Matematikundervisning med IKT

Matematikundervisning med IKT Syftet med denna modul är att du ska inspireras till att använda IKT i din egen matematikundervisning, utmanas till reflektion över dina undervisningsbeslut samt tillägna dig en bredare uppsättning metoder och arbetssätt med särskilt fokus på IKT. Du får undersöka potentialen hos några IKT-verktyg för matematikundervisning och vi ger en provkarta på ett antal familjer av verktyg. Vidare får du exempel på hur digitala verktyg kan användas och möjligheter som erbjuds med digitala verktyg. Förhoppningen är att du som arbetar med denna modul ska bli inspirerad att både på egen hand och tillsammans med kollegor utveckla er tekniska IKT-kompetens. Ni ska också planera, genomföra och värdera IKT-relaterad undervisning. Till stöd för det finns genom modulen ett antal didaktiska perspektiv. Modulens delar 1. Nätet som resurs 2. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT 3. Dynamisk representation med digitala verktyg 4. Formativ klassrumspraktik med responssystem 5. Undervisning med matematisk programvara 6. Undersökande arbetssätt med dynamiska konstruktioner 7. Matematiska undersökningar med kalkylprogram 8. Matematikundervisning och utveckling med IKT Att försöka tillhandahålla texter eller filmer som i detalj beskriver hur man genomför och använder olika tekniska verktyg och lösningar i undervisningen skulle här föra alltför långt. För att genomföra denna modul kommer ni att behöva ha tillgång till datorplattor eller datorer minst någon lektion per del. Idealiskt är att eleverna har varsin datorplatta eller dator under dessa tillfällen, men det går också bra för eleverna att jobba i par. Dessutom behöver man ha tillgång till en datorprojektor. Ansvariga för modulen NCM i samarbete med Linnéuniversitetet och Malmö Högskola. Revision: 1 Datum: 2016-12-10

Del 2. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT I denna del kommer ni att få läsa om, reflektera över och diskutera hur ni kan organisera och använda klassrummets resurser, såsom verktyg, material och placering av elever. Med hjälp av tekniska verktyg, till exempel dokumentkamera, kan man visa elevers lösningar för hela klassen och på så sätt underlätta, fokusera och stimulera klassens resonemang kring en gemensam problemlösningsuppgift. Syftet med delen är att organisera en undervisning med IKT där elevers lösningar visas för att underlätta och stimulera klassens resonemang kring ett gemensamt problem. Revision: 1 Datum: 2016-12-10

Del 2: Moment A individuell förberedelse Läs Texten Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT beskriver orkestreringens tre faser. Reflektera över följande när du läser texten Brukar du använda elevlösningar som utgångspunkt för kollektiva diskussioner i klassen? I så fall hur och i vilket syfte? Vad menas med begreppet orkestrering? Vad är din egen erfarenhet av orkestrering? Se film Filmen IKT-verktyg som stöd för helklassdiskussion visar hur några olika IKT-verktyg dokumentkamera, interaktiv skrivtavla och digital anslagstavla används för att visa elevernas lösningar och lärarna ger några kommentarer till hur de använder dessa verktyg. Reflektera över följande när du ser filmen: Vad kan vara syftet med att visa, jämföra och diskutera elevers olika lösningar på samma problem? Vilka skillnader och likheter ser du i hur lärarna orkestrerar lektionen? Vilka skillnader och likheter ser du i hur lärarna utnyttjar elevlösningar? Förbered Förbered dig inför Moment B genom att läsa igenom Uppgiftsförslag, helklassdiskussion samt Tänkbara digitala verktyg. Material Revision: 1 Datum: 2016-12-10

Material Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT H. Sollervall, O. Helenius och T. Lingefjärd Uppgiftsförslag, helklassdiskussion U. Dahlberg och H. Sollervall Tänkbara digitala verktyg U. Dahlberg och A. Wallby IKT-verktyg som stöd för helklassdiskussion null https://www.youtube.com/watch?v=pzm9p9x_rdi Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 1 Datum: 2016-12-10

