KOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen

KOMBINATORIK How to count without counting. Mar Kac In some cases, theanswermaybenothingmorethan a matter of common nowledge In other cases, the answer may require technical information. But our concern is with questions that involve thought. Ivan Niven 1. Vilet är det 5:e heltalet i följden 86, 87, 88,...?. Låt och n vara två heltal, <n. Hur många är heltalen, +1,..., n 1,n?. Det minsta av onseutiva heltal är n. Vilet är det största av talen?. Det största av onseutiva heltal är n. Vilet är det minsta? 5. Hur många av heltalen 1,,..., 000 är (a) delbara med 11? (b) delbara med 11, men inte med? (c) delbara med 6, men inte med? 6. Vilet är det minsta antalet mynt av valörer 1, 5, 10, 5 och 50, som räcer för att sätta ihop vilet som helst belopp under 100? 7. På hur många olia sätt an 7 cent växlas i mynt av valörer 1, 5, 10 och 5 cent? Idé: Utnyttja reursion. 8. Beräna summan av siffersummorna av talen 1,,,..., 999, 1000. Idé: Summera alla inblandade siffror i en annan ordning än den i texten utpeade. (Omastning av summationsordningen) Multipliationsprincipen Om alla objet i en mängd A an "byggas upp" genom att successivt träffa n st. val, där det för första valet finns 1 alternativ, för andra valet alternativ, etc. och olia val i något steg leder till olia objet i A, så är A 1... n 9. Lille Kalle såg sin storebror lämna in en tipsrad och vill inte vara sämre. Men han vill demonstrera självständighet genom att lämna in en tipsrad som siljer sig från brorsans i varje match. Hur många möjligheter har Kalle? 10. En myra ryper längs en ubs anter från ett hörn till det motsatta, ortast möjliga väg. Ändå finns flera möjligheter hur många? 11. Hur många siffersträngar (sifferföljder) finns det, som består av n siffror och är sådana att inga två onseutiva siffror är lia? 1. Hur många av talen mellan 10000 och 100000 a) har inga andra siffror än 6, 7 och 8? b) har inga andra siffror än 6, 7, 8 och 0? 1. Hur många udda tresiffriga tal med tre olia siffror finns det? 1. En svens bilregistreringssylt har tre bostäver och tre siffror. Syltarna numreras efter följande regler: Alla bostäver i det svensa alfabetet, utom I,Q,V,Å,Ä, och Ö används. Vissa fula trebostaviga ord, som t.ex. DUM och FAN, undantas. Alla sifferombinationer utom 000 får användas. Tilldelning av syltar ser i bostavsordning: först alla som börjar på A, sedan alla som börjar på B, o.s.v. Hur många syltar räcer systemet till, om vi bortser från de undantagandet av fula ord? Hur stor sillnad gör 00 fula ord? 15. För en öppen utsaga med n st. logisa variabler, hur många... (a)... rader har sanningsvärdestabellen? (b)... olia sanningsvärdestabeller är möjliga? Antalet element i en mängd M bruar betecnas M alt. #M Allmänt används # som förortning för antal. 16. I en utslagsturnering i tennis (som Wimbledon) deltar n spelare och det spelas n ronder. All lottning ser i förväg. Vi bryr oss inte om setsiffror, utan endast om vem som vunnit/förlorat de spelade matcherna. Hur många olia utfall är möjliga? 1

Permutationer 17. En försäljare sall besöa n städer och återvända till startpunten. Hur många olia rutter har han att välja mellan? Antag att det mellan varje par av städer finns en lart "bästa" väg, så att man inte behöver fundera över något val där. (The Traveling Salesman Problem (TSP) är att välja den ortaste av alla dessa rutter.) 18. I ett lassrum med 0 bänar och 0 elever säger läraren: vi prövar en ny placering varje dag. Hur många läsår (räna med 00 dagar/läsår) dröjer det innan alla placeringar är prövade? Ordnade urval. Man vill ordna ett tipsspel, där det gäller att tippa rätt de n första, i rätt ordning, i resultatlistan för en tävling med 8 deltagare. Hur stort n behövs för att antalet olia tipsrader sa överstiga 1000?. Till ett hotell med n st. lediga enelrum anländer st. gäster, n. På hur många olia sätt an gästerna placeras? 19. En familj på 8 personer önsar äta middag tillsammans vid ett runt bord, med olia bordsplaceringar från dag till dag. Med olia menar vi placeringar som inte går att överföra i varandra via vridning eller spegling. Hur lång tid tar det innan de tvingas återupprepa någon placering de varit med om tidigare? 0. M och N är mängder med m resp. n st. element. Hur många surjetiva funtioner M N finns det (a) om m<n? (b) om m n? Semifaulteter Om man, till sillnad mot faulteterna, endast vill ha vartannat heltal i produten, sriver man!! och uttalar semifaultet 8!! 6 8 (n)!!... (n ) (n) 9!! 1 5 7 9 (n +1)!! 1... (n 1) (n +1) 1. Mellan (n +1)!!, (n +1)!och n! finns ett relativt enelt samband. Hur lyder det? Antalet ordnade urval (permutationer) av element bland n element (ortare: antalet -permutationer av n element) antalet olia sätt att ur en mängd med n element välja ut st. element samt ordna dessa i en lista öermed personer, som an bildas, då ingående personer väljs ur en grupp om n pers. np P (n, ) n (n 1)... (n +1) Anm. Faultetvoten är ju ortare att sriva och an göra uttryc mer översådliga, men i onreta sifferuträningar är den onödig. n! (n )!

Additionsprincipen Om A och B är två disjunta ändliga mängder, så A B A + B Om en mängd objet an indelas i m olia typer och det finns st. objet av varje typ, så är det totala antalet objet m. Om mängden som sall ränas indelas i disjunta delmängder, är totala antalet lia med summan av delmängderna s antal.. Georgi vill låna läroböcer i diret matemati. Karl-Johan erbjuder 7 st., Jan-Olof st. Hur många olia alternativ har G att välja mellan? 5. Hur många av talen 1,,..., 1000 har olia siffror? 6. a) Hur många fyrsiffriga tal an man bilda med 0, 1,,,, 5, 6 utan att upprepa någon siffra? b) Hur många av dessa är jämna? 7. På hur många olia sätt an 10 personer sättasigpåenradsåatt ett visst par av dem inte sitter bredvid varandra? 8. Hur många tal > 5000 finns det som srivs utan siffrorna 0 och 9 och har alla siffrorna olia? 9. (Forts.) Som föregående, men förbjud 8 och 9 iställetför0 och 9. 0. Visa att ett val bland p alternativ åtföljt av ett val bland q alternativ innebär i allmänhet för alla utom vissa små värden på p och q precisera själv vila! fler valmöjligheter än ett val bland p + q alternativ. 1. Talen 0, 1,..., 55 srivs på binär form, utan onödiga nollor i början. Hur många börjar eller slutar med två ettor?. Av alla n-siffriga heltal, vila är flest: de tal som innehåller siffran 1, eller de som inte innehåller någon 1:a? Inlusion-exlusionprincipen (sållningsprincipen) Handlar om att generalisera sambandet A B A + B A B till ett godtycligt antal mängder A 1 A... A n A 1 + A +... + A n ±...???.... Hur många av talen 1,,,..., 1000 är (a) delbara med 5? (b) delbara med 7? (c) inte delbara med vare sig 5 eller 7? 5. I en enätundersöning deltog 500 personer. Av dessa var 10 st. gifta, 110 st. var gifta och under 5 år, 60 st. var ogifta och 5 år eller äldre. Hur många var under 5 år? 6. Härled motsvarande formel för tre mängder A B C A + B + C A B A C (B C) + A B C med upprepad användning av formeln för två. 7. Var och en av 1 plattor är antingen triangulär eller vadratis, antingen röd eller blå, antingen av trä eller av plast. Följande antal är ända: av trä : 68 röda : 69 triangulära : 75 röda och av trä : 6 triangulära och av trä : 0 röda och triangulära : 8 röda, triangulära och av trä : Hur många är av plast, blå och vadratisa?. Av alla heltal 0, 1,,,..., 999...9, där största talet består av n st. nior, vila är flest: de tal som innehåller siffran 1, eller de som inte innehåller någon 1:a?

