Lite extra material för deltagarna i kursen MAB 5.1 Detta material ska endast ses som ett stöd till provförberedelserna och inte som en fullständig sammanfattning av kursen. Hela kursens innehåll repeteras noggrant på sidorna 145-162 i boken. Arbeta dig gärna igenom det materialet också. Sannolikhet Sannolikheten för någon händelse A är P(A)= antalet gynnsamma utfall för A totala antalet utfall Exempel: En tärning kastas. Vilken är sannolikheten för att ögontalet är mindre än 5? Svar: P ögontalet mindre än 5 = 4 6 0,67 Förklaring: Händelsen är ögontalet mindre än 5 De gynnsamma utfallen för händelsen är ögontalen {1,2,3,4} (4 st) Alla utfall, dvs alla ögontal är {1,2,3,4,5,6} (6 st) Uppgift Vilken är sannolikheten för att en person född år 1991 är född a) i februari? b) den sista dagen av en månad? Svar: a) P född i februari år 1991 = 28 365 0,077 b) P född sista dagen av en månad år 1991 = 12 365 0,033 Förklaring: a)-fallet händelsen är född i februari år 1991 gynnsamma utfall är dagarna i februari (28 st) totala antalet utfall är alla dagar år 1991 (365 st) Förklaring: b)-fallet händelsen är född sista dagen av en månad år 1991 gynnsamma utfall är antalet sådana dagar (12 st) totala antalet utfall är alla dagar år 1991 (365 st)
Experimentell sannolikheten Med experimentell sannolikhet avser man sannolikheter som man härleder från insamlad information. Den experimentella sannolikheten är inte nödvändigtvis exakt samma som den verkliga sannolikheten, men om materialet är stort kommer den att ligga mycket nära den verkliga. Exempel: Tabellen nedan visar antalet förlossningar och tvillingfödslar i Finland år 2003 Förlossningar Tvillingfödslar 62 198 880 Den experimentella sannolikheten för tvillingfödsel blir nu den relativa andelen av tvillingfödslar, alltså P tvillingfödsel = 880 62198 0,014 Exempel Tusen glödlampors livstid har testats och resultatet är följande: Funktionstid (h) Antal lampor -9999 472 1000-1999 269 2000-2999 142 3000-3999 87 4000-4999 23 5000-7 Med vilken sannolikhet lyser en lampa som redan fungerat i 2000 timmar, ytterligare 2000 timmar? Lösning: Enligt tabellen slocknade 472 + 269 = 741 lampor inom 2000 timmar. Alltså lyste 1000-741=259 lampor ännu efter 2000 timmar. Enligt tabellen slocknade 142+87=229 i tidsintervallet 2000-4000 timmar. Alltså lyste ännu 259-229=30 lampor efter 4000 timmar. Svaret blir således P lampa som lyst 2000 h lyser ytterligare 2000 h = 30 259 0,12
Tärningskast med två tärningar Uppgift: Vi kastar två tärningar, en röd en blå. Vad är sannolikheten att ögontalens summa blir 5? Beteckning: I detta sammanhang är ett utfall ögontalen av tärningarna vid ett kast. Om till exempel den blå tärningen blir en fyra och den röda en etta kan utfallet nedtecknas som (4,1). =(4,1) Lösning med hjälp av definitionen för sannolikhet: Sammanlagt finns det 36 möjliga utfall: {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)} Gynnsamma utfall är {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}. Dessa är fyra till antalet. Svaret blir: P ögontalens summa 5 = 4 36 0,11 Snabbare lösningsmetod: Vi ritar upp följande koordinatsystem och ringar in de punkter för vilka koordinaternas summa är 5: Vi ser av bilden att det finns fyra punkter i området. Svaret blir således P ögontalens summa 5 = 4 36 0,11
