Utdrag ur: Räkna med variation - Digitala uppgifter Lena Zetterqvist och Johan Lindström 30 september 2016
Innehåll 1 Blandade uppgifter 5 1.1 Diskreta fördelningar......................... 5 1.2 Hypotestest.............................. 6 1.3 Jämförelse av två väntevärden.................... 7 2 Svar 9 3
1 Blandade uppgifter 1.1 Diskreta fördelningar 1.1 Avgör i vilken eller vilka av de nedanstående situationerna slumpvariabeln X är binomialfördelad a) En person lämnar varje vecka in samma rad på Lotto. Låt X vara antal gånger hen får vinst under ett år. b) En person studerar noga tidningens fotbollssidor och lämnar varje vecka in sitt "experttips"utom i semestertider då hen har ett stående tips. Låt X vara antal gånger hen får vinst under ett år. c) En person äter choklad ur en kartong med 30 bitar av både ljus och mörk choklad. Hen väljer slumpmässigt ut bit efter bit och äter till det återstår 10. Låt X vara antal ljusa chokladbitar hen ätit upp. d) En person står vid en väg och noterar under 10 minuter färgen på de bilar som passerar. Låt X vara antalet bilar innan den första röda bilen passerar. e) En person står vid en väg och noterar under 10 minuter färgen på de bilar som passerar. Låt X vara antalet röda bilar under dessa 10 minuter. f ) En person står vid en väg och noterar färgen på de första 50 bilar som passerar. Låt X vara antalet röda bilar av de 50. 1.2 I nedanstående situationer är X binomialfördelad. Ange n och p i fördelningarna. a) Risken att ett vägavsnitt översvämmas ett år uppskattas til 5%. Låt X vara antal år under ett decennium med översvämmat vägavsnitt. b) I genomsnitt råkar Benjamin ut för köer "1 gång av 10när han tar bilen till jobbet. Låt X vara antal dagar under en arbetsvecka då han inte köar på väg till arbetet. c) Lisa och Karin kastar vardera 10 kast med en tärning. Låt X vara antalet femmor de får tillsammans. d) Vid tillverkning av ostbågar blir 1% missfärgade medan 2% får fel form. Dessa två fel sker oberoende av varandra. Låt X vara antalet felfria enheter i en förpackning om 100. 5
1 Blandade uppgifter 1.2 Hypotestest Vilken hypotes? 1.3 I en undersökning på slumpmässigt utvalda manliga lastbilschauörer med hjärt- och kärlbesvär mätte man deras kolesterolhalt (mmol/l). Ett normalt kolesterolvärde ska ligga under 5.0 mmol/l men man misstänkte att denna grupp hade en högre kolesterolhalt. Beteckna väntevärdet av kolesterolhalten med µ. Vilken uppsättning av hypoteser bör man studera för att undersöka om misstanken är befogad? (i) H 0 : µ = 5; H 1 : µ 5 (ii) H 0 : µ 5; H 1 : µ = 5 (iii) H 0 : µ = 5; H 1 : µ > 5 (iv) H 0 : µ = 5; H 1 : µ < 5 1.4 Aluminium har smältpunkt 660 C. På ett ämne görs mätningar av smältpunkten, beteckna mätningarnas väntevärde med µ. Man misstänker att ämnet inte är ren aluminium, vilken uppsättning av hypoteser bör ställas upp? (i) H 0 : µ = 660; H 1 : µ 660 (ii) H 0 : µ 660; H 1 : µ = 660 (iii) H 0 : µ 660; H 1 : µ > 660 (iv) H 0 : µ 660; H 1 : µ < 660 1.5 Gränsvärdet för asbest är 0.1 brer/cm 3 i luften. På en arbetsplats där man river ner rör isolerade med material innehållande asbest mäts halten. Om µ betecknar mätningarnas väntevärde, vilka hypoteser bör man ställa upp för att förvissa sig att genomsnittshalten av asbest är säkert under gränsvärdet? (i) H 0 : µ = 0.1; H 1 : µ 0.1 (ii) H 0 : µ 0.1; H 1 : µ = 0.1 (iii) H 0 : µ 0.1; H 1 : µ > 0.1 (iv) H 0 : µ 0.1; H 1 : µ < 0.1 1.6 Då patienter får en viss typ av medicinsk behandling vet man av erfarenhet att 6% av dem får biverkan. En ny medicin är utvecklad och prövas på 20 slumpmässigt utvalda patienter. Låt p vara P(en patient får biverkan). Vilka hypoteser bör man ställa upp om man vill påvisa att den nya medicinen ger färre patienter biverkan än den traditionella behandlingen? (i) H 0 : p = 0.06; H 1 : p 0.06 (ii) H 0 : p 0.06; H 1 : p = 0.06 (iii) H 0 : p = 0.06; H 1 : p > 0.06 6
