DATORÖVNING 3: EXPERIMENT MED

DATORÖVNING 3: EXPERIMENT MED SLUMPMÄSSIGA FÖRSÖK. I denna övning skall du med hjälp av färdiga makron simulera två olika försök och med hjälp av dessa uppskatta sannolikheter för ett antal händelser (och kombinationer/betingningar på dessa). Dessa sannolikheter skall du sedan beräkna teoretiskt med hjälp av de modeller som ligger till grund för simuleringarna. START Logga in genom att skriva in ditt user name och ditt password och välja log on to: HELIX. Klicka på OK. Starta Minitab: 1. Öppna Start-menyn. 2. Välj All Programs och sök upp alternativet Minitab Solutions. 3. I undermenyn för Minitab Solutions, välj alternativet Minitab 15 Statistical Software English. Se till att du kan skriva Minitab-kommandon direkt i Session-fönstret: 1. Klicka i Session-fönstret så att det blir aktivt (titelraden tänds blå). 2. Öppna menyn Editor och välj alternativet Enable commands. EXPERIMENT På kurshemsidan finns länkar till två makron: events.mac och hands.mac. Ladda hem dessa två och spara dem på din egen arbetsyta (Z:\). Se sedan till att Minitab använder detta som arbetsmapp genom att ge kommandot cd z:. Bägge makrona är s.k. lokala makron. I lokala makron måste alla konstanter och kolumner man använder sig av deklareras vilket görs med kommandona mconstant respektive mcolumn. Vidare kan man i ett lokalt makro använda s.k. anropsparametrar (kolumner, konstanter och vanliga tal) och det är endast dessa som ändras när makrot körs. Interna kolumner och konstanter syns inte och försvinner när makrot är kört. Läs mer om detta genom att ge kommandot help och sedan klicka på Using macro commands. TVÅ HÄNDELSER Det första makrot (events.mac) genomför ett antal oberoende slumpmässiga försök som vart och ett kan resultera i minst en av händelserna A och B. Makrot anropas med kommandot MTB > %events c1 c2 n där C1 och C2 kan bytas mot i princip vilka kolumner som helst (det viktiga är att två kolumner anges) och n är det antal försök man vill ha. Resultatet kommer att ges i just dessa två kolumner 1

som automatiskt får rubrikerna A och B. I varje kolumn står det en etta (1) om motsvarande händelse har inträffat och en nolla (0) om den inte har inträffat. Pröva genom att ge kommandot %events c1 c2 3 Du skall nu ha fått data motsvarande tre rader i C1 och C2 från vilka du kan avläsa vad som inträffade i de tre försöken. Din uppgift är nu att med hjälp av makrot genomföra ett stort antal försök från vilka du skall kunna: a) uppskatta sannolikheten att A inträffar, dvs. P(A) b) uppskatta sannolikheten att B inträffar, dvs. P(B) c) uppskatta sannolikheten att båda inträffar, dvs. P(A B) = P(A och B) d) uppskatta sannolikheten att minst en av dem inträffar, dvs. P(A B) = P(A eller B) e) uppskatta sannolikheten att A inträffar betingat av att B har inträffat, dvs. P(A B) f) uppskatta sannolikheten att B inträffar betingat av att A har inträffat, dvs. P(B A) g) bedöma om A och B kan vara oberoende händelser Obs! Börja inte försöka lösa dessa uppgifter ännu. Det kan vara lämpligt att genomföra 10000 försök. Detta tar i och för sig en stund men inte längre än att du orkar vänta (det är alltså inget fel med att det dröjer och du får sitta och titta på timglaset på skärmen). Efter att försöken gjorts (och ni alltså har era data i C1 och C2) kan ni ha hjälp av följande: 1. Kommandot mean(c1) beräknar medeltalet av alla värden i C1. Eftersom värdena är ettor och nollor kommer detta medelvärde att vara detsamma som proportionen ettor i kolumnen, dvs. en uppskattning av sannolikheten för A. 2. Fundera på vad du får för resultat i kolumnen C3 om du ger kommandot MTB > let c3=c1*c2 Kan du använda C3 för att lösa någon av uppgifterna a) g)? 3. Fundera på vad du får för resultat i kolumnen C4 om du ger kommandot MTB > let c4=c1+c2 Kan du använda C4 för att lösa någon av uppgifterna a) g)? 4. Prova att ge kommandot: MTB > table c1 c2; SUBC> counts; SUBC> rowpercents; SUBC> colpercents; 2

SUBC> totpercents. Alternativt kan du menyvägen välja Stat Tables Cross Tabulation and Chi- Square och bocka för rutorna Counts, Row percents, Column percents och Total percents. Kan du använda er av utskriften för att besvara någon eller några av uppgifterna a) g)? Lös nu uppgifterna a) g)! I makrot har följande modell använts: Ett tal väljs slummässigt bland talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Händelsen A = Talet är udda Händelsen B = Talet är högst 5 Lös nu uppgifterna a) g) teoretiskt, dvs. räkna ut de sannolikheter som enligt instruktionerna skulle uppskattas från data och svara på fråga g). Jämför de resultat ni fick från data med de teoretiska resultaten. 3

