DEBATT DEBATT DEBATT DEBATT DEBATT DEBATTTT Vad menas med vardagsanknuten matematikundervisning? I förra numret av Nämnaren diskuterade Jan Nilsson vardagens roll i matematikundervisningen. Här kommer ett inlägg från Wiggo Kilborn, lärarutbildare och författare till en av de böcker som behandlades. Alla läsare är välkomna att fortsätta debatten. I Nämnaren nr 3/2003 finns en artikel om vardagsanknuten matematikundervisning, skriven av Jan Nilsson. Artikeln är intressant av två skäl. Dels tar den upp en debatt om innehållet i svensk matematikundervisning, vilket är välkommet. Dels bygger den på en rad förgivet-taganden, något som jag kommer att kommentera i den här artikeln. Ett exempel på ett sådant förgivet-tagande är att elever lär sig bättre om de är aktiva och om de talar. Men detta beror väl på vad de skall lära? I andra kulturer menar man istället att elever lär sig matematik bäst om de är fysiskt mer passiva och ägnar sin uppmärksamhet åt att lyssna. Ett annat exempel på förgivet-tagande är att färdighetsträning är själlös och mekanisk och därmed inte önskvärd. I andra kulturer inser man att färdighetsträning är en nödvändig del av en djupare inlärning och att färdighetsträning i sig inte behöver vara varken mekanisk och själlös. Det är väl snarare så att den inte blir mer mekanisk och själlös än vad lärare tillåter den att bli. Jag skall nu kommentera några allvarliga förgivet-taganden i artikeln. Till att börja med skriver Jan Nilsson att han, genom sina lärarstuderande, förstått att man i deras ämnesdidaktiska utbildning... lägger stor vikt vid sådant som konkretion, problemlösning och vardagsnära matematik. Man menar också... att matematik inte får reduceras till ett själlöst räknande sida upp och sida ner i läroboken. Det är väl få som idag ifrågasätter något av detta. Problemet är snarare hur man tolkar det här och reflekterar över vad det egentligen innebär. När jag under senare år, vid klassrumsobservationer och vid analyser av läromedel, studerat hur man använder sig av laborationer och hur man konkretiserar ett innehåll, så finner jag att det ofta handlar om en ren manipulation av material, förpackad i en intressant aktivitet. Men konkretisering handlar inte om aktivitet eller att arbeta med ett material. Det handlar istället om att man, med hjälp av ett material eller en vardagserfarenhet, vill belysa något eller lyfta fram en idé. Materialet eller erfarenheten bör allt- 9
så användas för att stödja språket (medieringen) på ett sådant sätt att något, som i annat fall förblivit obegripligt för eleverna, därigenom blir begripligt. Jag ger nu ett exempel för att belysa vad jag menar: Arean av ett cirkelområde För att bestämma formeln för arean av ett cirkelområde med radien r, utför man ofta en laboration, där arean av cirkelområdet jämförs med arean r 2 av en kvadrat I ett aktuellt läromedel skall detta utföras genom att eleverna klipper isär ett antal kvadrater med sidan 5 cm för att med dess hjälp täcka ett cirkelområde med radien 5. Eleverna kommer då att finna att det behövs lite mer än tre sådana kvadrater för att täcka cirkelytan. Längre än så kan man inte komma med laborationen, såsom den är utformad. Utgående från detta resultat vill författarna nu, genom en fiffig lotsning av eleverna, dra slutsatsen att cirkelområdets area alltid är π r 2. Men detta är inte konkretisering utan enbart manipulering. Författarna har i själva verket missat just de två saker man borde konkretisera, nämligen att det finns en relation mellan cirkelområdets area och kvadratens area, alltså proportionalitetskonstanten π, och att denna relation är generell och således inte bara giltig när radien är 5 cm. När jag i olika klassrum studerat genomförandet av den här typen av laboration, har jag således iakttagit en aktivitet (och mycket prat), men däremot väldigt lite konkretisering som lett fram till en intressant slutsats. Vardagsnära matematik På motsvarande sätt bör man göra klart för sig vad som menas med vardagsnära matematik. En vanlig uppfattning verkar vara, att eleverna bara skall arbeta med sådan matematik som förekommer i deras vardag, för då blir matematiken konkret och då förstår de. Det här låter bestickande och många elever är säker nöjda med detta, eftersom de då slipper anstränga sig. Men vad är målet och vad