Hur tänker barn vid enkel subtraktion?

Hur tänker barn vid enkel subtraktion? KIT SJÖBERG och OLA SVENSSON För några år sedan fanns i NÄMNAREN en artikel som beskrev hur barn tänker då de adderar två tal. Här följer en fortsättning som behandlar hur barn löser subtraktionsuppgifter. Båda artiklarna är hämtade från ett forskningsprojekt som rör tankeprocesser vid enkel matematisk problemlösning. Forskningen bedrivs vid Psykologiska institutionen, Stockholms universitet med Ola Svensson som projektledare. Bakgrund Att studera hur människor tänker har alltid varit en fascinerande men svår uppgift. Sedan början av 1970-talet har forskningen om våra tankeprocesser intensifierats. Delvis för att man funnit nya metoder och teoretiska modeller som visat sig fruktbara att arbeta utifrån och delvis på grund av den ackumulerade faktamängd som denna del av psykologin samlat under de senaste 20 åren. Den forskning som vi beskriver här kring barns sätt att tänka när de har som uppgift att subtrahera enkla tal utgår från en minnesmodell och en problemlösningsmodell som presenteras senare i artikeln. Att studier av barns tankeprocesser är så intressanta och viktiga har att göra med dels att man härigenom får möjlighet att förstå hur vår hjärna fungerar generellt, dels att man från den kunskapen kan anpassa metodik och målformulering i t ex skolans arbete. Kunskap om tankeprocesser då barn löser enkla aritmetiska problem är av betydelse för val av metodik i matematikundervisningen. Om man vet hur barn tar emot, bearbetar, lagrar och använder matematisk kunskap kan man bättre anpassa undervisningen därefter. Känner man till de grundläggande tankeprocesserna vid problemlösning kan också målformuleringen för undervisningen ses ur ett psykologiskt perspektiv som kanske är litet mer långsiktigt än vissa "mekaniska" prestationskrav. Studiet av tankeprocesser kan ju t ex visa om ett barn har fastnat i lösningsmetoder som visserligen leder till rätt svar men som i längden är ineffektiva och därigenom ökar den psykiska belastningen på barnet vilket i sin tur minskar barnets motivation och arbetsglädje. Ineffektiva tankebanor borde alltså tidigt kunna upptäckas och åtgärdas. Möjligheten att hjälpa barn med speciella svårigheter i matematik ökar om man kan ställa en bättre diagnos genom analys av tanke- och minnesprocesser än vad som är möjligt med gängse lämplighetstest eller prestationstest. Undervisningsmaterialet kan också anpassas till barnets svårigheter på ett sätt som gör att det bättre hjälps genom moment som det

kanske annars skulle fastna i. Kan eleven prestera mer och därigenom öka sitt självförtroende påverkar detta motivationen och den känslomässiga upplevelsen av skolan. En undersökning av huvudräkning I en tidigare artikel i NÄMNAREN (nr 3 76/77) beskrevs resultaten från några additionsstudier. Nu har turen kommit till subtraktion. Först beskriver vi metodiken som används i alla våra studier. Därefter följer en presentation av dels en modell som allmänt beskriver de mänskliga minnesfunktionerna, dels en speciell modell för barns tankeprocesser som framkommit vid undersökningar av hur barn tänker då de löser subtraktionsproblem. Metod Försökspersonerna i våra undersökningar har varit skolbarn företrädesvis i årskurs 1, 2 och 3. Barnen har ett i taget placerats framför en projektionsduk och instruerats att muntligt svara på de räkneuppgifter som presenterats på duken. För att få ett konkret exempel att diskutera behandlar vi i fortsättningen det experiment där alla subtraktioner av typ M-N ingår som uppgift. M var maximalt 13 och N mindre eller lika med M. Registrerade data Försöksledaren har registrerat tre typer av mått för varje uppgift. För det första har tiden från presentationen av en uppgift till svaret registrerats. För det andra har barnets beskrivning av hur det gick tillväga vid lösningen noterats. För det tredje har felens fördelning över uppgifter noterats (men dessa var ganska få och kommer inte att behandlas här då analyser av dem inte ger mycket extra information). Minnesprocesser Man skiljer inom psykologin mellan två typer av minnen, korttidsminne (KTM) och långtidsminne (LTM). Långtidsminnet