PROPELLERTEORI Subtask 4 /5-0,, Gustav Sundstršm Sammanfattning Flygplanspropellern Šr en mycket viktig komponent av flygplanet som helhet. Propellerns utformning Šr beroe av flygplanets utformning och arbetsomrœde. Propellerns uppgift Šr att tillfšra flygplanet en dragkraft som Šr tillršckligt stor fšr att en lyftkraft pœ vingarna ska uppstœ. Beroe pœ flygplanets utformning sœ Šr den nšdvšndiga dragkraften fšr att lyfta ett specifikt flygplan given av tillverkaren. Fšr att uppnœ denna givna dragkraft med hšg effektivitet Šr det nšdvšndigt att anvšnda den stšrsta mšjliga propeller disk diametern. En propeller Šr egentligen en vinge som Šr placerad vinkelršt mot flygriktningen. Detta medfšr att lyftkraften pœ en vanlig vinge kommer att verka som dragkraften pœ en propeller. Att rškna pœ en propeller Šr detsamma som att rškna pœ en vinge. Fšr att všlja ut den optimala propellern som skall sitta pœ ett flygplan av en viss typ behšvs sœledes ett bra verktyg som mšjliggšr variation av flyghastigheter, flyghšjder, propellervarvtal och utformningen av propellern (vilken vingprofil som skall anvšndas). Mšjlighet att anvšnda flera vingprofiler och ha en varierande korda radiellt i propellern Šr ocksœ viktigt fšr propellerns optimering. Fšr detta ŠndamŒl behšvs en grundlšggande teori fšr hur propellrar fungerar, hur dragkraften beršknas samt en lšmplig berškningsmetod fšr att fœ fram verkningsgraden. Propellerns verkningsgrad bšr ligga šver 90%. En stor propeller som drivs med lœgt varvtal Šr fšrdelaktig eftersom detta ger den hšgsta verkningsgraden och sparar pœ sœ vis energi. Det finns en mšngd propellrar ute pœ marknaden som kan undersškas med hjšlp av programmet. Med lite tur Šr nœgon av dessa tillršckliga fšr projektets krav annars Šr det mšjligt att tillverka en egen propeller utifrœn de data programmet ger. Det Šr definitivt mšjligt att hitta en bšttre propeller Šn vad som finns pœ marknaden om man bara har tid och tœlamod att optimera propellern. Det bšr ocksœ vara mšjligt att tillverka Œtminstone propellerbladen sjšlv. SvŒrigheten ligger i om man vill kunna variera propellerbladens bladvinkel eftersom detta kršver en komplicerad mekanisk konstruktion. En mšjlighet vore dock att kšpa den delen av propellern och tillverka bladen till den fšrutsatt att det inte blir fšr dyrt. Gustav Sundstršm 00-05-
InnehŒllsfšrteckning Sammanfattning InnehŒllsfšrteckning Inledning 3 Beteckningar 4 GrundlŠggande teori 5 Geometric pitch 7 GP:s pœverkan pœ en propellers prestanda 7 Bladelementteori (Blade element theory) 9 Prestanda fšr ett bladelement 0 Metod fšr att berškna en propellers verkningsgrad 3 Slutsatser 4 Referenser 4 Bilaga 5 Bilaga 3 Bilaga3 5 Gustav Sundstršm 00-05-
Inledning Det hšr projektet syftar till att undersška hur propellrar fungerar samt att ta fram ett verktyg, i det hšr fallet ett Matlabprogram, fšr att underlštta design och berškningar av propellrar. FrŒgorna som mœste lšsas Šr mœnga och ofta komplicerade. Hur stor propeller skall man ha och ska den snurra fort eller lœngsamt? Hur inverkar bladvinkel och tordering pœ propellerns prestanda? Vilken verkningsgrad kan man fšrvšnta sig av en propeller? Hur inverkar varierande korda pœ prestandan? Fšr att kunna besvara dessa frœgor kršvs en god fšrstœelse fšr vad en propeller Šr. Propellerbladet Šr i princip en vinge, den a skillnaden Šr att anfallsvinkeln mot luftstršmmen Šr beroe dels av flygplanets hastighet och dels av propellerns varvtal. Skulle anfallsvinkeln bli fšr hšg riskerar propellern att ÕstallaÕ och pœ sœ vis fšrlora en stor del av dragkraften. Fšr att kunna genomfšra berškningarna behšvs en mšngd antaganden, t.ex : hur snabbt flygplanet kommer flyga vilka varvtal som kan vara aktuella hur stor propeller Šr det rimligt att anvšnda. hur stora Reynolds tal som gšller eftersom detta pœverkar valet av vingprofil till propellern. 3 Gustav Sundstršm 00-05-
