Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i hur de ska gå från ett mönster de ser till att uttrycka det algebraiskt? Artikelförfattarna jämför hur introduktionen av att skriva algebraiska uttryck kan se ut i Sverige och i Japan. När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007, såg vi att många svenska elever misslyckades med en viss algebraisk uppgift. Några år tidigare hade vi sett motsvarande uppgift genomföras i en japansk klass då algebraiska uttryck introducerades för eleverna. Vi blev nyfikna på vad som orsakade de låga resultaten i Sverige och reflekterade över skillnaderna i hur man introducerar arbetsområdet i de båda länderna. En av oss undervisade i en niondeklass i matematik, så vi bestämde att låta eleverna göra uppgiften och att försöka analysera vad det var som orsakar svårigheter. Uppgiften vi intresserat oss för var avsedd för bedömning av elevens förmåga att hantera algebra och då mer specifikt linjära samband. I rapporten ser uppgiften ut så här: I figuren har 13 tändstickor använts till att lägga 4 kvadrater i en rad. Hur många kvadrater i en rad kan man lägga på detta sätt om man använder 73 tändstickor? Visa hur du kom fram till svaret. Endast 16 % av de svenska elever som gjorde detta test klarade uppgiften. Rapportens författare förklarade att svårigheten står att finna i elevers ovana vid mönstertänkade. Vidare förklarar de att i uttrycket 4 + 3n representerar n antalet nya kvadrater och att ekvationen 4 + 3n = 73 ger att n är lika med 23. Första kvadraten måste sedan läggas till så resultatet blir 24. De skrev dock inte hur många elever som svarade 23 eller hur många som svarade med en liknande ekvation. Nämnaren nr 4 2013 9
Klassen löser tändsticksproblemet Vi delade ut 16 uppgifter ur rapporten till klassen. En av uppgifterna var tändsticksproblemet och det är den uppgiften vi fokuserar på i vår analys. 19 elever fick lösa uppgifterna och endast fyra elever kom fram till rätt svar. Elva elever gjorde fel, och det var inte slarvfel, resterande fyra elever gjorde inga försök alls att lösa och redovisa uppgiften. I analysrapporten nämns att eleverna har problem med mönster tänkandet. Vi blev intresserade av att titta närmare på de individuella lösningarna för att försöka förstå hur eleverna kom fram till sina lösningar. En av eleverna med rätt svar verkar, med ledning av det som var synligt i hans lösning, ha sett ett mönster: Mönstret som eleven såg var att för varje ny kvadrat krävs tre nya tändstickor. För att kunna räkna med första kvadraten behöver eleven ta bort den första tändstickan, för att sedan dela 72 med 3. En annan elev gjorde en liknande lösning. En tredje elev verkar ha sett mönster och även använt x som obekant i sin lösning: I denna lösning är det dock inte lika lätt att se mönstret. Även om eleven skrev att det kändes som fel är det uppenbart att eleven funnit mönstret, lägga till tre tändstickor för varje ny kvadrat, och att det endast är 72 tändstickor när den första tändstickan har tagits bort. Antagligen kunde eleven inte räkna ut 72 delat med 3 i huvudet men försökte ändå lösa problemet i huvudet utan att behöva ställa upp. Eleven konstaterar att 3 finns i 9 och att 72 finns i nians tabell: 9 8 = 72. Sedan multipliceras 8 med 3 som ger att det var 24 kvadrater. Det var bara en elev som kom fram till en ekvation som beskriver problemet: 10 Nämnaren nr 4 2013
Lösningarna visar att det finns en osäkerhet bland eleverna om hur man skriver en ekvation. När vi tittar på den fjärde elevens lösning (i original), ser vi att det är suddat där eleven skrivit x och y. Det ser ut som första relationen var skriven x 3 + 1 = y, även om elevens slutliga y 3 + 1 = x är korrekt, baserat på hur eleven definierat variablerna. Den konventionella beteckningen för beroende och oberoende variabler tycks ha förvirrat. Av dessa fyra elevers korrekta svar kan vi dra slutsatsen att alla verkar se mönstret att tre tändstickor läggs till för varje tillkommande kvadrat. Trots detta var de inte tillräckligt säkra för att kunna omvandla till ett algebraiskt uttryck eller relation, även om de var ett år äldre än den tänkta målgruppen för uppgiften. Svårigheten med att hantera mönster som nämns i Skolverkets rapport kan specificeras till elevernas svårighet att gå till en högre abstraktionsnivå efter att de funnit mönstret. Rapporten Ämnesproven