Multiplikationsregeln Om A och B är oberoende händelser har vi att P A och B =P A P B Exempel: 51,2 av nyfödda barn är pojkar. Med vilken sannolikhet är alla fyra barn i en familj pojkar? Lösning: Vi gör beteckningar för händelser: A 1 = första är pojke A 2 = andra är pojke A 3 = tredje är pojke A 4 = fjärde är pojke P(alla är pojkar) = P(A 1 och A 2 och A 3 och A 4 ) = P(A 1 ). P(A 2 ). P(A 3 ). P(A 4 ) = 0,512. 0,512. 0,512. 0,512 0,69 Multiplikationsregeln, händelser som inte är oberoende P A och B =P A P B händer förutsatt att A redan ägt rum. Exempel: Vad är sannolikheten att dra tre hjärter ur en kortpacke? Lösning: 13 52 12 51 11 50 0,013 Komplementhändelse Om A är någon händelse, så är dess komplementhändelse A = "A händer inte". Sannolikheternas samband är P A =1 P A. Typisk användning av komplementhändelse: 5% är vänsterhänta. Med vilken sannolikhet finns det åtminstone en vänsterhänt i en grupp på 20 elever? Kommentar: Händelsen åtminstone en vänsterhänt är svår att räkna ut direkt, för då skulle man bli tvungen att separat beräkna sannolikheterna att exakt en är vänsterhänt, exakt två är vänsterhänta, exakt tre är vänsterhänta etc. Komplementhändelsen till åtminstone en är vänsterhänt är händelsen ingen är vänsterhänt och den är lättare att räkna ut. Lösning: Sannolikheten att en person inte är vänsterhänt är 0,95. Sannolikheten att ingen av de tjugo eleverna är vänsterhänta blir därför enligt multiplikationsregeln lika med 0,95 20. Således får vi att P åtminstone en vänsterhänt =1 0,95 20 0,64
Additionsregeln Om A och B är uteslutande händelser så gäller det att P(A eller B)=P(A)+P(A). Additionsregeln använd ofta is samband med multiplikationsregeln, vilket vi ser i följande exempel. Uppgift: En fotbollsmålvakt räddar 13% av motståndarens straffsparkar. Med vilken sannolikhet lyckas han rädda exakt en av fem straffar? Lösning: Vi gör följande beteckningar: A 1 = han räddar första straffen, släpper in resten A 2 = han räddar andra straffen, släpper in resten A 3 = han räddar tredje straffen, släpper in resten A 4 = han räddar fjärde straffen, släpper in resten A 5 = han räddar femte straffen, släpper in resten Vi ser m.h.a. multiplikationsregeln att P( A 1 )=0,13. 0,87. 0,87. 0,87. 0,87=0,13. 0,87 4 och också att P( A 2 )=0,87. 0,13. 0,87. 0,87. 0,87= 0,13. 0,87 4 etc. Alltså har vi att P räddar exakt en straff = P A 1 ellera 2 ellera 3 ellera 4 ellera 5 =P A 1 P A 2 P A 3 P A 4 P A 5 Produktprincipen och permutationer = 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 0,13 0,87 4 = 5 0,13 0,87 4 0,37 Produktprincipen: Om du gör flera val efter varandra, blir det totala antalet kombinationer produkten av valmöjligheterna vid de olika valen. Mera konkret: Anta att du att du går till en kebabrestaurang där du kan göra följande val: 1) Kebab eller falafel 2) Stark eller svag chilisås 3) Franskisar, ris eller pitabröd. Hur många olika sorters måltid kan du få? Lösning: Vid val 1) har du 2 alternativ. Vid val 2) har du 3 alternativ Vid val 3) har du 2 alternativ. Det finns alltså sammanlagt 2. 3. 2=12 olika sorters måltid.