Modul: Matematikundervisning med IKT Del 2: Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Håkan Sollervall & Ulrika Ryan, Malmö högskola; Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet & Ola Helenius, NCM I den här texten riktas fokus mot hur digitala verktyg kan användas för att förstärka innehållet i den befintliga matematikundervisningen. I modulens senare delar beskrivs hur de digitala verktygen kan användas för att transformera matematikundervisningens innehåll på ett sätt som inte hade varit möjligt att göra utan stöd av dessa verktyg. För att uppnå goda resultat med dessa nya former av undervisning krävs en väl genomtänkt orkestrering. Syftet med denna text är att lyfta fram orkestreringens betydelse för matematikundervisning. Begreppet orkestrering behandlas mer utförligt senare i texten utifrån den kortfattade definition som ges nedan. Orkestreringen består av både förberedelser och genomförande av undervisning: Förbereda: Genomföra: didaktisk organisation (uppgifter, material, verktyg, etc.) plan för genomförande (interaktion, arbeta enskilt-par-alla, etc.) implementera planen med stöd av den didaktiska organisationen. Särskilt för ovana teknikanvändare kan det vara en fördel att, som i denna moduldel, börja med att använda väl beprövade digitala verktyg och undersöka hur de kan användas för att ge eleverna ett ännu bättre utbyte av den undervisning som redan bedrivs. Ett exempel på en förhållandevis enkel teknisk lösning är att digitalt presentera elevers lösningar på tavlan och följa upp dem i en helklassdiskussion. Elevernas lösningar kan fotograferas med en mobiltelefon eller datorplatta. Bilderna kan sedan projiceras på den vanliga skrivtavlan via en dator som är ansluten till en projektor. Ännu enklare blir det med en så kallad dokumentkamera, som direkt kan projicera elevernas lösningar på tavlan. På så sätt kan elevernas konstruktioner lyftas fram precis så som de ser ut på pappret. I figur 1 visas två möjliga lösningar till följande uppgift. Uppgift 1. Bestäm största värdet för den andragradsfunktion som går genom punkterna (1,4), (2,10) och (5,4). Eleverna som har redovisat lösningarna nedan har, på olika sätt och med olika representationer, utnyttjat att x-värdena 1 och 5 ger samma y-värde 4. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (11)

Emma Yasser Figur 1: Två möjliga lösningar till uppgift 1. Att visa elevers lösningar på tavlan ger förutsättningar för en dynamisk undervisning där många lösningar kan visas, diskuteras och jämföras med varandra. Alla elever får vara beredda på att just deras lösning kan komma att visas upp och läraren kan välja vilka lösningar som ska visas samtidigt. Vidare behöver ingen lösning suddas bort utan kan tillfälligt läggas åt sidan för att snabbt tas fram igen när den behövs. Genom att den digitala redovisningen av lösningar går snabbt och smidigt, utan att varje lösning måste skrivas på tavlan, kan större delen av lektionstiden utnyttjas till matematiskt fokuserade diskussioner. Andra fördelar med digitala bilder är att det går att rita och göra tillägg direkt på tavlan utan att de digitalt projicerade bilderna påverkas. Både elever och lärare kan våga skriva och rita i bilderna eftersom det som läggs till snabbt kan suddas bort. Fler elever blir delaktiga och bidrar till ökad interaktion i klassrummet. För att denna typ av undervisning ska bli givande måste läraren noga ha tänkt igenom vilka uppgifter eleverna ska arbeta med och hur de ska arbeta med uppgifterna. All nödvändig teknik måste vara på plats och eleverna måste få veta om det är de själva som förväntas hantera tekniken eller om läraren kommer att hjälpa till. Läraren bör dessutom ha en plan för att ta hand om och utveckla elevernas idéer och matematiska konstruktioner. Eleverna bjuds in att presentera och diskutera egna och andras lösningar i helklass och lär sig därigenom att ta eget ansvar för sitt lärande. De aktuella lärandemålen måste vara tydliga, i form av konkreta mål som kan kommuniceras till eleverna och användas som utgångspunkt för att planera och följa upp undervisningen. Detta exempel speglar bara en del av den komplexa problematik som alla lärare förväntas hantera under snäva tidsramar och med begränsade resurser. Läraren bestämmer vilka uppgifter och vilka verktyg som ska användas, planerar hur undervisningen ska genomföras och speciellt hur klassrummets alla resurser ska användas. Dessa resurser utgörs inte enbart av olika slags material, utan inkluderar också läraren och eleverna. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (11)

Stimulera elevernas matematiska konstruktioner Många lärare och forskare är överens om att elevers lärande gynnas av att eleverna är aktiva i klassrummet och då inte enbart aktiva i den meningen att de löser rutinuppgifter enligt en viss algoritm, utan att de är engagerade i kreativ problemlösning och kreativa resonemang tillsammans med andra elever och med läraren (Hoyles, 2001; Jonsson, Norqvist, Liljekvist & Lithner, 2014). Flera av de matematiska förmågorna i läroplanen (Skolverket, 2011) relaterar till kreativa eller konstruerande aktiviteter, som förutsätter att eleverna tar egna initiativ och agerar självständigt i undervisningen. Exempelvis ska eleverna utveckla sin förmåga att välja och värdera strategier, analysera begrepp och samband mellan begrepp, föra och bedöma resonemang, samt kommunicera matematiska tankegångar. Även om elever också behöver utveckla procedurförmåga genom att lösa rutinuppgifter, så visar aktuell forskning att undervisning som stimulerar konstruerande aktiviteter ger bättre lärandeeffekter än en undervisning där eleverna enbart är aktiva med att lösa rutinuppgifter (Chi, 2009; Jonsson m.fl., 2014). Konstruerande aktiviteter kan uppnås med kognitivt aktiverande undervisning. Sådan undervisning har inom det tyska COACTIV-projektet (Kunter m.fl., 2013) visat sig leda till bättre elevprestationer. Allra bäst lärandeeffekter uppnås om elever engagerar sig i konstruerande aktiviteter tillsammans med andra dvs. när eleverna är interaktiva och konstruerande (Chi, 2009). Det ger dock bättre lärandeeffekter om eleven är konstruerande på egen hand jämfört med att tillsammans med andra arbeta med rutinuppgifter. Att vara kreativ innebär att utmana och ibland bryta det didaktiska kontraktet (Brousseau, 1997). Detta ska vara så löst hållet och förhandlingsbart att det tillåter eleven att ta egna initiativ i matematikundervisningen och att göra egna matematiska konstruktioner. Att använda elevernas egna konstruktioner (Papert & Harel, 1991) som underlag i matematikundervisningen stimulerar till diskussioner och resonemang, där eleverna har en naturligt framträdande roll. Eleverna motiveras att bidra när de ser att deras arbete kommer till användning i klassrummet och integreras i undervisningen. Därmed är det inte sagt att eleverna alltid måste arbeta tillsammans. Elever tänker olika fort och på olika sätt, varför de också bör få möjlighet att ibland arbeta enskilt med att göra egna matematiska konstruktioner. Annars finns risk att de snabba eleverna dominerar och att de eftertänksamma ger upp eftersom de inte hinner med. Det enskilda arbetet bör dock övergå till arbete i mindre grupper och i helklass, enligt modellen enskilt-parvis-alla, för att ge alla elever möjlighet att diskutera, jämföra och värdera varandras konstruktioner. Avgörande för att detta ska fungera är att eleverna får arbeta med lagom utmanande uppgifter som stimulerar till egna undersökningar och som är utformade så att de leder till intressanta matematiska upptäckter och insikter. Väl genomtänkta matematikuppgifter Uppgift 1 handlade om att bestämma största värde för en andragradsfunktion som går genom de tre givna punkterna (1,4), (2,10) och (5,4). Dessa tre punkter kan naturligtvis bytas ut mot tre andra punkter varvid uppgiften kan ändra karaktär. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (11)

