entamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN0/MS070 isdag 007-04-0, klockan 4.00-8.00 Examinator: Holger Rootzén elefonjour: Jan Rohlén, tfn: 0708-579548 Betygsgränser G: G: -.5, VG: -0 Betygsgränser CH: : -7.5, 4: 8-, 5: 4-0 Hjälmedel ugift -: Inga. Lämna in dessa searat. Hjälmedel ugift -8: Boken Introduction to Statistical Quality Control av Douglas C. Montgomery, tabeller (Beta-boken eller motsvarande) och Chalmersgodkänd räknare. gift (4.5) Styrdiagram. a. Vad är huvudsyftet med ett styrdiagram? (0.5) a. Att utäcka systematiska felkällor (och förbättra rocessens kaabilitet). (sidan 48) b. Data är normalfördelade (, ) N µ σ och ett Shewhartdiagram med larmgränser µ ± σ används. Om rocessen är i kontroll, vad är då risken för falsklarm? (0.5) a. 0.7% (sidan 54) c. Vad står ARL för och vad blir ARL i ugift b? (0.5) a. ARL = Average Run Length, dvs antalet rov, i medel, innan styrdiagrammet larmar. ARL = 70 = 0.7%.(sidan 60) d. Vad står OCAP för och vad används den till? (0.5) a. OCAP = Out-of-Control-Action Plan. Det är en lan för att hantera ett larm från styrdiagram. (sidan 54) e. Varför vill man ta ut rovgruer (om det är möjligt) istället för enstaka rov med jämna tidsintervall? (0.5) a. Idén är att inom gruen skall bara slummässig variation finnas och variationen mellan gruerna kan även ha systematiska källor. Provgruens medelvärde har varians som minskar med rovgruens storlek. Centrala gränsvärdessatsen kan användas. f. Om man tar ut stickrov av storlek n från en rocess med normalfördelade data N ( µ, σ ), hur stor är då stickrovets standardavvikelse? (0.5) σ σ = X n a. Den blir (Frågan är lite luddig. Jag menade egentligen n s = ( X i X ) n i= stickrovets medelvärdes standardavvikelse, men Jag acceterar bägge svaren)
g. Vid konstruktion av SPS talar man om fas I och fas II. I din verktygslåda har du både Shewhart och EWMA-diagram. Vad innebär dessa faser och vilka diagram rekommenderar du för vardera fasen? Motivera ditt svar! () a. I Fas I försöker man bringa rocessen i kontroll. Man utgår från ett antal rov och sätter rovstyrgränser. nder den här fasen försöker man eliminera så många systematiska källor som möjligt. Shewhart är ett bra diagram eftersom det utäcker stora förändringar snabbt. b. I Fas II övervakas rocessen. Ofta är de stora variationskällorna borta och för att utäcka mindre ändringar t.ex. i medelvärdet så kan ett EWMA fungera bra. (sidan 68) h. Varför skall man alltid rita både ett medelvärdes och ett sridningsdiagram vid variabelkontroll? (0.5) a. Det är viktigt eftersom både medelvärdes- och sridningsförändring kan orsaka att defekta enheter tillverkas. Om variationen är ur kontroll så kan man t.ex. ej styra rocessen i kontroll genom att enbart styra å medelvärdesdiagramet. (sidan 95) gift (.5) a. Vad är systematisk variation och vad är slummässig variation? (0.5) ill systematisk variation kan man hitta direkta orsaker. Om alla källor till systematisk variation har eliminerats så återstår endas slummässig variation. (sidor 48-49) b. Vilka verktyg används för att kontrollera dessa tyer av variation? ().ex. styrdiagram och kaabilitetsanalys. (Kaitel 4-5) c. Vad står G R&R för och vad innebär detta? Hur kan man mäta G R&R? () Gauge Reetability & Reroducibility. Reeterbarhet är den inneboende variationen hos mätinstrumentet och reroducerbarhet är variationen som kommer från att man återskaar mätningen med annan ersonal, annan mätutrustning et.c. Man kan använda ANOVA för analys av GR&R. (sidor 57-6) gift (5) a. Styrgränser Vi antar att vi använder oss av standard σ-gränser. Beräkna medelvärdet av standardavvikelserna och det totala medelvärdet: m s = si = 7 =.44 m 50 m x = xi = 000 = 0 m i= 50 Läs av konstanterna A, B och B4 i tabell VI i bokens aendix: A =.47 Styrgränserna blir då för s-diagrammet: i= B B 4 = 0 =.089