Permutationer: Anta att vi har fyra objekt som kan arrangeras i en ordningsföljd. Varje sådan ordningsföljd är en permutation. En sak som man ofta behöver veta är hur många permutationer en mängd har. Hur många permutationer har dessa fyra objekt då? val av första objekt val av andra objekt val av tredje objekt val av fjärde objekt 4 möjligheter 3 möjligheter 2 möjligheter 1 möjlighet Enligt produktprincipen finns det således 4. 3. 2. 1=24 permutationer. Man kan alltså arrangera dem i 24 olika ordningsföljder. Man betecknar 4!= 4. 3. 2. 1 Uppgift: Efter en fest väljer alla fem gäster på måfå en hatt på hatthyllan. Med vilken sannolikhet får alla sin egen hat? Lösning: Det finns 5!=5. 4. 3. 2. 1=120 olika sätt att placera fem hattar på fem herrar. Ett av dessa är det rätta. Alltså blir sannolikheten P alla får sin egen hatt = 1 120 0,0083 Antalet delmängder En mängd med n element har n n n 1 n 2 n k 1 k = k! stycken delmängder med k element. Uttryck av typen n k kallas binomialkoefficienter. Man räknar ut värdet på dem med räknemaskinen m.h.a. ncr-knappen. Uppgift: Beräkna 8 5. Lösning: 8 8 7 6 5 4 = 5 5 4 3 2 1 =6710 120 =56. På räknemaskin: knappra in 8 ncr 5
Uppgift: Anta att vi har 27 elever i en högstadieklass. På hur många sätt kan man av eleverna bilda ett sexpersoners innebandylag? Ett sådant lag väljs med lottning. Vilken är sannolikheten att klassens bästa spelare Jenny och Johan båda kommer med i laget? Lösning: Det finns 27 6 =296010 olika sätt att välja laget. Då vi räknar sannolikheten att Jenny och Johan kommer med finns det således totalt 27 6 utfall. Om Johan och Jenny väljs finns det 25 4 gynnsamma utfall. Således får vi att P(Johan och Jenny med) = 25 4 27 6 0,043 sätt att välja de övriga fyra spelarna. Detta är antalet
Repetitionsmaterial för MAB 5.1, statistikdelen De cetrala centrala delalarna i kursens andra del är följande: diagram, frekvenstabeller, lägesmått (medeltal, modus, median), kumulativa fördelningar, standardavvikelse och normalfördelningen. Exempel: Vi åskådliggör statistiskt material över dagstidningsprenumeratiooner Andel hushåll % HBL och HS 4 Endast HBL 2 Endast HS 65 Andra tidningar 10 Ingen tidning 19 Som stapeldiagram: Andel hushåll % 70 60 50 40 30 Andel hushåll % 20 10 0 HBL och HS Endast HBL Endast HS Andra tidningar Ingen tidning
Materialet kan också framställas dom ett cirkeldiagram: Andel hushåll % Ingen tidning 19 % Andra tidningar 10 % HBL och HS 4 % Endast HBL 2 % Endast HS 65 % HBL och HS Endast HBL Endast HS Andra tidningar Ingen tidning När man rita vinklar med penna och papper måste man räkna ut sektorernas vinklar så att de motsvarar förhållandena de representerar: Andel hushåll % Sektorvinkel HBL och HS 4 0,04*360º=14,4º Endast HBL 2 0,02*360º=7,2º Endast HS 65 0,65*360º=234º Andra tidningar 10 0,10*360º=36º Ingen tidning 19 0,19*360º=68,4º Frekvenstabell, medelvärde, typvärde och median Statistiskt material presenteras ofta i en frekvenstabell. Exempel: En nybörjarkurs i judo för under 16-18 åringar har 21 deltagare. Nedan är en tabell över frekvensen av olika åldrar Ålder frekvens 18 8 17 4 16 9 Modus (typvärde) är det vanligaste värdet, dvs värdet med den högsta relativa frekvensen, i detta fall 16. Medianen är det mittersta värdet (se en definition på sida 107 i boken). Tabellen visar att det finns 9st adertonåringar, 4st sjuttonåringar och 6st sextonåringar. Om vi arrangerar alla deltagares åldrar i en storleksordning skulle den se ut såhär: 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18 Det mittersta talet är 17 (det finns lika många som är större eller lika som det finns åldrar som är mindre eller lika).