Till att börja med kan andragradsfunktionen ha antingen ett största eller ett minsta värde. Dessutom kan det tänkas att alla tre punkterna ligger på en rät linje, så att det inte finns några extremvärden. Detta urartade fall med en linjär funktion kan läraren använda för att utmana eleverna. Vidare finns det specialfall som kan lösas med enkla tekniker. Exempelvis kan läraren låta eleverna resonera sig fram mot slutsatsen att varje andragradsfunktion som går genom punkterna (1,4) och (5,4) har sitt extremvärde för x = 3. Dessa specialfall kan eleverna lära sig att upptäcka genom att pricka in punkterna i ett koordinatsystem (jämför Yassers lösning i figur 1). En svårare typuppgift uppträder om funktionens symmetrilinje inte låter sig bestämmas enbart genom numerisk eller visuell inspektion. Ett sådant exempel ges i Uppgift 2. Uppgift 2. Bestäm extremvärdet för den andragradsfunktion som går genom punkterna (2,7), (4,1) och (5,3). Här kan man tänka sig att många elever börjar med att ansätta formeln y = ax 2 + bx + c. Innan de går vidare med att lösa uppgiften, kan de uppmanas att först rita in punkterna i ett koordinatsystem och för hand försöka anpassa en andragradskurva där en första uppskattning av extremvärdet kan avläsas. Enligt figur 2 verkar funktionen ha ett minsta värde som är aningen mindre än y = 1. Figur 2: Skiss av en andragradskurva som går genom punkterna (2,7), (4,1) och (5,3). För att bestämma det exakta minimivärdet kan de tre punkterna sättas in i formeln, vilket leder till ekvationssystemet nedan till vänster. Den elev som löser ut c = 7 4a 2b ur den första ekvationen, kan substituera detta uttryck i den andra och den tredje ekvationen, vilket leder till (det ekvivalenta) ekvationssystemet nedan till höger. 4a + 2b + c = 7 { 16a + 4b + c = 1 25a + 5b + c = 3 { c = 7 4a 2b 12a + 2b = 6 21a + 3b = 4 Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (11)

I det här läget kan nog många elever vara redo att ge upp, men de som väljer att dividera med 2 i den andra ekvationen kan lösa ut b = 3 6a. När detta uttryck sätts in i den tredje ekvationen fås 21a 9 18a = 4 3a = 5 a = 5 3 Efter lite möda kan eleven bestämma även b = 3 10 = 13 och c = 7 20 79 + 26 = 3 3 Återstår då att tolka uttrycket y = 5 3 x2 13x + 79, vilket kan göras både med och utan 3 derivata. Den elev som har löst uppgift 1 kan tolka y = 5 39 x (x ) + 79 som att funkt- 3 5 3 ionen har sitt minimivärde mitt emellan x = 0 och x = 39 39, alltså för x =. 5 10 Detta minimivärde är alltså y ( 39 10 ) = 5 3 39 10 (39 10 39 5 ) + 79 3 = 195 30 39 ( 10 ) + 79 3 = 7605 300 + 7900 300 = 295 300 = 59 60 Detta resultat verkar stämma väl överens med figur 2. Den elev som har grafritande räknare eller kan använda grafritande program som Geogebra kan undersöka sitt svar genom att rita funktionens graf (figur 3). Figur 3: Andragradsfunktionens graf, ritad med Geogebra. I detta läge kan förväntas att någon elev frågar om det inte finns någon enklare lösning. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (11)

