1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0.



Relevanta dokument
P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = ξ = 2ξ 1 3ξ 2

σ 12 = 3.81± σ n = 0.12 n = = 0.12

= 0.044±

Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) =

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

FÖRELÄSNING 7:

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Föreläsning 12: Regression

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Avd. Matematisk statistik

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 28 okt 2015

F3 Introduktion Stickprov

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Övningstentamen 2 Uppgift 1: Uppgift 2: Uppgift 3: Uppgift 4: Uppgift 5: Uppgift 6: i ord

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

Föreläsning 12: Repetition

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

F22, Icke-parametriska metoder.

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

FÖRELÄSNING 8:

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Institutionen för teknikvetenskap och matematik, S0001M LABORATION 2

Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o. förkasta eller acceptera hypotesen

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Individ nr Första testet Sista testet

Avd. Matematisk statistik

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp

Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17

Mer om slumpvariabler

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Övningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population

Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

Del I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1

SF1911: Statistik för bioteknik

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.


SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion

Tentamen i statistik och sannolikhetslära för BI2 den 27 maj 2010

Transkript:

Tentamen TMSB18 Matematisk statistik IL 091015 Tid: 08.00-13.00 Telefon: 036-10160 (Abrahamsson, Examinator: F Abrahamsson 1. Livslängden för en viss tvättmaskin är exponentialfördelad med en genomsnittlig livslängd 10 år. Tillverkaren lovar att gratis reparera maskiner som går sönder innan garantitiden löpt ut. (a Om tillverkaren endast vill reparera högst 8% av maskinerna som går sönder utan ersättning, hur lång garantitid skall han erbjuda köparen? (b Om en hyresvärd köper 7 tvättmaskiner av denna typ, vad är då sannolikheten att minst av dessa kommer att gå sönder inom en 3-årsperiod? (p (p Lösning: (a Om ξ är maskinens livslängd och om T är garantitiden så vill vi att P(ξ < T = 0.08 T vilket ger T = 10 ln 0.9 0.83 år 10 månader. 0 1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08 (b Om η är antalet maskiner som går sönder inom en 3-årsperiod så är η Bin(7, p med Alltså är p = P(ξ < 3 = 1 e 1 10 3 0.59. P(η = 1 P(η = 0 P(η = 1 = 1 (1 p 7 7p(1 p 6 0.58. En producent av frukostflingor påstår att förpackningen innehåller 40 g torkad frukt. En konsumentorganisation misstänker att den faktiska mängden torkad frukt är mindre än 40 g. För att undersöka saken undersöks 8 förpackningar och man finner att medelvärdet av fruktmängden är 7 g. Kan konsumentorganisationen påstå att fruktmängden är mindre än 40 g om man är villig att acceptera 1% felrisk? (a Besvara frågan genom att göra att lämpligt hypotestest under antagande att fruktmängden är normalfördelad med standardavvikelse σ = 7 g. (b Bestäm testets styrka om den sanna fruktmängden är g. (c Besvara frågan genom att konstruera ett lämpligt konfidensintervall. Samma normalfördelningsantagande som i a-uppgiften. (p Lösning: (a Vi vill testa H 0 : µ = 40 mot H 1 : µ < 40 på signifikansnivån 1%. Testvariabeln är Z 0 = ξ 40 7/ 8 och vi förkastar H 0 om z 0 < z α = z 0.01.3 Vi får här z 0 = 7 40 7/ 8.54 Alltså förkastar vi H 0 på signifikansnivån 1% dvs. konsumentorganisationen kan påstå att de har rätt. (b Om µ = är Z 0 = ξ 40 7/ 8 = ξ 7/ 18 8 7/ N( 3.53, 1 8 } {{ } } {{ } N(0,1 3.53 så att testets styrka blir (.3 ( 3.53 1 β = P(Z 0 <.3 Z 0 N( 3.53, 1 = Φ = Φ(1.1 0.89 1

