Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Relevanta dokument
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Sammanfattninga av kursens block inför tentan

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Tentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393 - nya versionen, 5hp!)

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:

ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 32 maj Bordsnummer: Kontrollera att du fått rätt tentamensuppgifter

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393)

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Icke-linjära ekvationer

ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 32 maj Bordsnummer: Kontrollera att du fått rätt tentamensuppgifter

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Ickelinjära ekvationer

Tentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF

Numeriska metoder för ODE: Teori

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Icke-linjära ekvationer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Fallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9

Numeriska metoder för fysiker Lördag , kl 10-14

Ordinära differentialekvationer,

DN1212 Numeriska Metoder och Grundläggande Programmering DN1214 Numeriska Metoder för S Lördag , kl 9-12

Newtons metod och arsenik på lekplatser

TMA226 datorlaboration

Numeriska metoder, grundkurs II. Dagens program. Hur skriver man en funktion? Administrativt. Hur var det man gjorde?

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

file:///c:/users/engström/downloads/resultat.html

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

Föreläsning 1. Numeriska metoder grundkurs II, DN1240. Carina Edlund Mottagningstid i rum 4516: onsdagar kl.

Ordinära differentialekvationer,

Numeriska metoder för ODE: Teori

Linjärisering och Newtons metod

Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018

DN1212 för M: Projektrapport. Krimskramsbollen. av Ninni Carlsund

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Sammanfattning (Nummedelen)

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

Beräkning av integraler

Intervallhalveringsmetoden, GKN sid 73. Sekantmetoden, GKN sid 79

Labb 3: Ekvationslösning med Matlab (v2)

När man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt.

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper

Miniprojekt: Vattenledningsnäten i Lutorp och Vingby 1

Newtons metod. 1 Inledning. 2 Newtons metod. CTH/GU LABORATION 6 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

Använd gausseliminering med radpivotering. Spara minnesutrymme genom att lagra både Ä och Í i den datastruktur som inledningsvis innehåller

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Varning!!! Varning!!!

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Laboration 2, M0043M, HT14 Python

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).

Omtentamen i DV & TDV

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F

Konvergens för iterativa metoder

Transkript:

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper, överför senare en ren och tydlig lösning på svarsarket. Del A Uppgift 1: 4p Adaptiva metoder I kursen ingår begreppet adaptivitet och adaptiva metoder. I ett av miniprojekten skrevs en egen adaptiv metod - nedanståe figur kommer från detta miniprojekt. Graferna visar, ordnade uppifrån och ner, integralens värde, steglängden respektive feluppskattningen. I samtliga grafer representerar Ü-axeln djupet för vilken integralen räknas ut. Toleransen är satt till 0 5 10 4 i detta exempel. Förklara varför kurvan som visar feluppskattningen ser ut som den gör. Uppgift 1 Det krävs mindre och mindre steglängd h för att integralen ska kunna lösas med noggrannhetskravet uppfyllt när integrationsområdet blir större. Man ser i undre figuren att felet ökar ända tills det når den övre gränsen (toleransen). I detta läge krävs att h minskar och metoden väljer automatiskt en mindre steglängd h (vanligtvis halverad steglängd). Vi får då hacken i den undre figuren. I och med att ett mindre h valts kommer felet att minska kraftigt, och vi får även motsvarande hack på samma plats i mellersta figuren. Uppgift 2: 4p Talrepresentation Två tal, 100 och 16007, representeras som 1 000 10 respektive +ÁÒ i talsystemet Ô Ä Í. Ange i de fall det går värden på Ô Ä och Í baserat på den givna informationen. Uppgift 2 Basen = 10, Ô = 5 värdesiffror (eller 4 om man anger antal decimaler). Största exponenten Í = Minsta exponenten Ä känner vi inte, men mindre än.