Läraren kan då föreslå eleven att byta ut ansatsen y = ax 2 + bx + c mot y = a(x 4)(x 5) + b(x 2)(x 5) + c(x 2)(x 4) När eleven sätter in x = 2 blir värdet y = 6a, medan x = 4 ger y = 2b och x = 5 ger y = 3c. Detta ger ett betydligt enklare ekvationssystem än det tidigare. 6a = 7 { 2b = 1 3c = 3 a = 7 6 { b = 1 2 c = 1 Formeln blir då y = 7 6 (x 4)(x 5) 1 (x 2)(x 5) + 1(x 2)(x 4) 2 y = 7 6 (x2 9x + 20) 3 6 (x2 7x + 10) + 6 6 (x2 6x + 8) y = 10 6 x2 78 158 x + 6 6 y = 5 3 x2 13x + 79 3 Återstår nu att bestämma funktionens minsta värde y ( 39 ) = 59 (med liknande beräkningar 10 60 som tidigare). Denna lösningsvariant ger inte enbart en alternativ lösning till uppgiften, den antyder också hur det är möjligt att bestämma det polynom av grad n som går genom n + 1 givna punkter. Exempelvis kan eleverna testa att anpassa koefficienterna a, b, c, d i tredjegradspolynomet nedan så att det går genom punkterna (2,0), (4,3), (5, 1), (7,6): y = a(x 4)(x 5)(x 7) + b(x 2)(x 5)(x 7) + +c(x 2)(x 4)(x 7) + d(x 2)(x 4)(x 5) Hur långt läraren väljer att driva en sådan diskussion beror både på elevernas intresse och på vilka lärandeobjekt hon väljer att prioritera i undervisningen. En didaktisk struktur för matematikundervisning När digitala beräkningsverktyg (exempelvis miniräknare) används i undervisningen är det lätt hänt att de tar över undervisningen och att matematiken hamnar i skymundan. Andra digitala verktyg (exempelvis dator med projektor) kan tvärtom användas av läraren för att lyfta fram, diskutera och sammanfatta det matematiska innehållet i elevernas egna konstruktioner. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (11)

Brousseaus (1997) teori för didaktiska situationer erbjuder en övergripande struktur för matematikundervisning som både stimulerar konstruerande aktiviteter och ser till att elevernas konstruktioner kopplas till den matematik de ska lära sig. Denna struktur (se figur 4) bygger på att en väl planerad matematisk aktivitet introduceras för eleverna, som sedan arbetar med den enskilt eller i mindre grupper. Läraren är inte passiv under det att eleverna arbetar med uppgiften utan uppmuntrar elever som behöver stöttning att reda ut så mycket som möjligt på egen hand. Läraren är också uppmärksam på olika lösningsförslag och metoder som eleverna använder och skapar sig en bild över lösningar som är representativa för den variation som återfinns i elevernas lösningsförslag. Dessutom observerar läraren att eleverna är på väg att uppnå matematiska lärandemål. Aktiviteten avslutas med en lärarledd sammanfattning, där läraren och eleverna sammanfattar och reflekterar över sina erfarenheter och över vad de har lärt sig. Läraren ser till att sätta in elevernas nya erfarenheter i ett matematiskt sammanhang och förankras dem både i den matematik de redan kan och mot den matematik de ska lära sig. eleverna arbetar med planerad aktivitet introduktion, överlämning didaktisk situation sammanfattning, förankring Figur 4: Schematisk översikt av strukturen i en didaktisk situation. Om denna sammanfattande fas uteblir finns stor risk att eleverna enbart tar till sig ytliga aspekter av aktiviteten och inte tillräckligt bearbetar de nya matematiska erfarenheter som riktar sig mot uppnående av lärandemålen. Läraren hjälper inte bara till att leda elevernas diskussioner utan också genom att organisera och beskriva deras erfarenheter med matematiska begrepp och strukturer. Medan elevernas eget arbete kan karakteriseras i termer av att konstruera matematik i social interaktion, så riktar sig den sammanfattande fasen främst till deras kognitiva utveckling och förståelse. Orkestrering av matematikundervisning Det krävs noggranna förberedelser av både uppgifter och undervisningsstrategier för att kunna bedriva en dynamisk interaktiv undervisning med utgångspunkt i elevernas egna matematiska konstruktioner. Vid planering av sin undervisning tar läraren hänsyn till de förutsättningar som finns i det egna klassrummet men kan också skapa nya förutsättningar genom att tillföra extra resurser. Läraren planerar hur klassrummet ska organiseras, såväl materiellt som socialt, exempelvis genom att välja ut de uppgifter, material och verktyg som ska användas (exempelvis uppgiften om andragradsfunktioner och en dokumentkamera) och skapar förutsättningar för elevernas arbete (exempelvis arbetsfördelning och bordsplacering). Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (11)

