Kristina Juter Statistiska begrepp och uttrycksformer Statistik är ett matematikinnehåll som inbjuder till såväl tematiskt arbete som ämnesintegrerat. Redan i statistikens historiska barndom insåg man vikten av presentationen. I den här artikeln diskuteras olika uttrycksformer i undervisningen om statistik. I statistik arbetar vi med data. Det kan handla om mätvärden vid naturvetenskapliga experiment, demografiska uppgifter, resultat av enkäter, inkomstuppgifter, favoritfärger hos elever i en klass eller resultat från idrottstävlingar. Vi bearbetar de data vi har tillgång till för att få en bättre överblick över den del av verkligheten som de beskriver och kanske kan vi då hitta mönster som kan avslöja oväntade samband. Hypoteser kan formuleras, vilka i sin tur kräver nya statistiska undersökningar för att verifieras. De data vi arbetar med kan vara sådana som redan finns till hands. På 1600- talet undersökte John Graunt Londons dödslängder. Han utnyttjade befintligt material som han sedan gav struktur så att dödsorsakernas variation över en längre tid blev tydliga. I dag finns hos bland annat Statistiska Centralbyrån omfattande datamaterial av demografisk natur som kan användas i olika typer av undersökningar, men ibland måste vi samla in nytt material. Exempelvis opinionsundersökningar måste bygga på färska data. En enkätundersökning om elevernas synpunkter på skolmaten kan inte heller bygga på gammalt material. En undersökning av temperaturvariationerna i ett klassrum måste utgå från aktuella mätningar. Innan vi går vidare kan det vara på sin plats att diskutera relationerna mellan statistik och matematik. Statistik är som bekant framskrivet i skolans kursplaner i matematik. Inom statistik använder vi oss av tal, gör beräkningar och använder matematiska begrepp som grafer och medelvärden. Matematiken utgör en teoretisk bas för statistiken men för att genomföra en statistisk undersökning krävs också kunskap om de frågor eller fenomen vi vill studera samt förståelse för den miljö som är föremål för undersökningen. Att se mönster och trender i ett statistiskt material är ett detektivarbete som kräver miljökunskaper, matematiska kunskaper, fantasi och tålamod. Statistiska begrepp I Lgr 11, kursplanen i matematik, lyfts för årskurserna 4 6 begrepp som tabell, diagram, data, medelvärde, typvärde, median och statistisk undersökning fram. Fokus ligger på lägesmått och i årskurserna 7 9 kommer även spridningsmått och grafer in. Vardagsanknytning och relevans understryks också i texterna. Variation i uttrycksformer i undervisningen är viktig för att stärka elevers förmåga att kunna förstå och växla mellan dessa begrepp. Nämnaren nr 4 2013 21
Sedan John Graunts undersökningar på 1600-talet har samhället utvecklats och med det även våra metoder för att använda statistik som ett sätt att hantera data. Statistik förekommer i olika former i den flod av information som samhällsmedborgare översköljs av dagligen. Undersökningar presenteras utifrån stickprov som representerar större populationer. Presentationer av undersökningar kan innehålla diagram av olika slag, tabeller och texter som beskriver medelvärden, spridning eller liknande. Viss information behöver inte tas i beaktande för den rör inte läsaren, men som medborgare är det värdefullt att kunna avgöra vilken information som är viktig eller intressant och hur informationen kan tolkas. Tabeller och diagram Data kan presenteras på olika sätt. När man vill få fram sitt budskap behöver man ta ställning till vad som ska lyftas fram. Ska man belysa faktiska antal eller procent, ska det vara i form av tabeller, stapeldiagram, cirkeldiagram eller något annat och vilka delar av datamaterialet ska vara med i redovisningen? Variationen i den presentation som läraren erbjuder eleverna är viktig för att de ska få tillfälle att lära sig att tyda och skapa egna representationer av data. Nedan finns ett exempel där tre klasser med totalt 72 elever har gjort en undersökning av vilken typ av vantar eleverna föredrar. Figur 1 visar det faktiska antalet i ett stapeldiagram medan figur 2 visar fördelningen i procent av pojkarna (totalt 39 pojkar) och av flickorna (totalt 33 flickor). Figur 1. Antal elever som har tumvantar eller fingervantar. Figur 2. Andel elever i procent av pojkar respektive flickor 22 NÄMNAREN NR 4 2013
