Tessellering En kort introduktion till V 0.2 Mikael Forsberg
Vad är en Tessellering? En Tessellering är ett antal plattor som tillsammans utan överlappning helt täcker planet. I detta påstående finns två egenskaper som en tessellering alltså ska uppfylla. 1. Plattorna täcker planet utan glipor eller hål. 2. Plattorna får inte överlappa varandra Typexemplet på en tessellering är våra vanliga kakelläggningar Hur vilda kan tesseleringar vara? I princip finns det ingen gräns för hur konstig en tessellering kan vara. I definitionen så finns det inget krav på hur plattorna får se ut eller hur många olika sorters plattor det finns. Nedan ser vi en tesselering utan uppenbar struktur eller tydlig form på plattorna. Detta är ej en tessellering eftersom det finns glipor. Plattorna täcker därför inte allt. Detta är inte en tessellering eftersom plattorna överlappar varandra I praktiken så vill man ha stor kontroll på tesselleringens struktur både av estetiska skäl och av tillverkningstekniska skäl. Vi ska se hur dessa begränsningar kommer till och studera några geometriska principer som är relevanta vid tesselleringskonstruktion.
Tesselleringar med ändlig Protomängd Om varje platta i Tesselleringen är en kopia av någon av plattorna i en mängd P så kallar vi mängden P för Tesselleringens protomängd. Om protomängden består av två olika plattor så säger man att tesselleringen är bihedral, eller 2-hedral. Om protomängden består av 5 plattor så är den 5-hedral. Och när man vill betona att protomängden består av n stycken olika plattor, där n är ett positivt helta, så säger man att tesselleringen är n-hedral. Vi ger här exempel på de regelbundna flerhörningar som kan vara protoplatta till monohedrala tesselleringar. Dessa är den förutom kvadraten, som vi känner igen som vår vanligaste kakelplatta, också den liksidiga triangeln och den regelbunda hexagonen. En Protomängd bestående av 3 stycken kvadrater av olika storlek. Till Höger har vi en tessellering med denna protomängd. En bihedral (2-hedral) tessellering där protomängden består av en liksidig triangel och en regelbunden hexagon Tessellering med den liksidiga triangeln är en monohedral tessellering med triangeln som protoplatta. Protomängd med två kvadrater och dess tessellering. En sådan tessellering kallas bihedral. Monohedrala tesselleringar Det finns oräkneliga tesselleringar med protomängder med fler än en platta. I fortsättningen ska vi dock begränsa oss till tesselleringar som har en protomängd som bara består av en enda platta, kallad en protoplatta. Dessa 1-hedrala tesselleringar kallar vi för monohedrala tesselleringar Här är det välkända bikakemönstret som i vår mening är en monohedral tessellering med den regelbundna hexagonen som protoplatta.
Translationssymmetri och periodiska tesselleringar. En Translation är en parallellförflyttning, och innebär att allting flyttar sig med en viss riktad strecka. T Periodiska Tesselleringar Tesselleringar med två translationsriktningar kallas för periodiska. De flesta vanliga tesselleringar är periodiska a b c Translationen T förflyttar hexagonen den riktade strcka som pilen anger. Translationssymmetri Om en tessellering har den egenskapen att vi inte ser någon skillnad på den om vi translaterar hela tesselleringen en viss riktad strecka så säger vi att tesselleringen har en translationssymmetri. De Tesselleringar vi givit exempel på hitills har alla utom den vilda på sidan 2 två translationssymmetririktningar. Vår vanligaste tessellering har två riktningar. Pilarnas längd anger den minsta strecka man kan flytta tesselleringen för att vi inte ska se någon skillnad. Det är uppenbart att om vi flyttar flera steg längs pilarna så ser vi igen ingen skillnad. Kom ihåg vi tänker oss att tesselleringar är oändliga både i vertikal som horisontell riktning. Triangeltesselleringens huvudaxlar. Vår hexagonala tessellering med translationsriktningar utritade. Som synes har tre riktningar markerats. Notera dock att den tredje kan fås som en kombination av de övriga. I detta fall kan den grå streckade pilen fås genom att gå snett uppåt till höger och sedan gå baklänges längs pilen som går uppåt. Man kan uttrycka detta så att b - a = c. Poängen är att vi faktiskt bara har två väsentliga translationsriktningar eftersom de övriga kan fås som kombinationer av huvudriktningarna. På nästa sida ska vi titta på rotationer och rotationssymmetri.