Om en lärare har valt ut en matematikuppgift och bestämt sig för att arbeta med dokumentkamera är hon klar med den så kallade didaktiska organisationen, som är en del av lektionsplaneringen. Den andra delen består i att fundera ut en plan för genomförande av lektionen. Läraren kanske väljer att följa strukturen för en didaktisk situation och planerar en spännande introduktion av uppgiften för att stimulera elevernas arbete. Eftersom hon vet att några elever har svårt att arbeta på egen hand ska hon be dem att arbeta tillsammans i mindre grupper. Hon ska också berätta att några lösningar kommer att visas upp på tavlan i slutet av lektionen, både för att eleverna ska skärpa till sig och konstruera snygga lösningar och för att ge dem tid att fundera ut hur de vill förklara sina lösningar. Det är också viktigt att eleverna får veta att de ska hjälpa varandra så att alla i gruppen förstår gruppens lösningsförslag. Innan läraren låter eleverna sätta igång med att lösa uppgiften ska hon säga hur länge de ska arbeta med uppgiften och när den gemensamma diskussionen i helklass ska påbörjas. Om eleverna vill, så ska de själva få använda datorn eller dokumentkameran för att visa sina lösningar. Nu har läraren både förberett den didaktiska organisationen och tänkt igenom en plan för genomförande. Då är hon redo att genomföra lektionen. Att orkestrera undervisning innebär inte att bara gå in i klassrummet och improvisera, utan förutsätter en väl genomtänkt didaktisk organisation och en plan för att genomföra denna undervisning (Trouche, 2004). Själva orkestreringen består med denna tolkning både av förberedelser och genomförande av undervisning: Förbereda: Genomföra: didaktisk organisation (uppgifter, material, verktyg, etc.) plan för genomförande (interaktion, arbeta enskilt-par-alla, etc.) implementera planen med stöd av den didaktiska organisationen. Inom den tänkta planen ska det finnas utrymme för läraren att kunna möta och ta till vara elevernas initiativ och idéer, samt att hantera oväntade situationer som kan uppstå när eleverna interagerar med den didaktiska organisationen. Det är inte en slump att begreppet orkestrering har fått en central roll i forskning om matematikundervisning med stöd av IKT. Om dokumentkameran inte finns på plats i klassrummet när lektionen börjar och om läraren inte har en plan för hur den ska användas, då är det nog lika bra att låta bli att använda den. Men även om själva verktyget finns på plats så är det mycket som måste förberedas, eftersom digitala verktyg ofta är svårare att hantera än traditionella verktyg som eleverna och läraren är mer bekanta med. Hur ska verktyget introduceras? Vem ska ta ansvar för att hantera verktyget? Läraren måste dock inte ansvara för allt i klassrummet, speciellt inte att besvara elevers alla frågor. En del kan eleverna reda ut på egen hand, särskilt när det gäller ny teknik. Detta blir en win-win situation för lärare och elever där lärarens arbete avlastas samtidigt som eleverna får ta större ansvar och blir mer delaktiga i matematikundervisningen. Läraren kan förbereda en enkel manual med Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 8 (11)

skriftlig information om hur tekniken fungerar och be eleverna läsa denna om de inte kommer på hur tekniken kan användas. På motsvarande sätt kan matematikuppgifter delas upp i flera deluppgifter för att underlätta elevernas tolkning av vad de förväntas åstadkomma. En lärare som har ambitionen att bedriva undervisning som ska leda till att eleverna är interaktiva och konstruerande strävar mot att själv vara så lite inblandad som möjligt i elevernas egna aktiviteter och mot att låta stödet till elevernas aktiviteter hanteras av uppgifternas innehåll och struktur, digitala och traditionella verktyg, samt former för interaktion elever emellan. En sådan undervisningssituation, som tillåter att eleverna arbetar i stor utsträckning på egen hand, stödjer i sin tur utveckling av ett didaktiskt kontrakt där eleverna vänjer sig vid att ta ansvar för matematiska aktiviteter genom att använda sig av andra resurser än läraren (Brousseau, 1997). Istället för att eleverna kontinuerligt frågar läraren om vad de ska göra och om de har fått rätt svar så kan en social norm etableras där de själva försöker hantera sina frågor. Svaren kanske inte blir fullständiga men tillräckliga i ögonblicket och läraren kan välja att senare lyfta upp frågorna till gemensam diskussion. Eleverna kan bli motiverade att ge sig på svåra problem när de ser att deras frågor och redovisningar av ofullständiga och felaktiga lösningar kommer till användning och bidrar till allas lärande. Ett ordentligt försök att lösa en uppgift kan i en sådan lärandesituation vara minst lika intressant att ta upp till gemensam diskussion som en fullständig lösning. De digitala verktygen möjliggör att på ett professionellt sätt stödja elevers kommunikation av egna matematiska konstruktioner, exempelvis genom att deras arbete på egen dator eller bilder tagna med mobiltelefon kan visas via en projektor på tavlan. Det finns dessutom digitala verktyg som tillåter läraren att följa elevernas arbete genom att alla elevlösningar visas på lärarens skärm. Detta möjliggör för läraren att orkestrera en formativ undervisning där läraren kan följa elevernas konstruerande arbete och välja vilka konstruktioner som tas upp till gemensam diskussion. Elevernas konstruktioner behöver inte ritas av på tavlan utan visas snabbt via projektor. Både elever och lärare kan interagera med de projicerade bilderna antingen via dator eller direkt på skrivtavlan, genom att peka, berätta och/eller rita med penna. Detta innebär att digitala verktyg även kan stödja elevernas resonemang och argumentation, samt deras interaktion med varandra och med de matematiska konstruktionerna. Sammanfattning I den här texten har beskrivits hur undervisningen i matematik kan stärkas genom att använda enkla digitala verktyg, exempelvis för att presentera elevlösningar snabbt och effektivt på tavlan med stöd av dokumentkamera och projektor. Det faktum att många lösningar kan visas ställer stora krav på att läraren är väl förberedd och kan göra snabba bedömningar av lösningarnas kvalitéer så att elevernas diskussioner kan ledas i önskvärd riktning. Läraren väljer vilka lösningar som ska lyftas fram, i vilken ordning de ska presenteras och hur de eventuellt ska grupperas. Dessa val påverkar lektionens inriktning och hur eleverna uppfattar de matematiska lärandemålen. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 9 (11)