Beteckningar T Total Dragkraft S Propellerskivans Area ρ TŠthet (densitet) V 0 Lufthastigheten genom propellerskivan V Luftens hastighet lœngt uppstršms V s Luftens hastighet lœngt nedstršms p Trycket alldeles uppstršms propellerskivan p Trycket alldeles nedstršms propellerskivan a Inflšdeskoefficient till propellern vid en given radie (se bild 7) b Inflšdeskoefficient till propellern i radiell led (se bild 7) de dt Energin som motorn tillfšr propellern η i Verkningsgrad pœ element i pœ propellern GP geometrisk pitch (se bild ) r radiell koordinat pœ propellern θ Vinkel mellan propellerbladens nollyftlinje och propellerns rotationsplan (se bild ) V in Luftflšdet frœn ršrelsen framœt V R Resulterande hastigheten δl Lyftkraft δt Dragkraft se bild 3 δd MotstŒnd δq Vridmoment J Avancerings talet D Propellerdiameter n Varvtalet Ω Propellerns vinkelhastighet ω Stršmningens vinkelhastighet Ωr Ett bladelements hastighet i rotationsplanet σ Soliditet B Antal propellerblad c Kordan m& Massflšde α anfallsvinkeln C L Lyftkraftskoefficient MotstŒndskoefficient C D 4 Gustav Sundstršm 00-05-
GrundlŠggande teori Fšr att kunna gšra berškningar pœ en propeller mœste nœgon form av teori fšr hur dragkraften uppkommer stšllas upp. Fšljande metod enligt Froude (ÕFroudeÕs momentum theoryõ) bygger pœ att propellern ses som en ošndligt tunn cirkulšr skiva med en area S. Skivan ger inte upphov till nœgot motstœnd pœ den luft som passerar genom den. Luften tillfšrs energi i form av tryckenergi dœ den passerar genom skivan. Luftens hastighet genom skivan antas vara konstant šver denna. Bild. Den ideala skivan samt stršmningen runt denna De yttre svšngda linjerna representerar de stršmlinjer som avskiljer fluiden som passerar genom skivan frœn resten av fluiden. Enligt hur en stršmlinje fungerar kan inget av fluiden passera ut ur eller in i det stršmršr som bildas av stršmlinjerna. Fluidens hastighet lœngt uppstršms om skivan Šr V och trycket Šr p 0. DŒ fluiden i stršmršret nšrmar sig skivan škar dess hastighet till V 0 samtidigt som trycket sjunker till p. DŒ fluiden passerar genom skivan škar trycket till p men hastigheten Šr ofšršndrad p.g.a krav pœ kontinuitet. Nedstršms om skivan acceleras fluiden till dess att trycket ŒtergŒtt till p 0 och hastigheten škat till V s. Massan av den fluid som passerar genom skivan under en tidsenhet = ρsv 0 dœ ρ Šr fluidens densitet och S Šr skivans area. Detta ger att skivans dragkraft T Šr T ( V V ) = ρ SV 0 s ( ) Dragkraften kan ocksœ beršknas ur trycket pœ bœda sidor om skivan enligt T ( ) = S p p ( ) Bernoullis ekvation kan anvšndas i omrœde ett och tvœ, dvs framfšr och bakom skivan. Observera att ekvationen dšremot inte gšller šver hela omrœdet eftersom fluiden tillfšrs energi dœ den passerar genom skivan. Efter lite ršknande fœs att SŠtts detta in i ekv () och () fœs att ( V V ) p p = ρ s ( 3 ) 5 Gustav Sundstršm 00-05-
eller efter division med ρs( V s V ) ( V V ) = ρsv ( V V ) ρ S ( 4 ) s 0 V0 = ( Vs + V ) ( 5 ) s AlltsŒ Šr hastigheten genom skivan det aritmetiska medelvšrdet av hastigheten lœngt uppstršms och lœngt nedstršms om skivan. Genom att sštta ( a) V = V + 0 ( 6 ) fœs efter lite ršknande att ( + a) V s V = ( 7 ) HŠr stœr a fšr inflšdet till skivan i axiell led. En massenhet av fluiden framfšr skivan har den kinetiska energin V / och en tryckenergi motsvarande p 0 medan samma massa nedstršms skivan har en kinetisk energi V s / och samma tryckenergi som framfšr skivan. Det inses att energiškningen i systemet sker med en hastighet enligt de dt ( V V ) = ρ SV0 s ( 8 ) de/dt Šr den energi som tillfšrs skivan dvs den