är det minne som vi närmast tänker på när vi i dagligt tal talar om "minne". Här lagrar vi t ex faktakunskaper, upplevelser, begrepp och principer. I allmänhet kan vi anmärkningsvärt snabbt få fram information ur långtidsminnet med tanke på dess enorma lagringskapacitet. Korttidsminnet lagrar endast det material som är medvetet och aktuellt för stunden. I detta minne sker också de bearbetningar, d v s tankeoperationer som vi utför på det för stunden aktuella medvetna materialet. Korttidsminnet har en i hög grad begränsad kapacitet. Man brukar säga att endast ca 5 till 7 minnesenheter ryms där samtidigt. Det är därför naturligt för oss att använda oss av yttre minnen t ex i form av papper och penna för att hjälpa upp våra begränsade minnesresurser. Naturligtvis är både kort- och långtidsminnet aktiva vid all problemlösning, men huvudvikten kan ligga på endera av funktionerna beroende på vilken typ av uppgift som skall lösas. De svar som barnen ger på våra enkla subtraktionsuppgifter kan därför hänföras till endera av två kategorier. För det första svar som är direkt tillgängliga i långtidsminnet och hämtas från långtidsminnet. Svaret finns redan lagrat och uppgiften kräver ing-

en medveten bearbetning; svaret reproduceras direkt. Ett exempel på additionsuppgift som så gott som alla barn har lagrade i långtidsminnet är 3 + 3. När det gäller subtraktion gäller samma sak ofta tal som 4-2 och 10-8. För det andra ger barnen svar som inte är direkt tillgängliga i långtidsminnet utan som kräver en viss medveten tankemöda för att få fram. Dessa svar sägs vara rekonstruerade med hjälp av korttidsminnet. Lösningsprocessen sker här till största delen i korttidsminnet (med utnyttjande av kunskaper ur långtidsminnet naturligtvis) och tankeprocessen i korttidsminnet resulterar alltså i svaret. Exempel på uppgifter som ofta kräver någon form av bearbetning är, för vuxna, 63-27 och för barn 13-8. Processmodellen Kunskaper från de undersökningar som gjorts av hur barn tänker när de räknar har resulterat i en additionsmodell och en subtraktionsmodell som beskriver hur en lösningsprocess kan se ut. Subtraktionsprocessen startar högst upp i nedanstående schema med uppgiften M N och lösningsprocessen går neråt. Lösningar av enkla subtraktioner beskrivs som en process genomlöpande ett antal noder (steg). Åtminstone de fem första testas i verkligheten delvis parallellt i tiden. Schemat baseras främst på de lösningstider som uppnåtts från presentation till svar från barnen på de olika subtraktionsuppgifterna. Nod 1. Uppgifter där M = N har mycket korta lösningstider (medelvärde för våra för-

sökspersoner ca 1,25 sek) och dessa tider är oberoende av storlek på de tal som ingår. Nod 2. Uppgifter av typen M-N där N = 0 har också mycket korta lösningstider (genomsnitt ca 1,38 sek), vilket visar att barnen snabbt registrerar om N = 0 och svarar med det andra talet. Nod 3. Uppgifter där M = 2N (ex. 8-4) är oftast lagrade i långtidsminnet (LTM) med lösningstider i genomsnitt på ca 1,38 sek vilket understryker betydelsen av kunskap om parlösningar eller s k "dubblor" (1+1, 2+2 etc). Nod 4. Svar på uppgifter som av speciella skäl är lagrade i långtidsminnet ger svar efter denna nod. Detta gäller tal som barnen på grund av t ex något spel har lärt sig kombinera till en viss summa. Sådana svar går fort och lätt. Nod 5. Uppgifter där det ena talet är 10 intar, inte förvånande, en speciell ställning. Talet 10 utgör ju en viktig referenspunkt i vårt talsystem och är en summa som barnen tidigt lär sig bryta upp i delsummor (ex. 10 = 4+6, 7+3 etc). Om ett av talen i uppgiften är 10 kommer svaret ofta att tidigt finnas lagrat i långtidsminnet. Detta är viktigt för framgång i lösningen av mer komplicerade uppgifter. Nod 6 och övriga noder. Modellens flödesbeskrivning delar sig här i två räknestrategier. Den ena är en uppräkningsstrategi och den andra en nedräkningsstrategi. Med en uppräkningsstrategi menas att barnet startar med det mindre av de två talen i en subtraktion (av typen M-N) och räknar upp så många steg som behövs för att komma till det större talet. Svaret är då antalet uppräknade steg. En nedräkningsstrategi innebär