. Syftet med det här eamensarbetet är att skaa en uppfattning om felen i prognoser av framtida dödlighet. För att skaa en uppfattning om felet i prognoser av framtida dödlighet har vi studerat historisk data med Lee-Carters modellen och sedan jämfört detta med verkliga utfallet. 3 Metod och datamaterialet 3.1 Lee-Carter modell Lee-Carters modell utvecklades i USA år 1992,den används för att estimera de framtida dödsriskerna. Lee-Carters modellen tar hänsyn till att dödlighetsintensiteten är beroende av ålder och av aktuellt. Trending av dödlighetsintensiteten ingår alltså eplicit i grundmodellen. Låt µ (t) beteckna dödlighetsintensiteten för ålder under t. Modellen beskrivs av logµ (t) = α + κ t β I modellen är α en åldersberoende term oberoende av tiden,κ t mortalitetsindefaktorn, vilken beror på t, och β är åldersberoende term som mäter respektive ålders responshastighet i dödlighetsintensiteten till förändring i mortalitetsindefaktor. Historiska data används för att skatta parametrarna α, κ t och β (t aktuellt ). Skattningarna av κ t och b är produkten sinsemellan dessa som ger tidsförändringarna i den åldersspecika dödligheten. Efter skattningarna av α,β och trendfaktorn κ t kan vi enkelt estimera framtida dödlighetsintensiteten genom att etrapolera funktionen κ(t). 5

Observera att Lee-Carters modell alltså inte är en kontinuerlig parametrisk funktion där ett fåtal parameter anpassas till den e dödlighetsintensiteten µ (t), vilket är fallet med Makehamfamiljen och den logistiska familjen. Utgående från statistik för de T senaste åren skattas i Lee- Carters modell nämligen vektorerna α = [α 1,..., α w ],β = [β 1,..., β w ] och κ t = [κ 24 T +t, t =, 1,..., T ], d.v.s till varje ålder (maålder w) svarar det ett α och ett β och till varje t svarar det en trendfaktor κ t. Modellanpassingen är därför att betrakta som fördelningsfri och Lee-Carters modell antar ingen speciell form på dödlighetsintensiteten, att jämföras med den antagna eponentiella tillväten i Makehamfamiljen. I Lee-Careter modellen tenderar man följaktligen att skapa en tabell bestående av utjämnade och trend varianter av den e dödlighetsintensiteten. Trendestimeringen utnyttjar hela tidsserien av observationer från startåret till slutåret, vilket är en värdefull egenskap. Modellen antar att dödlighetsintensiteten över tiden drivs av enda tids varierande parameter det vill säga av mortalitetindefaktorn. Dödlighetsestimeringen bygger på etrapolering det vill säga man tar hänsyn till information som redan nns för att kunna förutspå kommande dödlighet. Lee-Cartersmodell tar inte hänsyn till trendbrott utan den bygger väldigt mycket på långa trender som antages fortsätta. 3.2 Datamaterialet Datamaterialet som används i detta arbete kommer från www.mortality.org hemsidan och består av befolkingsdata. Befolkningsdata omfattar uppgifter om antal levande och antal döda i den svenska befolkningen per ålder (åldern mellan 2-9), kön och under perioden 19-2. För vissa saknades antal levande för både män och kvinnor.för dessa har vi interpolerat datat. Datamaterialet består av följande observationer. För ett antal åldrar och ett antal t har vi värden på N (t)=antal individer som lever vid utgången av et t och fyller år under et t. Dessa individer är födda år t. D (t)=antal individer som avlider under et t och fyllde eller skulle ha fyllt år under et t. Dessa individer är födda år t. Risktiden för den -åriga delen av populationen under t de- nieras som summan av den tiden som de individer som är födda under 6

t- bidrar med under et t. Risktiden betecknas med R (t). Risktiden uppskattas med medelvärdet av antal individer som var födda år t- och som levde vid slutet av år t-1 och antalet individer som var födda år t- och som levde vid slutet av år t. Skattningen av R (t) skrivs som ˆR (t) = N 1(t 1) + N (t) 2 Antalet individer som avlider under t det vill säga D (t) är binomialfördelat.det skrivs som D (t) Bin(N 1 (t 1), µ (t)) Där N 1 (t 1) = N (t) + D (t) och sannolikheten µ (t) är enligt Lee- Carter modellen lika med ep(α +κ t β ). Om väntevärdet av D (t) det vill säga R (t) µ (t) 1 kan vi approimera med en poissonfördelning. Då är det om R (t) µ (t) 1, gäller att D (t) appp o(r (t) µ (t)) där väntevärdet för den stokastiska variabeln D (t) är lika med R (t) µ (t). 4 Skattning av parametrarna i Lee-Carter med MLmetoden Vi skall nu härleda skattningarna för parametervektorerna α,κ och β med användande av maimumlikelihoodmetoden. Likelihoodfunktionen skrivs som L(α, κ, β) = = t ma t=t min t ma t=t min ma = min P (D (t) = d (t)) = ma e λ(t) λ(t)d(t) d = (t)! min 7 (1)

där d (t) är observerat värde av den stokastiska variabeln D (t). Här har vi använt λ (t) vilket är det förväntade värdet av D (t) för att förhoppningsvis förenkla läsbarheten.utryckt i parametrarna α,κ och β kan λ (t) skrivas som λ (t) = E[D (t)] = R (t) µ (t) = R (t) e α+κt β (2) Den normala proceduren att nna maimum för L-funktionen är att först logaritmera likelihoodfunktionen och där efter maimera den funktionen. Vi får,efter ha samlat ihop konstanterna i en term,benämnd konstant, ln[l(α, κ t, β )] = t ma t=t min ma = min [ λ (t) + d (t) ln(λ (t))] + konstant. (3) Ersätter vi nu λ (t) med dess rätta uttryck i de aktuella parametrarna och förenklar skrivsättet något får vi lnl =,t vilket med användning av kan skrivas, lnl =,t [ R (t) µ (t) + d (t) ln(r (t) µ (t))] + konstant (4) λ (t) = E[D (t)] = R (t) µ (t) = R (t) e α +κ t β (5) [ R (t) e α +κ t β + d (t) (α + κ t β )] + konstant (6) Det ingen inskränkning av modellen att anta att,till eempel, och κ t = t β = 1 Man kan illustrera att dessa normeringar ej påverkar µ (t) genom följande resonemang. Betrakta en uppsättning godtyckliga värden på α,κ t och β.om vi nu gör de linjära transformationerna α = α + c β, κ t = d (κ t c) och β = β /d får vi samma värde på µ (t). Man kan därför välja konstanterna 8