1.3 Jämförelse av två väntevärden (iv) H 0 : p = 0.06; H 1 : p < 0.06 Samband med kondensintervall 1.7 Nedan anges tre uppsättningar av hypoteser kring µ i en normalfördelning. Para ihop hypoteserna med de intervall som är intressanta att studera. Hypoteserna: 1. H 0 : µ = 3; H 1 3 2. H 0 : µ 3; H 1 : µ < 3 3. H 0 : µ 3; H 1 : µ > 3 Intervallen: a) (, 4.7) b) (2.3, 2.9) c) (1.7, ) Antag att samtliga intervall har kondensgrad 0.99. I vilken av de tre uppsättningarna av hypoteser är slutsatsen att H 0 förkastas på nivå 1 %? Direktmetoden 1.8 Vid ett test beräknades P-värdet = 0.035. Vilka av följande slutsatser är sanna? a) H 0 kan förkastas på nivå 5%. b) H 0 kan förkastas på nivå 1%. c) H 0 kan förkastas på nivå 3.6%. 1.3 Jämförelse av två väntevärden 1.9 Ange vilken modell (stickprov i par eller två oberoende stickprov) som är lämplig i följande situationer: a) För att mäta hastighetsskyltars eekt mäter man hastigheten hos 12 bilar före skylten och hastigheten hos 12 andra bilar efter skylten. b) För att mäta hastighetsskyltars eekt mäter man hastigheten hos 12 bilar före skylten och hastigheten på samma 12 bilar efter skylten. c) För att undersöka hur vattennivån i en brunn påverkats av en industrietablering jämförs 7 års mätningar av årsmedelnivån före etableringen med 7 års mätningar av årsmedelnivån efter. 7
1 Blandade uppgifter d) För att undersöka om män och kvinnor upplever smärtlindring annorlunda mätte man på 10 män och 10 kvinnor tiden från intag av en medicin till dess personerna upplever "väsentlig smärtlindring". e) För att undersöka mängden utsläpp från en industri belägen vid en å mäter man under 6 måndagar halten av ett visst ämne både uppströms och nedströms industrin. f ) För att mäta mängden korta fettsyror (mmol/100g) vid fermentering av odigrerbara kolhydrater lät man en grupp om 16 råttor få kosten i ärtber medan en annan grupp om 16 råttor ck linfröber. g) För att undersöka eekten av ett hälsoprogram (bl.a. regelbunden fysisk aktivitet, ändrade kostvanor och rökstopp) mätte man diastoliskt blodtryck (mm Hg) såväl före som efter programmet på 30 kvinnor. h) I en klinisk studie vill man undersöka om diet D har eekt. Grupp A ska få D medan grupp B inte ska få den. Innan studien startar vill man försäkra sig om att det inte nns skillnader mellan grupperna och väger därför samtliga 25 i grupp A och samtliga 25 i grupp B. i) I en klinisk studie vill man undersöka om diet D har eekt. Grupp A får D medan grupp B inte får den. Man mäter vikten hos samtliga 25 i grupp A både före och efter utförd diet. j) I en klinisk studie vill man undersöka om diet D har eekt. Grupp A får D medan grupp B inte får den. Vid studiens slut jämför man viktförändringen hos de 25 i grupp A med viktförändringen hos de 25 i grupp B. 8
2 Svar 1.1 Enbart X i (a) och (f) är binomialfördelade a) Binomialfördelning med n = 52 och p=p(vinna), vilket är konstant för varje vecka. b) Ej binomialfördelad eftersom p=p(vinna) ej är den samma varje vecka. c) Ej binomialfördelad eftersom p=p(ljus bit) är ej den samma vid de olika tillfällena som en chokladbit tas. d) Ej binomialfördelad (utan geometriskt fördelad). e) Ej binomialfördelad eftersom n antal bilar är ej xt. Möjligtvis kan en Poissonfördelning vara en lämplig modell. f ) Binomialfördelad med n = 50 och p=p(en bil som passerar är röd). 1.2 a) n = 10, p = 0.05 b) n = 5, p = 0.9 c) n = 20, p = 1 6 d) n = 100, p = 0.99 0.98 1.3 H 0 : µ = 5; H 1 : µ > 5. Som nollhypotes sätter man upp det man ifrågasätter och som mothypotes det man vill troliggöra. 1.4 H 0 : µ = 660; H 1 : µ 660 1.5 H 0 : µ 0.1; H 1 : µ 0.1 1.6 H 0 : p = 0.06; H 1 : p 0.06 1.7 1. H 0 : µ = 3; H 1 : µ 3 ska paras ihop med intervallet i (b), (2.3, 2.9). 2. H 0 : µ 3; H 1 : µ < 3 ska paras ihop med intervallet i (a),(, 4.7). 3. H 0 : µ 3; H 1 : µ > 3 ska paras ihop med intervallet i (c),(1.7, ). Eftersom intervallet i (b) ej täcker över 3 förkastas H 0 i den första uppsättningen av hypoteser och vi har troliggjort att µ är skilt från 3. 1.8 Det är enbart slutsatsen i (b) som är felaktig, de övriga två är korrekta. 1.9 a) Två oberoende stickprov b) Stickprov i par c) Två oberoende stickprov 9
2 Svar d) Två oberoende stickprov e) Stickprov i par f ) Två oberoende stickprov g) Stickprov i par h) Två oberoende stickprov i) Stickprov i par j) Två oberoende stickprov 10