DISKUSSIONSUNDERLAG FÖR GRUNDSKOLAN Diskutera Kunskapskravens värdeord i matematik Syftet med materialet är att ge lärare stöd för att diskutera kunskapskravens värdeord för resonemangsförmågan. Detta underlag kan fungera som utgångspunkt för planering av studiedagar och arbetslagsträffar. Ambitionen är att konkretisera hur kunskapskravens värdeord kring förmågan att föra och följa matematiska resonemang kan förstås och tolkas vid bedömning. Utgångspunkten är två filmer. Den ena filmen visar genomförandet av en uppgift framtagen för elever i årskurs 9. Den andra filmen visar lärares diskussion kring värdeorden i kunskapskraven. Avsikten är att även lärare som bedömer elevers prestationer i årskurs 6 ska finna stöd för sina diskussioner av kunskapskravens värdeord. I filmen Muntlig uppgift i matematik årskurs 9 - Genomförande genomför en grupp elever i årskurs 9 en muntlig uppgift under ledning av en lärare. Läraren fördelar påståenden och leder ett samtal mellan fyra elever. Varje elev har fått ett diagram samt påståenden. Uppgiften går ut på att varje elev, utifrån diagrammet, ska avgöra om påståendena är sanna eller falska. Därefter går man över till diskussionsfrågorna. I filmen Att föra och följa resonemang - En lärardiskussion kring värdeorden i kunskapskraven fördjupar lärarna diskussionen kring kunskapskravens värdeord. Med utgångspunkt i exempel ur elevsamtalet enas lärarna om vilka värdeord för resonemang som kan beskriva elevernas prestationer. Diskussionsunderlaget är strukturerat under följande fyra rubriker: Förslag på arbetsgång Diskussionsfrågor och arbeta vidare Elevuppgiften Utdrag ur det skriftliga Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik, del 2.
Förslag på arbetsgång Nedan följer ett förslag på hur en träff kring det filmade materialet kan läggas upp. 1. Läs igenom elevuppgiften samt utdraget ur kunskapskraven kring förmågan att följa och föra resonemang. Läs också utdraget om de bedömningsaspekter som bedömningen av förmågan att föra och följa resonemang kan utgå från. Båda utdragen finns sist i detta material. I Kommentarmaterial till kunskapskraven, del 2 finns en mer utförlig beskrivning av dessa aspekter. 2. Titta på filmen Muntlig uppgift i matematik årskurs 9 - Genomförande. Ha kunskapskraven och bedömningsaspekterna framför er. Under filmens gång för ni enskilt anteckningar om med vilka aspekter och med vilken kvalitet (vilka värdeord) som ni bedömer elevernas prestationer. 3. Diskutera sedan med varandra om vilka värdeord för resonemang som kan beskriva respektive elevs prestationer. Argumentera för er bedömning och försök att enas om en bedömning. Vad gjorde att ni kunde enas? Vad gjorde att ni inte kunde enas? 4. Titta på filmen Att föra och följa resonemang en lärardiskussion kring värdeorden i kunskapskraven. 5. Jämför era iakttagelser med lärarnas i filmen. Vad är ni överens om? Vad håller ni inte med om? Varför? Observera att lärarna i filmen inte utgör ett facit, utan visar hur de har uppfattat elevernas prestationer. 2
Diskussionsfrågor och arbeta vidare I anslutning till filmerna kan följande frågor diskuteras. 1. Hur skulle ni beskriva skillnaden mellan enkla och till viss del underbyggda matematiska resonemang, utvecklade och relativt väl underbyggda matematiska resonemang respektive välutvecklade och väl underbyggda matematiska resonemang? 2. Hur skulle ni beskriva skillnaden mellan att föra enkla resonemang, att föra utvecklade resonemang respektive att föra välutvecklade resonemang? 3. Hur skulle ni beskriva skillnaden mellan att bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt, som för resonemangen framåt respektive som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem? 4. Ge några olika exempel på hur elever i diskussioner, i olika uppgifter, kan bidra till att resonemangen förs framåt, fördjupar och breddar dem. 5. Hur mycket och när ska läraren lägga sig i diskussionen? 6. Hur påverkas bedömningen om läraren känner eleverna? Detta material kan med fördel användas som en del tillsammans med ett andra material, som tagits fram i syfte att stödja lärares bedömning. Kommentarmaterial till kunskapskravens värdeord - Del 1 berör elevers visade förmåga att använda och analysera lämpliga matematiska metoder. - Del 2 berör elevers visade förmåga att föra och följa resonemang. I kommentarmaterialen finns uppgifter och exempel på elevlösningar, samt lärares resonemang om elevernas prestationer. Med utgångspunkt i bedömningsaspekter och värdeord i kunskapskraven ges förslag på hur elevprestationerna kan bedömas. Att bedöma elevers förmågor i muntlig uppgift är ett material som stöd för lärares bedömning av elevers prestationer med användning av muntliga uppgifter i matematik. Det omfattar två filmer, förslag på arbetsgång samt diskussionsfrågor. Materialet utgår från samma elevfilm som ovan, medan den andra filmen visar lärardiskussion kring bedömning av elevernas muntliga prestationer utifrån en uppgiftsspecifik bedömningsmatris. 3