För att uppnå önskvärd inriktning på undervisningen bör läraren noga ha tänkt igenom och förberett lektionens didaktiska organisation samt ha en plan för lektionens genomförande. Detta gäller särskilt när digitala verktyg ska användas, eftersom de kan bidra till att undervisningen snabbt ändrar inriktning mot något helt annat än läraren har tänkt sig. En väl förberedd lärare kan då bedöma om den nya inriktningen ska följas upp eller förändras, så att eleverna får förutsättningar att uppnå meningsfulla lärandemål med stöd av de digitala verktygen. En väl genomtänkt orkestrering, som omfattar både förberedelser och genomförande av den egna undervisningen, är en avgörande förutsättning för att framgångsrikt kunna använda IKT-stöd i matematikundervisningen. Att lösa de uppgifter om andragradsfunktioner som har beskrivits i denna text kräver en hel del numeriska beräkningar och algebraiska förenklingar. I del 5 visas hur dessa kan hanteras med hjälp av kraftfulla digitala räkneverktyg. För att kunna använda sådana räkneverktyg som instrument för att lösa dessa uppgifter behöver eleverna ha kunskap om de algoritmer som kan användas för att lösa uppgifterna. Därför måste de också ha provat på att lösa liknande uppgifter för hand, vilket kan innebära svårigheter för många elever. Syftet med denna moduldel har varit att visa hur matematikundervisning kan orkestreras så eleverna engageras i att resonera om och jämföra lösningar, så att enskilda elevers strategier kan diskuteras och komma alla till godo. Referenser Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Kluwer Academic Publishers. Chi, M.T.H. (2009). Active constructive interactive: A conceptual framework for differentiating learning activities. Topics in Cognitive Science, Vol. 1, No. 1, 73 105. Hoyles, C. (2001). Steering between skills and creativity: A role for the computer?. For the Learning of Mathematics, Vol. 21, No. 1, 33 39. Jonsson, B., Norqvist, M., Liljekvist, Y., & Lithner, J. (2014). Learning mathematics though algorithmic and creative reasoning. The Journal of Mathematical Behavior, Vol. 36, 20 32. Kunter, M., Baumert, J., Blum, W., Klusmann, U., Krauss, S., & Neubrand, M. (2013). Cognitive activation in the mathematics classroom and professional competence of teachers. Results from the COACTIV project. Springer. Papert, S. & Harel, I. (1991). Situating constructionism. Kapitel i boken Constructionism. Tillgänglig från http://www.papert.org/articles/situatingconstructionism.html Skolverket (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskolan 2011. Stockholm: Skolverket. Tillgänglig från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2705 Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students command process through instrumen- Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 10 (11)

tal orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, Vol. 9, No. 3, 281 307. Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 11 (11)

Modul: Matematikundervisning med IKT Del 2: Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Uppgiftsförslag, helklassdiskussion Håkan Sollervall, Malmö högskola, Ulrica Dahlberg & Anders Wallby, NCM I denna text ges förslag på uppgifter att planera och genomföra med elever. Den första är hämtad från en lärartidskrift som ges ut av NCTM, USA. Sist i dokumentet finns fler uppgifter som kommer från Kängurun, ncm.gu.se/kanguru. Det är inget krav att använda någon av uppgifterna, du kan välja en annan uppgift. Fundera på hur du ska orkestrera din matematikundervisning dvs. matematiskt innehåll, val av uppgift, vilka olika elevlösningar som kan bli intressanta att presentera och diskutera, hur dokumentkamera eller liknande verktyg kan användas för att projicera lösningar på tavlan och slutligen vad helklassdiskussionen ska leda till. Tänk igenom möjliga elevlösningar och hur de ska behandlas i den avslutande gemensamma diskussionen. Bestäm hur eleverna ska arbeta. En modell, som många har prövat med gott resultat, är att efter introduktionen låta eleverna under några minuter enskilt sätta sig in i problemet och påbörja lösningen, därefter arbetar de i par och lösningarna redovisas, jämförs och diskuteras sedan i helklass. Till första uppgiftsförslaget finns en informell didaktisk analys som stöd för er orkestrering av lektionen. Denna analys beskriver möjliga elevlösningar och beskriver uppgiftens karaktär. Om du inte använder uppgiften utan väljer en egen, prova då gärna att göra en motsvarande analys av uppgiften. Komplettera elevlösningarna med någon egen lösning som ni har förberett i förväg eller kommit på under lektionen och som ytterligare kan utveckla elevernas matematiska tänkande. Didaktisk analys av en uppgift I ett val fick de fem kandidaterna olika antal röster. Sammanlagt fick de 36 röster. Vinnaren fick 12 röster. Den kandidat som kom sist fick 4 röster. Hur många röster fick den som kom tvåa? Uppgiftens karaktär 1) Uppgiften inbjuder till olika lösningar som kan representeras på flera olika sätt. 2) Representationerna blir med nödvändighet ofullständiga eftersom det finns många fall att undersöka och en del kan ofta sorteras bort på vägen. 3) Lösningarna kommer troligtvis att vara ofullständigt motiverade eftersom det är många fall att undersöka och mycket att ta hänsyn till (både olika antal röster och Uppgiftsförslag, helklassdiskussion Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (4)