Medianen kan också läsas ur tabellen. Sammanlagt finns det 21 deltagare. Hälften av 21 är 10,5. Vi räknar ihop klasser tills vi kommer till detta värde: 4) I klassen adertonåringar finns 8 (detta överskrider inte 10,5) 5) I klasserna adertonåringar och sjuttonåringar finns 8+4=12. Detta överstiger 10,5. 6) Alltså är 17 medianen. Medeltalet räknar vi ut enligt följande: 8 18 4 17 9 16 17,0. 21 Klassindelning Det är ofta naturligt att presentera statistiskt material i klassindelningar. Tänk er t.ex. att man har fört statistik över inkomster på tusentals individer och vill presentera materialet i en begriplig form. Då lönar det sig inte att berätta exakt vad varje individ har tjänat, utan man man delar in individerna i olika inkomstklasser. Exemplet med elevers bostadsytor: En enkät ger följande resultat: 45, 51, 74, 71, 32, 102, 78, 89, 95, 88, 80, 74, 81, 77, 89, 105, 90, 108, 125, 58, 59, 85, 87, 70, 66, 65, 80, 74, 69, 46, 67, 74, 67, 54, 54, 76, 77, 37, 78, 68, 64, 87, 82, 85, 63, 59, 60, 71, 62, 63, 100 Vi gör en klassindelad frekvenstabell: Area (m²) Frekvens 30-50 4 50-70 17 70-90 23 90-110 6 110-130 1 51 Klassmitterna blir: 30 50 =40, 2 50 70 2 =60,etc. Alltså får vi att Area (m²) Klassmitt (m²) Frekvens
30-50 40 4 50-70 60 17 70-90 80 23 90-110 100 6 110-130 120 1 51 Vi räknar ut ett medeltal m.h.a. klassmitterna: 4 40 17 60 23 80 6 100 1 120 73 51 Detta medelvärde är inte alldeles exakt eftersom man antar att alla värden som faller inom en klass är samma som klassmitten. Det verkliga medeltalet skulle man kunna räkna ut i vanlig ordning genom att utgå direkt ifrån svaren i enkäten. Om man däremot endast har tillgång till en klassindelad frekvenstabell räknar man ut medelvärdet som ovan. Kumulativa fördelningar Nedan har vi Finlands åldersfördelning år 1850 Ålder % 0-4 13,9 5-14 20,6 15-24 17,7 25-44 27.1 45-64 16,3 65-74 3,4 75-89 1,0 90-0,0
Av tabellen ovan kan vi bilda en kumulativ tabell: Ålder % under 5 13,9 under 15 34,5 (=13,9 + 20,6) under 25 52,2 (=34,5+17,7) under 45 79,3 under 65 95,6 under 75 99,0 under 90 100 Nu kan vi göra ett kumulativt diagram genom att låta pricka in datapunkterna i tabellen till höger i ett koordinatsysten och anpassa en kurva till den. Ålder blir x-axeln och % blir y-axeln. Kumulativt diagram: 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 Nu kan vi t.ex. läsa ut att medianåldern år 1850 var ungefär 24 år: 100 90 80 70 60 50 40 30 Normerade värdet 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Standardavvikelse och normerade värden Power pointen från lektionen:
Normalfördelningen Många statistiska variabler har en fördelning som påminner om normalfördelningen. Längd, vitsord, mätfel, nyföddas vikt, etc fördelas ungefär enligt normalfördelningen. Om vi lär oss förstå normalfördelningen kan vi tillämpa den i många situationer. Bilden nedanför visar fördelningen av en variabel som är normalfördelad och har medelvärde noll och standardavvikelse 1. I praktiken har de flesta variabler vi undersöker inte medeltal 0 och standardavvikelse 1. Däremot kommer deras normerade värden att vara det (se förra sidan för normerade värden). Exempel: Anta att den den stokastiska variabeln X är normalfördelad med medeltal 20 och standardavvikelse 5. Vad är sannolikheten att X är mellan 15 och 25? Lösning: De normerade värdena fär 15 och 25 är (15-20)/5=-1 respektive (25-20)/5=1. Nu visar tabellen ovan att sannolikheterna mellan -1 och 1 adderas till 15+19,1+19,1+15=68,2. Svar: 68,2%. Kommentar: I exemplet ovan skulle X i en vanlig uppgift vara något konkret, till exempel vikten på Schäferhundar eller liknande.
Normalfördelningen med tabeller Tabellen i förra avsnittet visar sannolikheter där vi behandlar multiplar av hälften av en standardavvikelse (axelns värden på-1, -0,5, 0, 0,5, 1, 1,5,...). Vi kan med hjälp av tabellen lösa uppgifter där de normerade värdena inte råkar vara just sådana tal. Exempel: Anta att Schäferhundarnas vikt är normalfärdelad med medelvikt på 20 kg och standardavvikelse på 4 kg. Vad är sannolikheten att en Schäfer väger under 23 kg? Lösning: Vi räknar ut det normerade värdet för 23: (23-20)/4=0,75. Tabellvärdet för 0,75 är 7734, dvs 0,75 =7734. Svar: 77,34% 73% av schäfrarna är under 23 kg. Förklaring: 77,34% 0,75
Exempel: Medeltalet på längden av kvinnor i åldern 20 är 165 cm och standardavvikelsen är 6 cm. Vad är sannolikheten att en godtycklig kvinna i den ålder är längre än 158 cm? Lösning: Normerade värdet för 158 är (158-165)/6-1,17. Tabellvärdet för -1,17 finns inte. Men tabellvärdet för 1,17 är 1,17 =8790. Svar: 87,90% Förklaring: Detta är den sökta sannolikheten! -1,17 De vita områdena är lika stora pga symmetri! 87,90% 1,17