Rotationer och Rotationssymmetri. Flerfaldiga rotationssymmetrier 120 120 120 60 90 90 90 90 n=3 n=4 Tesselleringars Rotationssymmetrier Om en tessellering roteras med en viss vinkel så att vi inte ser någon skillnad så har tesselleringen en rotationsymmetri. Eftersom vi kan upprepa rotationen så måste rotationsvinkeln jämnt dela 360 så att vi efter ett visst antal rotationer kommer tillbaka till den position vi hade när vi startade rotera. Vi säger att symmetrin är n-faldig om det krävs n stycken rotationer för att komma tillbaka till ursprungspositionen. Rotationsvinkeln blir då 360/n. Den kristallografiska restriktionen. Bakom denna kryptiska titel ligger en nära koppling mellan tesselleringsämnet och kristallografi. Den kristallografiska restriktionen innbär att varje periodisk tessellering bara kan ha vissa rotationssymmetrier. Man kan nämligen ganska enkelt visa att om en tessellering har två translationssymmetrier så kan den inte ha andra rotationssymmetrier än n=1,2,3,4 och n=6. Femfaldig rotationssymmetri är alltså inte möjligt för en periodisk tessellering. Inte heller 7-faldig rotationssymmetri eller högre. 72 n=6 Triangeln har en symmetri som är ett tredjedels varv (n=3), dvs 120. Kvadraten har 90 symmetri, dvs ett fjärdedels varv (n=4) och om hexagonen vrids ett sjättedels varv, n=6, dvs 60 så ser vi ingen skillnad. Man säger att triangeln har en trefaldig symmetri, kvadraten en fyrfaldig och hexagonen en sexfaldig symmetri. I denna tessellering så har vi markerat ett rotationscentrum med 6-faldig symmetri (röd hexagon), ett centrum med 3-faldig symmetri (röd triangel). Det finns också ett rotationscentrum med 2-faldig symmetri (markerad som en svart cirkulär punkt) Kring denna behöver vi rotera 180. Början av en triangulering med likbenta trianglar där vinkeln mellan benen är 72 så att fem trianglar precis får plats på det sätt som syns den klarare gröna fältet i mitten. Denna tessellering har femfaldig symmetri eftersom den blir en större pentagon i varje steg utåt, markerat här med olika grågröna nyanser. Den femfaldiga symmetrin gör att tesselleringen inte är periodisk. Man kan dock skapa en annan tessellering med dessa trianglar som saknar femfaldig symmetri och bildar en periodisk tessellering. M.a.o den här tesselleringen är ickeperiodisk men inte aperiodisk, ett begrepp som vi återkommer till mot slutet av denna artikel.
Speglingar och Speglingssymmetri Ett objekt som ser likadant ut efter spegling sägs vara speglingssymmetrisk. Till speglingar hör en speglingslinje. I nedanstående bild ser vi speglingslinjerna för den liksidiga triangeln, kvadraten och den regelbunda hexagonen. Ofta ärver tesselleringen speglingssymmetri från plattan, som är fallet för vår femfaldigt rotationssymmetriska tessellering: Även om många tesselleringar ärver egenskaper från sina protoplattor så är det inte alltid så, vilket följande exempel visar. Triangeln, som är likbent har bara en speglingslinje. Denna speglinslinje ärvs av tesselleringen men eftersom denna har en femfaldig rotationssymmetri så blir rotationer av speglingslinjen nya speglingslinjer. Denna tessellering saknar speglingssymmetrier trots att kvadraten har många speglinslinjer. Anledningen är förstås att två av kvadratraderna är förskjutna jäntemot de övriga. Speglingslinjer för en tessellering.
Glidreflektion = Translationsspegling Den sista av symmetrioperationerna är den så kallade glidreflektionen. Denna operation är sammansatt av en translation och en spegling och glidreflektionen fås genom att först translatera en viss strecka längs en viss linje och sedan spegla i denna translationslinje. Tesselleringar som innehåller glidreflektionssymmetrier ger ofta intressanta och intrikata mönster. Vi ger ett exempel här. Ett annat återfinns på titelsidan av denna artikel. För att se glidreflektionen i bilden här intill så behöver man se förbi färgkodningen. De två röda bitarna visar hur en glidreflektion återfinns i denna bild. Notera gärna att två på varandra följande glidreflektioner blir en vanlig translation. Det finns även en vertikal glidreflektion.
Tesselleringsämnet är fortfarande outforskat Marjorie Rice en hemma fru med pentagoner. Problem :: Hitta alla pentagoner som tessellerar planet. En pentagon som löser detta problem är inte regelbunden utan ser i allmänhet ut ungefär som följande. a E A e D b d B C c Forskare har länge försökt hitta alla olika pentagoner som tessellerar planet och en forskare utökade antalet sådana pentagoner och hävdade till och med att han funnit ett bevis för att han hittat alla. Detta påstående visade sig vara falskt när en hemmafru vid namn Marjorie Rice inom loppet av två år hittade flera nya tessellerande pentagoner. Läs mer om henne och pentagonproblemet i Gunnilla Borgefors artikel i nämnaren: Hemmafrun som lyckades Olika värden på vinklarna A...E och sidlängderna a,b,...e definierar olika Pentagoner.
Aperiodiska Tesselleringar Vi har sett exempel på tesselleringar som är periodiska och sådana som inte är periodiska. Vårt huvudexempel på en ickeperiodisk monohedral tessellering involverade en protoplatta som var en likbent triangel med vinklarna 72, 54, 54. Tesselleringen sattes samman så att den fick en pentagonal uppbyggnad, se sidan 5. Men detta är inte den enda tessellering som denna protoplatta ger upphov till. Det stora tesselleringsproblemet Vad är det minsta antal plattor i en protomängd som en aperiodisk tessellering kan innehålla? Penrose s pentaplexity Den välkända matematikern och fysikern Roger Penrose lyckades visa att minsta antalet plattor är högst två. Penrosetesselleringar är ofta väldigt vackra och intressanta att titta på. Gör gärna en google bildsökning på Penrose tiling så hittar ni bilder som nedanstående. Penroses resultat gör att vi kan omformulera det stora tesselleringsproblemet: Finns det en monohedral aperiodisk tessellering? Detta troligen svåra problem tycks fortfarande vara olöst och är öppet för alla att lösa! Genom att flytta om trianglarna får man ovanstående periodiska tessellering. Plattan kan alltså ge upphov till ickeperiodisk tessellering men alla tesselleringar som plattan kan generera är inte ickeperiodiska. Om plattan aldrig ger oss en periodisk tessellering, hur vi än tessellerar så säger man att tesselleringen är aperiodisk.