c och d efter behag. Eempel 1: Med c= 1 n t κ t blir t κ t =. Eempel 2: Med d= β blir β = 1 Eempel 3: Om man vill att α =µ (T ) för något särskilt T, kan man sätta α = µ (T ), κ t = κ t κ T och β = β. Vi väljer här restriktionerna t κ t = och t β = 1 Den allmänna teorin för detta maimeringsproblem kan formuleras på följande sätt. För att hitta maimum för denna funktion borde man bilda gradientvektorn och andra-derivat-matrisen,och med en Newton-Raphsonmetodik iterativ söka sig fram till en maimumpunkt. Vi har en endimensionell funktion f() av en k-dimensionell variabel, som uppfattas som en kolumnvektor. Vi betecknar gradientvektorn (som också är en kolumnvektor) i punkten och g() och andra-derivat-matrisen i punkten med B(). Taylorutveklig av funktionen och dess gradient i punkten a har formen f() = f(a) + g(a) T ( a) + 1 2 ( a)t B(a) ( a)+termer av högre ordning g() = g(a) + B(a) ( a) +termer av högre ordning där superinde T står för transponering. Om matrisen B(a) är positivt eller negativ denit så har den andragradsyta som representeras av de första termerna i utvecklingen sin etrempunkt i den punkt där gradienten är lika med noll, nämligen i punkten = a B(a) 1 g(a). Newton-Raphsoniterationen mot etrempunkt sker då genom att bilda en följd n, där är en första gissning och n+1 = n B( n ) 1 g( n ). Emellertid blir denna allmänna metod rätt komplicerad. Andra-derivatmatrisen har hög ordning och det stöter på problem att beräkna dess invers. I stället fungerar en förenklad iterationsmetod, där man itererar en komponent av parametervariabeln i sänder. Vi bildar därför 9

dlnl = dα t dlnl dκ(t) = dlnl = dβ t [ R (t) e α+κ(t) b + d (t)], för alla (7) [ R (t) b e α+κ(t) b + d (t) b ], för alla t (8) [ R (t) κ(t) e α+κ(t) b + d (t) κ(t)], för alla (9) Ekvationerna (7-9) kan med hjälp av tidigare införda beteckningar skrivas på ett enklare sätt. Genom att utnyttja (2), som anger väntevärde för D (t), får vi dlnl = dα t dlnl dκ(t) = dlnl = dβ t [d (t) λ (t)], för alla [d (t) λ (t)] b, för alla t [d (t) λ (t)] κ(t), för alla På samma sätt fås andra derivatorna d 2 lnl dα 2 = t d 2 lnl dκ 2 (t) = d 2 lnl dβ 2 λ (t), b 2 λ (t), för alla för alla t = κ 2 (t) λ (t), för alla Iterationen sker nu steg för steg genom att givet värden α, κ(t) och b som uppfyller bivillkoret t κ t = och β = 1 först bilda preliminära nya värden givna av 1

t α = α + h [d (t) λ (t)] t λ (t) κ(t) = κ(t) + h [d (t) λ (t)] b λ (t) b 2 (t) t β = β + h [d (t) λ (t)] κ(t) t λ (t) κ 2 (t) Här har i iterationen införts en steglängdsparameter h. Orsaken är att den riktiga iterationen utnyttjar inversen av andraderivatsmatrisen. Den ger ett samlat värde på krökningen av den yta som representeras av den funktion som ska maimeras.andraderivatan med avseende på enskild variabel är ett mått på krökningen i just den variabels riktning. Denna krökning kan vara mycket mindre(vilket motsvarar större krökningsradie), vilket i sin tur leder till att etremvärde förläggs längre bort. Parametern h ges därför ett värde som är mindre än 1. Därefter normeras de preliminära värdena på sätt som angivits ovan, så att bivillkoren uppfylls. De nya värdena för α, κ(t) och b i iterationen blir därför ā = ã + c b κ(t) = ( κ(t) c d) b = b /d där och c = 1 κ(t) n t d = b Skattningarna utfördes i Matlab. I tillämpningarna h valdes till.1 och.1. Tillräcklig noggrannhet uppnås då normalt efter 34-18 iterationer. I gur 1-6 har vi skattningen av parametrarna α för perioden 198-199,β för perioden 19-192 och κ för perioden 198-199. 11

1 2 3 4 alfa 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 9 ålder Figur 1: Skattningen av alfa för män åldern mellan 2-9 år, 198-199 1 2 3 4 alfa 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 ålder Figur 2: Skattningen av alfa för kvinnor åldern mellan 2-9 år, 198-199 12

.6.5.4.3 beta.2.1.1.2 2 3 4 5 6 7 8 9 ålder Figur 3: Skattningen av beta för män åldern mellan 2-9 år, 191-192.5.4.3 beta.2.1.1 2 3 4 5 6 7 8 9 ålder Figur 4: Skattningen av beta för kvinnor åldern mellan 2-9 år, 191-192 13

6 4 2 kappa 2 4 6 8 198 1982 1984 1986 1988 199 Figur 5: Skattningen av kappa för män åldern mellan 2-9 år, 198-199 2.5 2 1.5 1.5 kappa.5 1 1.5 2 2.5 198 1982 1984 1986 1988 199 Figur 6: Skattningen av kappa för kvinnor åldern mellan 2-9 år, 198-199 14

I gur 1 och 2 ovan visas den första parametern i Lee-Carters modell α. Parametern α är nästan räta linjen och det visar att dödligheten kan beskrivas väl med Makeham-modellen, där dödligheten väer eponentiellt med åldern. Lutningen av kurvorna förändras med ökande ålder. Både för män och kvinnor är α förhållandevis instabilt fram till 55-årsåldern. Från gur 1 och 2 ser vi att α ökar med åldern för både män och kvinnor, men den är något lägre för kvinnor än för män, vilket även stämmer väl med den empiriska dödlighetsintensiteten. Kurvorna över β -termen är mycket oregelbundna. Modellens β term kan tolkas som genomslaget av trendfaktorn κ(t) i olika åldrar. Ju högre β desto större genomslag har trendfaktorn. Då κ(t) är avtagande, vilket framgår av gur 5 och 6 kommer således dödlighetsintensiteten att minska mer över tiden i åldrar med höga β -värden än sådana med lägre. Kurvorna över κ(t) visar att kvinnors dödlighet avtar långsammare med än mäns. Figur 3-4 visar att trenden i dödligheten kommer att variera både beroende på kön och ålder. Vi kan se att trenden har ett mer jämnt genomslag över olika åldrar för män än kvinnor. Kvinnor har en högre minskning än män i åldrarna 3-45 år. Däremot var minskningen av dödligheten högre för män i åldrarna 45-9 år. Skattningarna av parametrarna i Lee-Carters modellen är olika för olika och åldrar. Till eempel skattningen av κ både för män och kvinnor för perioden 191-192 som vi ser i gur 7-8 här nedan. Kurvorna över κ t är oregelbundna. Förklaringen till den är spanska sjukan. Dödligheten fördubblas på grund av sjukdomen. Spanska sjukan var en svår epidemi av inuensa som bröt ut i Madrid 1918, under slutet av första världskriget. Första fallet av spanska sjukan konstaterades i Sverige vid midsommar av 1918. Antal döda personer under 1918 var 14 591 jämfört med 1917 som var 77 385. 15