Olika aspekter kommer fram olika klart i de båda diagrammen. Figur 2 visar inte hur många som deltagit i undersökningen, medan figur 1 gör det. Vi kan i figur 1 se att det är lika många pojkar som tycker om tumvantar som flickor som tycker om fingervantar. Figur 2 visar direkt på förhållandena mellan de olika preferenserna för pojkar respektive flickor, men dessa måste räknas ut i figur 1. Att gå från en absolut representation som vi har i figur 1 till en relativ representation som vi har i figur 2 kan var en utmaning för eleverna då de i det andra fallet måste utgå från helheten när de läser av diagrammet. Budskap kan bli missvisande Man kan alltså föra fram sitt budskap på olika vis, men också förvränga eller överdriva. Den utformning man väljer för sin presentation kan vara missvisande trots att den är korrekt. Cirkeldiagrammet i figur 3 representerar resultatet av en undersökning av elevers favoritfärg i en klass. Eleverna har valt att redovisa resultaten i procent i ett cirkeldiagram ritat i perspektiv med en viss tjocklek. Den del som ligger närmast betraktaren (den röda i detta fall) uppfattas då som större än den är i förhållande till övriga delar. Man kan missledas att tro att röd är en mer populär färg än lila. Figur 4 visar samma resultat i ett tvådimensionellt cirkeldiagram och då ser man att lila i själva verket är en mer populär färg än röd. Figur 3. Cirkeldiagram som lutats och ritats i perspektiv Figur 4. Tvådimensionellt cirkeldiagram NÄMNAREN NR 4 2013 23
Tre vanliga lägesmått De tre lägesmått som oftast används är medelvärde där det sammanlagda värdet delas med antal värden (aritmetiskt medelvärde), typvärde som anger det vanligast förekommande värdet och median som är det värde som hamnar i mitten av en uppradning av posterna i storleksordning (eller medelvärdet av de två i mitten om det är ett jämnt antal poster). Vi ska se hur dessa tre mått kan åskådliggöras med bilder. Vi börjar med medelvärde där alla värden slås samman och det som räknas är det tal vi får om vi fördelar det totala värdet på antalet värden vi hade från början. Man kan göra följande bild för att illustrera begreppet där första raden visar värdena 2, 2, 3, 5 och 8 som ska fördelas jämnt i fem grupper vilket resulterar i andra raden. ** ** *** ***** ******** **** **** **** **** **** Figur 5. Medelvärdet av 2, 2, 3, 5, 8 är 4 Medelvärdet i figur 5 är ett heltal men ibland behöver man dela för att det ska gå jämnt upp. Då kan man få data av typ 2,3 barn eller andra, utifrån vår verklighet, orimligheter. Eleverna måste förstå vad medelvärdet betyder för att kunna tolka 2,3 barn som något annat än att det rör sig om delar av barn. Median och typvärde är en annan sorts värde eftersom båda förkommer i datamaterialet från början, vilket visas i figur 6 och figur 7. ** ** *** ***** ******** Figur 6. Medianen av 2, 2, 3, 5, 8 är 3 ** ** *** ***** ******** Figur 7. Typvärdet av 2, 2, 3, 5, 8 är 2 Vilket mått man ska välja kan vara enkelt om de data man vill redovisa är ganska nära varandra i storlek. Lägesmåtten skiljer inte så mycket då. I annat fall kan det bli svårare, vilket följande exempel visar: 7 elever gjorde en undersökning för att redovisa sin månadspeng. Av dem fick 2 elever 1 050 kr (barnbidraget), var och en av de övriga fick 300, 400, 450, 500 respektive 5 000 kr. Resultatet redovisades sedan på följande sätt: Medelmånadspengen för oss 7 är 1 250 kronor. Majoriteten av eleverna i exemplet ligger ganska långt från medelvärdet och frågan är om det är det bästa lägesmåttet att använda här. Typvärdet hamnar på 1 050 kronor och medianen på 500 kronor. Exemplet visar på problematiken med ett litet och spretigt material som ska redovisas med statistik och hur valet av lägesmått bör väljas beroende på vad man vill ha sagt. Ett sätt att visa spridning är att göra ett lådagram. Detta lådagram består av medianen (500 i exemplet, d i figur 8) samt undre och övre kvartil som är medianen i datamaterialet till vänster respektive höger om medianen, om 24 Nämnaren nr 4 2013
materialet är storleksordnat (undre kvartil: 400 och övre kvartil 1 050 i exemplet, c respektive e i figuren). Största värde (5 000, b i figuren) och minsta värde (300, a i figuren) markeras också så att variationsbredden, som är det största värdet minus det minsta, blir tydlig. Figur 8. Lådagram för exemplet med månadspeng Statistik i undervisningen Statistik kan vara en väg att koppla samman olika områden i undervisningen. Samhällskunskap är ett ämne som erbjuder många möjligheter att använda statistiska metoder, som till exempel olika typer av diagram för att visa hur medborgare röstat i en viss fråga eller lägesmått och spridningsmått för att visa fördelning i något avseende. Historia, geografi och naturkunskap är andra områden som kan ge motsvarande möjligheter att visa eleverna nyttan med statistik i deras vardag. Frågor som: Hur ser världens