8. Härled inlusion-exlusionformeln för mängder A B C D A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D + A B C D med användnign av formlerna för och mängder. (Sriver härled hellre än bevisa, eftersommanan räna sig fram, utan att från början veta i detalj vad räningen sa mynna ut i.) 9. Sriv ut ett indutionsbevis för den generella inlusion-exlusionprincipen n[ A A i i i1 i1 A i A j + + 1 i<j n 1 i<j< n 1 i<j<<m n +... + n\ +( 1) n 1 A i A i A j A + i1 A i A j A A m + Den s.. lassisa sannolihetsdefinitionen 1 ger sannoliheter som förhållanden mellan antalen element i två mängder: Händelser man vill beräna sannoliheten för (t.ex. att en astad tärning visar ett jämnt tal) uppfattas som union av sinsemellan oförenliga "elementarhändelser", s.. utfall, som antas lia sannolia. (För ast av tärning: 6 olia utfall: 1,,...,6.). Sannoliheten av en händelse H är då P (H) {utfall som H är union utav} {totalt antal möjliga utfall} 0. Varje paet fruostflingor innehåller en samlarbild på den senaste Nobelpristagaren i en av de fem lasserna. Hur stor är sannoliheten att få bild på pristagarna i såväl fysi som emi och medicin, genom att öpa sex paet? 1. Låt A och B vara händelser med sannoliheterna P (A) / och P (B) 1/. a) Visa att 1 1 P (A B) 1 och ge exempel på att ytterligheterna är möjliga. b) Finn motsvarande gränser för P (A B). 1 Klart formulerad först av Laplace 181.

Kombinationer Tvåevivalentadefinitioner av n : antalet -delmängder ( delmängder med element) till en mängd med n element oefficienten för x i utveclingen av (1 + x) n Alternativa betecningar C (n, ), nc, n C, C n (Är det månne miniränarnas förtjänst att Björ&Brolin, Matemati 000 i första hand använder C (n, ) i stället för n?) En härledning av formeln för n : Antalet följder med olia element som an bildas ur en mängd med n element n (n 1)... (n +1) Varje -delmängd ger upphov till! följder. Alltså µ n! n (n 1)... (n +1) µ n n (n 1)... (n +1) 1.... En något annorlunda härledning av formeln µ n n!!(n )! Säg att vi har n st. ulor, varav st. är vita och resten svarta. (a) På hur många olia sätt an vi ordna ulorna på en rad, om vi antar att vi inte ser någon sillnad mellan ulor av samma färg? (b) På hur många olia sätt sulle de n ulorna unna ordnas, om vi unde silja mellan dem alla? (c) Till varje uppställning av ulor där man inte ser sillnad på ulor av samma färg svarar ett antal uppställningar som ränas som olia ifall man an silja alla ulorna åt hur stort är det antalet? (d) Vilen lihet får man, om man jämför resultaten i a)-c) ovan?. Ur två st. 11-mannalag vill man bilda ett nytt 11-mannalag, så att båda de urspr. lagen är representerade. På hur många olia sätt an detta göras?. I en förening med 5 medlemmar har 19 örort. Föreningen har fått 8 teaterbiljetter och sa hyra en bil för teaterresan. På hur många olia sätt an man välja ut 8 medlemmar så att minst en har örort? Lösningsförslag 1: µ µ 19 5 1 7 Lösningsförslag : µ 5 8.5 10 9 µ 8.68 10 8 8 Minst ett av dem måste ju vara fel. Hur sall det vara? 5. Ett test utgörs av 10 flervalsfrågor med 5 svarsalternativ vardera. Exat ett av alternativen är rätt. Gränsen för godänd är 7 rätt. Hur stor chans att bli godänd har slarvern Salvador som svarar helt på måfå? 6. Rulle har 50 ulor i en låda 10 av vardera färgen svart, gul, vit, blå och röd. Hurstorärchansenatthanfår exat av samma färg, när han drar ulor på måfå? 7. Björ&Brolin, Matemati 000 : Poer spelas med en vanlig ortle som har 1 valörer i färger (spader, hjärter, ruter, löver). En s.. poerhand består av 5 ort. Hur många poerhänder finns det? µ 5 5 51 50 9 8 598960 5 1 5 Här är det pratist att använda ränarens funtion för beräning av antalet ombinationer. Undersö hur du an göra det på din ränare. Någon didatis synpunt? 8. En hand i bridge har 1 ort (vanlig ortle). Hur många bridgehänder är av typ +++, d.v.s. avenfärgochavvarochenavdeövriga? Hurstorandelärdetta av det totala antalet möjliga händer? 9. Ur en grupp bestående av 10 vinnor och 15 män sall 5 personer väljas, varav minst vinnor. På hur många olia sätt an detta se? Vad är det för fel på följande lösning: Först väljer vi av de 10 vinnorna, sedan väljer vi st. ur återstående 8+15 personer (män och vinnor tillsammans) µ µ 10 79 695 5

50. I en stad med ett gatusystem i form av ett retangulärt rutnät sa en turist förflytta sig varter österut och varter norrut, ortast möjliga väg. Hur många alternativ finns det? Generalisera! FIGUR! 51. Slumpvandring i en dimension: Ett fyllo tar n steg längs en rät linje, varje steg antingen framåt eller baåt. Sannoliheten för steg framåt är p och oberoende av föregående steg. Hur stor är sannoliheten att fyllot efter n steg förflyttat sig steg framåt? 5. På hur många olia sätt an olia objet (t.ex. siffrorna 1,,, ) placeras i en -tabell, om man inte siljer på placeringar som an överföras i varandra genom vridning och/eller spegling? 5. På hur många sätt an 9 olia objet placeras i en -tabell, om man inte siljer på placeringar som an överföras i varandra genom vridning och/eller spegling? Poer Korten indelas i färger och 1 valörer:,,, 5,...,10, 11 ( net), 1 ( dam), 1 ( ung) samt ess, som an ränas såväl som 1 som 1 Man får 5 st. slumpmässigt utvalda. 5. På hur många olia sätt an en poerhand se ut? Beräna antalet möjliga sätt att få 55. royal straight flush, d.v.s. valörer 10, 11, 1, 1, 1 isammafärg; 56. straight flush (stege i färg), d.v.s. 5 på varandra följande valörer i samma färg, utom royal straight flush ovan; 57. fyrtal (four of a ind), d.v.s. en och samma valör i alla fyra färger; 58. å (full house), d.v.s. triss och par (se nedan); 59. färg (flush), d.v.s. 5 ort av samma färg, doc inte royal flush eller straight flush; 60. stege (straight), d.v.s. 5 på varandra följande valörer, doc inte i samma färg; 61. triss (three of a ind), d.v.s. ort av samma valör, övriga två av olia valör; 6. två par; 6. par, d.v.s. st. ort av samma valör, övriga av olia 6. "högt ort" / "ingenting", d.v.s. resterande varianter, på två olia sätt! 65. Av händerna i föregående fråga, hur många har som högsta ort ess,ung,dam,etc.? 66. Ange chansen för var och en av händerna i 55-6. (Man säger att chansen för en händelse är 1 på n, om n är (oftast heltal) sådant att sannoliheten för händelsen är 1/n.) 6