POKERGIV Kortlek: 52 kort bestående av valörerna 2-14 (2-10 samt knekt, dam, kung och ess) i var och en av kortfärgerna hjärter (hearts), spader (spades), ruter (diamonds) och klöver (clubs). När man spelar poängpoker får man fem kort direkt på given. För en enskild spelare kan dessa fem kort ses som fem kort slumpmässigt dragna ur kortleken. Det kan ju vara intressant att studera sannolikheter för att få olika poänggivna resultat direkt på de fem första korten: Resultat Innebörd Poäng par (pairs) Exakt två kort i en valör och övriga kort i olika valörer 1 två-par (two-pairs) Exakt två kort i en valör och exakt två kort i en annan valör 2 triss (three-of-a-kind) Exakt tre kort i en valör och övriga kort i olika valörer 3 stege (straight) Alla fem kort i valörföljd, men i minst två kortfärger 4 färg (flush) Alla fem kort i en och samma kortfärg, men inte i valörföljd 5 kåk (full-house) Två kort i en valör och tre kort i en annan valör 6 fyrtal (four-of-a-kind) Fyra kort i en valör 7 straight-flush Alla fem kort i valörföljd och i samma kortfärg, men med högsta valören högst lika med 13 (kung) 8 Royal-flush Alla fem kort i samma färg och i valörerna 10, 11, 12, 13, 14 (10, knekt, dam, kung, äss) (50) spelvinst 4

Makrot hands.mac väljer slumpmässigt fem kort utan återläggning från en kortlek och detta kan upprepas n gånger genom att ge kommandot MTB > %hands c1-c7 n (Kolumnerna C1-C7 kan bytas mot sju andra kolumner, men det måste vara 7 stycken). I kolumnerna C1-C5 kommer de valda korten att visas. Detta görs med koder enligt följande exempel: H3 innebär hjärter 3 S14 innebär spader äss D11 innebär ruter knekt (D för Diamonds) C6 innebär klöver 6 (C för Clubs) etc. I kolumn C6 anges ev. resultat för de fem korten sedda som en pokerhand. Om inget resultat finns är cellen tom. I kolumn C7 anges poängen för resultatet eller 0 om inget resultat finns. Din uppgift är nu att använda makrot för att uppskatta sannolikheten för några mer vanliga resultat (det kommer inte att inom rimlig tid gå att uppskatta sannolikheten för Royal flush). Detta makro är något långsammare än det förra. Pröva detta genom att ge kommandot MTB > %hands c1-c7 10 Du skall då få 10 pokerhänder i kolumnerna C1-C5 och motsvarande resultat och poäng i C6 och C7. Det kan alltså vara lämpligt att samarbeta mellan grupperna så att ni vid varje dator genererar, säg 1000 pokerhänder och sedan importerar motsvarande från övriga grupper. Enklast gör ni detta genom att kopiera och klistra över kolumnerna C1-C7 till ett Excel-dokument och sedan maila detta till övriga grupper. När ni i er tur får ett Excel-dokument mailat kopierar ni och klistrar in motsvarande kolumner med början i den första tomma raden under era data i Worksheet-fönstret. När ni samlat resultat så att ni har tillräckligt många pokerhänder kan ni ha hjälp av följande kommando. 5

MTB > tally c7 Ge detta kommando på de data (10 pokerhänder) ni just nu har för att se vad resultatet blir. Ni får alltså en frekvenstabell för poängen i Session-fönstret. Ge kommandot help tally så ser ni hur ni skall få relativa frekvenser. När ni nu fått era data, använd tally för att uppskatta sannolikheterna att få resultaten par, två par, triss, stege, färg och kåk (högre resultat än så lär vara svårt att uppskatta sannolikheter för) Hur skulle nu dessa kunna beräknas teoretiskt? Vi ger två exempel på hur man kan tänka. Färg: Vi väljer först en kortfärg. Det finns 4 möjligheter för detta. Ur den valda kortfärgen väljer vi fem kort. Det finns 13 = 5 13! 5!8! = 1287 möjligheter för detta. Av dessa kommer dock 10 stycken att motsvara resultatet straight flush (varför 10 stycken?). Sammanlagt finns alltså 4 (1287 10) = 5108 möjligheter att välja fem kort i samma kortfärg utan att det blir straight flush. Totalt finns det 52 = 5 52! 5!47! = 2598960 möjligheter att välja fem kort ur en kortlek. Sannolikheten att få resultatet färg på fem slumpmässigt valda kort är därför 5108 2598960 0.00197 eller annorlunda uttryckt: på 100000 försök får vi färg vid i genomsnitt 197 av försöken. Kåk: Vi väljer först två valörer. Det finns 13 = 2 13! 2!11! = 78 möjligheter för detta. Av de två valda valörerna skall vi nu välja en att dra tre kort från. Det finns förstås 2 möjligheter vid detta val. Från trekortsvalören skall vi nu välja tre kort och från tvåkortsvalören två kort. Det finns 6

4 = 4 3 4 resp. = 6 2 möjligheter för dessa två val. Sammanlagt finns det alltså 78 2 4 6 = 3744 möjligheter att få kåk. Sannolikheten för kåk blir därför (vi har ju tidigare räknat ut det totala antalet varianter av fem dragna kort till 2598960 st.): 3744 2598960 0.00144 FRIVILLIGA (LITE KLURIGARE) ÖVNINGSUPPGIFTER FÖR DIG SOM ÄR INTRESSERAD AV KORTSPEL Med hjälp av dessa exempel kan ni på egen hand klura ut hur ni skall beräkna sannolikheterna att få par, två par, triss och stege. Jämför resultaten med varandra och jämför sedan med de uppskattade sannolikheter ni fått från experimentet. Besök gärna http://en.wikipedia.org/wiki/poker_probability för tips och idéer. Fundera över följande: Den poängsättning som visas ovan är bortsett från poängen för Royal flush den gängse som används (såväl i vanligt poängpoker med två kortköp som i spelet Chicago med tre kortköp). Är poängfördelningen rimlig med hänsyn till sannolikheterna att få resultaten på giv? Studera också gärna de två makron ni använt i övningen och försök förstå hur de är uppbyggda. 7