25 2 15 kappa 1 5 5 191 1912 1914 1916 1918 192 Figur 7: Skattningen av kappa för män åldern mellan 2-9 år, 191-192 25 2 15 kappa 1 5 5 191 1912 1914 1916 1918 192 Figur 8: Skattningen av kappa för kvinnor åldern mellan 2-9 år, 191-192 16

Genom att sätta samman dem e parameterarna (α,β och κ(t)) i Lee-Carters modellen fås den logaritmerade dödlighetsintensiteten för ålder och t. 5 Jämförelsevariabler Som tidigare nämnts är syftet att skaa en uppfattning om felet i prognoser av framtida dödlighet. För den skull studerar vi i detta arbete historisk data med Lee-Carters modellen och sedan jämföra detta med verkliga utfallet genom att ta några jämförelsevariabler. Som jämförelsevariabler har vi valt 1) Skatta µ (t) genom att använda observationer från lika många år bakåt i tiden som sedan ska skattas i framtiden och jämföra det med verkliga fallet. 2) Vad är skillnaden mellan den e sannolikheten att en -årig individ avlider i ett givet åldersintervallet givet att individen lever vid och verkliga fallet. 3) Hur mycket skulle försäkringsbolaget ta ut i premie för olika försäkringar med den e ˆµ (t) och verkliga fallet. För dem ovan nämnda jämförelsevariabler gör vi tio års,tjugo års och fyrti års prognoser och ser sedan hur mycket det skiljer sig från verkliga utfallet. Där även jämföra dem tre olika periodernas prognoser för att se om felet ökar eller minskar när man gör långa periodisk prognoser. 5.1 Jämförelse mellan den e ˆµ (t) och den verkliga utfallet Dödlighetsestimeringen bygger på att etraplation d.v.s man tar hänsyn till historisk data för att kunna prediktera kommande dödlighet. Parametrarna i Lee-Careters modellen skattas med hjälp av historisk data. För att utföra dem tre olika periodiska prognoser som nämns ovan, skattar vi parametrarna i Lee-Carters modellen (α,β och κ t ) utifrån data från intervallet t=[t,t+t1],där T=19-2 och t1 är lika med tio för tio års prognos, tjugo för tjugo års prognos och fyrti för fyrti års prognos. Med hjälp av de e parameterarna kan vi nu gå bakåt i tiden och estimera dödlighetsintensiteten µ (t) genom att använda observationer från lika många år bakåt i tiden som sedan ska skattas i framtiden för dem tre olika prioderna. Modellen antar att dödlighetsintensiteten över tiden drivs av enda tidsvarierande parameter d.v.s κ t. Utifrån den e κ(t) skattar vi en linje trend med minsta-kavadratmetoden( se gur 9). Den e 17

trenden i κ(t) används i prognosen. I gur 9 har en linje trend skattas med minsta-kavadratmetoden utifrån den e κ(t), t för perioden 198-2. Detta är för tio års prognos för kvinnor. För dem övriga prognosen beter sig den e trenden i κ(t) ungefär på samma sätt både för män och kvinnor. k 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 198 1985 199 1995 2 t Figur 9: Skattningen av kappa för kvinnor åldern mellan 2-9 år, 198-199 Därur bildas prognostiserade µ1() = ˆµ(, t) = ep[α + β κ(t )] för något intervall som ligger utanför det intervallet [T,T+t1] där vi skattar parametrarna α, β och κ(t). Skattningen av den verkliga e dödligheten i den ursprungliga datamaterialet vid tidpunkten T är µ2()=µ = D R där D är antal döda individer och R är risktiden. Vi har ju sett tidigare att skattningen av R är ˆR (t) = N 1(t 1)+N (t) 2 och att N 1 (t 1) = N (t) + D (t), då är det ˆµ är antal döda genom medeltalet hur många som lever under året, ˆµ = D (t) N (t) + D (t) 2 Nu kan vi utföra jämförelsen mellan den e dödlighetsintensiteten µ1() och verkliga utfallet µ2() genom att plota dem i samma graf. Vi börjar med att göra tio års prognos för dem tre olika jämförelse variablera. I gur 1-27 nedan har vi den e och e dödlighetsintensite- 18

ten, både för män och kvinnor åldern mellan (2-9) år..45.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 1: Observerad µ (t) 192 och från 19-191,för män 19

.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 11: Observerad µ (t) 193 och från 191-192,för män.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 12: Observerad µ (t) 194 och från 192-193,för män 2

.45.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 13: Observerad µ (t) 195 och från 193-194,för män.45.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 14: Observerad µ (t) 196 och från 194-195,för män 21

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 15: Observerad µ (t) 197 och från 195-196,för män.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 16: Observerad µ (t) 198 och från 196-197,för män 22

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 17: Observerad µ (t) 199 och från 197-198,för män.25.2.15 µ.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 18: Observerad µ (t) 2 och från 198-199,för män 23

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 19: Observerad µ (t) 192 och från 19-191,för kvinnor.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 2: Observerad µ (t) 193 och 191-192,för kvinnor 24

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 21: Observerad µ (t) 194 och från 192-193,för kvinnor.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 22: Observerad µ (t) 195 och från 193-194,för kvinnor 25

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 23: Observerad µ (t) 196 och från 194-195,för kvinnor.25.2.15 µ.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 24: Observerad µ (t) 197 och från 195-196,för kvinnor 26

.2.18.16.14.12 µ.1.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 25: Observerad µ (t) 198 och från 196-197,för kvinnor.18.16.14.12.1 µ.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 26: Observerad µ (t) 199 och från 197-198,för kvinnor 27

