Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 20 FACIT: Tentamen L9MA0, LGMA0 Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 20-0-2 kl. 8.0-2.0 bla Examinator och Jour: Henrike Häbel, tel. 07 067252 alt. 0 772 580 Hjälpmedel: Valfri miniräknare, (dubbelsidigt) A ark med egna anteckningar samt med skrivningen utdelade tabellsidor och formelsamling. Maxpoäng: 0. För godkänd krävs minst 5 p, för Väl Godkänd 2 p. Eventuell bonuspoäng från 20 adderas. Lösningar skall redovisas till varje uppgift. Uppgifterna är ej ordnade efter svårighetsgrad. Rättningsprotokoll anslås senast tre veckor efter tentamen.. Visa att sannolikheten för exakt en av två händelser A och B i något utfallsrum Ω inträer är P (A) + P (B) 2P (A B) Ledning: Du kan använda att P (A \ B) P (A) P (A B). 2p P ({exakt en}) P ((A \ B) (B \ A)) disj. P (A \ B) + P (B \ A) led. P (A) P (A B) + P (B) P (B A) P (A) + P (B) 2P (A B) 2. Ett tyskt kortspel som kallas Skat består av kort varav är ess. Korten blandas och läggs på bordet ett efter ett. Vad är sannolikheten att det nionde avtäckta kortet är det andra esset som ligger på bordet? Page of 6
Använda den hypergeometriska fördelningen för de första åtta korten, där antal ess är Hyp(, 8, /) fördelat, d.v.s. för A {det nionde avtäckta kortet är det andra esset som ligger på bordet} är P (A) ( ) ( ) 8 ( ) 8 } {{ } ess inom 8 kort (2p) 8 }{{} 9:e kort ess 0.056 }{{}. En läkare skall diagnosticera en viss sjukdom S, som förekommer med sannolikheten 0.0. Han använder därvid en metod, som ger korrekt resultat med sannolikheten 0.8 om den undersökta personen har sjukdomen S och korrekt resultat med sannolikheten 0.95 om personen inte har sjukdomen S. Om läkaren har förklarat att en person har sjukdomen S, vad är sannolikheten att personen i fråga verkligen har den? A :'personen har sjukdomen S', A 2 :'personen inte har sjukdomen S', B :'läkaren har förklarat att en person har sjukdomen S'. P (A ) 0.0, P (A 2 ) 0.0 0.99, P (B A ) 0.8, P (B A 2 ) 0.95 0.05 P (A B) betingad P (A B) Bayes P (A )P (B A ) P (B) P (A )P (B A ) + P (A 2 )P (B A 2 ) 0.0 0.8 0.0 0.8 + 0.99 0.05 6 0.9 5 (2p). Hur månger russin per bulle skall man beräkna (i genomsnitt) i en deg för att en bulle med minst sannolikheten 0.95 innehålla minst ett russin? Ledning: Antag att antal russin per bulle är Poisson-fördelat P o(λ). Låt X antal russin per bulle, så får man 2p P (X ) P (X 0)! 0.95 P (X 0)! 0.05 λ0! 0! e λ 0.05 E(X) λ log(0.05), så att man behöver minst russin per bulle i degen. (.5p) Page 2 of 6
5. Antag att X är en kontinuerlig stokastisk variabel med täthetsfunktion { cx f X (x), x >, 0, annars där c R är en konstant. a) Bestäm konstanten c. b) Beräkna väntevärdet E(X) och variansen V (X). c) Beräkna sannolikheten P (/2 < X /2). p p a) b) cx dx c E(X) E(X 2 ) [x ] c! c (p) [x 2] x x dx.5 (p) 2 2 x 2 x dx [x ] (p) V (X) E(X 2 ) (E(X)) 2 (.5) 2 0.75 (p) c) /2 P (/2 < X /2) F (/2) F (/2) x dx 0 [x ] /2 + 8 27 9 0.70 (p) 27 6. Betrakta den följande simultana sannolikhetsfunktionen för X och Y båda med värden i {, 0, }. (X, Y ) 0 0 5 5 8 Visa att X 2 och Y 2 är oberoende, men att däremot X och Y inte är det. Page of 6