lär sig eleverna? Om eleverna enbart arbetar med den vardag de redan förstår, så bygger de ju inte upp något nytt vetande. De utvecklar således inte sitt vetande på ett sådant sätt att de kan tolka nya, mer komplexa, fenomen i vardagen. För att detta skall ske måste det finnas klara mål för verksamheten. För att uppnå sådana mål, så kan lärare ibland använda en vardagssituation som utgångspunkt för att leda eleverna till det avsedda målet. Men målet bör då inte vara begränsat till att enbart lösa det aktuella problemet. Ett viktigare mål är att kunna ta resultatet som utgångspunkt för att lära sig något nytt, till exempel en ny strategi som därefter, i sin tur, kan användas i andra situationer, för att förklara nya fenomen som eleverna dittills inte förstått. En strävan bör således vara, att den kunskap eleverna bygger upp också skall kunna användas som bas för att bygga ny kunskap. Enligt kursplanen förväntas ju eleverna på sikt också behärska sådana matematiska modeller som krävs för att tolka innehållet i andra ämnen och som grund för vidare studier, oavsett om det gäller teoretiska eller yrkesinriktade studier. För att nå dessa mål räcker det inte att utgå från elevernas vardag. Färdighetsträning Nu över till det själlösa, mekaniska räknandet. Jan Nilssons ordval är så listigt, att den som förespråkar färdighetsträning direkt blir betraktad som förespråkare för en själlös och mekanisk undervisning. Detta står i bjärt kontrast till den uppfattning man har inom till exempel musik och idrott, där man vet att all framgång är intimt kopplad till just färdighetsträning. När hör man musiker och idrottare klaga på själlös, mekanisk träning? När Jan Nilsson i artikeln anklagar läraren med bocciakloten för att använda verkligheten som en kuliss för att dölja en isolerad färdighetsträning så är han dessutom 10
grovt orättvis. Observera att det han regerade mot från början var ett själlöst, mekaniskt räknande sida upp och sida ned. Om man istället, med risk för att vara själlös, anser att all djupare inlärning ofta kräver en viss mängd färdighetsträning, så är väl den färdighetsträning den här läraren bedriver varken själlös eller sida upp och sida ned. Läraren har snarare funnit en metod att motivera eleverna att öva mätning, och det tycker jag är bra för hur skall man lära sig att mäta om man inte mäter? Enligt min uppfattning borde man rensa bort grumliga uppfattningar av det här slaget och konstatera att färdighetsträning i sig inte kan vara varken mekanisk eller själlös. Däremot är det säkert så att en del lärare, sannolikt som en följd av mindre lämplig utbildning, bedriver färdighetsträning på ett själlöst och mekaniskt sätt, men det är en helt annan sak. Undervisningen har flera mål Vad en stor del av artikeln handlar om är huruvida de matematiska kunskaper som eleverna förväntas förvärva i skolan... ska hjälpa dem att förstå, hantera och lösa problem som kan uppstå i olika vardagliga situationer. Jan Nilsson har en åsikt om detta och torgför i artikeln sin åsikt med hjälp av tre exempel. Vad han glömmer bort är emellertid att det mål han utgår ifrån enbart är ett av flera mål i kursplanen. Han förutsätter därför att de som beskrivs i exemplen, hade just detta enda mål, nämligen att arbeta med vardagsmatematik. Dessutom verifierar han vid flera tillfällen sina åsikter genom att använda citat som lösryckts från sitt sammanhang. Jag ska nu analysera det tre exemplen utgående från de mål som gäller för grundskolans matematikundervisning, alltså att man behöver kunskaper i matematik inte bara för vardagsbruk utan även för att kunna tillgodogöra sig innehållet i andra ämnen och som grund för fortsatta studier. Självklart skall den undervisning som syftar till att nå dessa mål, så långt som är möjligt, vara konkret, begrip lig och ske under så angenäma former som möjligt. Låt oss nu studera vad de två lärarna som beskrivs i exemplen faktiskt gör. Att mäta en meter Den första läraren, hon med bocciakloten, utgick från en påhittad historia för att göra arbetet med mätning lite mer intressant för eleverna. Detta är ett vanligt tillvägagångssätt på lägre stadier och i själva verket ett sätt att skapa motivation för arbetet. Jag kan i och för sig tänka mig en rad andra sätt att göra detta på, men tycker trots allt att läraren har byggt