att barnet startar med det större talet och räknar ned eller baklänges så många steg som det mindre talet anger. Svaret blir då det tal man kommer till när nedräkningen är genomförd. Nod 6 och 7 består i snabba kontrolloperationer för att välja mellan dessa två strategier. Lägg märke till att de båda är relaterade till enkla fakta (är talen på "var sin sida" om 10? och "är största talet mindre än två gånger det mindre"?) Lösningsprocessen kan beskrivas i ett slags flödesschema. Det är helt säkert att vissa av stegen sker parallellt och inte nödvändigtvis efter varandra som beskrivits i modellen. Emellertid vet vi ännu för litet om hur stor del av tänkandet som sker parallellt för att kunna förbättra modellens detaljer. Beskrivning av barns lösningsstrategier Efter varje svar ställde vi frågan: "Hur kom du fram till svaret?" På detta sätt kan vi få grund att hänföra svar som t ex "Det kunde jag", "Det visste jag bara", "Det finns redan i huvudet", osv till reproducerade svar, d v s svar lagrade i långtidsminnet. Svarade barnen med att beskriva en räkneoperation som t ex "jag räknade på fingrarna" eller "jag tog bort 3 från 5" kategoriserades svaret som rekonstruerat, d v s barnet har för att nå svaret varit tvunget att göra ett val av hur uppgiften skall lösas och genomfört detta. Låt oss lämna "utantillsvaren" som kommit direkt från långtidsminnet och gå till de rekonstruerade svaren. De rekonstruerade svaren presenteras nedan i kategorier som i första hand utgår från barnens egna beskrivningar av hur de åstadkommit sina lösningar. Dessa svar gör att processmodellen i Figur 1 blir mer detaljerad men vi skall inte rita ett nytt flödesschema här. I Nedräkningsstrategier (a) Nedräkning med ett steg i taget är en fundamental strategi. 7-4 löses t ex med denna strategi genom att man räknar 7, 6, 5, 4, 3 där det sista steget utgör svaret. Nedräkningen 7, 6, 5, 4 är en alternativ lösningsprocedur och svaret blir i detta fall det antal steg man räknar ner. (b) Nedräkning med större steg än ett t ex 11-7 löses 11, 9, 7 d v s med två steg åt gången och svaret blir då summan av storleken på varje nedräknat steg d v s här 2+2 = 4. Ofta används talet 10 vid nedräkningen och vi får då nästa strategi.

återfinns här. Mindre än 2 % tillhör denna kategori i vår undersökning. (c) Nedräkning med 10 som referenspunkt och med större steg än ett. 11-7 löses 11, 10, 4. Denna lösning betyder att kunskap om 11-1 = 10, 7-1 = 6 och 10-6 = 4 finns tillgänglig under räkneoperationen. II Uppräkningsstrategier (a) Enstegsuppräkning. 1-4 löses 4, 5, 6, 7. Svaret utgörs av antalet uppräknade steg, här lika med 3. (b) Uppräkning med större steg än ett. 11-7 löses 7, 9, 11. Den lägre siffran är uppräknad med två steg åt gången. Svaret blir additionen 2+2 = 4 d v s summan av storleken på varje uppräknat steg. (c) Uppräkning med talet 10 som referenspunkt och med större steg än ett. 11-7 löses 7, 10, 11 d v s man fyller i upp till 10 och adderar sedan återstoden. Svaret blir summan av storleken på de ingående stegen, här 3 + 1 = 4. III Lösning med "par" En parlösning av 12-6 kräver kunskap om addition av "par" här 6 + 6 = 12. Ytterligare en sådan lösning kan vara 13-6 där kunskapen om att 6 + 6 = 12 och 12+1 = 13 ofta finns lagrade i långtidsminnet och därför kan ingå i lösningsprocessen. Resultat De beskrivningar barn gav av sina lösningsprocesser kodades. Uppgifterna M = N, N = 0 och N = 1 står för ungefär hälften av alla tal (då M är större eller lika med 13) och antas ha svar lagrade i långtidsminnet. Nästan 3/4 av alla de övriga kodade svaren rapporterades vara reproducerade från långtidsminnet d v s redan lagrade. Av de resterande 27 procenten var den mest använda strategin nedräkning med talet 10 som referenspunkt (ca 24 %), nedräkning med ett steg i sänder (ca 22 %) och uppräkning med ett steg i taget (ca 21 %). Vid upp- eller nedräkning med större steg än ett ingick talet 10 nästan alltid som referenspunkt och kom att bestämma steglängden. Av de 352 fall där en medveten korttidsminnesstrategi användes av barnen och där talet 10 kunde användas som referenspunkt rapporterades i 180 fall att så också skedde. Detta visar återigen