att tvåan, trean, fyran tillsammans har 20 röster). 4) Elever som har hittat olika lösningar kan komma fram till att båda har tänkt rätt. De kan lära sig att lyssna på varandra och att värdera andras resonemang. 5) De elever som har hittat en av de två lösningarna och nöjer sig med det, kan lära sig att det ibland finns fler lösningar. Fortsätt undersök tills alla möjligheter är uttömda. Planera för att dra nytta av egenskaperna ovan under den gemensamma diskussionen, exempelvis genom att fråga Hur listade du ut det? eller, kanske ännu hellre, Hur tror du att hon/han listade ut det?. Betona gärna vikten av att strukturera lösningen så att andra förstår, så att lösningen inte blir alltför personlig, utan kan presenteras för andra. Några möjliga lösningar Vi utgår ifrån att de flesta elever börjar med att ta bort de 16 rösterna för vinnaren och den som kom sist. Då är det 20 röster kvar att fördela på de kvarvarande tre kandidaterna. 1. Testa och resonera (med något ofullständiga motiveringar). Tvåan kan som mest ha fått 11 röster. Då är det 9 röster kvar till trean och fyran, men det är omöjligt eftersom båda har fått minst fem röster. Kanske tvåan har fått 10 röster? Då är det 10 röster kvar till trean och fyran. Det kan inte vara 6 + 4 eftersom sista också har 4. Det kan inte heller vara 5 + 5 (varför då?). Testa med 9 röster på tvåan. 11 kvar till trean och fyran. 6 + 5 funkar (varför?) men inte 7 + 4 (varför då?). Alltså är 9 ett möjligt svar. Testa med 8 röster på tvåan. 12 kvar till trean och fyran. Kan inte vara 6+6 (varför då?) men 7 + 5 går bra (varför?). Alltså är också 8 ett möjligt svar. Testa 7 röster på tvåan. 13 kvar till trean och fyran men 7 + 6 är omöjligt (varför då?). Ett mindre antal än 7 på tvåan är omöjligt eftersom tvåan, trean och fyran tillsammans har fått 20 röster. Svar: Tvåan har fått 8 eller 9 röster. 2. Illustrera resonemanget med träddiagram. 11 10 9 5 6 6 5 7 6 Uppgiftsförslag, helklassdiskussion Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (4)

4(nej) 3(nej) 4(nej) 5(nej) 4(nej) 5(ja!) 8 7 7 6 6 behövs inte 5(ja!) 6(nej) 7(nej) 3. Numerisk lista eller tabell. tvåan 11 11 10 10 9 9 8 8 7 trean 5 6 6 5 7 6 7 6 6 fyran 4 3 4 5 4 5 5 7 7 Funkar? Nej Nej Nej Nej Nej Ja! Ja! Nej Nej Ytterligare uppgifter Nedan har vi samlat några uppgifter som vi har kategoriserat under olika matematikområden för att lättare kunna hitta någon uppgift som passar undervisningen just nu. Leta gärna själv efter andra problem i Känguruns alla klasser och tävlingsår. Geometri 1. En rektangel har sidolängderna 6 cm och 11 cm. Vi väljer en lång sida och ritar ut bisektriserna till vinklarna i båda ändarna av denna sida. Dessa bisektriser delar den motsatta sidan i tre delar. Hur långa blir dessa delar? Kort svar: 5cm, 1cm, 5cm 2. Tom ritade en kvadrat i ett koordinatsystem. En av kvadratens diagonaler ligger på x-axeln. Koordinaterna för de två hörnen på x-axeln är (-1, 0) och (5, 0). Vilka koordinater kan ett av kvadratens övriga hörn då ha? Kort svar: (2, 3) och (2, -3). 3. Bilden visar triangeln ABC. BH är en höjd och AD är en bisektris till vinkeln A. Den trubbiga vinkeln mellan BH och AD är fyra gånger så stor som vinkeln DAB. Hur stor är vinkeln CAB? Uppgiftsförslag, helklassdiskussion Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (4)