De fyra "urnmodellerna" Ett flertal ombinatorisa frågor visar sig vara evivalenta med problemet att räna antalet möjliga utfall i endera av följande fyra dragningssituationer : Man täner sig en urna med n st. ulor, numrerade 1,,,..., n. Ur dem sall man dra st., 1 n. Mandrarenulaitaget. Dragningen an se med återläggning (man stoppar den senast dragna ulan tillbaa i urnan innan man drar nästa, så att en och samma nummer an omma upp flera gånger) eller utan återläggning. Vidare an man täna sig att man är intresserad av i vilen ordning de numren ommer upp man ränar utfall med hänsyn till ordningen, eller så är man inte det man ränar utan hänsyn till ordningen. Att ulorna är numrerade innebär att vi väljer bland olia (ice-identisa) objet. Kanse inte helt lycat att exemplifiera med ulor, då man an föväxla med ice-numrerade ulor, som är ett bra exempel på identisa objet! En urna med numrerade ulor, däremot, blir livärdig med en urna med helt olia prylar. Om vi som exempel tar n,, så har vi följande möjliga utfall : (Talen står för numren på de ulor som ommer upp. För dragningar med hänsyn till ordningen, står numren i den ordning de ommer upp. För dragningar utan hänsyn till ordningen, väljer jag att sriva numren i växande ordning.) : Dragning med återläggning med hänsyn till ordningen (16 utfall): (1, 1) (, 1) (, 1) (, 1) (1, ) (, ) (, ) (, ) (1, ) (, ) (, ) (, ) (1, ) (, ) (, ) (, ) Dragning utan återläggning med hänsyn till ordningen (1 utfall): (, 1) (, 1) (, 1) (1, ) (, ) (, ) (1, ) (, ) (, ) (1, ) (, ) (, ) Dragning utan återläggning utan hänsyn till ordningen (6 utfall): (1, ) (1, ) (, ) (1, ) (, ) (, ) Dragning med återläggning utan hänsyn till ordningen (10 + 1 utfall): (1, 1) (1, ) (, ) (1, ) (, ) (, ) (1, ) (, ) (, ) (, ) Vi har följande allmänna formler för antalen: utan återläggning : med återläggning : med hänsyn till ordningen : n (n 1) (n )... (n +1) n utan hänsyn till ordningen : n n+ 1 Tre av dessa ommer man relativt rättframt till, men n+ 1 -formeln är nepigare. Se nästa sida! 7

Dragning med återläggning utan hänsyn till ordningen av st. objet ur en urna med n st. olia objet En möjlig härledning an sägas illustrera följande generella metod för ombinatorisa problem: Upprätta en bijetion mellan objeten, som sa ränas, och andra objet, som är lättare att räna. (Bijetion mellan två mängder, A och B, regel som parar ihop elementen i A med elementen i B, så att varje element i A ommer med i exat ett par och liadant för elementen i B.) Låt oss som exempel ta fallet n,. Om vi sriver upp alla möjliga utfall som an fås med återläggning utan hänsyn till ordningen (olumnen till vänster) och sedan lägger genomgående 1 till andra talet och till tredje talet (medan låter första vara oförändrat), vad får vi då? (1, 1, 1) (1,, ) (1, 1, ) (1,, ) (1, 1, ) (1,, 5) (1, 1, ) (1,, 6) (1,, ) (1,, ) (1,, ) (1,, 5) (1,, ) (1,, 6) (1,, ) (1,, 5) (1,, ) (1,, 6) (1,, ) (1, 5, 6) (,, ) (,, ) (,, ) (,, 5) (,, ) (,, 6) (,, ) (,, 5) (,, ) (,, 6) (,, ) (, 5, 6) (,, ) (,, 5) (,, ) (,, 6) (,, ) (, 5, 6) (,, ) (, 5, 6) Vi får alla möjliga sätt att välja tal ur 1,,,, 5, 6, utan återläggning och utan hänsyn till ordningen. Detta antal är µ 6 0 Det allmänna fallet: Numrera elementen i mängden ur vilen dragningen ser: 1,,,..., n 1,n Utfallet av en dragning svarar då mot en -tipel (x 1,x,..., x ), där 1 x 1 x... x n (P.g.a. återläggningen behöver inte talen vara olia. I och med att vi inte siljer på ordningen, får vi bestämma oss för någon ordning att sriva ner resultatet.) Betrata nu avbildningen y 1 x 1 y x +1 y x +... y x + 1 Den avbildar mängden av ovannämnda -tiplar bijetivt på mängden av -tiplar (y 1,y,..., y ), där 1 y 1 <y <... < y n + 1 Men den mängden svarar exat mot de möjliga utfallen när man väljer en delmängd bestående av element ur en mängd med n element (d.v.s. drar objet ur n utan återläggning och utan hänsyn till ordningen) och antalet sådana är µn + 1 Alternativt bevis med "avsiljare" De olia möjliga nummerföljderna (x 1,x,..., x ) ovan sulle vi unna generera så här: Vi gör en rad med st. tomma rutor för de talen. Sedan placerar vi ut n 1 avsiljare mellan rutorna. Så sriver vi in talet 1 i rutorna fram till första avsiljaren, talet i rutorna mellan första och andra avsiljaren, o.s.v. T.ex. om n 5och : svarar mot (1,, ) (1,, 5) (1, 1, 1) Frågan är då evivalent med: På hur många olia sätt an vi ordna st. identisa rutor och n 1 st. identisa avsiljare i en lista? Svar: Listan sall innehålla totalt + n 1 element. Dess utseende blir helt bestämt, så fort vi bestämmer på vila av de + n 1 platserna rutorna sall stå. Antalet valalternativ är µ + n 1 8

67. På hur många sätt an man måla 10 identisa bollar, om man har färger att välja mellan och man använder en färg per boll? På vilet sätt an problemet inordnas under de fyra urnmodellerna på sid.7? 68. Vill öpa 6 glasstrutar i en ios som har 11 sorter. Hur många olia öp är tänbara, om jag an täna mig flera strutar av samma sort? Generalisera! 69. Hur många (a) positiva (b) ice-negativa heltalslösningar har evationen x 1 + x + x + x? 70. Ett polynom i variabler an ha 6 termer av grad : x,y,z,xy,xz,yz Hur många olia termer av grad p an ett polynom i n variabler ha? 71. Betrata ett triangulärt gitter av nedanstående typ med n längdenheter långa ateter (nedan är n 7). På hur många olia sätt an man rita en retangel med hörn i gitterpunterna och sidorna vertiala/horisontella? D C Binomialsatsen Professor Moriarty is... endowed by nature with a phenomenal mathematical faculty. At the age of 1 he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. Onthestrengthofithewon the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him. (Arthur Conan Doyle, Memoires of Sherloc Holmes (The final problem)) 7. Du behöver 1.01 6 med orreta decimaler. Vilen är den bästa uppsattningen du an ta fram med huvudräning? 1.00 7 med orreta decimaler? 7. Härled formeln för derivatan av f (x) x n,npositivt heltal. 7. Bestäm den onstanta termen i utveclingen av µx x 75. Bevisa att µ 1+ 1 n n > för alla heltal n>1 76. Avgör, utan masin, vilet tal som är störst, 7 eller 8 1? 77. Bevisa att µ n n µ ( 1) n 0 Utnyttja detta till att bevisa µ µ µ n n n + + +... n 1 0 µ µ µ n n n + + +... n 1 1 5 A B 78. Visa att µ n n n 1 1 0 1 5 6 7 Binomialsatsen har en generalisering till negativa samt ice-heltalsexponenter en av Newtons upptäcter så anse prof. Moriartys avhandling ändå sträcte sig litet längre än till vår grundurs... 9

Binomialoefficientidentiteter: ombinatorisa bevis Förlara följande identiteter ombinatorist, d.v.s. genom att räna upp antalet element i en viss mängd på två olia sätt och sätta uttrycen lia. 79. µ m + 1 µ n 1 µ m + n 1 80. µ µ n n n 81. (se sid. för betecningen) 8. µ n +1 8. µ + P (n, n) P (n, n 1) µ + µ µ n n + 1 µ +... + och bevisa allmänt att µ j j µ n µ n +1 +1 µ n +1 8. Ge en ombinatoris tolning av identiteten 0 µ n n 86. Motivera ombinatorist µ µ µ µ n n n n + +, 1 n 87. M.h.a. formeln verifiera att 1 n (n +1)(n +1) 6 µ ( 1) n +1 1 Förlara sedan liheten ombinatorist 88. Förlara ombinatorist identiteterna m µ µ n n +1 m m 0 89. Förlara ombinatorist identiteterna (p N) m µ µ +1 n ( +1) 1 m m µ µ + n ( +) m 0 0 m µ µ + p n ( + p) p m 0 µ n +1 m µ n +1 m... µ n +1 m och allmännare µ n m (m +1) n 0 (Inses i och för sig enlast genom att sätta in x m i µ (1 + x) n n x 0 men nu vill vi öva oss i ombinatorist tänande.) 85. Motivera ombinatorist Newtons identitet µ µ µ µ n n n r, n r 0 r r r (Med r 1 fås en formel som, ur beräningssynpunt, är mycet mera användbar än faultetsformeln!) 10