.16.14.12.1 µ.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 27: Observerad µ (t) 2 och från 198-199,för kvinnor Den prognotiserade dödlighet påverkas främst av trenden och vilken inverkan den har i olika åldrar, det vill säga kombinationen av värden på β och κ(t). Parameteren α sätter startnivå på dödlighet. I gur 11 och 2 kan vi se hur skattningen av κ t i gur 7-8 för både män och kivinnor påverkar prognosen. Modellen överskattar dödligheten redan vid låga åldrar. Dödligheten både hos män och kvinnor, åldern mellan 2 till ungefär 75 år överensstämmer mellan e data och e dödlighet. Därimot vid högre åldrar än 75 minskar överensstämmelsen. Detta kan bero på att det är för få observationer vid höga åldrar. 5.2 Sannolikheten att man avlider i ett visst åldersintervall En annan jämförelsetal är att titta pa skillnaden mellan den e sannolikheten att en -årig individ avlider i intervallet (,+h) där h>, givet att individen lever vid,det vill säga P [T < + h T ] där T är individens livslängd. Fördenskull bildar vi överlevelsefunktionen l(), 2 9. Överlevelsefunktionen är sannolikheten för en -årig individ att leva ytterligare t år. Vi har formeln 28

l() = ep( µ(y)dy) Men nu har vi µ() bara från =2, så vi kan bara få fram l() l(2) = ep( 2 µ(y)dy),för 2 < 9 och den kan vi approimera med trapetsformeln enligt följande: l() l(2) = ep µ(2) + µ() 2 + 1 y=21 µ(y),för 2 < 9 Nu kan vi bilda denna funktion för alla med 2 < 9 för båda dödlighetsfunktionerna µ1 och µ2. Vi kallar l() l(2) för g(), så vi har g1() och g2(). Då har vi P [a T < b] = för något värde pa a och b. l(a) l(b) l(a) = g(a) g(b) g(a) = 1 g(b) g(a), Med hjälp av ovan stående formel kan vi nu bilda dem sannolikheten som vi ska jämföra för de båda dödlighetsfunktionerna µ1 och µ2. Vi har bestämt oss för att studera sannolikheten att en individ avlider i denna åldersintervall P [3 T < 5 T > 3], P [5 T < 65 T > 5] och P [65 T < 8 T > 65]. Från tabell 1-2 kan observeras att dödligheten minskar ju längre fram i tiden vi kommer. Minskningen av dödligheten beror på förbättrade levnadsförhållande och livsstil. Mediciniska utveckligen har också spelat en stor roll i minskningen av dödligheten. Denna utveckling antas fortsätta även i framtiden. Vi kan även observera att kvinnor har lägre sannolikhet att dö än män. Relativa felet för män respektive kvinnor är mindre för åldern 65 år jämfört med åldern under 65 år. Figuren 27 och 28 nedan visar relativa felet för män repektive kvinnor, där vi ser att metoden överskattar sannolikheten att en individ avlider i dem olika åldersintervallerna för kvinnor. Metoden överskattar sannolikheten att en individ avlider i åldersintervallet (3,5) givet att 29

man lever vid 3 år, för män. Däremot underskattar metoden sannolikheten för åldersintervall (5,65) och för åldersintervall (65,8) varken överskattar eller underskattar metoden sannolikheten. Att metoden överskattar sannolikheten att man avlider i dem givna åldersintervall betyder att i verkligheten är sannolikheten lägre och minskar med tiden. Detta har både för och nackdel för försäkringsbolaget. Nackedelen är om individen tecknar en livsränta försäkring, då är eekten negativ för försäkringsgivaren men däremot om individen tecknar en dödsfalls försäkring kan hända att försäkringsgivaren tar ut mycket i premien, då kan försäkringsgivaren lämna tillbaka pengarna som återbäring om försäkringen är berättigade till återbärning. När metoden underskattar sannolikheten gäller det tvärtom. 3

Period Skattat P Verklig P Relativa felet 19-191 192 P[3 T <5 T 3],1243,124,322 P[5 T <65 T 5],182,1846, 238 P[65 T <8 T 65],527,564, 596 191-192 193 P[3 T <5 T 3],1627,966,6843 P[5 T <65 T 5],285,1821,1452 P[65 T <8 T 65],5639,56,68 192-193 194 P[3 T <5 T 3],879,693,2689 P[5 T <65 T 5],1771,1694,456 P[65 T <8 T 65],549,556, 3 193-194 195 P[3 T <5 T 3],619,457,3555 P[5 T <65 T 5],1649,1389,1866 P[65 T <8 T 65],5486,5276,398 194-195 196 P[3 T <5 T 3],33,34, 34 P[5 T <65 T 5],1254,113,1375 P[65 T <8 T 65],566,476,643 195-196 197 P[3 T <5 T 3],249,3, 1722 P[5 T <65 T 5],846,94, 996 P[65 T <8 T 65],4225,469,382 196-197 198 P[3 T <5 T 3],294,278,557 P[5 T <65 T 5],88,852, 523 P[65 T <8 T 65],3553,3488,185 197-198 199 P[3 T <5 T 3],25,244,264 P[5 T <65 T 5],757,85, 6 P[65 T <8 T 65],2989,322, 667 198-199 2 P[3 T <5 T 3],243,188,2942 P[5 T <65 T 5],795,71,1336 P[65 T <8 T 65],348,2728,1169 Tabell 1: Sannolikheten att en individ avlider i åldersintervall,(3,5),(5,65) och (65,8) kvinnor 31

Period Skattat P Verklig P Relativa felet 19-191 192 P[3 T <5 T 3],1224,1279, 429 P[5 T <65 T 5],226,2244, 167 P[65 T <8 T 65],5886,619, 491 191-192 193 P[3 T <5 T 3],1871,163,765 P[5 T <65 T 5],2519,2153,1696 P[65 T <8 T 65],6418,6133,465 192-193 194 P[3 T <5 T 3],919,833,137 P[5 T <65 T 5],2117,2137, 93 P[65 T <8 T 65],616,6443, 438 193-194 195 P[3 T <5 T 3],717,565,2694 P[5 T <65 T 5],229,1839,211 P[65 T <8 T 65],6763,633,129 194-195 196 P[3 T <5 T 3],417,55, 1749 P[5 T <65 T 5],1725,1747, 126 P[65 T <8 T 65],5758,5915, 265 195-196 197 P[3 T <5 T 3],462,51, 929 P[5 T <65 T 5],1546,1684, 818 P[65 T <8 T 65],5632,5624,15 196-197 198 P[3 T <5 T 3],55,521,557 P[5 T <65 T 5],1656,178, 36 P[65 T <8 T 65],5596,5633, 67 197-198 199 P[3 T <5 T 3],526,392,3411 P[5 T <65 T 5],177,146,2142 P[65 T <8 T 65],5681,5129,176 198-199 2 P[3 T <5 T 3],332,31,128 P[5 T <65 T 5],1224,155,1595 P[65 T <8 T 65],4659,435,79 Tabell 2: Sannolikheten att ett individ avlider i åldersintervall,(3,5),(5,65) och (65,8) män 32