betydelsen av att lära sig uppdelning av talet 10 i delsummor. Dessutom var det mycket vanligare att talet 10 användes som referenspunkt vid nedräknings- än vid uppräkningsstrategi (67 resp. 17 procent). Nedräkningsstrategier som ju är grundalgoritmen vid subtraktion var dubbelt så vanliga som uppräkningsstrategier. Nedräkning med två steg förekommer också men aldrig med fler steg. Parreferenser användes i ca 10 % av de rekonstruktiva lösningarna, vilket är en hög siffra med tanke på det relativt lilla antal uppgifter där denna strategi är naturlig att använda. IV Speciella lösningar Detta är en rekonstruerad lösning med hänsyn till korttidsminnet som har en lite udda och personlig prägel d v s en strategi som ofta gäller ett visst tal mer än att den är tillgänglig mer generellt. V Icke klassificerbara svar Svar som inte kan hänföras till någon av de ovanstående kategorierna eller svar där barnet inte kunnat ange hur hon gått tillväga

Det var också vanligt att en uppgift löstes på samma sätt varje gång den presenterades. Detta kallar vi konstans. Hela 73 % av svaren till de 66 uppgifterna kunde kodas som konstanta över 3 olika lösningstillfällen. Av de 4200 lösningarna i undersökningen förekom felsvar i 233 fall (5,6 %). Om barnen blev ombedda att beskriva sin lösningsstrategi efter ett svar så kom de att spontanrätta felsvar i ca 74 % av fallen. Resultaten visade på betydelsen av att förklara en lösning för andra. Våra undersökningar tycks visa att långtidsminneslagring av enkla subtraktioner är av stor vikt. De flesta svaren till de enkla subtraktioner som ingick i vår undersökning lärdes också in utantill under de tre första skolåren. Dessutom användes denna långtidsminneskunskap i samband med rekonstruktiva lösningar av uppgifter där t ex "par" ingick, samt där subtraktioner från talet 10 eller additioner upp till talet 10 sker. Långtidsminneskunskaper ökar också möjligheten till flexibla strategival vid mer komplexa problem. När barn har lärt sig en viss lösningsstrategi till en uppgift tycks de hålla fast vid denna strategi. Huvudsakligen utgörs dessa konstanta lösningar av reproducerade "utantill"-svar men förekommer också ofta vid rekonstruerade strategier. Detta skulle peka på att barnen redan tidigt lär in ett sätt att lösa uppgifter som oftast leder till en enda metod för samma problem. När det gäller enkla subtraktions- och additionsproblem tror vi inte man skall manipulera alltför mycket med olika lösningsmetoder. Detta gäller speciellt för de svagpresterande. När barnet vet att det kan lösa ett tal rekonstruktivt kan det lagras i långtidsminnet och därefter kan resultatet användas flexibelt när det blir svårare uppgifter. Om barn får beskriva hur de gått tillväga för att nå fram till sina svar så kommer de i händelse av felsvar att ofta själva få syn på sina fel och spontant rätta sina svar. Detta understryker att det måste vara pedagogiskt riktigt att låta barnen själva beskriva sina tankeprocesser och upptäcka sina fel snarare än att man som lärare direkt berättar för eleven att svaret är fel. Här får man balansera mellan tidsbrist, behovet att hålla elevens motivation vid liv och elevens funderingar över ett svar. Många barn räknar på fingrarna ända upp i åk 3. Detta är ett sätt för barnen att få minnesstöd i en situation där deras minnesresurser är ansträngda. Om barn även efter 3:e klass mycket ofta använder fingrarna som minnesstöd kan detta vara ett tecken på en dålig vana eller koncentrationssvårigheter. Slutsatser Sammanfattningsvis kan man säga att den här presterade processmodellen kan vara till hjälp vid diagnostisering av lågpresterande elever. Består svårigheterna av ett ineffektivt sätt att tänka, nedsatt kapacitet hos korttidsminnet, eller har barnet svårigheter att lagra svar i långtidsminnet? Ett barns specifika brister kan avhjälpas genom individuellt utformad träning som grundas på en förståelse av hur barnet tänker. Det gäller att komma på och utnyttja denna kunskap för att rätta till och bygga på problemlösningsförmågan. En ökad kunskap om våra tankeprocesser förbättrar möjligheterna att utnyttja varje barns möjlighet att få en solid grund i matematikämnet.