CL = B4s =.089.44.0 CL = s =.44 LCL = Bs = 0 och styrgränserna för x-diagramet blir CL = x + A s = 0 +.47.44.05 CL = x = 0 LCL = x + A s = 0.47.44 7.95 b. Naturliga toleransgränser Frågans första del Antag att alla unkter å bägge diagramen är inom styrgränserna är till för att förvirra. Styrgränser och naturliga toleransgränser har inget med varandra att göra. De naturliga toleransgränserna definieras som NL = µ + σ LNL = µ σ Eftersom vi ej vet µ och σ så får vi skatta dessa från våra 50 stickrov. ˆ µ = x = 0 s.44 ˆ σ = =.5 c4 0.94 De naturliga toleransgränserna kan skattas till NL = ˆ µ + ˆ σ = 0 +.5 = 4.60 LNL = ˆ µ ˆ σ = 0.5 = 5.40 c. ARL 0 Average Run Length (ARL) är medeltiden till ett falskt larm om rocessen är i kontroll, dvs variationen kommer enbart från slummässiga källor. = 70 P( LARM Processen är i kontroll) = P( X ) = 0.007 N (0,) d. AS AS står för Average ime to Signal. Eftersom vi tar ut ett rov tre gånger er timme blir då AS = ARL h Vi behöver nu bara räkna ut ARL när rocessens medelvärde har ökat med gram (och sridningen oförändrad). 7.95 X.05 = P(7.95 X.05) = P 0.067.5.5.5 5 5 5 ARL = 5.95 AS = ARL 5.h e. Parametern σ.
Parametern skattades i ugift.b till.5. gift 4 () a. Processens standardavvikelse Processens standardavvikelse skattas från det glidande medelvärdet. 448 MR = = 789 9 b. EWMA-diagram Styrgränserna för EWMA-diagramet blir λ CL = µ 0 + Lσ ( λ ) λ CL = µ 0 λ i LCL = µ 0 Lσ ( λ ) λ Vi väljer att räkna med λ = 0. och L=.7. MR 789 ˆ σ = = 0.90 d.8 i z = λx + ( λ ) z, z = µ i i i 0 0 i z CL CL LCL i 497 506 500 494 499 508 500 49 50 509 500 49 4 500 50 500 490 5 498 50 500 490 6 500 5 500 489 7 50 5 500 489 8 504 5 500 488 9 50 5 500 488 0 505 5 500 488 508 5 500 488 5 5 500 488 54 5 500 487 4 55 5 500 487 5 57 5 500 487 6 56 5 500 487 7 50 5 500 487 8 5 5 500 487 9 58 5 500 487 0 58 5 500 487 gift 4.b EWMA styrdiagram, L=.7 och λ=0. 50 55 50 55 50 505 500 495 490 485 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Vi ser att vi får ett larm vid tiden i=! (abellen visar avrundade värden).
gift 5 (4) a. Hotellings -diagram styrgränser för fas. Vi har m=0 reliminära stickrov med stickrovsstorlek n=0 å en variabel med = dimensioner. För Fas- diagram använder vi formel 0- å sidan 496 i Mongomery 5 ed. ( m + )( n ) CL = Fα,, mnm + 7.4 mn m + LCL = 0 (Kommentar: Eleverna saknade detta F-värde i Montgomerys bok. Om inte detta värde inte finns i din formelsamling kunde du ha frågat telefonronden, eller använt t.ex. α = 0.0istället. Om eleven ej fått fram korrekt värde å F gavs, och allt var korrekt i övrigt, så gavs inget oängavdrag.) b. Hotellings -styrdiagram Det här blir lite jobbigt, men ugiften är konstruerad för att larma tidigt eststatistikan är = n x x S x x ( ) ( ) och de tre första värdena i diagramet blir:.7.0 7 4.7.0 7 4 0. 0 = 0.6 4.6 [ 0. 0.9 0. ] 4 0.9 4.44 9 = = 9 78.9.8 4 0.9.8 4 0 0...0 7 4..0 7 4 0. 0 = 0. 4. [ 0. 0. 0.0 ] 4 0. 0.84 9 = = 9 44.8.8 4 0.8.8 4 0 0.0 5.4.0 7 4 5.4.0 7 4.4 0 = 0 4.6 4 4.6 [.4. 0.8 ] 4. 0.444 9 = = 9 4 > CL LAR M!!.6.8 4 0.6.8 4 0 0.8 Resten av diagrammet återfinns i Figur 5 gift 5.b 0 5 0 5 0 5 0 4 5 6 7 8 9 0 Figur Styrdiagram ugift 5.b c. Ansvar?