.7.6.5.4.3 P.2.1.1.2 19 192 194 196 198 2 Figur 28: Relativa felet för sannolikheten att en individ avlider i åldersintervall (3,5) ringen,(5,65) ggr och (65,8) plus,kvinnor.8.6.4.2 P.2.4.6.8 1 19 192 194 196 198 2 Figur 29: Relativa felet för sannolikheten att en individ avlider i åldersintervall (3,5) ringen,(5,65) ggr och (65,8) plus,män 33

5.3 Premien Här ska vi undersöka hur mycket försäkringsbolaget skall ta ut i premie från en -årig individ som är försäkrad, för olika försäkringar med den e ˆµ (t) och verkliga fallet. Vi har tagit två försäkringar som har mest med döden att göra, uppskjuten temporär livränta och kapitalförsäkring för dödsfall. Uppskjuten temporär livränta innebär att, från försäkringsbolaget betalas det ut ett konstant belopp k per år med början efter m år så länge som den försäkrade lever, dock längst i s år. Försäkringsbeloppet betalas med andra ord ut under åldersperioden (+m,+m+s) under förutsättningen att individen lever i intervallet. Kapitalförsäkring för dödsfall innebär att, från försäkringsbolaget betalas det ut 1 krona då den försäkrade avlider under förutsättning att det inträffar senast då den försäkrade uppnått åldern z. Från försäkringsbolaget görs alltså enbart en engångsutbetalning. Beräkningen som ska göras här nu är kapitalvärdet. Kapitalvärdet av en utbetalning är väntevärdet av nuvärdet av utbetalningen diskonterad med avseende på räntan och dödlighet. Fördenskull bestämmer vi kommutationsfunktionerna D(), N() och M(). D(X) är de levandes diskonterade tal, N() är summan av de levandes diskonterade tal och M() är summan av de avlidnas diskonterade tal. D() = l() ep( δ ), N() = D(t)dt, M() = µ t D(t)dt där och δ =, 2. Med hjälp av Euler-Maclaurins summationformel kan N() skrivas som N() = w i= D( + i) D() 2 M() kan skrivas som, M()=D()-δN(). 1 12 (µ + δ)d(). 34

Med de ovanstående kommutationsfunktionerna kan vi nu beräkna kapitalvärdet för uppskjuten temporär livränta och kapitalförsäkring för dödsfall. Vi börjar med att beräkna kapitalvärdet för uppskjuten temporär livränta. Betrakta åldern (=3 och =45) för två individer som är försäkrade. Om individen är 3 år gammal betalar han premie i 35 år (m=35), efter 65 får han utbetalningar i 15 år (s=15) om individen är vid liv, dvs utbetalningen sker i åldersintervallet (65,8) och om individen är 45 år gammal betalar han premie i 2 år (m=2), efter 65 får han utbetalningar i 15 år (s=15) om individ är vid liv, dvs utbetalningen sker i åldersintervall (65,8). Årspremien för uppskjuten temporära livränta för =3 ges av och engånspremien ges av A = N(65) N(8) N(3) N(65) E = N(65) N(8) D(3) Årspremien för kapitalförsäkring för dödsfall, =3 ges av E = M(3) M(65) N(3) N(65) Engånspremien för kapitalförsäkring för dödsfall, =3 ges av E = M(3) M(65) D(3) Årspremien för uppskjuten temporära livränta för =45 ges av och engånspremien ges av P = N(65) N(8) N(45) N(65) E = N(65) N(8) D(45) 35

Årspremien för kapitalförsäkring för dödsfall, =45 ges av P = M(45) M(65) N(45) N(65) Engånspremien för kapitalförsäkring för dödsfall, =45 ges av E = M(45) M(65) D(45) I Tabellen 3-6 och gur 3-31 har vi relativa felet till de två olika försäkringarna, för de olika åldrarna. Om relativa felet är störst eller minst för de olika åldrarna är svårt att säga, för det varierar mycket. Relativa felet för uppskjuten temporär livränta för kvinnor i guren 3 nedan ser vi att metoden underskattar premien för båda åldrarna men däremot överskattar premien för kapitalförsäkringen för båda åldrarna. I gur 31 ser vi att metoden överskattar årspremien och underskattar engångspremien för uppskjuten temporär livränta för båda åldrarna för män. Årspremien för Kapitalförsäkringen för dödsfall överskattas för åldern 45 och underskattas för åldern 3 men däremot överskattar metoden engångspremien för båda ålderarna. Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-191 192,157,453,181,462 191-192 193, 626, 1137, 357, 529 192-193 194, 69, 579,19, 419 193-194 195, 581, 544, 481, 423 194-195 196, 391, 982, 374, 983 195-196 197, 228, 712, 271, 768 196-197 198.54, 76,54, 61 197-198 199,168,218,168,228 198-199 2, 286, 38, 258, 262 Tabell 3: Relativa felet av årspremie och engångspremie för uppskjuten temporär livränta, kvinnor 36

Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-191 192,76,65,19,84 191-192 193,4555,3733,1983,1745 192-193 194,157,1332,781,7 193-194 195,2686,2496,2253,295 194-195 196,888,872,1123,185 195-196 197, 1389, 1335, 916, 876 196-197 198.163, 168, 426, 416 197-198 199, 29, 293, 519, 512 198-199 2,1875,1819,1339,137 Tabell 4: Relativa felet av årspremie och engångspremie för kapitalförsäkring för dödsfall, kvinnor Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-191 192,242,547,568,477 191-192 193, 912, 1754, 586, 154 192-193 194,54,269,65,333 193-194 195, 818, 1372, 72, 1267 194-195 196,181,643,156,615 195-196 197, 47, 948, 19, 154 196-197 198.83,662,126,845 197-198 199, 77, 118, 671, 1116 198-199 2, 35, 496, 326, 449 Tabell 5: Relativa felet av årspremie och engångspremie för uppskjuten temporär livränta, män Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-191 192,87, 39, 137, 126 191-192 193,511,425,2272,1951 192-193 194, 87,246, 967,17 193-194 195, 1374,2117,2114,1934 194-195 196, 388, 632, 69, 58 195-196 197, 467, 64,179,41 196-197 198.324,317, 778, 761 197-198 199, 3498,246,2554,2364 198-199 2, 5522,1456,121,1184 Tabell 6: Relativa felet av årspremie och engångspremie för kapitalförsäkring för dödsfall, män 37