energi en motor mœste tillfšra till propellern. Om man nu antar att skivan ršr sig med en hastighet V genom en frœn bšrjan stillastœe fluid gšrs ett arbete T V. Detta ger en verkningsgrad η i fšr propellern motsvarande i TV = ρsv0 s η ( 9 ) ( V V ) vilket dœ ekv () sštts in efter fšrenkling ger att η i = = V V V ( V + V ) 0 s = + a = V + s V ( 0 ) Detta Šr den ideala verkningsgraden fšr skivan Šven kallad ÕFroudeÕs verkningsgradõ fšr framdrivningssystemet. I verkligheten motsvaras denna skiva av en propeller eller turbinen i en jetmotor. Dessa kommer att bryta mot nœgra eller alla antaganden som gjorts. Varje avvikning frœn det ideala tillstœndet kommer att leda till en minskning av verkningsgraden vilket innebšr att ett verkligt framdrivningssystem alltid kommer ha en lšgre verkningsgrad Šn den som beršknas med den hšr metoden. 6 Gustav Sundstršm 00-05-
Ekv (0) visar att fšr en viss hasighet V minskar verkningsgraden dœ V s škar. Eftersom dragkraften fœs av att en luftmassa accelereras kan tvœ extremfall studeras. ( i ) I det fšrsta fallet Šr skivans (propellerns) diameter stor. Det innebšr att en stor luftmassa pœverkas vilket fœr till fšljd att luftmassan inte behšver accelereras sœ mycket. Det innebšr att verkningsgraden Šr relativt hšg. ( ii ) I det andra fallet Šr skivans diameter liten och en liten luftmassa pœverkas dœ. HŠr mœste luften accelereras betydligt mer fšr att samma hastighet skall uppnœs. Verkningsgraden blir nu betydligt mindre. Slutsatsen av detta blir alltsœ att en stor lœngsamt roterande propeller Šr att fšredra fšr att uppnœ en sœ hšg verkningsgrad som mšjligt. Geometrisk pitch Bilden nedan visar profilen hos ett propellerblad vid radien r frœn propelleraxeln. Elementets ÕGeometric pitchõ (GP) Šr πr tan θ dšr θ Šr vinkeln mellan propellerbladets nollyftlinje vid en viss radie r och propellerns rotationsplan. Detta innebšr alltsœ att GP mšts i meter pœ samma sštt som t.ex en skruvs stigvinkel mšts i meter. Bild Definition av vinkeln θ GP Šr ofta konstant lšngs hela propellerbladet men det hšnder dock att propellerbladet Šr torderat. I dessa fall tas GP vid 70% av propellerradien, detta kallas ÕGeometric meanpitchõ. Eftersom GP anses bero enbart av propellerbladens geometri Šr den alltid en viss lšngd. GP beror sœledes inte pœ saker som t.ex flyghastighet eller varvtal. Det Šr dock vanligt att GP kan varieras mekaniskt under flygningen fšr att nœ optimal verkningsgrad. GPÕs pœverkan pœ en propellers prestanda Hur pœverkar GP propellerns prestanda? Svaret fœs om man studerar ett propellerblad vid tvœ olika GP. I figuren nedan har den všnstra propellern en liten GP och den hšgra en stor GP. Vid lœg hastighet, t.ex under starten Šr luftflšdet frœn ršrelsen framœt, V in, liten. Den resulterande hastigheten V R uppkommer dels av V in och dels av propellerns rotationshastighet πnr. Som synes av bild (a) ger detta en stor lyftkraft, δl, eller fšr en propeller dragkraft, δt. Man fœr ocksœ ett litet motstœnd, δd, vilket fšr propellern motsvaras av vridmomentet δq. AlltsŒ jobbar propellern vid en hšg verkningsgrad. 7 Gustav Sundstršm 00-05-
Bild 3 GP:s inverkan pœ en propellers prestanda I bild (b) dšremot Šr lšget det motsatta. Den hšga anfallsvinkeln gšr att dragkraften δt blir liten medan vridmomentet istšllet blir stort. AlltsŒ jobbar propellern i det hšr lšget vid en všldigt dœlig verkningsgrad. Samma analys kan gšras vid hšg flyghastighet V in och resultatet blir dœ enligt bild (c) och (d). Reslutatet blir hšr som synes det omvšnda vilket fšljaktligen innebšr att vid lœga hastigheter bšr en liten GP anvšndas och vid hšga hastigheter skall en stor GP anvšndas. Det finns propellrar som kan stšllas i tvœ olika lšgen fšr att kunna flyga vid en skaplig verkningsgrad under hela flygningen. Bilden nedan visar verkningsgraden η plottat mot avanceringstalet J. Avanceringstalet definieras som V J = ( ) nd dšr V Šr flygplanets hastighet, n Šr propellerns varvtal och D propellerdiametern. Kurvan (a) gšller fšr en liten GP och (b) fšr stor GP. Den streckade kurvan Šr den verkningsgrad som gšller dœ de bœda GP kombineras. Bild 4 J-η kurva fšr tvœ olika GP 8 Gustav Sundstršm 00-05-