Summation m.h.a. binomialoefficienter 90. Använd sambandet i fråga 8 till att härleda en formel för 1 91. Använd sambandet i fråga 8 till att härleda en formel för 1 Arrangemang Uppställande i ordning av objet som alla är olia : inte alla är olia : permutation arrangemang, svit 9. Hur många ord med 17 bostäver an bildas med bostäverna i ordet INLÄMNINGSUPPGIFT? Inse att man på linande sätt an få fram formler även för p, p, 5, 6,... 1 Anm. En talföljd av formen (p ()) 0, där p är ett polynom av grad n allas ibland för aritmetis talföljd av ordning n. Binomialoefficienter: uppsattningar 9. Bevisa att, för varje n, är följden µ µ µ µ n n n n,,,..., 0 1 n växande fram till mitten och avtagande sedan. 9. Visa att n < µ n < n, n > 1 n 11

Partitioner 95. På hur många olia sätt an man fördela 5 fulla, 8 halvfulla och 11 tomma flasor, mellan tre personer, så att de tre får såväl lia många flasor som lia mycet innehåll? 96. På ett visst matematiprov har man 7 uppgifter och man får 5,,,, 1 eller 0 poäng per uppgift. På hur många olia sätt an man få ihop 0 poäng? 97. På hur många sätt an 11 äpplen och 9 päron fördelas bland barn, så att varje barn får 5 fruter sammanlagt? (Alla äpplen uppfattas som lia sinsemellan, päronen liaså. Barnen däremot är olia!) 98. In how many different ways canyoupartitionthematrix 1 5 6 7 8 9 Symmetrier 100. Vi har sex olia färger och vill färga sidorna av en ub så att varje sida får sin egen färg. På hur många sätt an detta göras, om vi inte siljer på färgningar som an överföras i varandra genom att vrida och vändapåuben? 101. Man tillverar ubisa lelossar för barn. Var och en av ubernas sidoytor målas i endera av två färger, röd eller blå. Hur många olia färgningar är möjliga? (Med olia menar vi att vi inte an ställa uberna framför oss så att bottensidorna har samma färg, toppsidorna har samma färg, vänster framsidor har samma färg, etc.) 10. Som föregående, men för regelbundna tetraedrar och fyra färger. into, 1, 1, and 1 1 submatrices? 99. In how many different ways canyoupartitiona matrix? 1

Lådprincipen Ett antal föremål sall fördelas på ett antal lådor (brev i brevlådor, aniner i burar, etc.). Enlaste versionen Om (# föremål) > (# lådor) måste minst en låda få i sig mer än ett av föremålen. Allmännare version Om (# föremål) > (# lådor) n, n N måste minst en låda få i sig minst n +1föremål. The pigeonhole principle heter det på engelsa. ("pigeonhole" hål i duvslag, men även post- och pappersfac.) Enelheten till trots, an lådprincipen utnyttjas för att bevisa betydligt mindre uppenbara påståenden. Exempel på detta gav den tyse matematiern Dirichlet, 1805-1859 se problem 17 därför säger man ocså Dirichlets lådprincip. Kruxet är att se vad som sall vara "aniner" och vad "burar" i sammanhanget. När det gäller problem med heltal, an ofta restlasser tjäna som lådor. T.ex. an vi dela in alla ice-negativa heltal idisjunta delmängder beroende på vilen rest de ger vid division med : 0,, 8, 1,... som är jämnt delbara med, 1, 5, 9, 1,... som ger resten 1,, 6, 10, 1,... som ger resten, och slutligen, 7, 11, 15,... som ger resten. Man an änna en viss otillfredsställelse över de s.. ice-onstrutiva existensbevis som det ofta blir frågan om här man får veta att lådan finns, men ingen snabb metod att hitta den. Det är ett pris man får betala för enelheten! 10. Av en grupp på tre männisor är minst två av samma ön. 10. Det finns minst två männisor på jorden, som fötts inom loppet av en och samma seund. (Hur stor är jordens befolning, ungefär? Männisors livslängd?) 105. Givet 5 punter innanför en vadrat, an man alltid välja ut två av dessa med inbördes avstånd som är vadratens sida (Tips: Dela in vadraten på lämpligt sätt.) 106. I en mör vrå i Kalles garderob ligger huller om buller 10 gråa, 10 bruna och 10 svarta strumpor. Kalle vill ha två av samma färg, men ser inte färgerna. Hur många strumpor minst måste han ta, för att vara säer på att få med sig två av samma färg? 107. I en sola går 75 elever. Visa att det finns pojar eller flicor med samma födelsedag. 108. På den senaste onserten i... (fyll i själv vad du vill!) fanns minst två åhörare som hade lia många beanta bland publien. Förlara hur man an vara så säer! (Underförstått antagande: Om A ränas som beant med B, så ränas B som beant med A.) 109. I en hall spelar n personer under loppet av en dag en bordtennisturnering, där alla möter alla exat en gång. Visa att det i varje ögonblic måste finnas två spelare som spelat färdigt lia många matcher. 110. Av alla i församlingen hade 85% varit på Mallorca, 70% på Rhodos och 61% på Cypern. Hur stor andel minst måste då ha besöt åtminstone två av öarna? 111. Eleverna i en lass srev prov: A,B,C,D. Prov A larardes av 90%, prov B - av 85%, prov C - av 80%, och prov D - av 70%. Hur stor andel an man med säerhet säga blev godända i alla fyra prov? Generalisera till flera prov. 11. I en cirel är en fyrhörning insriven (d.v.s. fyrhörningens hörn ligger på cireln). Hur lång an fyrhörn. ortaste sida vara som längst? Kan du generalisera till fem-, sexhörningar, etc.? Disjunta mängder mängder utan gemensamma element. 11. I en ub med antlängden a väljs 9 punter. Bestäm maximalt möjliga avstånd för de två punter som ligger närmast varandra. 1

