Institutionen för systemteknik

Institutionen för systemteknik Department of Electrical Engineering Examensarbete Totalenergikompensering för segelflygplan Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping av Daniel Arnberg LiTH-ISY-EX-05/3674-SE Linköping 2005 Department of Electrical Engineering Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden Linköpings tekniska högskola Linköpings universitet 581 83 Linköping

Totalenergikompensering för segelflygplan Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping av Daniel Arnberg LiTH-ISY-EX-05/3674-SE Handledare: Examinator: Sven-Åke Eriksson Research Electronics AB David Törnqvist isy, Linköpings universitet Anders Helmersson isy, Linköpings universitet Linköping, 10 juni, 2005

Avdelning, Institution Division, Department Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet S-581 83 Linköping, Sweden Datum Date 2005-06-10 Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport ISBN ISRN LiTH-ISY-EX-05/3674-SE Serietitel och serienummer Title of series, numbering ISSN URL för elektronisk version http://www.control.isy.liu.se Titel Title Totalenergikompensering för segelflygplan Total energy compensation Författare Author Daniel Arnberg Sammanfattning Abstract All glider pilots are interested in finding thermal areas to gain altitude. The glider pilot has a number of instrumens to his aid including the variometer. The variometer shows the vertical speed of the glider. An alternative solution is the TE-variometer that displays the change of rate in the gliders total energy. The ordinary variometer will indicate the rate of climb when the glider exchanges speed to altitude and vice verse while the goal with the TE-variometer is to indicate the rate of change in energy due to the air. In the latter case the pilot can get a better understanding how the air influences the glider independently of how the glider is manoeuvered. Here, the changes in kinetic energy is compensated with the changes in potential energy, total energy compensation. Total energy compensation for a glider can be achieved in several different ways. The instruments on the market today uses in many cases a TE-pipe. A big disadvantage with these instruments is that they do not compensate for energy losses. Alternative solutions to these instruments are therefore of interest. One idea is to calculate a gliders total energy in a microprocessor to reveal thermal areas. The purpose of this work is to develop a prototype and to investigate if these calculations and measurements are possible to make. The results shows that the possibilities are good. Nyckelord Keywords totalenergikompensering, polarkurva

Abstract All glider pilots are interested in finding thermal areas to gain altitude. The glider pilot has a number of instrumens to his aid including the variometer. The variometer shows the vertical speed of the glider. An alternative solution is the TE-variometer that displays the change of rate in the gliders total energy. The ordinary variometer will indicate the rate of climb when the glider exchanges speed to altitude and vice verse while the goal with the TE-variometer is to indicate the rate of change in energy due to the air. In the latter case the pilot can get a better understanding how the air influences the glider independently of how the glider is manoeuvered. Here, the changes in kinetic energy is compensated with the changes in potential energy, total energy compensation. Total energy compensation for a glider can be achieved in several different ways. The instruments on the market today uses in many cases a TE-pipe. A big disadvantage with these instruments is that they do not compensate for energy losses. Alternative solutions to these instruments are therefore of interest. One idea is to calculate a gliders total energy in a microprocessor to reveal thermal areas. The purpose of this work is to develop a prototype and to investigate if these calculations and measurements are possible to make. The results shows that the possibilities are good. v

Sammanfattning Segelflygare är både allmänt och i tävlingssammanhang intresserade av att finna områden med stigande luft för att på så sätt vinna höjd. Till segelflygarens hjälp finns ett antal flygplansinstrument. Bland dessa instrument inkluderas variometern. Variometern visar vilken fart flygplanet har i vertikalled. En variant av variometern är TE-variometern som istället visar förändringar i totala energin hos flygplanet. Den vanliga variometern ger utslag när flygplanet omvandlar fart till höjd och vice versa medans tanken med TE-variometern är att den endast ska visa energi som tillkommer/försvinner från luften. I det sist nämnda fallet kan piloten få en bättre uppfattning om hur luften påverkar flygplanet oavsett hur flygplanet manövreras. Här kompenseras förändringar i kinetisk energi med förändringar i potentiell energi, totalenergikompensering. Totalenergikompensering för segelflygplan kan åstadkommas på flera olika sätt. De flygplansinstrument som finns idag använder sig i de flesta fall av ett TEK-rör. En stor nackdel med dessa system är de inte kompenserar för den energiförlust som ständigt är gällande. Det finns därför intresse att söka alternativa lösningar. En idé är att med givare och mikroprocessor räkna ut segelflygplanets totala energi för att avslöja om termik finns i aktuellt område. Syftet med det här examensarbetet är att ta fram en prototyp till ett sådant flygplansinstrument för att se om mätningar kan göras av sådan precision att dessa beräkningar är möjliga. Resultaten visar att möjligheterna är goda. vii