i grundskolans årskurs 6. En redovisning från genomförandet av ämnesproven i engelska, matematik, svenska och svenska som andra språk visar att denna svårighets noterats även i årskurs 6. Skolverket skriver där att eleverna hade svårast att anpassa en formel till ett mönster. Hur kan man utveckla undervisningen så att den ger eleverna möjlighet att utveckla sitt algebraiska tänkande? Ett sätt är att jämföra hur man gör i Sverige och Japan. Vi observerar i Sverige Som vi uppfattat det lutar sig många svenska lärare mot läroboken i sin undervisning, så vi beslutade oss för att i matematikläroböcker titta på uppgifter som liknar tändsticksuppgiften. Vi har här valt att fördjupa oss i två läroböcker. I Matte Direkt för årskurs 8 i kapitlet Algebra, under rubriken Mönster och uttryck fann vi en variant av uppgiften: I lärobokens uppgift presenteras uttrycket 3n + 1 för eleven och eleverna ska sedan använda uttrycket för att räkna ut antalet tändstickor vid olika antal kvadrater. Hur man har kommit fram till 3n + 1 beskrivs inte utan det verkar vara något som eleven redan ska behärska eller försöka lista ut genom att analysera uppgiften. I uppgifterna som sedan kommer ska eleven skapa uttryck för talföljder, men någon genomgång eller diskussion som leder till att utveckla strategier för att finna uttryck för talföljder finns inte. Nämnaren nr 4 2013 11
I Matematikboken Y röd, introduceras uttryck med variabel. Boken presenterar variabelbegreppet med priset för en taxiresa med en fast kostnad och en rörlig kostnad. Den visar en tabell för olika sträckor och förklarar att tabellen kan göras hur lång som helst och att det blir enklare att använda x för sträckan. Sedan ges ytterligare några exempel med beräkningar av priset på bananer och liftkort. De följande tre sidorna fokuserar på att teckna uttryck och beräkna priset för olika varor. Det är först därefter bland C-uppgifterna som eleverna tittar på talföljder och skapar uttryck för dessa, och det är där vi finner en variant av tändsticksuppgiften. I uppgiften kan eleverna läsa hur de kan göra beräkningen för en respektive två kvadrater, sedan ska eleverna visa hur de kan räkna ut antalet tändstickor för 3, 10 och n kvadrater. Många elever som använder denna bok hinner inte med eller hoppar över C-uppgifterna och missar därför avsnittet med matematiska uttryck för talföljder. Återigen kan vi konstatera att genomgång eller diskussion om hur man ska gå tillväga för att finna uttryck för talföljder saknas i boken. Samma typ av uppgift hade vi observerat i Japan men där presenterades den på ett annat sätt. Vi observerar i Japan Under sommaren 2005 askulterade vi i några klasser i Japan. Vi var intresserade av att se hur deras matematikundervisning fungerade eftersom de flera gånger hade presterat bland de fem bästa i TIMSS. Vi fick förlita oss mycket på vad vi såg och vad vår tolk, som även var matematiklärare, förklarade. Trots denna begränsning på grund av språket upplevde vi inte några problem med att förstå lektionsupplägg, lärares interaktion med elever och elevers deltagande. I en åttondeklass såg vi när linjära samband introducerades. Läraren började med att förklara tändsticksuppgiften och visade några exempel (de första tre figurerna, dvs med en, två, tre kvadrater). Eleverna visade de följande med hjälp av magnetiska stickor. Delar av svarta tavlan vid genomförandet av uppgiften att finna antalet tändstickor. 12 Nämnaren nr 4 2013
Därefter förväntades eleverna att föreslå ett uttryck för antalet tändstickor som behövdes, baserat på antalet kvadrater. Eleverna presenterade två olika uttryck där n representerar antalet kvadrater i figuren: det första uttrycket: 3n + 1 det andra uttrycket: 4 + 3(n 1) Uppgiften slutade inte i och med att eleverna kommit fram till de givna uttrycken, utan läraren förväntade sig även att eleverna skulle relatera uttrycken till den givna situationen. Till det första uttrycket behövde de förklara att det fanns tre tändstickor från början och att de lade till tre till varje ny kvadrat, samt att 1 representerar den sista tändstickan som sluter den sista kvadraten. Förklaringen blev ungefär så här: 3 stickor 3 stickor 3 stickor 3 stickor 1 sticka 3 + 3 + 3 + 3 + 1 = 13 För att bilda fyra kvadrater kan antalet tändstickor som behövs uttryckas som 3 4 + 1, det ger 13 tändstickor, och då följer att för n