Kombinatori: lösningar 1. 86 + 5 118. n +1. n + 1. n +1 5. a) 181 (000/11 181.8) b) 180 + 1 11 c) 6, 18, 0,,... (000 6) /1 166.17 1 + 166 167 6. 9 st. : +1++1+1alt. ++1+1+1. 7. Antalet 1-centsmynt an vara, 7, 1, 17,, 7,, 7, resp. 7. Att växla resten i 5-, 10 och 5-cents mynt är detsamma som att växla 9, 8,..., 1 resp. 0 i mynt av valörerna 1, och 5. Låt p (n) betecna antalet sätt att växla n ronor i 1-, - och5-r. mynt. Vi har allmänt p (n +1)p (n)+antal partitioner utan ettor p (0) 1 p (1) 1 p () p (1) + 1 p () p () + 0 p () p () + 1 p (5) p () + 1 p (6) p (5) + 1 5 p (7) p (6) + 1 6 p (8) p (7) + 1 7 p (9) p (8) + 1 8 Svaret är summan av alla dessa: 9. 8. Bortsett från det sista talet 1000, an vi täna oss att vi har alla möjliga strängar av längd, som an bildas av de nio siffrorna 0, 1,..., 9: 000, 001, 00,..., 998, 999. I denna följd av 1000 strängar med totalt 000 siffror föreommer alla de tio siffrorna lia många gånger, d.v.s. 000/10 00 gånger. Summan av alla siffror är därför 00(0+1++... +9)+1 00 9 10 + 1 1 501 Multipliationsprincipen 9. 1 10. Från starthörnet finns anter att välja mellan. Vid nästa hörn är det anter att välja mellan... 11. Multipliationsprincipen : 16 10 9 n 1 (När man väl valt siffror, 1, så finns för + 1:a siffran 9 alternativ: alla utom den senast valda :te siffran.) 1. a) 5 b) 768 1. Börja med att välja sista siffra : 5alternativ(1,, 5, 7, 9). Välj sedan första siffra: 8 alternativ (sista siffran och 0 uteslutna). Välj slutligen den andra siffran: 8 alternativ. Multipliationsprincipen ger 5 8 8 0 Obs. att det inte går att använda mult.principen, om man väljer mittensiffran som andra val, för det blir olia många alternativ för tredjevalet, beroende på om nollan redan valts eller inte! 1. Svensa alfabetet har (inl. w) 9 bostäver (9 6) 10 1 1. 155 10 7 Kombinationerna med de fula orden är d.v.s. mindre än %. 15. a) n b) n 00 10 1 10 5 16. Om n 1, spelas endast en match och vi har olia utfall. Om n, har vi olia utfall för semifinalerna och, för var och en av dessa, två utfall för finalen, alltså Om n, har vi olia utfall för vartsfinalerna, för var och en av dessa utfall av semifinalerna och slutligen, för var och en av dessa, utfall för finalen. Alltså För allmänt n : n 1 n... 1 0 n 1 1

Permutationer 17. n! 18. 0! 00 > 100 läsår 19.Numrerastolarnafrån1 till 8. Om vi med olia hade menat att någon får sitta på stol med olia nummer, hade svaret varit 8! Nu gäller det att varje placering i den meningen an överföras i 7 andra genom vridning och ytterligare 8 andra via spegling. Alltså blir vårt svar: 0. a) Inga. b) n! 1.. 8! 50 dagar nappt 7 år 8 (n +1)! (n +1)!! (... n) (n +1)!!(n)!! (n +1)!! n n! 8 7 6 < 1000 8 7 6 5 > 1000 n. Multipliationsprincipen (tän dig att gästerna anländer efterhand): n (n 1) (n )... (n +1). Det an vara 7, 8, 9 eller 10, beroende på om J-O har något som K-J inte har. Additionen 7+ ger svaret endast om mängderna inte "överlappar" och det vet vi inte här. 5. Dela in i ensiffriga: 9 st., tvåsiffriga: 9 981st. tresiffriga: 9 9 8 68 st., fyrsiffriga: 0. Alltså totalt 6. a) 68 + 81 + 9 + 0 78 6 6 5 70 b) Antalet udda är (välj först sista siffran, sedan första och slutligen mittensiffrorna) : 5 5 00 Antalet jämna är därför 70 00 0 Varför inte ge sig på de jämna diret? Man sulle då behöva silja på fallen då 0 resp. något annat av de jämna talen väljs som slutsiffra, men det går: 1 6 5 + 5 5 0 7. totala antalet placeringar # placeringar där paret sitter bredvid varandra 10! 8! 9 90 00 8. Talen an ha 5, 6, 7, eller 8 siffror. 9. #siffror börjar på 8 8! 0 0 7 8!/1! 0 0 6 8!/! 0 160 5 6, 7, 8 7 6 5 50 5 5 1 5 6 5 600 Totalt : 10 90 (Betr. 1 5 6 5 : Den andra siffran väljs bland,, 6, 7, 8.) 7 7!+7 7! 1! 0. Påståendet är att 7! +7 + 7 6 5 +1 6 5 90 60! pq > p + q Det är ingen insränning att anta att p betecnar det större talet, p q. pq > p + q p (q 1) > q är sant för alla positiva heltal p och q, utom då p 1eller q 1eller p q. Alternativ: pq > p + q pq > p +q pq p + pq q > 0 p (q ) + (p ) q > 0 är sant, så fort max (p, q) >, min (p, q). 1. Dela in talen i 8-siffriga, 7-siffriga, etc. De som börjar med två ettor är till antalet 6 + 5 + + + + 1 + 1 17

De som inte börjar med två ettor, men slutar med två ettor är till antalet 5. Var och en av de intervjuade måste tillhöra exat ett av fyra fac: Totalt: + + + 1 +11 17 + 1 158. Antalet n-siffriga tal, vars siffror är hämtade ur en mängd med st. olia siffror, är n. För n 6 är talen utan ettor flest : 9 > 10 9 9 > 10 9 9 > 10 9 9 > 10 9 9 5 > 10 5 9 5 9 6 > 10 6 9 6 Svar: gift ogift < 5 år 110 5 år 10 110 60 110 + (500 10 60) 0 men 9 7 < 10 7 9 7 vilet an srivas < µ 7 10 9 Då n 8 är < µ 7 10 < 9 µ n 10 9 och därmed 9 n < 10 n 9 n Så för n>6 är talen med ettor flest.. Enl. lösn. till, är talen utan ettor flest för n 6. Redan för n 7är emellertid de med ettor flest: 9+9 +9 +... +9 n 9 9n 1 8 10 107 1 9 9 97 1 8 > 9 97 1 8 Sedan ommer differensen att bara att öa.. a) 00 b) b1000/7c 1 c) Först: antalet tal som är delbara med såväl 5 som 7 b1000/5c 8, eftersom 5 och 7 är relativt prima och därför delbar med såväl 5 som 7 delbar med 5 7. Sedan: Antalet tal som är delbara med 5 eller 7 00 + 1 8 1 Nuanvifådetsötasvaret:1000 1 686

6. Utnyttja att A B C an betratas som en union av två mängder : A B C (A B) C Tillämpa formeln för två mängder : (A B) C A B + C (A B) C Formeln för två mängder en gång till: Distributiva lagen: A B A + B A B (A B) C (A C) (B C) Formeln för två mängder en tredje gång: (A C) (B C) A C + (B C) (A C) (B C) Den sista termen an förenlas: (A C) (B C) A B C Sätter vi ihop alla liheterna nu, fås A B C A + B + C A B A C (B C) + A B C 7. Komplementmängden är unionen {plattor av trä} {röda} {triangulära}. Antalet element i denna union är enl. inlusion-exlusionprincipen 68 + 69 + 75 6 0 8 + 11 Alltså svar: 1 11 Alt. rita Venndiagram för de tre mängderna ovan alla dem A, B resp. C och fyll i successivt hur många plattor som finns i olia delmängder som Venndiagrammets delområden representerar: 8. Uppfatta unionen som en union av två mängder A B C D (A B C) D Tillämpa formeln för mängder (A B C) D A B C + D (A B C) D Tillämpa formeln för mängder : A B C A + B + C A B A C (B C) + A B C Tillämpa distributiva lagen (A B C) D (A D) (B D) (C D) Tillämpa formeln för mängder: (A D) (B D) (C D) A D + B D + C D + (A D) (B D) (A D) (C D) (B D) (C D) + + (A D) (B D) (C D) I upprepad snittbildning gör upprepad föreomst av en och samma mängd ingen sillnad: (A D) (B D) A B D (A D) (C D) A C D (B D) (C D) B C D (A D) (B D) (C D) A B C D Sätt nu ihop ovanstående identiteter. A B C A BÂA B C 6 1 A CÂA B C 0 17 B CÂA B C 8 15 AÂB C 68 1 17 15 BÂA C 69 1 15 18 CÂA B 75 17 15 0 Nu får vi A B C summan av de 7 talen ovan 11 A B C 1 11

