1 Forskningsmetodik Lektion 8 Systematiska och statistiska fel Per Olof Hulth hulth@physto.se Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 1 Noggrannhet och precision http://kurslab.physics.kth.se/klab/fysik_5a1201/measure/noggrannhet_och_precision.pdf Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 2
2 Gravitationenskonstanten G F = G m 1 m 2 R 2 Henry Cavendish (1731-1810) mätte gravitationskonstanten G med en torsionsbalansexperiment. Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 3 Historiska data - bestämning av G (viktade medelvärden) NO. EXPERIMENTER DATE METHOD VALUE OF G x 10 8 dynecm Error REF 2 2 /gm 1. Cavendish 1798 static torsion 6.754 0,041 352 2. Reich #1838 static torsion 6.64 0,06 353 3. Baily #1843 static torsion 6.63 0,07 353 4. Cornu/Baille 1872 static torsion 6.618 0,017 354 5. Jolly #1873 Jolly balance 6.447 0,11 353 6. Eotvos 1886 static torsion 6.657 0,013 353 7. Richarz/K-Menzel 1888 Jolly balance 6.683 0,011 353 8. Wilsing #1889 Jolly balance 6.594 0,15 353 9. Poynting 1891 Jolly balance 6.6984 0,004 355 10. Boys 1895 static torsion 6.658 0,007 353 11. Braun 1895 dynamic torsion 6.658 0,002 355 12. Richarz/K-Menzel 1896 Jolly balance 6.685 0,011 356 13. Braun 1897 dynamic torsion 6.649 0,002 353 24. Burgess #1901 dynamic torsion 6.64 353 15. Heyl 1930 dynamic torsion 6.6721 0,0073 357 16. Zahradnicek 1933 dynamic torsion 6.659 0,004 355 17. Heyl/Chrzanowski 1942 dynamic torsion 6.6720 0,0049 357 18. Rose et. al. 1969 rotating table 6.674 0,003 357 19. Pontikis 1972 resonance torsion 6.6714 0,0006 357 20. Renner 1973 dynamic torsion 6.670 0,008 353 21. Karagioz 1976 dynamic torsion 6.668 0,002 353 22. Rose et. al. 1976 rotating table 6.6699 0,0014 355 23. Sagitov 1977 dynamic torsion 6.6745 0,003 353 24. Stacey et. al. 1978 geophysical 6.712 0,037 358 25. Luther/Towler 1981 dynamic torsion 6.6726 0,0005 359 Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 4 Tabellen till höger visar resultaten från olika bestämningar av gravitationskonstanten G. Bestämningen har skett med flera olika metoder och under lång tid. Källa: http://www.ldolphin. org/setterfield/report.html
3 Viktad anpassning till G G ur föregående tabell (utom de som är markerade med #) plottade på en tidsaxel. Vi noterar mätvärden med stora fel och flera med mycket små fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är för litet med hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,658 ± 0,011 med ett mer rimligt fel (vi tar då på sätt och vis då även hänsyn till (eventuella) systematiska fel i mätningarna). Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 5 Med reducerad statistik I Här har vi tagit bort mätningar med stora fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här för litet med Hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,6701 ± 0,0029 Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 6
4 Med reducerad statistik II Här har vi tagit bort mätningar med mycket små fel som låg långt från medelvärdet (systematiska fel?). En generell metod för detta anges lite längre fram. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här litet och synes ge ett för litet fel. Det oviktade medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,6743 ± 0,0076 eller avrundat 6,674 ± 0,008 ett värde som ligger mycket nära det nominella. Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 7 En mätnings tidutveckling Mätning av en naturkonstant i den bästa av alla världar: -Tidiga mätningar behäftade med stora fel -Spridning i proportion till felen -Med ny teknik minskar felen -Och konvergerar mot ett gränsvärde Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 8
5 Ny sida Hur fort går ljuset? Seriösa mätningar från början av 1700-talet! Ljushastigheten avtar till synes med tiden fram till 1940! Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 9 Definierad C = 299 792 458 m/s Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 10
6 Hubblekonstanten I Bestämning av Hubble konstanten hastighet = H avståndet som funktion av tiden Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 11 Hubblekonstanten II Bestämning av Hubble konstanten i hastighet = H x avståndet som funktion av tiden WMAP 71 (km/sec)/mpc, +0.04/-0.03. Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 12
7 Pullfördelningen Mätningen av tyngdaccelerationen: Inför chi-variabel (pull): Plotta alla mätta g-värden med sina fel och pullfördelningen: χ i = x i x σ i Låt oss utesluta alla mätningar med χ > 5 χ i Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 13 2001 års data: pull < 5! Ett nytt medelvärde beräknas: g = 9,755 ± 0,026 m/s 2. Relativa felet = 0,27% Avvikelse från nominellt värde = -0,043 eller -1,7σ I den föregående bilden är motsvarande siffror 0,08% och -15σ, ett opålitligt resultat eftersom data innehåller inkoncistenta mätningar. Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 14
8 Analys av en mätövning Fallstudie: Pullfördelningen kan med fördel användas vid enklare felsökningar i data. 43 studenter mätte 48 resistorer med hjälp av volt-ampere metoden. Resistansen beräknades genom R=U/I och felet i R genom felpropagering. Varje student mätte flera resistorer och varje resistor mättes av flera studenter pull 6,8,9,10,35,40,43,44,45,48 ser alla skumma ut! Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 15 Analys av pullfördelningen (resistor nummer 2) Felaktig datapunkt Vi plottar här resistor Nr 2 som funktion av Student. Vi ser att Student 41 har tydligen en avvikande mätning och vi går till databasen för att se efter vad som hänt: Vi ser att studenten har angett A i.st.f ma som var antaget (för alla sina tilldelade resistorer). Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 16
9 Analys av pullfördelningen (efter korrektion) Dessa ser nu relativt OK ut! Alla resistorer som student 2 mätt påverkas efter denna korrektion (föregående sida) och pullfördelningen för resistor 2 ser nu helt OK ut och är nära normalfördelad med medelvärde och standardavvikelse nära 0 resp. 1. Föreläsning 8 Forskningsmetodik 2005 17