Fšr att fœ en Šnnu bšttre verkningsgrad kan en propeller med steglšs variation av GP anvšndas. Det blir dœ mšjligt att fšr alla mšjliga kombinationer av flyghastigheter och varvtal hœlla den maximala verkningsgraden pœ det sštt som visas i bilden nedan. Bild 5 Verkningsgraden fšr en propeller med steglšs GP Det Šr ibland ocksœ mšjligt att ÕflšjlaÕ propellern vilket innebšr att propellerbladen stšlls parallella med flygriktningen. Detta anvšnds fšr att hindra att propellern bšrjar rotera av sig sjšlv och pœ sœ vis Šven vrida runt motorn (kallas fšr att ÕvindmillaÕ). PŒ sœ vis undviker man dels att skada motorn samt man minskar Šven motstœndet vid ett eventuellt motorhaveri. Det kan Šven vara mšjligt att stšlla in en negativ GP pœ propellerbladen vilket dœ ger en negativ dragkraft, det kallas fšr att reversera motorn. PŒ sœ sštt kan man fœ en bšttre bromskraft och minska bromsstršckan vid landning. Bladelementteori (Blade element theory) Med bladelementmetoden kan man berškna en propellers prestanda och Šven hur man skall designa en propeller fšr att fœ šnskad prestanda hos en propeller. Det fšrsta som mœste studeras Šr virvelsystemet hos en propeller. Propellerbladet fungerar som en vinge och generarar en lyftkraft. Lyftkraften fœs dock istšllet ut som en dragkraft som driver flygplanet framœt. Precis som hos en vanlig vinge kan propellerbladet ersšttas av en virvel fšr att fšrenkla berškningarna. Utšver denna virvel fœs en virvel av propellerbladens spetsar men eftersom propellern roterar och ršr sig framœt blir spetsvirveln spiralformad. Bilden nedan visar virvelsystemet hos en tvœbladig propeller. Bild 6 Virvelsystemet hos en tvœbladig propeller 9 Gustav Sundstršm 00-05-
Stršmningen efter en propeller roterar pœ samma sštt som propellerbladen runt propelleraxeln. Detta beror dels pœ cirkulationen runt propellerbladen och dels pœ de spiralformade spetsvirvlarna. Om man studerar tre plan: ( i ) Planet omedelbart framfšr propellern ( ii ) Propellerbladens plan ( iii ) Planet omedelbart bakom propellern ser man att i plan ( i ) Šr stršmningens vinkelhastighet noll. I plan ( ii ) Šr stršmningens vinkelhastighet exakt lika med propellerns vinkelhastighet och i plan ( iii ) beror vinkelhastigheten bœde pœ den bundna virveln och pœ spetsvirvlarna. LŒt propellerns vinkelhastighet vara Ω rad/s och stršmningens vinkelhastighet i plan ( ii ) vara bω samt vinkelhastigheten inducerad av den bundna virveln i plan ( i ) och ( ii ) vara βω. Bakom propellern fœs dœ, om ω Šr stršmningens vinkelhastighet att ( b + β ) Ω = Ω ϖ = b ( ) AlltsŒ Šr vinkelhastigheten hos flšdet bakom propellern dubbelt sœ stor som propellerns vinkelhastighet. Prestanda fšr ett bladelement Bilden nedan visar ett element med lšngden δr och kordan c vid radien r pœ ett propellerblad. Bild 7 Ett bladelement vid radien r Elementet har hastigheten Ωr m/s i rotationsplanet. Stršmningen i samma plan rotererar med en vinkelhastighet pœ bω rad/s vilket innebšr att elementets hastighet relativt luften i propellerplanet Šr Ωr(-b) m/s. Om flyghastigheten Šr V m/s Šr stršmningshastigheten genom propellern V(+a) m/s dšr a Šr inflšdet vid radien r. Detta innebšr att den totala flšdeshastigheten relativt propellerbladet Šr V R ( se bild 3). 0 Gustav Sundstršm 00-05-