9. Indution efter antalet mängder. Basfallet n är redan lart. Indutionssteget: Förmeln för två mängder ger à n+1 [ n! à [ n[ n! [ A A i i A A + A n+1 i n+1 A i A n+1 i1 i1 i1 i1 n[ A an ersättas med den i uppgiftstetxen givna summan (indutionsantagandet). i i1 à n! [ För A i A an vi ocså använda formeln för n mängder efter omsrivning med distributiva lagen n+1 i1 à [ n! n[ A i A n+1 (A i A n+1 ) (Ersätt A i med A i A n+1 överallt i formeln för n mängder.) n[ (A i A n+1 ) A i A n+1 i1 i1 (A i A n+1 ) (A j A n+1 ) + + +... 1 i<j n 1 i<j< n i1 1 i<j<<m n i1 (A i A n+1 ) (A j A n+1 ) (A A n+1 ) +. n\ +( 1) n 1 (A i A n+1 ) Stry bort överflödiga föreomster av A n+1 : n[ (A i A n+1 ) A i A n+1 i1 i1 A i A j A n+1 + i1 (A i A n+1 ) (A j A n+1 ) (A A n+1 ) (A m A n+1 ) + + +.... 1 i<j n 1 i<j< n 1 i<j<<m n +( 1) n 1 A i A j A A n+1 + n+1 \ i1 A i A j A A m A n+1 + A i 5

Nu sätter vi ihop det vi fått: à n+1 [ n[ n! [ A A + A i i n+1 A i A n+1 i1 i1 i1 A i + A n+1 i1 + +... 1 i<j n 1 i<j< n 1 i<j<<m n A i A j A i A n+1 i1 A i A j A + 1 i<j n A i A j A A m. n\ +( 1) n 1 A +( 1) i n 1 +( 1) n n+1 \ i1 i1 A i n i1 A i A j A n+1 1 i<j< n A i A j A A n+1 snitt av alla A 1,A,..., A n+1 utom A i och observerar att vi an slå ihop summor som står på samma rad till en enda summa genom att ändra övre indexgräns: à n+1 [ n[ n! [ A A + A i i n+1 A i A n+1 i1 i1 n+1 A i i1 + +.... 1 i<j n+1 1 i<j< n+1 A i A j 1 i<j<<m n+1 +( 1) n 1 n+1 +( 1) n i1 i1 A i A j A + A i A j A A m snitt av alla A 1,A,..., A n+1 utom A i i1 n+1 \ i1 A i vilet är samma formel som den påstådda, fast med n utbytt mot n +1, så indutionssteget är lart. Anm. Ett något annorlunda sätt att reducera sig från n +1mängder till n mängder vore à n+1 [ n 1! [ A i A i (A n A n+1 ) i1 6

0. Du numrerar de sex paeten innan du öppnar dem och antecnar sedan utfallet som en sextipel av typ (fy, e, e, litt, fred, e) Totala antalet olia möjliga utfall är 5 6 och dessa antar vi är lia sannolia. Låt F {sextiplar utan fy} Definiera K och M analogt. Vi söer 1 F K M 5 6 Enligt inlusion-exlusionprincipen är F K M F + K + M F K F M K M + F K M 6 6 + 6 så den söta sannoliheten är µ 6 µ 6 µ 6 1 + 0.5 5 5 5 1. a) A B A A B B ¾ P (A B) min (P (A),P (B)) 1 Lihet inträffar då B A. 1 P (A B) 1 P (A)+P (B) P (A B) P (A B) P (A)+P (B) 1 P (A B) + 1 1 1 1 Lihet inträffar då P (A B) 1. b) P (A B) min (P (A)+P (B), 1) 1 P (A B) max (P (A),P (B)) / Kombinationer. a) Problemet är evivalent med det att välja ut platser av totalt n platser (platser åt de vita ulorna), så svaret är µ n b) n! c) Vi an permutera de vita ulorna sinsemellan på! olia sätt, medan de svarta an vi permutera sinsemellan på (n )! olia sätt, oberoende av de vita. Totalt blir det d)! (n )! permutationer µ n! (n )! n!. µ 11. Delgrupper, där mer än en person har örort, ränas mer än en gång i förslag 1. Förslag är orret. 5. Totalt är 5 10 olia "rysslistor" möjliga och de är alltså lia sannolia. Antalet rysslistor med 0 fel : 1 exat 1 fel : µ 10 10 exat fel : µ 10 exat fel : Sannoliheten för minst 7 rätt är då 1+10 + 10 + 10 5 10 8.6 10 Approximativ uträning för hand är ingen omöjlighet : µ 10 10 10 16 800 µ 10 10 10 10 6 10 6 5 10 1010 1010 10 10 107 varav fås att sannoliheten är 10 10 7 10 6. Totalt finns det µ 50 olia sätt att få upp ulor. Det finns 5 7

olia sätt att välja den färg, som Rulle sall ha ulor utav. Sedan finns det µ 10 möjligheter att välja ulor av den färgen. Resterande fjärde ulan an väljas på 0 olia sätt. Alltså, den söta sannoliheten är 5 10 0 5 10 9 8 0 1 50 1 50 9 8 7 9 8 0 9 8 7 9 8 0 9 7 8 10 5 10 9 7 50 50 0.1 7. Om man hade disuterat binomialoefficienter och enla sannolihetsberäningar i, säg, å, så hade man unnat använda dem till något mer verlighetsannutna övningar på i) förortning av brå ii) talstorlesuppsattning Här an man göra så här: 5 51 50 9 8 5 51 10 9 1 5 50 50 10 50 5 10 50 10.5 10 6 En, för det mesta, helt acceptabel noggrannhet. 8. Totalt antal händer µ 5 6.5 10 11 1 Händer med fördelning +++: µ µ 1 1 1.68 10 10 utgör andelen 1.68 10 10 0.065 6.5 1011 9. Vissa ombinationer ränas flera gånger: T.ex. varje delgrupp innehållande 5 vinnor fås på 5 olia sätt, beroende på vila av de 5 utgör de två först valda. Korret lösning : µ µ µ 10 15 10 + µ 15 + µ 10 677 µ 15 1 + µ 10 5 µ 15 0 50. Totalt behöver man förflytta sig + varter. En väg an uppfattas som en följd av 7 förflyttningar. Att välja väg är litydigt med att välja vila av dessa 7 förflyttningar sall vara åt öster resterande tas norrut. µ µ + + 5 Allmänt : Antalet olia sätt att förflytta sig m varter åt öster och n varter åt norr µ m + n m 51. Om f,b antalet steg åt framåt/baåt, så ½ f + b n f b ½ f (n + ) / b (n ) / Om n + är jämnt, så är sannoliheten µ n p (n+)/ (1 p) (n )/, (n + ) / annars 0. 5. Medvridninganvialltidfå1 i övre vänstra hörnet. Med spegling an vi alltid få att 1:ans horisontella granne är mindre än den vertiala: µ 1 µ 1,, µ 1 5. Välj vila fyra siffror som sall placeras i hörnen: µ 9 alternativ För varje val av hörnsiffror har vi sedan, enligt föregående problem, olia placeringar, totalt µ 9 alternativ Sedan återstår att fylla de 5 tomma platserna med de 5 återstående siffrorna och olia val an inte länge överföras i varandra genom vridning/spegling. Svar: µ 9 5! 9! 8 560 8

Poer 5. alla händer : µ 5 598 960 5 55. royal straight flush : En möjlighet för varje färg 56. straight flush : För varje färg finns 9 möjligheter med lägsta valör 1,,..., 9 96 57. fyrtal : Välj först valör för fyrtalet, sedan resterande femte ort µ 1 1 6 1 58. å : 59. färg : 60. stege : 61. triss : µ µ 1 1 7 µµ 1 10 5108 5 10 5 1000 µ 1 6. två par : µ µ µ 1 µ 1 5 91 µ µ 11 1 1 1 55 65. 66. µµ 1 ess högst : 5 50 860 µµ 11 ung högst : 1 5 5 580 µµ 10 dam högst : 1 5 1 180 µµ 9 nethögst: 1 5 17 500 µµ 8 tia högst : 1 5 70 80 µµ 7 nia högst : 1 5 680 µµ 6 åtta högst : 1 5 1 80 µµ 5 sjua högst : 1 5 080 Antal Chans att få den i given 1 på... royal straight flush 6970 straight flush 6 719 fyrtal 6 165 å 7 69 flush 5108 509 straight 1000 55 triss 591 7 två par 155 1 ett par 10980. ingenting 1050 6. par : µ µ 1 1 µ 1 1 098 0 6. µ 5 6 6 7... 10980 5 alternativt diret: µµ 1 10 5 10 50 5 9