upp en fungerande metafor som utgångspunkt för sitt arbete. Läraren verkar i det här fallet också ha ett klart mål för vart hon vill komma och hon verkar leda eleverna dit på ett målmedvetet sätt. Man har under senare år, i ett antal svenska och utländska undersökningar, kunnat konstatera att just detta, att ha ett klart mål för sitt arbete, är ett av de viktigaste kännetecknen för framgångsrika lärare. När Jan Nilsson kritiserar den här lärarens beteende som skenbart öppet och knappast förhandlingsbart så förstår jag inte hans motiv. Lärarens mål är i själva verket inte förhandlingsbart. Redan år 1875 bestämde vi oss för vad en meter är och därmed hur man mäter längd. Hur skall detta kunna förhandlas i ett klassrum? Lektionen handlar, vad jag kan förstå, om att under humana villkor och på ett intellektuellt hederligt sätt, hjälpa eleverna att nå ett av samhället uppsatt mål. Så varför lura eleverna att man kan förhandla om detta? Vad gäller färdighetsträning i att mäta, så finns det beprövad erfarenhet av att elever i Sverige har problem med längdmätning. Hur skall man råda bot på detta, om inte genom att låta eleverna öva sig i att mäta? 11
Att ta vara på möjligheter Den andra läraren byggde upp sin lektion utgående från ett födelsedagskalas. Hon utnyttjade alltså en aktuell situation och tog den till utgångspunkt för sin lektion. Ett utmärkt initiativ som sannolikt höjde elevernas motivation. Under lektionen förekom det dessutom samverkan mellan olika ämnen och eleverna tilläts ta initiativ. Detta utgör tillsammans en alldeles utmärkt ram för en god inlärning. Men Jan Nilsson glömmer bort att ta upp den absolut viktigaste frågan, nämligen: vad var det eleverna skulle lära sig? Om målet var att eleverna skulle lära sig matematik, så tolkar jag det som beskrivs i exemplet som en ren happening, där läraren lät eleverna bestämma, men där det saknades ett klart mål. Min tolkning av lektionen är dessutom att läraren, genom att inte ta ansvar och leda verksamheten mot ett klart mål, missade en rad möjligheter att lära eleverna matematik. Hon kunde till exempel tagit upp den viktiga frågan om vad som menas med ett majoritetsbeslut. 3 av 12 elever som ville ha chokladpudding är inte i majoritet. Eftersom det var 4 elever som ville ha tårta, rulltårtan oräknad, så vore kanske tårta ett mer demokratiskt val? Hon kunde också ha passat på att knyta arbetet (på ett informellt sätt) till begrepp som delbarhet, rest och annan, för elevernas framtid, viktig matematik. Grupparbete Jag har under flera år studerat grupparbete av det här slaget och har varje gång konstaterat att endast ett fåtal elever får ut något av arbetet. De flesta av dem lär sig enbart att det är kul med grupparbete. I sin analys av lektionen har Jan Nilsson således missat den viktigaste frågan, nämligen vilken matematik läraren avsåg att lyfta fram och vilken inlärning som ägde rum. Min tolkning är att eleverna kollektivt löste ett antal slumpmässigt uppkomna problem. En viktig fråga är därför vad den enskilde eleven lärde sig, om det efter lektionen var möjligt för alla elever att behärska problem av det aktuella slaget och om denna kunskap kunde generaliseras till nya situationer. I annat fall står ju eleverna kvar och stampar på samma fläck som före lektionen. Skilj på innehåll och form För att sammanfatta de senaste styckena, så anser jag det vara dags att vi äntligen börjar skilja mellan undervisningens innehåll och dess arbetsformer/arbetssätt. För att eleverna skall lära sig ett innehåll, vilket är målet med matematikundervisningen, så är det inte grupperingar, aktivitet och undervisningsmetoder som är det primära. Först när lärare har ett klart och långsiktigt hållbart mål för det innehåll de avser att undervisa om, och har en plan för hur detta mål kan nås av olika elever, är det dags för dem att fundera över hur arbetet kan utföras. Då kan man ta ställning till om innehållet lärs bäst enskilt eller i grupp och vilken aktivitet och vilken metodik som är lämplig med avseende på elever och innehåll. Detta kräver en god utbildning och kunskaper i såväl matematik som matematikämnets didaktik. Att generalisera kunskap Det tredje exemplet i artikeln, det med rubriken Matematik ur eller i vardagen? är också intressant. Tar författaren till artikeln verkligen för givet att det råder ett antingen eller? Jag upptäckte att han citerade ur boken Baskunskaper i matematik till vilken jag själv varit medförfattare. Den tolkning Jan Nilsson gör i artikeln är för mig svår att förstå. Han verkar nämligen utgå från att vi beskriver en vanlig lektion och att vi avser att ge exempel på konkretisering med hjälp av vardagsuppgifter. I själva verket står det i rubriken att det här handlar om Pre-algebra. 12