Som synes av bilden utsštts elementet fšr en lyftkraft δl samt motstœndet δd vilket fšr propellern kan ses som dragkraften δt samt en ÓvridkraftÓ δq/r dšr δq Šr det vridmoment som kršvs fšr att rotera elementet runt propelleraxeln. Nu Šr frœgan hur man skall gšra fšr att berškna dragkraften, vridmomentet och verkningsgraden fšr propellern? Svaret pœ frœgan Šr att fšr en given flyghastighet, varvtal, GP, radie och ytterligare nœgra variabler kan všrden pœ a och b beršknas dšr b Šr inflšdet till propellern i radiell led. UtifrŒn dessa všrden hitta δt, δq och η. HŠr fšljer en kort hšrledning av ekvationerna som behšvs. Bšrja med att ta fram nœgra grundekv. Ur bilden ovan: V R V sinφ cosφ ( + a) = Ωr( b) = ( 3 ) V = Ω ( + a) r( b) tanφ ( 4 ) Soliditeten pœ ringen som bildas av elementet dœ det roterar runt propelleraxeln blir σ Bc δr Bc = πr δr πr = ( 5 ) dšr B Šr antalet propellerblad och c Šr propellerbladets korda vid den aktuella radien. Det gšller att δ L = Bc δ r ρ V R C L ( 6 ) δ D = Bc δ r ρ V R C D ( 7 ) Dessa ekv. kan anvšndas fšr att ta fram δt och δq δt = δlcosφ δdsinφ = Bcδr ρv R ( C cosφ C sinφ) L D ( 8 ) Efter derivering dt = Bc ρv dr πrσ ρvr R ( C cosφ C sinφ) ( C cosφ C sinφ) L L D D = ( 9 ) SŠtt t = C L cosφ C sinφ ( 0 ) D vilket ger att Gustav Sundstršm 00-05-
dt dr = π r σ t ρ VR = Bc ρ VR t ( ) vilket gšller fšr hela propellern eller fšr ett propellerblad SŠtt dt dr = c ρ VR t ( ) q C L sinφ + C cosφ sœ fœs fšr vridmomentet p.s.s att eller per propellerblad = ( 3 ) D dq = π r σ q ρ VR = Bcr ρ VR p ( 4 ) dr dq dr = cr ρ VR p ( 5) Studera nu stršmningens ršrelsemšngdsmoment i axiell led genom en ÕannulusÕ. En ÕannulusÕ Šr volymen mellan tvœ koncetriska cylindrar. Dragkraften δt Šr lika med massflšdet genom elementet multiplicerat med hastighetsšndringen i axiell led vilket ger att men vilket ger att ( a) & ( 6 ) m = πrρδrv + ( + a) V = av V = Vs V = V ( 7 ) dt dr ( a) = 4 rv a + Med hjšlp av ekv (8), () och (3) fœs att πρ ( 8 ) a = + a 4 sin φ σt ( 9 ) PŒ samma sštt kan man genom att anvšnda att δq = m& ϖr ( 30 ) dœ ω Šr Šndringen i vinkelhastighet hos luften dœ den passerar propellern fœ fram att b = b σq sin φ ( 3 ) Gustav Sundstršm 00-05-
Man kan nu berškna verkningsgraden, η, fšr propellerbladet pœ fšljande sštt Uteffekt = VT = V r max dt δ T = V δr ( 3 ) dr rmin Ineffekt = nq = πn δq = πn rmax rmin dq δr dr π ( 33 ) Detta ger att η Uteffekt VT = Ineffekt πnq = ( 34 ) Med hjšlp av detta kan nu dt/dr och dq/dr beršknas utmed flera olika punkter utmed propellerbladet. Genom att sedan plotta resultatet och berškna arean under kurvorna kan den totala dragkraften T och vridmomentet Q beršknas och alltsœ Šven den totala verkningsgraden η. Metod fšr att berškna en propellers verkningsgrad (Šven kort beskrivning av programmet) () Fšrst behšvs en mšngd indata: Propellerns max- och minradie, lokala kordan pœ propellerbladet, GP, data pœ C L och C D, flyghšjd, flyghastighet och propellerns varvtal. Det behšvs ocksœ en skaplig gissning pœ vad a och b Šr. () BerŠkna tštheten σ ur (0) samt tanθ frœn att BerŠkna Šven ljudhastigheten. πr tanθ = GP ( 35 ) (3) φ fœs av ekv (8), sedan beršknas V R ur ekv (5). Man kan dœ hitta anfallsvinkeln α=θ-φ fšr att frœn lšmplig data fœ fram C L och C D. (4) Ekv (5) och (8) ger sedan všrden pœ t och q. (5) Med dessa všrden kan nya všrden pœ a och b ršknas ut. (6) Upprepa steg (3) Ð (5) tills en godtagbar noggrannhet pœ a och b har uppnœtts. (7) Fšr att ta fram verkningsgraden fšr hela propellern gšrs steg () Ð (6) fšr flera olika punkter radiellt utmed propellerbladet. Sedan integreras dt/dr och dq/dr šver radien fšr att ta fram T och Q. (8) BerŠkna η enligt V T η π n Q = ( 36 ) 3 Gustav Sundstršm 00-05-