Diagrammet ger oss att vi har ett larm i unkt, men vilken variabel kan vara ansvarig? Ett sätt att börja undersöka detta är att studera bidraget från varje variabel. Låt beteckna bidraget då man har tagit bort variabel nummer i. () () ( i). = 0[. 0.8] = 5.649.5 0.8.4 = 0[.4 0.8] = 0.4.5 0.8.4 () = 0[.4.] = 8.84. Vi beräknar nu det relativa bidraget d = d d i = 4.8 = 0.044 ( i) d =.60 Vi bör alltså undersöka variabel nummer först för att söka ansvar. gift 6 () a. Provlaner Från tabell 4-4 i Montgomery ser vi att för General insection Level II lus batchstorlek 6000 så får vi kodbokstav N. Eftersom inget annat är sagt i ugiften så antar vi att vi skall använda enkelrovtagning. abeller 4-5, 4-6 och 4-7 ger för AQL=0.5% Provstorlek Accet Reject Normal Insection 500 4 ightened Insection 500 Reduced Insection 00 4 Naturligtvis skall övergångsreglerna mellan de olika lanerna följas såsom det är beskrivet i standarden. b. När bör accetansrovning ske och när bör allkontroll ske? Här kan man resonera kring Destruktiva rov kräver accetansrovning. (Man kan ej sränga alla fyrverkerijäser innan man säljer dem) Allkontroll är bäst om den kan ske automatiserat. Allkontroll om konsekvenserna av fel är oaccetabelt. Accetansrov om rovkostnaden är hög och allkontroll därför blir för dyr. Accetansrov om roducenten har relativt bra roduktkvalitet, men man kan ej lita å roducentens rocesskontroll. Risk för att skicka tillbaka hela artiet driver å kvaliteten. Det är ett hanteringssteg mindre vid statistisk accetansrovning och därmed minskar risken för hanteringsskador.
Et.c. gift 7 (4) a. Kaabilitetsindexen Vi vet i ugiften att data är oberoende och normalfördelade och att rocessen är stabil (i kontroll). Detta innebär att vi får använda indexen C och C. Eftersom stickrovet är stort så kan vi skatta arametern σ med s. ˆ SL LSL 05 95 C = =.9 6s 6. ˆ SL ˆ µ ˆ µ LSL 05 0 C k = min, =. s s. b. Härled konfidensintervall för C. tgår från chi- fördelningen. Vi vet att ( n ) S χ n σ Ett -α konfidensintervall blir då ( n ) S χα χ, n α, n σ χα,, χ n α n S n σ S n ( SL LSL) χα n ( SL LSL) ( SL LSL) χ α n 6S n 6σ 6S n χ χ Cˆ C C n n α, n α, n ˆ c. Andelen utanför toleransgräns. Räkna direkt ˆ σ s =. ˆ µ = x = 0,, k P(tanför toleransgränserna) = P(95 X 05) = 05 ˆ µ ˆ µ 95 = Φ Φ = 0.99957 0.0004 sˆ sˆ gift 8 (5)
a. Medelvärde och varians för strömmen I. Varje civilingenjör vet från grundläggande elektricitetslära att = RI. Här är två resistorer seriekolade och då blir den resulterande resistansen R = R + R. Strömmen blir då I = g(, R, R ) = R + R aylorutveckla kring µ, µ, µ och använd formlerna i avsnitt 7-7. µ 00 µ I g( µ, µ, µ ) = = = 0A µ + µ + σ g I σ i i= x i µ, µ, µ g = R R + R g = R R + R g = R + R ( ) ( ) µ µ σ σ σ σ I + + 0.6 4 4 = A ( µ + µ ) ( µ + µ ) ( R + R ) Frågan är hur bra modellen egentligen är. Man bör nog analysera residualen lite mer b. Är strömkretsen kaabel? Vi antar att I är normalfördelad. (Visar ej detta). Väljer att studera C. ˆ SL LSL.5 7.5 C = =.9 6 ˆ σ 6 0.6 Eftersom detta värde är större än. så anser jag strömkretsen vara kaabel. (I det här fallet. Vissa kunder inom mobiltelefonindustrin, t.ex. Motorola, Nokia et.c. anser att.0 är ett bättre krav. Allt beror å situationen.)