Elevuppgiften Muntlig uppgift tanken som töms Graf Vattnet i en vattentank pumpas ur med konstant hastighet. Grafen visar vattennivån i vattentanken vid olika tidpunkter. 4
Elevuppgiften Påståenden Motivera om påståendet är sant eller falskt. Grafen visar att 1. pumpen startades kl. 9.50. 2. kl. 10.20 var vattennivån i tanken 1 m. 3. allt vatten pumpades ur på två timmar. 4. vattennivån hade sjunkit till hälften kl. 11.00. 5. vattennivån sjönk lika mycket hela tiden. 6. om vattennivån hade sjunkit lika snabbt hela tiden som i början skulle tanken ha varit tom kl. 11.00. 7. tanken kan se ut så här 8. tanken kan se ut så här 9. tanken kan se ut så här 5
Elevuppgiften Diskussionsfrågor 1. Hur kan tanken se ut? (Obs! Om eleverna inte kommer fram till att tanken består av en cylinder [rätblock], en stympad kon [pyramid] och en cylinder [rätblock] kan läraren gå in och berätta det för att diskussionen ska kunna komma längre.) 2. Hur kan man med hjälp av grafen bestämma förhållandet mellan höjderna av de tre delar som tanken består av? 3. Hur kan man med hjälp av grafen bestämma förhållandet mellan diametrarna (bassidornas längder) i de två raka delarna som tanken består av? 4. Stämmer det att kl. 10.35 hade hälften av vattnet pumpats ut? 5. Hur skulle grafen se ut om den lodräta axeln istället visade volym (m 3 )? 6
Utdrag ur Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik del 2, sid 22 Att föra och följa matematiska resonemang De delar av kunskapskraven som diskuteras utgår från förmågan att föra och följa matematiska resonemang. Värdeorden som beskriver kvaliteter i resonemangsförmågan finns på tre olika ställen i kunskapskraven för årskurs 9. Kunskapskrav för betyget E i slutet av årskurs 9 Eleven för enkla och till viss del underbyggda resonemang om val av tillvägagångssätt och om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen (). I beskrivningarna kan eleven () föra enkla resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra. I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt. Kunskapskrav för betyget C i slutet av årskurs 9 Eleven för utvecklade och relativt väl underbyggda resonemang om tillvägagångssätt och om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen (). I beskrivningarna kan eleven () föra utvecklade resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra. I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som för resonemangen framåt. Kunskapskrav för betyget A i slutet av årskurs 9 Eleven för välutvecklade och väl underbyggda resonemang om tillvägagångssätt och om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen (). I beskrivningarna kan eleven () föra välutvecklade resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra. I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem. Att följa och föra matematiska resonemang innebär både en tolkande och en skapande del. Den tolkande delen innebär att göra en relevant tolkning av det som framförts muntligt eller skriftligt. Det innebär att följa och bedöma både andras och/eller sina egna argument. Den skapande delen handlar om att driva en process framåt med nya matematiska argument. I kunskapskraven uttrycks progressionen från årskurs 1 till årskurs 9. Från informella argument i årskurs 1 3 till relevanta, hållbara och tillräckliga argument i årskurs 7 9. Från att ställa frågor i årskurs 1 3 till att bemöta argument i årskurs 7 9. Från att föra resonemang om val av metoder och räknesätt i årskurs 1 3 till att föra resonemang om val av tillvägagångssätt i åk 7 9. 7
Utdrag ur Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik del 2, sid 24 Sidan: 24 Bedömningsaspekter som bedömningen av förmågan att föra och följa resonemang kan utgå från I arbetet med olika uppgifter kan eleven på flera olika sätt visa sin förmåga att föra och följa matematiska resonemang. Det kan vara i samband med problemlösning där resonemang kan föras om resultatens rimlighet. Resonemangen kan vara mer eller mindre underbyggda av bilder, tabeller, grafer, beräkningar eller andra matematiska uttrycksformer. När eleven använder och beskriver olika matematiska begrepp kan eleven också föra resonemang om begreppen och om hur begreppen relaterar till varandra. I arbetet med att lösa uppgifter eller i diskussioner med kamrater och läraren kan eleven ställa frågor, framföra och bemöta argument på ett sätt som för resonemangen framåt. När det gäller förmågan att föra och följa matematiska resonemang kan bedömningen av elevarbeten utgå ifrån: Hur resonemang förs genom att ställningstaganden följs och motiveras Hur lösningen legitimeras genom resonemang Hur resonemang förs kring begrepp och hur de relaterar till varandra Hur resonemang förs genom att argument troliggörs med empiriska underlag Hur resonemang förs genom att argument ges med hänvisning till satser Hur resonemang förs genom att argument följs och bemöts. 8
9