Dragning med återläggning utan hänsyn till ordningen 67. Problemet är evivalent med: På hur många sätt an vi placera st. ( 1) avsiljare mellan 10 uppradade bollar: Bollar fram till avsiljare 1 målas med färg 1, bollar mln avsiljare 1 och målas med färg, etc. Vi har att välja platser ur en rad på 10 + platser. µ 1 86 Evivalensen med dragning med återläggning : Ur en urna med fyra ulor, numrerade 1,,,, drar vi med återläggning ula 10 gånger och låter # gånger ula nr ommer upp # bollar som färgas med färg. 68. Evivalent problem: Hur många olia följder an man bilda av 6 strutar och 11 1 "avsiljare"? Svar: µ 6+11 1 8008 6 Allmänt: Vill man öpa totalt n st. av olia varor, är antalet olia alternativ µ n + 1 69. OBS! Alt. -lösningarna illustrerar metoden med s.. genererande funtion, som inte förlarats här, så bortse från dem, om du inte läst om den på annat håll. a) Alt.1. Problemet är evivalent med att fördela identisa ulor på olia lådor. Tän dig ulorna uppradade från vänster till höger. Det gäller att sätta ut en avsiljande pinne i av de 1 mellanrummen och säga: x 1 antalet ulor till vänster om pinne 1, x antalet ulor mellan pinnar 1 och, x antalet ulor mellan pinnar och, x antalet ulor till höger om pinne. Alltså svar: µ 1 Alt.. Svaret fås som oeff. förx i utveclingen av x + x + x +... som är µ x x (1 x) 1 x µ 8 ( ) ( 5)... ( 7) 8! 1!!8! µ 1 b) Alt.1. Som i a) sall man placera ut pinnar, mennuanflera pinnar läggas i samma mellanrum, och man an lägga ut pinnar även till vänster om den första och till höger om den sista ulan, d.v.s. de atuella mellanrummen är nu st. och problemet är evivalent med dragning med återläggning av bland Svar: µ µ + 5 (Alternativt: totala antalet olia följder bestående av identisa ulor och identisa pinnar.) Alt.. Koefficienten för x i utveclingen av 1+x + x +... som är µ 1 (1 x) 1 x µ ( ) ( 5)... ( 1)! 5!!! µ 5 70. Evivalent problem: Hur många olia följder an man bilda med n st. "platshållare" (för variabler) och p 1 st. "avsiljare? (På platserna fram till första avsiljaren sriver vi första variabeln, på dem mellan avsiljare 1 och denandravariabeln,etc. Tillordningen följd 7 produt av ingående variabler t.ex. x z 7 xz är en bijetion mellan mängden av följder och mängden av olia termer av önsat slag. Svar: µ n + p 1 p 71. Observera att så fort tre hörn, säg A, B och C, är fixerade, så är retangeln helt bestämd. De tre hörnen A,B,C måste ligga på olia diagonaler. Kalla numren på deras diagonaler för a, b resp. c. (I figuren ovan är a,b5,c7.) När väl A:s läge är fixerat samt diagonaler för B och C är valda, är även B:s och C:s lägen på diagonalerna bestämda: Från A gå horisontellt fram till diagonalen för B där sall B ligga. Gå sedan vertialt till diagonalen för C där sall C ligga. 10

För att fixera A:s läge behövs, förutom diagonalnumret a, ävenetttal,alladeta x, som anger A:s x-oordinat (t.ex.). Det talet an anta värdena 0, 1,,..., a. (I figuren ovan: a x 1.) Således an vi upprätta en bijetion mellan mängden av retanglar och mängden -tiplar (a x,a,b,c), där 0 a x a<b<c n Obs. De två minsta talen får alltså sammanfalla, menintedeövriga. Inspirerade av resonemanget ring formeln för dragning med återläggning utan hänsyn till ordningen, betratar vi nu avbildningen y 1 a x 1 y a y b y c Denavbildarvårmängdbijetivt på mängden av alla -tiplar (y 1,y,y,y ), där 1 y 1 <y <y <y n Den är en mängd som består av exat alla delmängder med element ur en mängd med n + element : talen 1, 0, 1,,..., n är n + till antalet. Alltså är det söta antalet µ n + Binomialsatsen 7. (1 + x) 6 1+6x för x 0 75. Binomialsatsen ger µ 1+ n 1 n µ µ µ n 1 n 1 1+ 1 n + +... n 1+n 1 + idel positiva termer n > 76. Alt. 8 1 7 1 7 Ã µ 1+ 1! 7 > 7 7 8 1 (7+1) 1 > 7 1 +1 7 0 + 10 7 19 > (1++) 7 1 77. Sätt in x 1resp. x 1 i (1 + x) n 0 µ n x 78. Derivera m.a.p. x binomialsatsen identitet (se föreg. uppgift) : Sätt nu in x 1: n (1 + x) n 1 n n 1 1 1 µ n x 1 µ n (1 + 0.01) 6 1+6 0.01 + 15 0.01 +0 0.01 +... 1.06150150601 (1 + 0.00) 7 1+7 0.00+1 0.00 +... 1.010... 7. Persson & Böiers, Analys i en variabel, avsn.. 7. Eftersom µ x x 0 0 µ µ (x) x µ ( ) x och 0för 11, så är svaret µ 11 11 11

Binomialoefficientidentiteter 79. Låt A M N, där M och N är två disjunta mängder med m resp. n element. Betrata sedan D delmängder till A, som består av 1 element ª Definitionen av binomialoefficienter ger µ m + n D 1 Å andra sidan, med ½ ¾ delmängder till A, D M som består av 1 element från M ½ ¾ delmängder till A, D N som består av 1 element från N är D D M D N en uppdelning av D i två disjunta mängder och additionsprincipen ger µ µ m n D D M + D N + 1 1 80. Givet en mängd A med n element, låt D delmängder till A med element ª D n delmängder till A med n element ª Vi an para ihop elementen i D med dem i D n så att ingenting blir över : Den säger då bara att n (n 1)... 1n (n 1)... Poängen är att man an resonera sig fram till liheten, utan att ha explicita uttryc för båda leden.) 8. Delmängder med element till en mängd med n +1element an, så fort man pear ut ett av de n +1elementen alla det a indelas i två ategorier: de som innehåller a deär n 1 st. samt de som inte innehåller a deär n st. 8. Hur många delmängder med element har mängden {1,,..., n, n +1}? Enligt def. av binomialoefficienter: n+1 st. Om vi emellertid indelar delmängderna i lasser efter det största föreommande talet i dem, an vi ställa upp uttryc för antalet i varje lass: (Om det största talet är, sall resterande två tal väljas ur {1,,..., 1}) Delmängder, där största föreommande tal är n +1 : n :. : n n 1 st. st. st. D B A \ B D n (Ett element B i D, d.v.s. en delmängd till A med element, tillordnas sitt omplement m.a.p. A, d.v.s. A \ B, som då har n element.). Alltså måste D D n µ µ n n n 81. P (n, ) K n,, där ½ ¾ öer med personer, K n, valda ur en grupp om n personer Vi har en naturlig bijetion från K n,n 1 till K n,n : Till en ö med n 1 personer lägger vi till sist den enda av de personer vi får välja bland, som inte är med, så får vi en ö med n personer. Alltså K n,n K n,n 1 P (n, n) P (n, n 1) (Visst är liheten jättelätt att ontrollera, så fort man saffat sig formeln P (n, ) n (n 1)... (n +1) Alternativt an man göra ett indutionsbevis m.h.a. µ µ µ j j +1 j +1 +1 8. På hur många sätt an n st. olia föremål placeras i m +1olia lådor (vissa lådor får vara tomma)? Multipliationsprincipen ger svaret (m +1) n. Å andra sidan an vi indela så här: Först bestämmer vi oss för hur många föremål som sall gå till någon av lådorna 1,,..., m. Säg att st. sall till någon av lådor 1,,..., m, medan resterande n sall in i låda m +1. Sedan väljer vi ut de st. föremålen µ n alternativ Antalet sätt att placera dessa st. i m lådor är m, så vi har µ n m möjligheter för varje tänbart värde på. Återstår att summera över alla möjliga. 1