A E A E Uppskjuten temporär livränta årspreme.1.1 19 192 194 196 198 2 Uppskjuten temporär livränta engångspremie.2.2 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall årspremie.5.5 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall engångspremie.5.5 19 192 194 196 198 2 Figur 3: Relativa felet för båda försäkringarna(ringen för =3 och ggr för =45), kvinnor A E E Uppskjuten temporär livränta årspreme.1.1 19 192 194 196 198 2 Uppskjuten temporär livränta engångspremie.2.2 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall årspremie 1 1 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall engångspremie.5.5 19 192 194 196 198 2 A Figur 31: Relativa felet för båda försäkringarna(ringen för =3 och ggr för =45),män 38

6 Långperiodska prognoser Det man är intresserad av är egentligen att göra långtids prognos över dödligheten med Lee-Carters modellen. Frågan är hur bra överensstämmer prognosen med verkligheten. Med hjälp av jämförelsevariabler som används ovan ska vi göra 2 och 4 års prognos. 6.1 2 års prognos Skattningen av dödlighetsintensiteten görs precis på samma sätt som 1 års prognos för 2 års prognos. Figur 32-38 nedan visar att skattningen av dödligheten överensstämmer ganska bra för åldern under 65 med den e dödligheten för män men däremot för åldern över 65 antingen överskattar eller underskattar metoden dödligheten. För kvinnor ser vi från gur 39-45 att den e dödligheten överenstämmer ganska bra fram till åldern ungefär 7 men för åldern över 7 antingen överskattar eller underskattar metoden dödligheten. Jämfört med 1 års prognosen så har anpassningen med den e dödlighet för 2 års prognosen har minskat ganska mycket. Minskningen är lägre för kvinnor än för männen. Det verkar som att ju längre periods prognos man gör över dödligheten desto mer ökar osäkerheten i prognosen..4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 32: Observerad µ (t) 194 och från 19-192,för män 39

.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 33: Observerad µ (t) 195 och från 191-193,för män.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 34: Observerad µ (t) 196 och från 192-194,för män 4

.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 35: Observerad µ (t) 197 och från 193-195,för män.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 36: Observerad µ (t) 198 och från 194-196,för män 41

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 37: Observerad µ (t) 199 och från 195-197,för män.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 38: Observerad µ (t) 2 och från 196-198,för män 42

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 39: Observerad µ (t) 194 och från 19-192,för kvinnor.4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 4: Observerad µ (t) 195 och från 191-193,för kvinnor 43

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 41: Observerad µ (t) 196 och från 192-194,för kvinnor.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 42: Observerad µ (t) 197 och från 193-195,för kvinnor 44

.25.2.15 µ.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 43: Observerad µ (t) 198 och från 194-196,för kvinnor.16.14.12.1 µ.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 44: Observerad µ (t) 199 och från 195-197,för kvinnor 45

.16.14.12.1 µ.8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 45: Observerad µ (t) 2 och från 196-198,för kvinnor 46

6.1.1 Sannolikheten att en individ avlider i åldersintervallet (3,5),(5,65) och (65,8) Period Skattat P Verklig P Relativa felet 19-192 194 P[3 T <5 T 3],1376,693,9864 P[5 T <65 T 5],1983,1694,174 P[65 T <8 T 65],5674,556,34 191-193 195 P[3 T <5 T 3],777,457,71 P[5 T <65 T 5],1695,1389,2199 P[65 T <8 T 65],5499,5276,423 192-194 196 P[3 T <5 T 3],533,34,5666 P[5 T <65 T 5],1637,113,4842 P[65 T <8 T 65],5677,476,1927 193-195 197 P[3 T <5 T 3],239,3, 224 P[5 T <65 T 5],143,94,127 P[65 T <8 T 65],468,469,1324 194-196 198 P[3 T <5 T 3],147,278, 4697 P[5 T <65 T 5],743,852, 1287 P[65 T <8 T 65],429,3488,267 195-197 199 P[3 T <5 T 3],191,244, 2141 P[5 T <65 T 5],68,85, 2451 P[65 T <8 T 65],3175,322, 81 196-198 2 P[3 T <5 T 3],233,188,242 P[5 T <65 T 5],641,71, 86 P[65 T <8 T 65],2461,2728, 979 Tabell 7: Sannolikheten att en individ avlider i ett vist åldersintervall, kvinnor 47

Period Skattat P Verklig P Relativa felet 19-192 194 P[3 T <5 T 3],162,833,9241 P[5 T <65 T 5],2489,2137,1647 P[65 T <8 T 65],6456,6443,2 191-193 195 P[3 T <5 T 3],79,565,42 P[5 T <65 T 5],222,1839,99 P[65 T <8 T 65],628,633,86 192-194 196 P[3 T <5 T 3],64,55,2673 P[5 T <65 T 5],213,1747,1522 P[65 T <8 T 65],6662,5915,1263 193-195 197 P[3 T <5 T 3],343,51, 3275 P[5 T <65 T 5],1562,1684, 722 P[65 T <8 T 65],5448,5624, 312 194-196 198 P[3 T <5 T 3],29,521, 4432 P[5 T <65 T 5],1384,178, 1894 P[65 T <8 T 65],548,5633, 271 195-197 199 P[3 T <5 T 3],447,392,1399 P[5 T <65 T 5],1585,146,1274 P[65 T <8 T 65],5591,5129,91 196-198 2 P[3 T <5 T 3],593,31,9713 P[5 T <65 T 5],171,155,6116 P[65 T <8 T 65],5518,435,2683 Tabell 8: Sannolikheten att en individ avlider i ett vist åldersintervall, män 48

1.5 P.5 19 192 194 196 198 2 Figur 46: Relativa felet för sannolikheten att en individ avlider i åldersintervall (3,5) ringen,(5,65) ggr och (65,8) plus,kvinnor 1.5 P.5 19 192 194 196 198 2 Figur 47: Relativa felet för sannolikheten att en individ avlider i åldersintervall (3,5) ringen,(5,65) ggr och (65,8) plus,män 49

I gur 46 ser vi att metoden underskattar sannolikheten att en individ avlider i åldersintervallet (3,5), däremot överskattar metoden sannolikheten för ålderintervallet (5,65) och (65,8) för kvinnor. För män som vi kan se i gur 47 överskattar metoden sannolikheten för alla tre ådersintervall. Om vi jämför resultatet med 1 år prognos så ser vi att underskattningen och överskattningen varierar slumpmässigt för både män och kvinnor. Detta betyder att metoden inte överskattar eller underskattar sannolikheten systematiskt. 6.1.2 Relativa felet för uppskjuten temporär livränta och kapitalförsäkring för dödsfall Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-192 194, 619, 1425, 337, 936 191-193 195, 63, 961, 44, 747 192-194 196, 1275, 1857, 1137, 1749 193-195 197, 443, 15, 463, 188 194-196 198, 446, 1456, 514, 1545 195-197 199,385,42,344,38 196-198 2.188,452,2,498 Tabell 9: Relativa felet av årspremie och engångspremie för uppskjuten temporär livränta, kvinnor Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-192 194,5474,4622,2582,2267 191-193 195,3946,3599,2876,2635 192-194 196,5329,533,5122,4793 193-195 197,2,52,575,586 194-196 198, 242, 232, 145, 1388 195-197 199, 237, 22, 2179, 2131 196-198 2,139,19, 657, 654 Tabell 1: Relativa felet av årspremie och engångspremie för kapitalförsäkring för dödsfall, kvinnor 5

Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-192 194, 81, 1397, 464, 768 191-193 195, 327, 44, 213, 253 192-194 196, 668, 849, 544, 728 193-195 197,383,397,289,273 194-196 198,33, 349,177, 529 195-197 199, 847, 1339, 746, 1255 196-198 2, 1424, 1829, 122, 1591 Tabell 11: Relativa felet av årspremie och engångspremie för uppskjuten temporär livränta, män Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-192 194,5119,4175,2493,2124 191-193 195, 253,1767,143,1264 192-194 196,197,1725,1438,1264 193-195 197, 1546, 1441, 148, 962 194-196 198, 2411, 2254, 1625, 1485 195-197 199,2744,2572,2542,2356 196-198 2,78,7221,617,5694 Tabell 12: Relativa felet av årspremie och engångspremie för kapitalförsäkring för dödsfall, män I gur 48-49 nedan ser vi att metoden underskattar premien för uppskjuten temporär livränta och överskattar kapitalförsäkringen för dödsfall för män respektive kvinnor för både åldrarna. Jämför med 1-års prognosen så beter sig metoden på samma sätt för kvinnor men för män varierar slumpmässigt. 51

A E Uppskjuten temporär livränta årspreme.2.2 19 192 194 196 198 2 Uppskjuten temporär livränta engångspremie.2.2 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall årspremie 1 1 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall engångspremie 1 1 19 192 194 196 198 2 A E Figur 48: Relativa felet för båda försäkringarna(ringen för =3 och ggr för =45), kvinnor A E Uppskjuten temporär livränta årspreme.2.2 19 192 194 196 198 2 Uppskjuten temporär livränta engångspremie.2.2 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall årspremie 1 1 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall engångspremie 1 1 19 192 194 196 198 2 A E Figur 49: Relativa felet för båda försäkringarna(ringen för =3 och ggr för =45),män 52

6.2 4 års prognos Även här görs skattningen av dödlighetsintensiteten precis på samma sätt som 1-års och 2-års prognos. Skattningen av dödlighetsintenstieten för män som vi kan se i gur 5-52 här nedan visar att den e dödlighetintenstietet överensstämmer med den e för åldern upp till ungefär 65. För åldern över 65 överskattar metoden dödligheten. För kvinnor i gur 53-55 däremot överänsstämmer den e dödligheten med den observerde fram till åldern 6, för åldern över 6 överskattar metoden dödligheten väldigt mycket. När vi jämförde 1-års prognosen med 2-års prognosen så var det att minskningen av överensstämmelsen var det mindre för kvinnor jämfört med mäns, här är det precis tvärtom minskningen är mindre för män. Att metoden överskattar eller underskattar dödligheten verkar vara slumpmässigt. Att metoden överskattar dödlighetsintenstieten redan vid 6-års åldern för kvinnor kan inte vara bra. Detta betyder att i verkligheten är dödlighetsintensiteten lägre. Det här kan inte vara bra för försäkringsbolaget, man är ju intresserad av att veta hur mycket pengar man skall avsätta för framtida pention..4.35.3.25 µ.2.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 5: Observerad µ (t) 198 och från 19-194,för män 53

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 51: Observerad µ (t) 199 och från 191-195,för män.25.2.15 µ.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 52: Observerad µ (t) 2 och från 192-196,för män 54

.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 53: Observerad µ (t) 198 och från 19-194,för kvinnor.35.3.25.2 µ.15.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 54: Observerad µ (t) 199 och från 191-195,för kvinnor 55

.25.2.15 µ.1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 55: Observerad µ (t) 2 och från 192-196,för kvinnor 6.2.1 Sannolikheten att en individ avlider i åldersintervallet (3,5),(5,65) och (65,8) Sannolikheten att en individ avlider i åldersintervallet (3,5),(5,65) och (65,8) Period Skattat P Verklig P Relativa felet 19-194 198 P[3 T <5 T 3],551,521,57 P[5 T <65 T 5],1795,178,59 P[65 T <8 T 65],69,5633,811 191-195 199 P[3 T <5 T 3],31,392, 2326 P[5 T <65 T 5],1471,146,473 P[65 T <8 T 65],5643,5129,14 192-196 2 P[3 T <5 T 3],196,31, 3496 P[5 T <65 T 5],125,155,1845 P[65 T <8 T 65],5338,435,2269 Tabell 13: Sannolikheten att en individ avlider i ett vist åldersintervall, män 56

Period Skattat P Verklig P Relativa felet 19-194 198 P[3 T <5 T 3],498,278,7926 P[5 T <65 T 5],1552,852,821 P[65 T <8 T 65],5524,3488,5835 191-195 199 P[3 T <5 T 3],22,244, 871 P[5 T <65 T 5],192,85,356 P[65 T <8 T 65],4931,322,54 192-196 2 P[3 T <5 T 3],97,188, 4814 P[5 T <65 T 5],669,71, 461 P[65 T <8 T 65],41,2728,527 Tabell 14: Sannolikheten att en individ avlider i ett vist åldersintervall, kvinnor.3.2.1 P.1.2.3.4 19 192 194 196 198 2 Figur 56: Relativa felet för sannolikheten att en individ avlider i åldersintervall (3,5) ringen,(5,65) ggr och (65,8) plus,män 57

1.5 P.5 19 192 194 196 198 2 Figur 57: Relativa felet för sannolikheten att en individ avlider i åldersintervall (3,5) ringen,(5,65) ggr och (65,8) plus,kvinnor Metoden underskattar sannolikheten att en individ avlider i åldersintervallet (3,5) för män men däremot överskattar sannolikheten för åldersintervall (5,65) och (65,8) (se g.56). För kvinnor underskattar metoden sannolikheten för åldersintervall (3,5) och (5,65) och överskattar sannolikheten för åldersintervall (65,8) (se g.57). 58