TMSB18 Mathematisk statistik IL sida av 5 (c Vi kan ej förkasta H 0 på signifikansnivån 1% om Z 0 λ 0.01 µ 0 ξ + λ 0.01 7 8 där µ 0 = 40. Vi bestämmer alltså ett uppåt begränsat konfidensintervall för µ och förkastar H 0 om µ 0 ligger utanför detta intervall. Här fås konfidensintervallet [, x + λ 0.01 7 8 ] = [, 38.9] och eftersom detta intervall inte täcker över µ 0 = 40 så förkastar vi H 0 på signifikansnivån 1%. 3. Antalet timmar som ett hushåll dammsuger under en vecka är en kontinuerlig stokastisk variabel ξ med frekvensfunktion { 3 f(x = 4x( x, om 0 < x <, 0, övriga x (a Bestäm den kumulativa fördelningsfunktionen F(x för ξ. (b Vad är sannolikheten att ett hushåll dammsuger mer än 90 minuter under en vecka? (p Lösning: (a F(x = P(ξ x = x 0, x 0 f(tdt = 3x x 3 4, 0 < x 1, x (b P(ξ > 3 = 1 P(ξ 3 = 1 F(3 = 1 7 3 = 5 3 4. En sträcka med längd L skall mätas som en summa av två delsträckor dvs. vi skriver L = L 1 + (p L. Mätningarna av delsträckorna kan ses som observationer av normalfördelade oberoende stokastiska variabler med väntevärden L 1 resp. L och varians σ = 0.1 m. Vad är sanolikheten att det uppmätta värdet kommer att avvika högst 0.1 m från det korrekta värdet? Lösning: Låt ξ i för i = 1, vara mätresultatet för delsträcka i. Då är ξ i N(L i, 0.1 och den uppmätta längden är ξ = ξ 1 + ξ N(L, 0.1. Vi får P( ξ L 0.1 = P( 0.1 ξ L 0.1 = P 1 ξ L 0.1 } {{ } N(0,1 ( 1 = Φ Φ ( 1 ( 1 = Φ 1 0.5 1 5. En robot är programmerad att förflytta sig enligt följande: den skall gå 50 steg och inför (p varje nytt steg är det en slumpgenerator som bestämmer i vilken riktning steget sker; med sannolikheten 0.6 går roboten ett steg i nordlig riktning och med sannolikheten 0.4 går roboten i östlig riktning. Om vi lägger in robotens rörelser i ett koordinatsystem med start i origo, vad är då sannolikheten att roboten avslutar sin promenad i punkten med koordinater (5, 5? Lösning: Vi noterar att roboten kommer att stanna i punkten (5, 5 om och endast om den har tagit 5 steg i nordlig riktning och resterande 5 steg i östlig riktning. Låt ξ vara antalet steg i nordlig riktning som roboten tar under de 50 stegen. Då är ξ Bin(50, 0.6 och P (roboten hamnar i (5, 5 = P(ξ = 5 = ( 50 5 0.6 5 0.4 5 0.04

TMSB18 Mathematisk statistik IL sida 3 av 5 6. Ett handelsföretag i Jönköpingsregionen har behov av att rekrytera en logistikkunnig person som ska ansvara för kravställning när man inom en snar framtid ska byta ut sitt egenutvecklade IT-system mot ett standardsystem av ERP-typ. Ledningen på företaget har dock varit bekymrade över att den teoretiska logistikkompetensen hos de sökande varit relativt låg varför man utformat ett antal testfrågor som man ska använda i andra omgången av urvalsprocessen. Frågorna utgår från en av företagets volymprodukter vilken man prognostiserar med exponentiell utjämning och styr med beställningspunktssystem. Ledtiden för den här typen av produkter, som beställs från ett lågkostnadsland, är ca månader. Prognos och parametrar i beställningspunktssystemet uppdateras varje månad och de senaste månadernas prognoser (F och efterfrågehistorik (D har tagits ur det nuvarande IT-systemet och framgår av tabell 1. t Dec Jan Feb Mar Apr D t 156 15 165 158 15 F t 155.0 155. 154.6 156.6 156.9 Tabell 1: Försäljningshistorik och prognos för de senaste månaderna. I dagsläget använder man en säkerhetslagernivå, för alla artiklar av den aktuella typen, som är satt till 0 st men målet är att dimensionera säkerhetslagret baserat på SERV1 (dvs sannolikhet för att brist inte uppstår under en ordercykel. Den önskade servicenivån är satt till 95% och i prognostiseringen har man valt att sätta utjämningsfaktorn α till 0. som en lagom avvägning mellan följsamhet och stabilitet. För att underlätta beräkningen tillåter man att standardavvikelsen skattas med 1.5 multiplicerat med medelabsolutavvikelsen (MAD i de senaste två perioderna. (a Beräkna prognosen för nästa period (Maj. (b Bestäm lämplig beställningspunkt. (c Förklara hur du i (b-uppgiften använde antagandet om oberoende stokastiska variabler. Lösning: (a Prognostisering med exponentiell utjämning baseras på ekvationen: F t = αd t 1 + (1 αf t 1. I det här fallet blir det: F Maj = 0. 15 + (1 0. 156.9 = 155.9 st. (b Beställningspunkten beräknas som vanligt med BP = D L+SS där D fås från prognosen i a-uppgiften och L = månader är given i uppgiften. Säkerhetslagret SS beräknas enligt SERV1 som SS = k σ L där det är viktigt att komma ihåg att σ L är standardavvikelsen över ledtid. Denna kan beräknas baserat på osäkerheten i prognos (vilken skattas enligt uppgiftstexten som: σ L = L σ = 1.5 Säkerhetsfaktorn k tas ur en N(0, 1-tabell: 156.6 158 + 156.9 15 k = Φ 1 (SERV 1 = Φ 1 (0.95 = 1.64. = 5.54. Beställningspunkten kan då beräknas som BP = 155.9 + 5.54 1.64 = 30.9 st. (c Vid dimensionering av beställningspunkten utgick man från behov under ledtid och för beräkning av säkerhetslagret från osäkerhet i behov under ledtid. Prognosperioden avvek dock ifrån ledtiden varför en linjärkombination av osäkerheten skapades vilket i det här fallet är summan av två prognosperioder som motsvarar en ledtid. I den beräkningen adderades varianser vilket endast kan göras om osäkerheten i olika prognosperioder kan antas vara oberoende av varandra. 7. Det hävdas att andra gången man gör högskoleprovet så förbättras resultatet. Man har följande resultat för 10 personer som har gjort provet två gånger.