85. Vänsterledet ger oss antalet sätt att ur en mängd med n element först välja ut en delmängd med element, och sedan ur denna -delmängd välja ut en delmängd med r element. På detta sätt får vi med alla n r st. r-delmängder av grundmängden, fast varje r-delmängd ränas n r r gånger, eftersom den ingår i n r r olia -delmängder. 86. -delmängderna till {1,,..., n} tillhör någon följande fyra disjunta lasser : 87. innehåller 1 och : innehåller 1, men inte : innehåller, men inte 1 : innehåller varen 1 eller : ( 1) 1 1 1 µ n st. µ n 1 st. 1 µ n 1 st. 1 µ n st. n (n +1)(n +1) n (n +1)(n +1) 6 µ 6 (n 1) n (n +1) n +1 6 Numrera objeten i en mängd med n +1element. Antalet -delmängder, där största föreommande nummer {n, n +1} är µ µ n 1 n 1 + (n 1) 1 På samma sätt är antalet -delmängder, där största föreommande nummer {n, n 1} Etc. µ µ n n + (n ) 1 88. n+1 m # m-delmängder till {1,,..., n +1} Dela in m-delmängderna i disjunta lasser 89. 90. 91. efter det största talet som inte föreommer : µ n #delmängder utan n +1 m µ n 1 # delmängder, där n +1är med, men inte n m 1 µ n m # delmängder, där n +1och n är med, men inte n 1 o.s.v. µ µ +1 n ( +1) 1 m # m-delmängder till {1,,..., n +1}, där näst största tal som inte föreommer är n. (Ur {n +1,..., n, n +1} sall man välja 1 tal som inte sall vara med resterande st. sall med medan från {1,,..., n 1} återstår att välja m st. µ µ + n ( +) m Etc. # delmängder, där näst näst största tal som inte föreommer är n 1. ( 1) + µ µ + 1 Alltså µ µ + 1 1 1 1 µ µ n +1 n +1 + (n +1)n (n 1) (n +1)n + 6 (n +1)n n (n +1)(n +1) (n +) 6 6 så µ ( 1) ( ) 1 6 6 1 + 1 µ 6 + 1

och därmed 1 µ 6 + 1 1 1 µ n +1 n (n +1)(n +1) 6 + 6 n (n +1) ((n 1) (n ) + (n +1) ) n (n +1) n + n µ n (n +1) Binomialoefficienter: uppsattningar 9. 9. n +1 n Här är µ n n n!!(n )! ( +1)!(n 1)!n! n +1 (n 1)!! n! medan som är n (n +1) > 1, för <(n +1)/ 1, för (n +1)/ < 1, för >(n +1)/ (n 1)!! (n)!! n!n! (n)! n!n! (n 1)!!n n! n!n! (n 1)!! n (n)!! (n 1)!! (n)!! (n 1)!! n n! 1 1 5 n 1... > 1 n 1 5 n 1... < 1 6 n 9. Betratas bostäverna som 17 olia fysisa objet, an de ordnas på 17! olia sätt. Bostäver som föreommer mer än en gång: I N G P # föreomster: Partitioner 95. Var och en sall ha 8 "flasor glas" och "flasor innehåll". Räcer at fördela de fulla flasorna så att var och en får flasor innehåll. Innehållsravet bestämmer sedan hur många halvtomma var och en sa ha och slutligen bestämmer "glasravet" mängden tomma flasor för var och en. (Tre flasor innehåll räver aldrig mer än 6 < 8 fulla och eller halvfulla flasor.) ++0 på olia sätt +1+1 ++1 Totalt 1 olia sätt. 96. Indela efter fördelningen av "poängavdragen", utan att silja på uppgifterna. Man an få 5 på 7 olia sätt 1 7 6 7 6 1 1 7 6 1 7 5 1 1 1 7 6 1 1 1 1 1 7 5 Totalt : 6 97. Räcer att räna olia sätt att fördela päronen äppelfördelningen är sedan helt bestämd (av ravet på 5 fruter totalt till var och en). 5+ på olia sätt 5++1 5++ 5++1+1 ++1 1 ++ ++1+1 +++1 ++ +++1 +++ Totalt : 10 Svar: 17! 70 051 58 000!!!! 98. Rows and columns can be partitioned in different ways each. Answer: 9. 1

99. Possible partitions of the rows.: Answer: 8. rows columns () () (, 1) (, 1) (1, ) (1, ) (1, 1, 1) (, ) (, 1, 1) (1,, 1) (1, 1, ) (1, 1, 1, 1) 100. Svar: 5 0 Tvåuberanalltidställaspåettbordså att deras bottensida har samma färg. För toppsidan finns då 5 olia möjligheter. Två uber med samma topp- och bottenfärg an vridas så att framsidorna har samma färg. Då återstår möjligheter för basidan. Slutligen varianter för sidoytorna. 101. Färgningarna an idelas i typerna (6, 0), (5, 1), (, ), (, ), (, ), (1, 5) och (0, 6), varvid (r, b) betyder r röda och b blåa sidoytor. Av typer (6, 0) och (5, 1) finns endast en färgning. Av typ (, ) finns två: antingen är de två blåa sidorna angränsande eller motsatta. För typ (, ) finns två möjligheter: ett par av motsatta sidoytor är båda röda, inget par av motsatta sidor är röda. Totala antalet blir: 1+1++++1+110 10. Enfärgade: st. Tvåfärgade, sidoytor i en färg, 1 sidoyta i en annan färg: 1sätt att välja färger, alla med samma färgpar är identisa Tvåfärgade, sidor i en färg, sidorienannanfärg: olia sätt att välja färger, alla med samma färgpar är identisa Trefärgade: sätt att välja vilen färg som inte sall med, sätt att välja vilen färg som sall dubblera, vänster- och högerorientering för varje val av färger, alltså st. Fyrafärgade: Åter vänster- och högerorientering på varje, alltså st. Totalt +1+6++8 Lådprincipen 10. personer sall stoppas in i "fac" och >. 10. Jordens befolning > 6 10 9 männisor männisans livslängd < 10 år < 10 00 0 60 60 seunder 1 6 10 6 < 150 0 10 6 6 10 9 Så delar vi in de senaste 10 åren i "fac" om 1 seund, måste minst två personers födelsetid hamna inom samma fac. 105. Dela in vadraten i fyra lia stora delvadrater. Minst av de 5 punterna måste då hamna innanför samma delvadrat. Avståndet mellan dessa an inte vara större än delvadratens diagonal. 106. Minst. 107. 75 > 66 108. Indela åhörarna i fac efter antal beanta de har. Hur många fac behövs? Vid första påseende tror man att det behövs n fac: för 0, 1,,...n 1 beanta. MEN obs. att, om en person är beant med alla, så är det ingen som är utan beanta, m.a.o. ettdera av facen 0 och n 1 måste vara tomt. De n åhörarna fördelar sig alltså på n 1 fac. 109. Håll spelarna hela tiden indelade i fac efter antal spelade matcher. Möjliga antal färdigspelade matcher är 0, 1,...,n 1, så det behövs totalt n st. fac, men alternativen 0 och n 1 är oförenliga, så i varje ögonblic an endast n 1 fac ha spelare i sig Minst två spelare hamnar då i samma fac. 110. Säg att församlingen består av 100 personer. Tän dig en låda för varje person: 100 lådor. Tän dig sedan en ula för varje par (A, B) med innebörden "Person A har besöt ö B." Det blir totalt 85 + 70 + 61 16 ulor. Dessa ulor fördelar vi nu på lådorna efter person. 15