Räkneövning 4 Statistiska institutionen Uppsala universitet 14 december 2016 Om uppgifterna Uppgift 2 kan med fördel göras med Minitab. I de fall en gur för tidsserien efterfrågas kan du antingen göra en enkel skiss eller använda Minitab. 1 Uppgift 1 Antag att en tidsserie bestående av årsdata utvecklas på ett sådant sätt att trenden fördubblas vart femte år. 1. Ange, med motivering, en trendfunktion som du anser vara lämplig för att beskriva en sådan tidsserie. 2. Även om man inte har tillgång till de observerade värdena på tidsserien kan en av trendfunktionens parametrar beräknas. Genomför beräkningen och tolka det erhållna värdet. 1
2 Uppgift 2 I Tabell 1 redovisas antal förvärvsarbetande personer boende i Uppsala län som pendlar över länsgränsen. År Antal År Antal År Antal År Antal År Antal 2004 32785 2006 34698 2008 37999 2010 38053 2012 38204 2005 33379 2007 36899 2009 37070 2011 37817 2013 38309 Tabell 1: Antal förvärvsarbetande utpendlare över länsgräns, Uppsala 1. Rita guren. 2. Beräkna ett glidande medelvärde för serien där du använder tre lika vikter. Rita guren. 3. På vilket sätt kan det vara problematiskt att använda sig av ett jämnt antal vikter? 3 Uppgift 3 Antal invånare i Uppsala mellan 2000 och 2014 redovisas i Tabell 2. En enkel linjär regression, E(Y t ) = β 0 + β 1 t, där t är antal år efter 1999, är föreslagen för att göra prognoser för befolkningsutvecklingen. År Antal År Antal År Antal 2000 177,4 2005 183,3 2010 197,8 2001 178,7 2006 185,2 2011 200,0 2002 179,7 2007 187,5 2012 202,6 2003 180,7 2008 190,7 2013 205,2 2004 182,1 2009 194,8 2014 207,4 Tabell 2: Befolkningsmängd i Uppsala kommun (tusental) 1. Skatta modellen med minsta kvadrat-metoden. Tolka resultatet. 2. Utvärdera modellens anpassningsförmåga. 2
3. Beräkna och tolka ett prediktionsintervall för 2015 och 2016 med α = 0,05. 4. Beskriv problemen som är associerade med användning av en enkel linjär regression för att prognostisera tidsseriedata. 4 Uppgift 4 Konsumentprisindex (KPI) mäter förändringen i prisnivån relativt till ett basår. KPI för Sverige under perioden 2000-2014 med 1980 som basår visas i Tabell 3. År KPI E t T t 2000 260,8 262,3 3,467 2001 267,1 266,3 3,723 2002 272,9 271,2 4,284 2003 278,1 276,5 4,815 2004 279,1 280,5 4,377 2005 280,4 283,1 3,493 2006 284,2 285,6 3,026 2007 290,5 289,4 3,398 2008 300,5 295,9 4,940 2009 299,0 300,1 4,579 2010 302,5 303,8 4,139 2011 311,4 309,3 4,839 2012 314,2 314,2 4,845 2013 314,1 317,0 3,852 2014 313,5 Tabell 3: Konsumentprisindex 2000-2014 (basår 1980) samt trend (T t ) och utjämnad serie (E t ) från Holt-Winters metod 1. Rita guren. Finner du en långsiktig trend? 2. Beräkna och rita ett centrerat glidande medelvärde med fem vikter. Gör en prognos för KPI år 2015. 3
3. (MINITAB) Använd enkel exponentiell utjämning med utjämningskonstanten w = 0,4 och rita den utjämnade serien. Gör en prognos för KPI år 2015. 4. Med hjälp av MINITAB tillämpar vi Holt-Winters metod utan säsong och anpassar modellen med utjämningskonstanterna w = 0,4 och v = 0,5. Den utjämnade serien E t samt trenden T t nns i Tabell 3. Gör en prognos för KPI år 2014. 5 Uppgift 5 I Figur 1 visas ett index (med 2010 som bas) för postorder- och näthandelns omsättning mellan 1991:1 och 2014:4. 180 160 140 120 Index 100 80 60 40 20 Quarter Year 1991 1995 1999 2003 2007 2011 Figur 1: Postorder- och näthandelns omsättningsutveckling (index, bas = 2010) under 1991:1-2014:4 (t = 1, 2,..., 96) 1. Diskutera om det i det här fallet är lämpligast att använda en additiv eller en multiplikativ modell. 4
Trippel exp. utj., (w = v = u = 0,4) Tid t y t E t T t S t 2014:1 93 125,4 126,7 2,945 0,978 2014:2 94 127,9 123,5 3,213 0,952 2014:3 95 128,3 131,4 2,200 0,971 2014:4 96 165,0 157,7 2,843 1,181 2015:1 97 136,7 2015:2 98 149,4 Tabell 4: Trippel exponentiell utjämning 2. Vi är nu intresserade av att göra prognoser för kvartal 1 och 2 år 2015. Till vårt förfogande har vi era metoder att välja bland och vi ska i det här fallet använda exponentiell utjämning och regression. Varför är enkel och dubbel exponentiell utjämning olämpliga att använda i den här situationen? 3. För att bestämma vilken av metoderna vi föredrar vill vi göra en prognosutvärdering. För att möjliggöra en sådan behöver vi först beräkna prognoserna. I Tabell 4 hittar du (delar av) resultaten för Holt-Winters metod. Gör de återstående beräkningar du anser nödvändiga för att räkna ut prognoserna. Det andra alternativet består av en linjär regressionsmodell med säsongskomponenter som har anpassats på logaritmen av omsättningen. Den skattade regressionen hittar du i ekvation (1). Beräkna även här prognoserna för 2015:1 och 2015:2. ln ŷ t = 3,2171 + 0,0186t 0,0564Q 1t 0,2046Q 2t 0,1099Q 3t (1) 4. Utvärdera modellernas prognosförmåga enligt måtten medelabsolutfel och medelkvadratfel. Kommer du fram till samma inbördes ordning i prognosförmåga med båda måtten? 5