TMSB18 Mathematisk statistik IL sida 4 av 5 Person 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Första gången 1. 1.5 0.9 1.3 1.4 1.8 1.7 0.6 1.0 0.9 Andra gången 1.3 1.6 1.3 1.6 1.7 1.7 1.8 0.8 1.1 1.1 (a Genomför ett teckentest på signifikansnivån 1% för att se om det går att styrka påståendet ovan. (b Med antagandet att det individuella resultatet på högskoleprovet följer en normalfördelning, genomför ett relevant hypotestest på 1% signifikansnivå för att se om det går att styrka påståendet ovan. (p (p Lösning: (a Vi använder en modell där stickprovet är parvis ordnat (ξ 1, η 1,...,(ξ 10, η 10 med individens resultat första, resp. andra gången. Differenserna η i ξ i har här resulterat i r + = 9 positiva resultat. Vi vill testa H 0 : testresultatet är inte bättre andra gången H 1 : testresultatet är bättre andra gången Vi beräknar därför P värdet = P (R + 9 R + Bin(10, 1 = ( 10 9 På signifikansnivån 1% kan vi alltså inte förkasta H 0. ( 9 ( 1 1 10 + 10 ( 10 1 0.011 (b Med antagandet om normalfördelning är ξ i N(µ i, σ 1 och η i N(µ i +, σ så att Z i = η i ξ i N(, σ där σ = σ1 + σ. Vi vill nu testa H 0 : = 0 H 1 : > 0 på signifikansnivån 1%. Observerade värden z i = y i x i beräknas; Person 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Första gången x i 1. 1.5 0.9 1.3 1.4 1.8 1.7 0.6 1.0 0.9 Andra gången y i 1.3 1.6 1.3 1.6 1.7 1.7 1.8 0.8 1.1 1.1 Differens z i = y i x i 0.1 0.1 0.4 0.3 0.3-0.1 0.1 0. 0.1 0. Vi får z = 0.17 och s z = 0.14184. Testvariabelns värde blir t 0 = z 0 s z / 10 3.79. Med α = 0.01, n = 10 är t α (n 1 = t 0.01 (9 =.8. Eftersom t 0 >.8 så förkastas H 0 på signifikansnivån 1%. 8. Ett visst sjukhus får /5 av sitt influensavaccin från företag A och resten från företag B. Från (3p företag A är 3% av doserna verkningslösa, och från företag B är % av doserna verkningslösa. Sjukhuset testar 5 doser vaccin, valda på måfå från ett av företagen och finner att av doserna var verkningslösa. Vad är då sannolikheten att de testade vaccinen kom från företag A? Lösning: Låt X vara antalet verkningslösa bland 5 testade. Låt A och B vara händelserna att vi har valt de 5 testvaccinen från företag A resp. B. Vi söker då P(A X =. Enligt Bayes sats är P(X = AP(A P(A X = = P(X = AP(A + P(X = BP(B. Vidare så är P(X = A = P(X = X Bin(5, 0.03 = ( 5 0.03 0.97 3 0.134 och P(X = B = P(X = X Bin(5, 0.0 = ( 5 0.0 0.98 3 0.0.075.

Insättning ovan ger då att TMSB18 Mathematisk statistik IL sida 5 av 5 P(A X = 0.134 5 0.134 5 + 0.075 3 5 0.54.