Det vi beskriver är en försöksverksamhet där jag försökte kartlägga varför elever i skolår 8 9 hade problem med enkel algebra, såsom med den distributiva lagen. Vad vi med exemplet avsåg att visa var att algebraiska strukturer som vållar problem på högstadiet i själva verket kan uppfattas av elever redan i skolår 2. Kanske har vi inte varit helt tydliga i boken, men Jan Nilsson har uppenbarligen utgått ifrån att vi menar att elever skall arbeta med konkreta vardagsuppgifter av det här slaget. Om han istället fortsatt att läsa i boken, skulle han upptäckt att vi ägnar ett helt kapitel åt språkbruk och konkretisering och att vi med en rad exempel visar vad vi faktiskt menar med konkretisering. Nu är det emellertid inte detta som är den mest intressanta i frågan utan Jan Nilssons slutsatser: De perspektiv författarna ställer mot varandra är, å ena sidan att man först ska lära sig matematik och sedan kunna tillämpa den i vardagen, eller om man å andra sidan ska utgå från ett sociokulturellt perspektiv, vardagen, för att med hjälp av den bygga upp grundläggande färdigheter i matematik.... Det som är gemensamt för båda dessa hållningar är dock att det är matematiken som är det centrala. Inte vardagslivet. Jag kan inte tänka mig att Jan Nilsson har läst boken särskilt noggrant. Han skulle i så fall ha fått utförliga svar på dessa frågor. Han har istället fogat samman lösryckta citat och därmed skapat egna tolkningar. Så här förhåller det sig i själva verket enligt vår uppfattning: Först måste man göra klart för sig att matematik är mångfacetterat. Det är stor skillnad mellan de matematiska modeller som används i vardagslivet, i olika yrken, i olika ämnen och av yrkesmatematiker. Skolans uppgift är att (så långt det är möjligt) förbereda alla eleverna för samtliga dessa alternativ. Att detta är rimligt (om än inte helt lätt) beror på att det är samma talsystem, räknelagar och räkneregler som gäller oberoende av inriktning. Det är därför det är viktigt att den undervisning som bedrivs har en sådan kvalitet, att räknelagar och räkneregler verkligen lyfts fram, informellt och/eller formellt. Det är ju utgående från dessa som eleverna skall kunna generalisera, dvs. analysera och tolka nya fenomen som de inte tidigare träffat på. Det är just denna egenskap hos matematiken som utgör dess styrka. Det är detta som skiljer användbar kunskap från förmågan att enbart kopiera det man redan kan. För det andra kan elever tillägna sig den här typen av kunskap på olika sätt beroende på mål, förkunskaper och förmåga. I svensk skola anser vi det vara viktigt att göra undervisningen konkret. I vissa fall är detta möjligt och i andra fall inte. All teori kan inte konkretiseras. När det är möjligt att konkretisera, så finns det flera olika möjligheter att göra detta. En av många möjligheter är att utgå från en vardagsmatematik som eleverna är bekanta med. Detta kan i sin tur ha två helt olika syften, dels att göra eleven mer bekant med denna vardag i sig, dels för att använda vardagens problem som ett konkretiserande medium, i avsikt att upptäcka en matematisk idé eller struktur. Att finna denna idé eller struktur är i det senare fallet målet för arbetet. Poängen med att lära sig matematik är nämligen att kunna generalisera, att kunna återanvända inlärda strukturer eller modeller för att tolka nya fenomen, till exempel i en mer komplex vardagssituation. Detta, Jan Nilsson, är väl inte motsägande? Vad en stor del av boken Baskunskaper i matematik handlar om, är i själva verket hur man i praktiken kan genomföra en undervisning av det här slaget. Till Jan Nilssons försvar vill jag, i ärlighetens namn, poängtera att den nu gällande kursplanen inte är speciellt tydlig när det gäller att beskriva olika typer av mål. Det kan inte heller vara så lätt för en didaktiker i svenska att analysera matematikämnets didaktik. Wiggo Kilborn 13