kvadrater krävs 3n + 1 stickor. Detta samband verkade vara enklast att lista ut. Det andra uttrycket krävde mer tid för förklaring trots att det beskrev ett mer naturligt sätt att bygga kvadrater i den faktiska situationen. Även om det andra uttrycket 4 + 3 (n 1) kan förenklas till 3n + 1, är sättet att relatera till uppgiften annorlunda. När klassen visualiserade uttrycket omformade de figuren: 4 stickor 3 stickor 3 stickor 3 stickor 4 + 3 + 3 + 3 = 13 I det här fallet kan antalet tändstickor som behövs för att lägga fyra kvadrater skrivas som 4 + 3 3, vilket ger 13 tändstickor. Här representerar fyran antalet tändstickor som behövs för att skapa första kvadraten och första trean de tre tändstickor som läggs till för varje ny kvadrat. Den andra trean representerar antalet kvadrater som lagts till efter den första kvadraten, vilket är en kvadrat färre än det totala antalet kvadrater. Det går att se i n 1 i uttrycket 4 + 3(n 1). Därefter visade eleverna att de kunde omvandla 4 + 3(n 1) till 3n +1. Eleverna var sedan tvungna att gå tillbaka till den givna uppgiften och relatera varje del av det algebraiska uttrycket till vad det motsvarade i figuren, och det för båda uttrycken. Vi observerade vid flera tillfällen att lärarna uppmuntrade eleverna att presentera olika sätt att komma till samma lösning. Detta gav eleverna möjligheten att fördjupa och förstärka sin visualiseringsförmåga, kommunikationsförmåga och resonemangsförmåga. Nämnaren nr 4 2013 13
Några reflektioner Vi observerade att under de japanska lektionerna låg betoningen på att det är elevernas ansvar att komma fram till uttrycket, visa att de kan uttrycka samma sak på olika sätt samt att förklara lösningen för klassen genom att relatera tillbaka till den givna situationen. I de båda nämnda svenska läroböckerna ligger elevens ansvar på att lära sig använda och beräkna givna uttryck. Att utveckla uttrycken själva kommer senare i boken, men våra erfarenheter är att elever har en tendens att tolka det som kommer senare i kapitlet som svårare och överkurs för de duktiga eleverna. Vi fann att majoriteten av eleverna i vår klass inte klarade att lösa uppgiften. Det kan bero på att de hade svårt att finna mönstret, så som rapportens författare skriver, men kan också mycket väl bero på att de inte vet hur de ska gå vidare när de har sett att ökningen är tre tändstickor per ny kvadrat och att de då struntat i att svara. De som klarade uppgiften hade problem med att formulera uppgiften som ett algebraiskt uttryck. Det är något som de båda läroböckerna inte fokuserar på, medan det var vad man fokuserade på i Japan. I TIMSS 2011 redovisas att de svenska resultaten i algebra (och geometri) ligger betydligt under nivåerna för taluppfattning och statistik. Det, anser vi, visar vilka utvecklingsområden vi borde satsa på. Detta är en begränsad analys av elevers svårigheter att lösa uppgifter med algebraiska uttryck, men ger ändå en grund för frågeställningar: Hur ska vi skifta fokus i undervisningen från att använda givna uttryck och göra beräkningar på dessa till att utveckla elevernas förmåga att skapa algebraiska uttryck och kunna förklara dem? Hur ska vi få eleverna att tidigt se att det är en fördel att skapa algebraiska uttryck innan de genomför beräkningar? Många elever verkar uppleva det som en omständlig omväg för att lösa uppgiften. Hur ska vi bryta trenden där eleverna är vana vid att få lösningar presenterade för sig och sen bara behöver lösa de följande uppgifterna genom att kopiera mönstret? Eleverna måste få ta mer ansvar för att komma fram till hur, och varför, man löser uppgifterna. Under den japanska lektionen arbetade eleverna med alla fyra tankevanor, habits of the mind, som beskrivs i artikeln Tre principer och fyra tankevanor: leta efter mönster vara öppen för flera lösningar rita förklarande bilder analysera de olika sätten att lösa problemet och formulera uttrycken. Det var mycket inspirerande att se de japanska elevernas delaktighet. Det utmanar oss att arbeta mer på det sättet i vår egen undervisning. Litteratur Carlson, S., Hake, K.-B. & Öberg, B. (2010). MatteDirekt 8. Stockholm: Bonnier Utbildning. Lambkin, D. & Lester, F. (2009). Tre principer och fyra tankevanor. Nämnaren 2009:1, s 62 63. Undvall, L., Forsberg, S., Olofsson, K. & Johnson, K. (2007). Matematikboken Y röd. Stockholm: Liber. 14 Nämnaren nr 4 2013