produktion av järnmalm ut idag och för 100 år sedan? Hur har utvecklingen av mobiltelefoninnehav sett ut de senaste 10 åren? och Var i världen är det farligast att bo med avseende på sjukdomar, svält eller naturkatastrofer? kan vara grund för elevers undersökningar där de lär sig tolka statistiska framställningar, men också att själva hitta uttrycksformer för egna undersökningar eller sammanställningar. Här finns många tillfällen att låta eleverna använda internet för att ta fram och tolka data inom de områden som undersöks. Man kan också visa tillämpningar av statistik inom många yrken, till exempel inom ekonomi, politik och utbildning. Eleverna kan träna på att förhålla sig till tabeller, diagram och andra statistiska presentationer i tidningar, på tv och i andra medier. De kan till exempel läsa dagstidningar och se hur mycket statistik som används och i vilka former. Utifrån det kan de också få argumentera för fördelar och nackdelar med de olika sätten som används. Många begrepp inom matematisk statistik är relaterade till andra matematiska begrepp, till exempel proportion, procent och axlar i koordinatsystem. Genom att låta eleverna jobba med de olika begreppen på ett varierat sätt och jämföra och diskutera med sina klasskamrater kan de upptäcka nya aspekter av begreppen och befästa sådant de sett tidigare. Konkret material Kunskap om statistiska representationer kan grundläggas med hjälp av konkret material av olika slag för att åskådliggöra begreppen. Centikuber och multi linkkuber kan användas för att representera olika företeelser eller egenskaper, till exempel vilken årstid eleverna är födda. Elever som är födda december, januari eller februari tar varsin blå kub. De som är födda mars, april eller maj tar varsin röd kub och juni, juli och augusti representeras av gröna kuber. Resten av månaderna kan representeras av lila kuber. Därefter staplas kuberna på varandra var färg för sig och eleverna har då producerat ett stapeldiagram där de själva är synliga i form av sina födelsemånader. Nämnaren nr 4 2013 25
Elever kan också konkretisera statistiska representationer med stam-bladdiagram med post-it-lappar eller andra material som fästs på tavlan. Det kan till exempel röra sig om längden på eleverna i en klass. Fem elever har följande längder (i cm): 122, 118, 131, 120 och 116. Ett stam-blad-diagram kan se ut som följer där de två första siffrorna i talen utgör stammen och entalssiffrorna bladen som eleverna själva fäster på stammen: 11 6 8 12 0 2 13 1 Olika representationer för samma uppsättning data ger eleverna insikt i fördelar och nackdelar med de olika sätten att presentera data. Det kan också visa på kopplingen mellan de olika metoderna att sammanställa data. Eleverna kan behöva visuellt stöd för att förstå samband mellan olika representationer. Cirkeldiagram och stapeldiagram kan kopplas samman med hjälp av pärlor som används för att göra ett stapeldiagram. Låt oss återgå till exemplet med barnens födelsemånader. Använd pärlor i olika färger för de olika årstiderna och lägg som ett stapeldiagram. Låt sedan eleverna trä staplarna i tur och ordning på ett snöre vars ändar binds ihop när de fyra staplarna är på plats på snöret. Eleverna har då skapat ett cirkeldiagram av staplarna och kan se på fördelning av födelsedagarna över årstiderna utifrån helheten i termer av procent och del av hel. De olika representationerna illustreras i figur 9. 8 6 4 2 0 vinter vår sommar höst Figur 9. Stapeldiagram och cirkeldiagram över samma datamaterial. vinter vår sommar höst Cirkeldiagram kräver att man kan tänka i andelar av helhet. I de tidiga årskurserna där eleverna inte tränat bråkräkning eller procenträkning kan därför vissa typer av diagram innebära problem. Trots det kan t ex konstruktionen av ett cirkeldiagram, som beskriver data i en egen undersökning, tjäna som motivation för en senare undervisning i bråkräkning. Det kan finnas elever kanske inte så få som klarar sådana konstruktioner på egen hand. En version av denna text ingår i modulen Sannolikhet och statistik för åk 4 6, inom matematiklyftets lärportal (Skolverket). Läs mer om denna modul på s 63-64. att läsa Konold, C. & Higgin, T. L. (2003). Reasoning about data. I J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Schifter (red). A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM. Hagland, K. (2010) Ta till en tabell. Nämnaren 2010:2. NCM. Fritt tillgänglig på ncm.gu.se/pdf/namnaren/5964_10_2.pdf Dunkels, A. (1991) Den första statistiken. Nämnaren 1991:3-4. NCM. Fritt tillgänglig på ncm.gu.se/pdf/namnaren/104107_91_3-4.pdf 26 Nämnaren nr 4 2013