(9) Vill man Šven fœ fram sœ kallade J-η kurvor kan man gšra berškningarna fšr olika hastigheter och varvtal fšr att fœ fram en kurva. nskas kurvor fšr olika GP Šr det bara att variera Šven detta, man fœr dœ en kurva fšr varje GP. Slutsatser Man kan se att en propeller bšr ha en verkningsgrad minst šver 80% och helst šver 90%, annars har man gjort ett dœligt jobb. Propellern bšr vara sœ stor som det Šr praktiskt mšjligt fšr att inte behšva ha sœ hšga varvtal. Detta ger en hšg verkningsgrad och sparar pœ sœ vis energi. Det finns ett par vingprofiler som anvšnds ofta till propellrar, det Šr dels NACA 44 samt den s.k. Clark Y profilen. Den senare Šr frœn 90-talet och Šr populšr bland modellflygare eftersom den Šr lštt att konstruera med sin helt plana undersida. Det Šr ocksœ att rekommera att propellerbladen torderas sœ att bladvinkeln minskar ut mot bladspetsen. Kordan bšr vara nšstan parallell med flygriktningen vid roten och i stort sett vinkelršt mot flygriktningen ute vid spetsen. Referenser Houghton E.L. & Carpenter P.W., Aerodynamics for Engineering Students 4:th ed. Edward Arnold Anderson John D. Jr, Introduction to Flight 4:th ed., McGraw-Hill, 000 Heath Michael T.,Scientific Computing An introductory survey, McGraw-Hill, 997 4 Gustav Sundstršm 00-05-
Bilaga Definition av variablerna i propellerkoden er = jordens radie gp = geometrisk pitch gpmax = maximal geometrisk pitch gpmin = minimal geometrisk pitch B = antal propellerblad r = propeller radie rmax = maximal propeller radie rmin = minimal propeller radie n = propellerns varvtal m = antal element som propellerradien delas upp i s = antal delar som gp delas upp i x = geometrisk flyghšjd h = geopotentiell flyghšjd v = flyghastighet Vmax = maximal flyghastighet Vmin = minimal flyghastighet vstep = hastighetsindelning rstep = radieindelning gstep = geometrisk pitchindelning rho = densiteten vid en given flyghšjd T = temperaturen vid en given flyghšjd vsound = ljudets hastighet vid en given flyghšjd radie = fil med propellerdatafilnamn som lšses in ohmegar = Ett bladelements hastighet i rotationsplanet theta = fœs ur geometrin (se bild 7) phi = se bild 7 a = inflšde till propellern vid en given radie (se bild 7) b = inflšde till propellern i radiell led (se bild 7) q = Cl*sin(fi)+Cd*cos(fi) t = Cl*cos(fi)-Cd*sin(fi) vr = radiell hastigheten alpha = anfallsvinkeln sigma = Soliditeten cl = lyftkraftskoefficienten cd = motstœndskoefficienten C = kordan T = total dragkraften Q = vridmomentet J = avanceringstalet eta = verkningsgraden 5 Gustav Sundstršm 00-05-
Huvudprogrammet % clear; clc; format short ; % Av anvšndaren givna indata gp = input('ange geometrisk pitch: '); B = input('hur mœnga propellerblad? '); C = input('hur lœng korda skall propellern ha? '); rmin = input('všlj innerradie pœ propellern! '); rmax = input('všlj ytterradie pœ propellern! '); n = input('vilket propellervarvtal i rpm vill du ha? ')/60; x = input('ange geometrisk flyghšjd i meter: '); Vmin = input('ange min flyghastighet: '); Vmax = input('ange max flyghastighet: '); tordering = input('hur kraftig tordering vill du ha? '); [radie] = textread('radie.m','%q','headerlines',5); m = 0; er = 6356766; h = er*x/(er+x); vstep = (Vmax-Vmin)/m; rstep = (rmax-rmin)/m; tordstep = tordering/m; % Anrop av funktionen atmos dšr densiteten fšr en given hšjd beršknas [rho] = atmos(h); astart = 0.; bstart = 0.0; for i = :m+ v = Vmin+(i-)*vstep; for j = :m+ r = rmin+(j-)*rstep; GP = gp-(j-)*tordstep; ohmegar = *pi*r*n; theta = atan(gp,(*pi*r)); sigma = B*C/(*pi*r); % Anrop av funktionen iteration dšr konstanterna a och b itereras fram % och q,t och vr beršknas [a,b,q,t,vr]=iteration(v,r,ohmegar,theta,sigma,radie(j),astart,bstart); astart = a; bstart = b; % De olika všrdena som fœs ur funktionen iteration lšggs in vektorer V(i) = v; qvek(j,i) = q; tvek(j,i) = t; avek(j,i) = a; bvek(j,i) = b; Vr(i) = vr; R(j) = r; % BerŠkning av dragkraft och vridmoment per element av propellern dtdr(j,i) = 0.5*rho*(Vr(i))^*C*tvek(j,i); dqdr(j,i) = 0.5*rho*(Vr(i))^*C*R(j)*qvek(j,i); 6 Gustav Sundstršm 00-05-
