larobjekt1.nb 1 PLANA FIGURER I DEN TREDIMENSIONELLA RYMDEN Fyra lärobjekt, som bildar en helhet: Ë vart och ett presenterar någon typ av regelbunden polyeder Ë vart och ett belyser någon idé som är viktig att tänka på vid lösning av rymdgeometriska problem Ë vart och ett består av en uppgiftssida, som kan printas på en A4, samt stillbilder och ev. animationer som stöder förståelsen av uppgifternas lösningsprocess Kub Tetraeder " Att variera någon del av en konstruktion" " Ett tvärsnitt - många möjligheter " Fyrsidig pyramid Oktaeder " Att välja rätt bland flera tvärsnitt " " Att jämföra olika ställningar " Brita Olsson-Lehtonen, brita.olsson@gmail.com 2.4.2006
larobjekt1.nb 2 UPPGIFTER OM EN KUB " Att variera någon del av en konstruktion" En kub har sex sidor, som alla är kvadrater. Hur många hörn och hur många kanter har kuben? Anta att kubens kanter har längden a. Ë 1. Varierande vinkelben ger varierande vinkelstorlek Vi väljer ett av kubens hörn och ritar en vinkel med det hörnet som vinkelspets. Ena vinkelbenet är hela tiden en och samma sidodiagonal. Det andra vinkelbenets läge låter vi variera på följande sätt: a) det är en annan sidodiagonal, b) det är en rymddiagonal, c) det går till mittpunkten på kanten mellan dessa. Hur stor är vinkeln i de olika fallen? Ë 2. Tvärsnitt av kuben Undersök ännu var och en av vinklarna i uppgift 1 : Rita den triangeln, som har två sidor längs vinkelbenen och den tredje sidan längs kubens yta. Rita också hela det tvärsnitt av kuben, som triangeln ligger i, och beskriv dess form. Hur stor del är triangelns area av hela tvärsnittets?
larobjekt1.nb 3 UPPGIFTER OM EN REGELBUNDEN TETRAEDER " Ett tvärsnitt - många möjligheter " En regelbunden tetraeder har fyra sidor, som alla är liksidiga trianglar. Anta att tetraederns kanter har längden a. Ë 1. Vinklar a) Hur stor är vinkeln mellan två sidor i en regelbunden tetraeder? b) Hur stor är vinkeln mellan en sidokant och bottenytan i en regelbunden tetraeder? Ë 2. Höjder a) Hur stor är höjden i en regelbunden tetraeder? Det vanligaste är att man tänker sig att tetraedern ligger på en sida, som då också kallas bottenyta. Det är höjden av kroppen i det här läget som avses i a)-fallet. Men tänk dig istället att tetraedern balanserar på en kant så att motstående kant också är horisontell: b) Hur stor är höjden nu?
larobjekt1.nb 4 UPPGIFTER OM EN FYRSIDIG PYRAMID " Att välja rätt bland flera tvärsnitt " Vi ser på en fyrsidig pyramid, där alla kanterna är lika långa. Vilken form har sidoytorna? Vilken form har bottenytan? Anta att pyramidens kanter har längden a. Ë 1. Vinklar a) Hur stor är vinkeln mellan bottenytan och en sidoyta i pyramiden? b) Hur stor är vinkeln mellan bottenytan och en sidokant i pyramiden? Ë 2. Mera vinklar a) Hur stor är vinkeln mellan två sidokanter, som ligger mittemot varandra? b) Hur stor är vinkeln mellan två sidoytor, som ligger mittemot varandra? Ë 3. Höjder a) Hur stor är en sidoytas höjd? b) Hur hög är pyramiden?
larobjekt1.nb 5 UPPGIFTER OM EN REGELBUNDEN OKTAEDER " Att jämföra olika ställningar " En regelbunden oktaeder har åtta sidor, som alla är liksidiga trianglar. Figuren till höger visar oktaedern stående på ett hörn, figuren till vänster visar den liggande på en sida. Anta att oktaederns kanter har längden a. Ë 1. Tvärsnitt - och två vandrande myror Tänk dig att två myror startar i samma hörnpunkt på oktaedern. Den ena vandrar i väg längs en kant, den andra tvärs över en sida (mot mittpunkten på en kant). Båda fortsätter rakt framåt längs oktaederns yta tills de kommer tillbaka till utgångspunkten. På den ena oktaedern är startpunkten och första etappen färdigt utritade - rita själv resten av myrornas rutter. Välj själv startpunkt på den andra oktaedern och rita likadana myrstigar på den. Vilken form har stigarna? Ë 2. Höjder a) Hur hög är oktaedern, då den står på ett hörn? b) Hur hög är oktaedern, då den ligger på en sida?
larobjekt1.nb 6 UPPGIFTER OM EN FYRSIDIG PYRAMID " Att välja rätt bland flera tvärsnitt " Vi ser på en fyrsidig pyramid, där alla kanterna är lika långa. Vilken form har sidoytorna? Vilken form har bottenytan? Anta att pyramidens kanter har längden a. Ë 1. Vinklar a) Hur stor är vinkeln mellan bottenytan och en sidoyta i pyramiden? b) Hur stor är vinkeln mellan bottenytan och en sidokant i pyramiden? c) Hur stor är vinkeln mellan två sidoytor, som ligger bredvid varandra i pyramiden? Ë 2. Mera vinklar a) Hur stor är vinkeln mellan två sidokanter, som ligger mittemot varandra? b) Hur stor är vinkeln mellan två sidoytor, som ligger mittemot varandra? Ë 3. Höjder a) Hur stor är en sidoytas höjd? b) Hur hög är pyramiden? c) Beräkna avståndet från mittpunkten på en sidokant till bottenytans medelpunkt.