Uppgift : 4p Icke-linjära ekvationer Funktionen ( ) = 2 Ê 10 har ett nollställe vid den vattennivå som motsvarar att en vattentank är fylld med 10Ñ vatten. Beräkna 1 genom en (1) iteration med Newton-Raphsons metod om 0 = 1 1 och Ê =. Räcker iterationen för att uppnå 2 decimalers noggrannhet? Uppgift Formler: +1 = ( ) ¼ ( ) Ja, 6 0009 10 04 0 005 ( ) = Ê 2 10 ¼ ( ) = 2Ê 2 Ber 1 = 1 1 (1 1) ¼ (1 1) = 1 0994 1 0 = 6 0009 10 04 0 005 Uppgift 4: 4p Linjära ekvationssystem ¼ ¼ 1 0 0 Ä = 0 5 1 0, Í = 1 1 1 1 2 0 2 0 0 5 ¼, È = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¼, = Beräkna Ü för systemet Ü =. Matriserna Ä Í È är resultatet av en lu-uppdelning av. Använd framåt- och bakåtsubstitution. Uppgift 4 Formler: Pb beräknas till b ty P är enhetsmatrisen Ly = Pb Ux=y Framåtsubstitution: ¼ ¼Ly=Pb ¼ 1 0 0 Ý 1 1 0 5 1 0 Ý 2 = 0 1 1 1 Ý Ý 1 = 1 1 = 1 Ý 2 = (0 ( 0 5 Ý 1 )) 1 = 0 5 Ý = ( (1 Ý 1 + 1 Ý 2 ) 1 = 1 5 Bakåtsubstitution: ¼ ¼ Ux=y ¼ 1 2 Ü 1 1 0 2 Ü 2 = 0 5 0 0 5 Ü 1 5 Ü = 1 5 5 = 0 Ü 2 = (0 5 ( Ü )) 2 = 0 7 Ü 1 = (1 (2 Ü 2 + Ü ) 1 = 0 5 1 0. Ü = (0 5 0 7 0 ) Ì Uppgift 5: 4p Programmering Följande program i matlab hjälper ett företag att utföra några beräkningar på ett linjärt ekvationssystem de har: 1 2 4 5 6 load( matrisdata )%läser in matrisen A for i=1:5 x=input( Ange konstant: ) b=[zeros(length(a)-2,1); x; x];%skapa vektor (0 0... 0 x x) A\b ;

Företaget använder stora matriser och har hört att det går att göra programmet snabbare, och har bett dig om hjälp. Använd de programrader av ovanståe du vill. Du får även använda följande extra rader, men inte lägga till andra egenskrivna rader: 7 8 9 [L U P] = lu(a); U \ y y = L\ (P*b); Svara med den följd av radnummer som ger det önskade programmet (radnumren står tryckta till vänster om varje programrad). Uppgift 5 Korrekt kod (radordning): 1 7 2 4 9 8 6. Rad 5 utgår Del B Uppgift 6: Icke-linjära ekvationer En funktion (Ü) ser ut enligt följande graf: y f(x) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5.0 x a: 2p Baserat på ovanståe figur, hur många steg behöver du köra bisektionsmetoden för att intervallet ska innehålla precis en lösning, om startintervallet sätts till [0 5 0]? Vilket intervall har du då? Redovisa alla steg du gör i bisektionsmetoden. b: 1p Ursprungsintervallet [0 5 0] förutom det intervall du kom fram till i deluppgift a, innehåller också lösningar. Vilken rot hittas om man kör bisektionsmetoden på det intervallet? c: 2p Enligt samma figur, ungefär vilket svar förväntar du dig om du använder Newton-Raphsons metod med startvärde 0 5? Glöm inte motivera (illustrera?) ditt svar. d: 1p Enligt samma figur, ungefär vilket svar förväntar du dig om du använder Newton-Raphsons metod med startvärde 1 5? Glöm inte motivera (illustrera?) ditt svar. Uppgift 6a Uppgift 6b Efter två halveringar. (0 5) 0, ( 0) 0 ok mitten är 1.75 och (1 75) 0 så nytt intervall 1.75...0 mitten är 2.750 och (2 750) 0 så nytt intervall 2.750...0. I det intervallet finns bara ett nollställe (ungefär vid Ü = 2 8). Bisektion kan ej genomföras Intervallet som är kvar är 0.5...2.75, men då (0 5) 0 och (2 75) 0 kan bisektion ej genomföras.