astart = sum(avek(i),)/(m+); bstart = sum(bvek(i),)/(m+); J(i) = V(i)/(n**rmax); % Summering av alla bidrag pœ dragkraft och vridmoment DTDR = sum(dtdr); DQDR = sum(dqdr); % Nummerisk integration av bidragen ovan fšr att fœ fram den totala % dragkraften och det totala vridmomentet samt den totala verkningsgraden % pœ hela propellern h = (rmax-rmin)/m; for i = :m+ T(i) = h*(dtdr(,i)-(dtdr(,i)+dtdr(m+,i))/); Q(i) = h*(dqdr(,i)-(dqdr(,i)+dqdr(m+,i))/); eta(i)= (V(i)*T(i))/(*pi*n*Q(i)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Anrop av funktionen graf som retunerar text som anvšnds till graf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [T,T,T3,T4,T5,T6,T7,T8]=graf(gp,B,C,rmin,rmax,n,x,Vmin,Vmax,tordering); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Plot %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% h = axes('position',[0 0 ],'Visible','off'); axes('position',[0.54 0.55 0.4 0.35]); plot(j,eta), axis([0,3,0,.]), title('verkningsgrad (\eta)'),... xlabel('j'), ylabel('\eta'); axes('position',[0.07 0. 0.4 0.35]); plot(j,q), title('vridmoment (Q)'), xlabel('j'), ylabel('q'); axes('position',[0.54 0. 0.4 0.35]); plot(j,t), title('dragkraft (T)'), xlabel('j'), ylabel('t'); str()={t}; str()={t}; str(3)={t3}; str(4)={t4}; str(5)={t5}; str(6)={t6}; str(7)={t7}; str(8)={t8}; set(gcf,'currentaxes',h); text(0., 0.7, str, 'FontSize',0) 7 Gustav Sundstršm 00-05-
Funktioner ÕiterationÕ % HŠr itereras bra všrden pœ a och b fram och phi, alpha och vr beršknas function [a,b,q,t,vr]=iteration(v,r,ohmegar,theta,sigma,fil,astart,bstart) deltaa = ; deltab = ; iter = ; max_iter = 00; % iterationsslinga while (abs(deltaa)>=e-5 abs(deltab)>=e-5) & iter<=max_iter iter = iter+; phi = atan((v*(+astart)),(ohmegar*(-bstart))); alpha = theta-phi; vr = v*(+astart)/sin(phi); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Anrop av funktionen interpollation dšr ett interpollerat všrde pœ % cl och cd tas fram via anfallsvinkeln %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [cl,cd] = interpolation(fil,alpha); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % cl och cd šveršnsstšmmer med den beršknade anfallsvinkeln och kan % nu anvšndas fšr vidare berškningar %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% q = cl*sin(phi)+cd*cos(phi); t = cl*cos(phi)-cd*sin(phi); aterm = sigma*t/(4*sin(phi)^); bterm = sigma*q/(*sin(*phi)); b = bterm/(+bterm); a = aterm/(-aterm); deltaa = abs(astart-a); deltab = abs(bstart-b); astart = mean([a astart]); bstart = mean([b bstart]); %%% % Iteratitionen Šr klar och phi,alpha och vr beršknas %%% phi = atan((v*(+a)),(ohmegar*(-b))); alpha = (theta-phi); vr = v*(+a)/sin(phi); 8 Gustav Sundstršm 00-05-
ÕinterpolationÕ % % Funktionen tar det beršknade alpha (anfallsvinkel) všrdet och jšmfšr det % med anfallsvinklarna som finns i fil varefter den plockar ut de tvœ % anfallsvinklarna som ligger nšrmast pœ var sin sida om všrdet och plockar % ut cl och cd fšr dessa tvœ všrden och interpolerar mellan dem. PŒ sœ % sštt uppnœs ett bra všrde pœ cl och cd som anvšnds i berškningarna. % function [cl,cd]=interpolation(fil,alpha); % % FilinlŠsning % file = char(fil); fid = fopen(file); [data] = fscanf(fid,'%f %f %f',[3,inf]); for i = :length(data) Cl(i) = data(,i); Cd(i) = data(,i); angle(i) = data(3,i); fclose(fid); % % Sšker index pœ de tvœ nšrmaste všrden till alpha % Alpha = alpha*80/pi; for i = :length(angle) delta(i) = abs(alpha-angle(i)); deltasort = sort(delta); index = find(delta==deltasort()); index = find(delta==deltasort()); if deltasort()==deltasort() i = index(); i = index(); else i = index; i = index; % % Korrigeringar fšr olika fall som kan uppstœ nšr indexen tas fram % if Alpha<angle(i) & Alpha<angle(i) i = i-; if Alpha>angle(i) & Alpha>angle(i) i = i+; if i>length(angle) i = i-; if i< i = i+; x = (Alpha-angle(i))/(angle(i)-angle(i)); 9 Gustav Sundstršm 00-05-