6.2.2 Relativa felet för uppskjuten temporär livränta och kapitalförsäkring för dödsfall För 4-års prognosen överskattar metoden åspremien och underskattar engångspremien för uppskjuten temporär livränta både för män och kvinnor. Däremot överskattar metoden både årspremien och engångspremien för kapitalförsäkring för dödsfall (se gur 57-58). kapitalförsäkring för dödsfall för 2 och 4-års prognos beter sig på samma sätt för både män och kvinnor men skiljer sig från 1-års prognos. Uppskjuten temporär livränta varierar slupmässigt för dem tre olika periods prognoser. Att metoden överskattar eller underskattar premierna verkar vara slumpmässigt vilket betyder att metoden inte överskattar eller underskattar premeien systematisk. Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-194 198 -,181 -,2977 -,1658 -,2889 191-195 199, 19 -,2382 -,168 -,247 192-196 2 -,483 -,141 -,528 -,1438 Tabell 15: Relativa felet av årspremie och engångspremie för uppskjuten temporär livränta,kvinnor Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-192 194,826,7837,8614,818 191-193 195, 2149,2137,3199,319 192-194 196 -,1741 -,1687 -,149 -,999 Tabell 16: Relativa felet av årspremie och engångspremie för kapitalförsäkring för dödsfall,,kvinnor Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-194 198 -,349 -,73 -,325 -,687 191-195 199, 344 -,717 -,366 -,8 192-196 2 -,683 -,1294 -,67,1363 Tabell 17: Relativa felet av årspremie och engångspremie för uppskjuten temporär livränta,män 59

Period Årspremie Engångspremie Årspremie Engångspremie för åldern 3 för åldern 3 för åldern 45 för åldern 45 19-192 194,516,491,534,5 191-193 195, 48 -,349,356,352 192-194 196,258,37,1314,1295 Tabell 18: Relativa felet av årspremie och engångspremie för kapitalförsäkring för dödsfall,,män A E Uppskjuten temporär livränta årspreme.1.2 19 192 194 196 198 2 Uppskjuten temporär livränta engångspremie.1.2.3 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall årspremie 1 1 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall engångspremie 1 1 19 192 194 196 198 2 A E Figur 58: Relativa felet för båda försäkringarna(ringen för =3 och ggr för =45), kvinnor 6

A E A E Uppskjuten temporär livränta årspreme.5.1 19 192 194 196 198 2 Uppskjuten temporär livränta engångspremie.2.2 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall årspremie.2.2 19 192 194 196 198 2 Kapitalförsäkrigar för dödsfall engångspremie.2.2 19 192 194 196 198 2 Figur 59: Relativa felet för båda försäkringarna(ringen för =3 och ggr för =45),män 7 Slutsats Historisk data visar att folk lever längre och längre. Minskning av dödligheten beror på förbättrade levnadsförhållanden och livsstil. Medelåldern vid dödsfall år 1968 var 74 år för kvinnor och 7 år för män jämfört medelåldern vid dödsfall år 25 var 81,5 för kvinnor och 76,5 år för män. Med antagande av att förbättringar av levnadsförhållanden och livsstil även i framtiden har man gjort prognos över dödligheten med Lee-Carters modellen. Frågan är hur bra metoden överensstämmer med verkligheten. Första jämförelsevariabeln dvs jämförelsen mellan den e dödlighetsintensiteten och verkliga utfallet för 1-års prognosen som vi kan se i gur 1-27, beskriver dödligheten hos män och kvinnor, åldern mellan 2 och 9 år. Skattningen för åldern 2 till ungefär 75 överensstämmer med den e datan både för män och kvinnor men för högre åldrar än 75 både för män och kvinnor minskar överensstämmelsen. Detta kan bero på att det är för få observationer i högre åldrar. För 2-års prognosen överensstämmer dödlighetsintensiteten med den e fram till ålder 65 för män och fram till 7 år för kvinnor och för 4-års prognosen överensstämmer dödlighetsintensiteten med den e fram till 65 år för män och 6 år för kvinnor. 61

Om vi jämför 1-års prognosen med 2-års prognosen ser vi att överstämmelsen mellan och dödlighet minskar för 2-års prognosen både för män och kvinnor, men minskningen är mindre för kvinnor. Överensstämmelsen blir bättre för män än kvinnor i 4-års prognosen. 1-års prognosen passar bäst med verkligheten jämfört med 2 och 4-års prognosen. Skillnaden mellan 2 och 4- års prognos för män är inte mycket men däremot för kvinnor skiljer det sig mycket. Felet ökar i prognosen ju längre periods prognos man gör. Att metoden överskattar dödlighetsintensiteten betyder att i verkligheten är dödlighetsintensiteten lägre. Detta kan vara ett problem för försäkringsbolaget att avsätta pengar för framtida pension. Från dem här tre olika periods prognoser kan vi observera att metodens överskattning eller underskatting av dödligheten är slumpmässig vilket betyder att metoden inte överskattar eller underskattar dödligheten systematisk. I 1 och 2-års prognosen metoden överskattar relativa felet för sannolikheten att en individ avlider i de givna åldersintervallen, för män och kvinnor. I åldersintervallet (65,8) fördelar sig lika för män i 1-års prognosen. Metoden överskattar relativa felet för åldersintervallet (5,65), (65,8) och underskattar relativa felet för åldersintervallet (3,5) för kvinnor i 2 och 4-års prognosen. I 4-års prognosen underskattar metoden relativa felet för åldersintervallet (3,5), (5,65) och överskattar relativa felet för åldersintervallet (65,8) för män. Även här kan vi observera att metoden inte överskattar eller underskattar sannolikheten systematiskt. Metodens överskattning av sannolikheten att en individ avlider i ett visst åldersintervall betyder att sannolikheten i verkligheten är mindre. Detta har både fördel och nackdel för försäkringsbolaget. Nackdelen är om en individ tecknar en livränta försäkring, då är det en negativ eekt för försäkringsgivaren men däremot om individen tecknar en dödsfall försäkring kan hända att försäkrinigsgivaren tar ut mycket i premie, då kan försäkrinigsgivaren lämna tillbaka pengarna som återbäring om försäkringen är berättigade till återbäring. Slutligen är frågan hur mycket försäkringsbolaget skall ta ut i premie med den e och e dödlighetsintensiteten. I 1 och 2-årsprognosen överskattas och underskattas premien för kvinnornas del på samma sätt som i 4-årsprognosen. För män är överskattning och underskattning mer slumpmässigt, liksom för sannolikheten. I allmänhet kan man väl säga att Lee-Carter är en bra metod att skatta dödligheten med. Enligt resultet av detta arbete bör man göra högst 2 års prognos. 1 års prognos ger bästa prognosen. Men trots att det är osäkert att göra långtids prognos över dödligheten med Lee-Carters modellen måste försäkringsbolaget göra dödlighetsprognoser cirka 5 år framåt. Att beräkna 62