Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 4 april 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel- och tabellsamling (skall returneras) samt miniräknare. Leif Ruckman Varje uppgift kan ge max 10p. Lösningar skall utan svårighet kunna följas. Införda beteckningar skall förklaras. För betyget Godkänd krävs minst 30 p och för Väl godkänd krävs 45 p. Uppgift 1. Ett slumpmässigt urval av 150 personer har fått svara på frågan hur många minuter de tillbringat i tvättstugan den senaste veckan. Resultatet framgår av tabellen nedan. Klassgränser (i minuter) frekvens 0 x 15 1 15 < x 30 38 30 < x 45 8 45 < x 60 44 60 < x 75 8 75 < x 90 0 a) Illustrera materialet i ett histogram. b) Beräkna medianen. c) Beräkna medelvärdet. d) Beräkna standardavvikelsen. Uppgift. Vid en inkomstundersökning fann man att x = 0000 :- och s = 3000:- Bilda med hjälp av Chebyshevs olikhet ett intervall observationerna återfinns inom intervallet. x ± k s så att åtminstone 70% av
Uppgift 3. En uppgift går ut på att para ihop 3 stycken sånger med lika många artister. Sång A. Mr. Lonely 1. Bobby Vinton B. Purple Haze. Jimi Hendrix C. Don t eat the yellow snow 3. Frank Zappa Artist Om du är duktig på musik klarar du säkert att para ihop sång och artist, men det ger tyvärr inga poäng på en statistiktenta. Istället tittar vi på en student som aldrig hört talas om dessa låtar och artister och därför måste gissa. X = Antal rätt som den gissande studenten får. Då gäller följande sannolikhetsfördelning; Antal rätt, x 0 1 3 Sannolikhet, p(x) 0.333 0.500 0 0.167 a) Beräkna väntevärdet, µ, för antal rätta svar. b) Beräkna standardavvikelsen, σ, för antal rätta svar. c) Beräkna P(X > 1) d) Visa att den angivna sannolikhetsfördelningen är den korrekta för den beskrivna situationen. (Varför kan det t.ex. inte vara 47% chans att få 1 rätt, och varför måste sannolikheten att få två rätt vara noll?) Uppgift 4. a) I en tillverkningsprocess kan det uppstå fel på en produkt vid fyra olika tillverkningsmoment. Felsannolikheterna vid de fyra momenten är 0.05, 0.08, 0.03, resp. 0.06. Felen antas uppträda oberoende av varandra. Hur stor är sannolikheten att en produkt har ett eller flera fel? b) Om händelser A och B är disjunkta, vet man då något om beroendet mellan A och B? Uppgift 5. I en population har 5 % difteri, men hela 15% av de prover som tas (ett per person) ger positivt utslag. Ännu värre är att endast 80% av de som verkligen har difteri upptäcks genom provtagningen. a) Hur stor är chansen att en slumpmässigt vald individ är frisk (dvs. inte har difteri) och ger ett negativt provresultat? b) Hur stor är chansen att en frisk individ ger ett negativt provresultat? c) Är händelserna frisk och negativt prov oberoende? Kommentera!
Uppgift 6. En försäkringspool för sportflygplan består av 100 flygplan, som alla erlagt en årspremie på 10 000 kr för att i händelse av totalhaveri erhålla ett belopp på 1 miljon kr. Sannolikheten för att råka ut för ett totalhaveri under året antages vara densamma för samtliga plan och lika med 0.008. Beräkna sannolikheten för att alla försäkringspoolens haveriutbetalningar under året kommer att överstiga dess premieinkomster. (Använd gärna lämplig approximativ fördelning).