Uppgift 6c Ungefär 0.7. Tangenten är ungefär som funktionen och pressar snabbt alla iterationer mot det närbelägna nollstället: y 0.5 - Uppgift 6d Ungefär 0.7 ty den första tangenten korsar x-axeln i samma område som deluppgift c: y 0.5 1.5 - Uppgift 7: 6p Matlab Nedanståe matlabkod beräknar integralen Ê (Ý) Ý för = 10 11 100 med hjälp 0 av trapz, dvs trapetsmetoden. I koden görs också en feluppskattning och steglängden beräknas automatiskt så att en viss feltolerans tol är uppfylld. Integranden tänker vi oss att den beräknas i matlabfunktionen integrand som alltså finns tillgänglig. tol = 0.5*10^(-4); I1 = zeros(91,1); for D = 10:100 h(d-9) = D/2; fel(d-9) = tol + 1; while abs(fel(d-9)) > tol y1 = [0:h(D-9):D]; y2 = [0:2*h(D-9):D]; I1(D-9) = trapz(y1,integrand(d,y1) ); I2 = trapz(y2, integrand(d,y2) ); fel(d-9) = (I1(D-9) - I2)/; h(d-9) = h(d-9)/2; Nu vill man skriva om koden till en matlabfunktion med namn vattentryck där man via anrop till funktionen kan variera undre och övre gränsen för. Exempelvis ska anropet [I, D] = vattentryck(20, 250); leda till att integralen beräknas för = 20 21 250. Parametrarna D och I ska efter anropet vara två vektorer där D innehåller alla -värden och Á motsvarande integralvärden. Modifiera koden ovan enligt dessa önskemål.

Uppgift 7 Koden kan förslagsvis ändras till: function [I, D, fel] = vattentryck(dl, du); tol = 0.5*10ˆ (-4); D = [dl:du]; n = length(d); I1 = zeros(1,n); fel = length(1,n) for i = 1:n h = D(i)/2; fel(i) = tol + 1; while abs(fel(i)) tol y1 = [0:h:D(i)]; y2 = [0:2*h:D(i)]; I1(i) = trapz(y1, integrand(d(i),y1)); I2 = trapz(y2, integrand(d(i), y2)); fel(i) = (I1(i) - I2)/; h = h/2; Uppgift 8: 8p Kemisk process I en av laborationerna i kursen beräknades hur stor andelen av vattenmolekylerna som sönderdelades i en viss kemisk process. Sambandet mellan andelen sönderdelade vattenmolekyler Ü (ett tal mellan 0 och 1) och trycket Ô kan i detta fall uttryckas som: (Ü Ô) = à där à är reaktionens jämviktskonstant. För den reaktion vi studerar är alltså à konstant. Om man vidare bestämmer sig för ett visst tryckvärde man kan sedan ur sambandet ovan beräkna ett motsvarande värde på Ü. På så vis kan värdet på Ü uppfattas som en funktion av Ô. För ett fixt värde på Ô får man fram Ü(Ô) genom att lösa ekvationen ovan. Antag nu att vi vill beräkna integralen av Ü(Ô) över ett intervall av Ô-värden: Ü(Ô) dp Din uppgift är att skissa ett Matlab som genomför dessa beräkningar genom att använda de inbyggda Matlab-kommandona quad och fzero. (Du får anta att (Ü Ô) finns tillgänglig som Matlab-funktion,etc.). Du ska även besvara följande: Antag att du i quad använder en tolerans tol1 och i fzero en tolerans tol2, där toleransen i båda fallen avser det absoluta felet. Ungefär hur stort kommer i så fall det absoluta felet i det beräknade närmevärdet till integralen att vara? (Svaret måste underbyggas med ett teoretiskt resonemang.)

Uppgift 8 Æ tol1 + ( )tol2 Huvudprogram: global K a = input( Ange undre integrationsgräns: ) b = input( Ange övre integrationsgräns: ) K = input( Ange jämviktskonstantens värde: ) I = quad(x,a,b) disp([ Beräknat värde på integralen: num2str(i)]) Funktionen x(p): function y = x(p) global pr K pr = p y = fzero(f,[0 0.9]) Funktionen F(x): function y = F(x) global pr K y = g(x,pr) - K Feluppskattning: Beteckningar: Æ: felet i det beräknade integralvärdet; : trunkeringsfelet i integralberäkningen; : funktionsfelet i integralberäkningen. Det gäller att Æ +. I quad görs feluppskattning med femtondelsregeln, vilket innebär en uppskattning av. Därför gäller det approximativt att tol1. För funktionsfelet gäller att ( ), där är en övre gräns för beloppet av absoluta felet i beräkningarna av integrandens värde. Eftersom integranden i vårt fall beräknas genom anrop av fzero, så kommer det att gälla att tol2. Vi kan nu dra slutsatsen att det ungefär gäller att: Æ tol1 + ( )tol2