X och Y är inte oberoende eftersom t.ex. P (X, Y ) 5 7 P (X )P (Y ). (p) Vi beräknar simultana sannolikhetsfunktionen för X 2 och Y 2 via t.ex. och får P (X 2, Y 2 0) P (X, Y 0) + P (X, Y 0) 5 + X 2 och Y 2 är oberoende eftersom (X 2, Y 2 ) 0 0 (p) P (X 2 0, Y 2 0) 2 2 P (X2 0)P (Y 2 0). och samma ekvationer för P (X 2, Y 2 0), P (X 2 0, Y 2 ) och P (X 2, Y 2 ). (p) 7. Betrakta följande del av artikeln 'Göteborgarna säger nej till trängselskatt' publicerad på www.gp.se den 20-09-5. 'När alla 297 valdistrikt räknats står det klart att 56,8 procent säger nej och,2 procent ja till trängselskatt.' Konstruera ett 99 % kondensintervall för andelen röstberättigade i tusental (k 000) som sa ja till trängselskatt i Göteborg. Ger detta intervall någon grund för påståendet att inte ens hälften av Göteborgs röstberättigade vill ha trängselskatt? Antag att det fanns n 06k röster och att valdel- tagandet var 72% (källa: Göteborgs Stad). Ledning: Vad är totala antalet röstberättigade N? p Vi har n 06k och ˆp 0. för andelen röstberättigade i tusental (k 000) som sa ja till trängselskatt i Göteborg. Antal röstberättigade som sa ja antas Hyp(N, n, p)-fördelat, där p är den sanna proportioner i hela ändlig populationen av röstberättigade N 06k 00 72 25k. (p) Eftersom nˆp( ˆp) N n N 202 > 0 om man räkna med k ( 2 > 0 om man räkna utan k) använder vi normalapproximationen och får approximativt 00( α)% kondensintervall med α 0.0 för p : [ ] ˆp( ˆp) N n I p ˆp ± λ 0.005 (p) n N och eftersom λ 0.005 2.5758 I p [0., 0.]. Page of 6
om man räkna med k (I p [0.9, 0.7] om man räkna utan k) Så kondensintervallet inte innehåller värde 0.5 (innehåller värden mindre än siran 0.5), så det ger grund för påståendet att inte ens hälften av Göteborgs medborgare vill ha trängselskatt. (p) 8. Ett oberoende forskningsinstitut undersöker den faktiska eekten hos två odlingsmetoder för en viss blomma. För den nya metoden mäts höjden på 5 blommor med resultat Med den gamla metoden fås resultatet 0., 0.6, 9.6, 0.5,.0. 9., 9.9, 9., 0.. Antag att dessa oberoende mätningar utgör två oberoende stickprov, från en N(µ, σ) och resp. en N(µ 2, σ) fördelning för vardera odlingsmetoden. Bestäm ett 99% kondensintervall för skillnaden i genomsnittlig höjd, alltså µ µ 2. någon grund att påstå att de två odlingsmetoderna ger olika genomsnittliga höjd? Finns det p x n 0., x g 9.6, s 2 n 0.265, s 2 g 0.2267 s 2 p (5 )s2 n + ( )s 2 g 5 + 2 00( α)% kondensintervall med α 0.0: (p) 0.286 s p 0.99 ( I µn µ g x n x g ± t(5 + 2) 0.005 s p 5 + ) (p) och eftersom t(7) 0.005.99 I µn µ g [ 0.7,.97]. Det nns ingen grund att påstå att de två odlingsmetoderna ger olika genomsnittliga höjd, eftersom 0 I µn µ g. (p) 9. Antag att man har ett stickprov (x,..., x n ) av storlek n, d.v.s. x i är observationer av oberoende och likafördelade stokastika variabler X i med väntevärde µ och varians σ 2. a) När man skattar variansen σ 2 nns det era möjliga alternativ, till exempel s 2 n n (x i x) 2 och s 2 n i n (x i x) 2. Beskriv skillnaden av s 2 och s 2. Ledning: Tänk på hur man kan jämföra olika skattare. p i Page 5 of 6
b) Antag att vi har två stickprov av storlek n X respektive n Y, med stickprovsvarians s 2 X respektive s 2 Y. Om man antar att de två stickproven kommer från fördelningar med samma varians σ2, så skattar man σ 2 med så kallad pooled variance Visa att s 2 p är väntevärdesriktig. 2p s 2 p (n X )s 2 X + (n Y )s 2 Y n X + n Y 2 c) Vad är anledningen till att man väljer pooled variance skattning under b) istället för till exempel s 2 X eller s2 Y? Beskriv med egna ord, formler behövs inte. p. a) s 2 är ingen väntevärdesriktig skattning, men s2 är det. Däremot är s 2 eektivare än s2. b) E(s 2 p) n X + n Y 2 n X + n Y 2 n X + n Y 2 n X + n Y 2 σ2 σ 2 ( ) (n X )E(s 2 X) + (n Y )E(s 2 Y ) ( (n X )σ 2 + (n Y )σ 2) c) Man väljer pooled variance skattning under b) för att få en väntevärdesriktig skattare för variansen och samtidig använder alla observationer som nns. (p) (p) Lycka till! Page 6 of 6