Lösningar till tentamen 04044 Uppgift 1. 50 40 30 0 10 0 15,0-30,0 0,0-15,0 60,0-75,0 45,0-60,0 30,0-45,0 Std. Dev = 18,73 Mean = 41,3 N = 150,00 X (minuter) Medianen finns i den klass som innehåller observation nr 75, dvs. klassen 30 till 45. n CF 75 50 Median = L + (i) = 30 + 15 = 43.39 f 8 minuter Medelvärdet 1 7.5 + 38.5 + 8 37.5 + 44 5.5 + 8 67.5 = fx x = = n 150 6195 150 = 41.3 minuter fx = 1 7.5 + 38.5 +... + 8 67.5 = 308137. 5 ( ) fx fx = n 6195 308137.5 s = 150 n 1 149 Standardavvikelsen blir således = 350.899 350.899 = 18.73 minuter
Uppgift. 1 Enligt Chebyshev så återfinns åtminstone andelen 1 av observationerna inom x ± k s. k 1 1 = 0.7 k 1 = 1 0.7 = 0.3 k k = 1 / 0.3 = 1.86 Minst 70% av observationerna finns inom 0000 ± 1.86. 3000, dvs. inom intervallet [145, 5478]. Uppgift 3. x 0 1 3 p(x) 0.333 0.5 0 0.167 µ = Σxp(x) = 0. 0.333 + 1. 0.5 +. 0 + 3. 0.167 = 1 rätt σ = Σx p(x) - µ = 0. 0.333 + 1. 0.5 +. 0 + 3. 0.167 1 = 1 σ = 1 rätt P(X>1) = p()+p(3) = 0 + 0.167 = 0.167 A B C Antal rätt Gissning 1 3 3 1 3 1 3 1 0 3 1 1 1 3 1 3 1 0 Antal möjliga gissningsserier är 3!=6. Eftersom det rör sig om rena gissningar är alla dessa sex serier lika sannolika. Endast en av dem ger alla rätt, så p(3)= 1/6 = 0.167 Har man lyckats pricka in rätt så måste även den tredje hamna på rätt alternativ då endast ett alternativ återstår. Därför kan man inte erhålla exakt rätt, så p()=0 1 rätt har man enligt tabellen vid 3 tillfällen, så p(1) = 3/6 = 0.5 0 rätt kan man få på sätt, så p(0) = /6 = 0.333 vilket ger den sökta sannolikhetsfördelningen.
Uppgift 4. Döp de fyra felen till F1, F, F3 respektive F4. P(F1) = 0.05 P(F) = 0.08 P(F3) = 0.03 P(F4) = 0.06 Felen uppträder oberoende av varandra. P(Minst 1 fel) = 1 P(Inget fel) = 1 0.95. 0.9. 0.97. 0.94 = 0.031 Om två händelser A och B är disjunkta så är de alltid beroende. Om den ena inträffar kan den andra inte inträffa. Om de är oberoende gäller att P(A B) = P(A), men vid disjunkta händelser så är P(A B)=0, så de är beroende. Uppgift 5. D = Personen har Difteri P = Testet ger Positivt utslag P(D) = 0.05 P(P) = 0.15 P(P D) = 0.8 P(~D och ~P) =? P(~P ~D) =? P(D och P) P(D och P) P(P D) = = = 0.8 P(D och P) = 0.8 0.05 = 0.04 P(D) 0.05 D ~D P P(D och P) P(~D och P) P(P) ~P P(D och ~P) P(~D och ~P) P(~P) P(D) P(~D) 1 D ~D P 0.04 0.11 0.15 ~P 0.01 0.84 0.85 0.05 0.95 1 P(~ D och ~ P) 0.84 Sökt: a) P(~D och ~P) = 0.84 b) P(~ P ~ D) = = = 0.884 P(~ D) 0.95 c) Om Frisk (~D) och Negativt prov (~P) är oberoende så gäller t.ex. att P(~P)=P(~P ~D). Här har vi P(~P)=0.85 och P(~P ~D)=0.884. Dessa sannolikheter är inte lika, alltså är händelserna beroende. Sannolikheten att erhålla ett negativt provresultat ökar något då vi vet att det är en frisk individ som testas.
Uppgift 6. Intäkter: 100 flygplan. 10000:- ger 1 miljon i premieintäkter. För att utgifterna skall bli större än intäkterna måste minst flygplan råka ut för totalhaveri. Om vi antar att flygplanen råkar ut för totalhaveri oberoende av varandra så är X= Antal plan som råkar ut för totalhaveri binomialfördelad med n=100 och π=0.008. Eftersom n>10 och π<0.1 så är X approximativt Poissonfördelad med µ=nπ=0.8. P(X ) = 1 P(X 1) = [tabell] = 1-0.8088 = 0.191. (En exakt beräkning med binomialfördelningen ger svaret 0.1909.)