cl = x*(cl(i)-cl(i))+cl(i); cd = x*(cd(i)-cd(i))+cd(i); ÕatmosÕ % % Funktion som returnerar temperatur, tryck, densitet, viskositet, % ljudhastighet, reynolds tal, machtal, hastighet och motstœnd. Indata Šr % % geopotentiell hšjd. Funktionen gšr olika berškningar fšr temperatur, % tryck % och densitet fšr de tvœ olika temperaturskikt som fšrekommer % inom %intervallet 0-5 000 meter. % function [Rho,T,a]=atmos(h) % % Lista pœ konstanter % T0 = 88.6; g0 = 9.80665; P0 = 035; P = 63; Rho0 =.5; Rho = 0.3639; h = 000; g0 = 9.80665; my0 =.7894e-5; S = 0.6; a = -0.0065; gamma =.40; R = P0/(Rho0*T0); m = 4000; Area = 65; c =.45; Cd0 = 0.0; Cl = 0.5; k = 0.06; %Cd=Cd0+k*Cl^; if h<=000 T = T0+a*h; P = P0*((T)/T0)^(-g0/(a*R)); Rho = Rho0*((T)/T0)^(-(g0/(a*R)+)); else T = 6.66; P = P*exp(-(g0/(R*T)*(h-h))); Rho = Rho*exp(-(g0/(R*T)*(h-h))); 0 Gustav Sundstršm 00-05-
Plot ÕgrafÕ % function [T,T,T3,T4,T5,T6,T7,T8]=graf(gp,B,C,rmin,rmax,n,x,Vmin,Vmax,tord); t = 'Geometrisk pitch: '; t = 'Antal blad: '; t3 = 'Korda: '; t4 = 'Inner/ytterradie: '; t5 = 'Varvtal: '; t6 = 'Hšjd: '; t7 = 'Min/max hastighet: '; t8 = 'Tordering av blad: '; t9 = ' / '; T = [t numstr(gp)]; T = [t numstr(b)]; T3 = [t3 numstr(c)]; T4 = [t4 numstr(rmin) t9 numstr(rmax)]; T5 = [t5 numstr(n*60)]; T6 = [t6 numstr(x)]; T7 = [t7 numstr(vmin) t9 numstr(vmax)]; T8 = [t8 numstr(tord)]; Gustav Sundstršm 00-05-
Datafiler Õradie.mÕ % Datafil med filer fšr respektive radie Filerna innehœller data uppradade i tre kolumner dšr den fšrsta kolumnen Šr všrden pœ Cl den andra konumnen Šr Cd och tredje Šr den absolut anfallsvinkeln. Samtliga filer bestœr av data taget frœn en CLARK Y - Profil ***** r.m r.m r3.m r4.m r5.m r6.m r7.m r8.m r9.m r0.m r.m r.m % 0.05 0.0 0.7 0.05 4 0.38 0.09 5.5 0.5 0.07 7 0.6 0.033 9 0.7 0.039 0 0.8 0.049.5 0.94 0.06 3.04 0.075 5.3 0.089 6. 0.08 8.3 0. 9.5.39 0.43.45 0.7 3.49 0.89 4 Gustav Sundstršm 00-05-
Bilaga Resultatexempel Det hšr resultatet har fœtts genom att kšra programmet fem gœnger med olika hastighetsintervall och GP utan att efter varje kšrning radera den gamla grafen. Vilka všrden det Šr gjort fšr ses nedan. Pitch [m] Tordering [m] Hastighet [m/s] -5 3-8 3 5-4 7-4 5 0-8 3 Gustav Sundstršm 00-05-
Exempel pœ bra indata Exempel pœ dœliga indata 4 Gustav Sundstršm 00-05-
Bilaga 3 Kommentarer om programmet Det Šr nœgra saker man bšr tšnka pœ nšr man kšr programmet. Det viktigaste Šr att inte ta fšr givet att resultatet Šr korrekt. Det Šr ju till exempel helt orimligt om J-η kurvan skulle ge en verkningsgrad šver ett d.v.s. šver 00% verkningsgrad eller en negativ verkningsgrad. Skulle detta intršffa beror det fšrmodligen pœ att antingen startgissningarna pœ všrdena a och b varit fšr dœliga eller, vilket Šr mer troligt att man fœtt negativa anfallsvinklar pœ propellerbladen vilket ger en negativ dragkraft och andra liknande effekter. Det man kan gšra Šr att helt enkelt Šndra pœ hastighetsintervallet eller pœ den geometriska pitchen man matat in. En annan sak att tšnka pœ Šr att GP faktiskt mšts i meter och inte i grader som man skulle kunna tro. GP Šr relaterad till radien och fšr att fœ rimliga GP kan man rškna ut vinkeln θ och kontrollera att den inte šverstiger 90 grader. Vill man anvšnda en viss vingprofil mœste fšrst filer fšr denna skapas, se till att dessa skrivs pœ exakt samma sštt som de filer som redan finns. 5 Gustav Sundstršm 00-05-