Kort svar: 60. 4. Sidolängderna i den stora regelbundna sexhörningen är två gånger sidolängderna i den lilla regelbundna sexhörningen. Arean av den lilla sexhörningen är 4 cm 2. Vilken area har den stora sexhörningen? Kort svar: 6 cm 2. Taluppfattning 5. Medelvärdet av två positiva heltal är 30 % mindre än det ena talet. Hur många procent större än det andra talet är medelvärdet? Kort svar: 75%. 6. Hur många siffror har resultatet av multiplikationen: (222) 5 (555) 2? Kort svar: 111. Algebra och funktionslära 7. p + 1/(q+1/r) = 25/19 där p, q och r är positiva heltal. Vilket värde har pqr? Kort svar: 18. 8. Funktionen f(x) = ax + b uppfyller likheterna f (f (f (1))) = 29 och f (f (f (0))) = 2. Vilket värde har a? Kort svar: 3. Uppgiftsförslag, helklassdiskussion Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (4)

Modul: Matematikundervisning med IKT Del 2: Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT Tänkbara digitala verktyg Dokumentkamera Om det finns en dokumentkamera kopplad till projektor eller en interaktiv skrivtavla läggs elevlösningen direkt under kameran och visas upp på projektorduken/tavlan. Detta visas i en del av filmen i Moment A. Smartphone Eleverna kan själva fotografera med sin smartphone eller datorplatta och maila till lärarens enhet som sedan visas på tavlan med hjälp av en projektor. Surfplatta eller dator Använd elevernas datorplatta eller dator i stället för att föra över till lärarens enhet. Exempel på hur elever kopplar in sin egen dator till tavlan visas i filmen i Moment A. Interaktiv anslagstavla - padlet Vid sökningen instruktionsfilm padlet får man flera träffar, bland annat följande länk: https://www.youtube.com/watch?v=8wongnoaz5u Det räcker att titta på de fyra första minuterna för att komma igång. Man kan gratis registrera sig på sv.padlet.com och får då tillgång till några funktioner som att byta namn på anslagstavlan. Om ni har problem med att få någon teknisk lösning att fungera är det ofta en god idé, att i första hand söka efter lokal kompetens. Kanske finns det någon kollega som vet hur man kopplar ihop en dator med en projektor och liknande. Dessutom ska man inte underskatta elevernas kompetens inom detta område och inte dra sig för att be dem om hjälp. En annan väg att gå är att söka information på nätet i allmänhet eller på Youtube. Där finns mer hjälp att få än man kanske tror. Tänkbara digitala verktyg Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (1)

Del 2: Moment B kollegialt arbetet Diskutera Utgå från era reflektioner. Vad är syftet med att visa, jämföra och diskutera elevers olika lösningar på samma problem? Vilka erfarenheter har ni av det? Vilka skillnader och likheter uppmärksammade ni i filmen vad gäller hur lärarna orkestrerade lektionerna? Hur utnyttjar lärarna i filmen elevlösningar? Vilka erfarenheter har ni av att gemensamt i klassen diskutera elevernas lösningar? Vilka möjligheter och svårigheter ser ni med olika sätt att organisera och genomföra den typen av diskussion? Vilka möjligheter ser ni med att använda digitala verktyg för detta ändamål? Planera Ni ska genomföra en problemlösningslektion där avsikten är att lösningarna ska diskuteras i helklass, och något digitalt verktyg ska användas för att synliggöra elevlösningarna. I dokumentet Uppgiftsförslag, helklassdiskussion finns ett antal problem att använda. Ni kan också använda problem som presenteras i texten Orkestrering av matematikundervisning med stöd av IKT eller ett eget problem. Om lärargruppen väljer att använda samma eller likartade problem kan lektionen planeras gemensamt mer i detalj. Då ni genomför lektionen, lägg märke till hur eleverna agerar under den avslutande diskussionen. Material Revision: 1 Datum: 2016-12-10

Del 2: Moment C aktivitet Genomför aktiviteten/lektionen. Lägg märke till hur eleverna agerar under den avslutande diskussionen. Material Revision: 1 Datum: 2016-12-10

Del 2: Moment D genensam uppföljning Diskutera Nu ska ni med utgångspunkt i orkestreringens olika aspekter diskutera följande frågor. Hur valde ni ut de lösningar som skulle presenteras? Visade ni alla lösningar samtidigt eller gjorde ni det i någon särskild ordning? Varför? Ge exempel. Hur hanterade ni lösningar som ni inte hade förväntat er? Hur påverkade det digitala verktyget lektionens förlopp? formerna för diskussionen? innehållet i diskussionen? Hur påverkade valet av problemuppgifter lektionens förlopp? formerna för diskussionen? innehållet i diskussionen? Försvårades något moment i lektionen på grund av att IKT användes? Hur skulle det kunna motverkas nästa gång? Vilka fördelar ser ni med att diskutera lösningar där man inte direkt ser vems lösning det är? Hur kan ni använda erfarenheterna från den här lektionen i framtiden? Anteckna Skriv ner de viktigaste lärdomarna och erfarenheterna ni har gjort under denna del. Material Revision: 1 Datum: 2016-12-10