Tack Jag vill rikta ett stort tack till alla på Research Electronics AB. Jag vill framför allt tacka min handledare Sven-Åke för all hjälp, stöd och inspiration under mitt examensarbete men även Greger för bidragen av hans oklanderliga programmeringskunskaper och Hasse för tillverkningen av kretskort med minutiös precision. Jag vill även tacka min examinator Anders Helmersson för hans bidrag till teoriavsnitten. ix

Innehåll 1 Introduktion 1 1.1 Bakgrund................................ 1 1.2 Målsättning............................... 1 1.3 Rapportens upplägg.......................... 1 2 Segelflygteori 3 2.1 Atmosfären............................... 3 2.1.1 Statiskttryck... 3 2.1.2 Dynamiskt tryck........................ 3 2.2 Flygmekanik.............................. 4 2.2.1 Lyftkraften........................... 4 2.2.2 Luftmotståndet......................... 5 2.3 Energiberäkningar........................... 5 2.4 Polarkurva............................... 6 2.5 G-belastning.............................. 8 3 Befintliga system 9 4 Implementering 11 4.1 Hårdvara................................ 12 4.1.1 C515C-kitet........................... 12 4.1.2 Statiskttryck... 12 4.1.3 Dynamiskt tryck........................ 15 4.1.4 Accelerometer.......................... 16 4.2 Mjukvara... 17 4.2.1 Mikroprocessorn... 17 4.2.2 Matlab............................. 17 5 Flygtest 19 5.1 Resultat... 20 5.1.1 Framtagning av polarkurva för Janus B........... 21 5.1.2 Filtrering............................ 22 5.1.3 Flygning med g-belastning................... 25 5.1.4 Normal flygning........................ 26 5.2 Slutsats flygtest............................. 27 xi

5.3 Fortsattarbete... 27 6 Slutsatser 29 6.1 Framtida studier............................ 29 Litteraturförteckning 31 A Härledning av polarkurva 33

Kapitel 1 Introduktion 1.1 Bakgrund Examensarbetet tillkom genom att Sven-Åke Eriksson på Research Electronics AB i Siljansnäs ville testa en ny idé för att göra totalenergikompensering för segelflygplan. Idén grundar sig på att mäta statiskt tryck, dynamiskt tryck samt g- belastning för att kunna beräkna ett segelflygplans totala energi i en mikroprocessor. För att kunna genomföra beräkningarna ställs höga krav på mätningarna och i synnerhet mätning av statiskt tryck. Det är de nya 24-bitars AD-omvandlarna som ger förhoppningar om att kunna göra den mätningen med tillräcklig precision. Anledningen till att beräkna segelflygplanets totala energi är att energibidrag från eventuell termik kommer att avslöjas. Med detta som mål kan den hastighet som planet har i höjdled som enbart termiken bidrar med beräknas. De instrument som finns på marknaden i dag bygger på en princip som gör att dessa instrument blir missvisande. Det finns därför intresse av att med hjälp av den nya idén kunna åstadkomma en bättre totalenergikompensering. 1.2 Målsättning Målet med examensarbetet är att utröna om idén är genomförbar och i så fall hur bra totalenergikompenseringen kan göras med ett system bestående av sensorer, AD-omvandlare och mikroprocessor. 1.3 Rapportens upplägg Kapitel 2: Segelflygteori Genomgång av den teori som totalenergikompensering grundar sig på. Kapitel 3: Befintliga system Kort beskrivning av de system som finns på marknaden idag. 1

2 Introduktion Kapitel 4: Implementering Kapitel om den hårdvara som utvecklats för att kunna genomföra de mätningar som behövs för totalenergikompenseringen. Kapitel 5: Flygtest Hårdvaran monterades i ett segelflygplan och loggfil gjordes över alla mätningar. Resultatet beskrivs i detta kapitel. Kapitel 6: Slutsatser Innehåller de slutsatser som gjorts under det här exjobbet. Matlab har använts för uträkningar samt plottar. Program för mikroprocessorn är skrivna i c och assembler.

Kapitel 2 Segelflygteori I detta kapitel beskrivs den teori som behövs för att kunna utföra totalenergikompensering. Först en kort genomgång av faktorer som påverkar, sedan följer beräkningar på energin hos segelflygplanet. 2.1 Atmosfären Några begrepp som är av betydelse inom ämnet flyglära och aerodynamik kräver en närmare definition. 2.1.1 Statiskt tryck Luftens statiska tryck uppkommer av luftens tyngd på en bestämd yta. I en tänkt luftpelare med tvärsnittytan 1 m 2 som sträcker sig från havsytan till oändligenheten beror det statiska trycket på tyngden av den luftvolym som befinner sig ovanför. Vid havsytan har denna luftpelare en tyngd av 10, 333 ton och utövar således ett tryck av 101, 325 kpa. Som exempel kan nämnas att det statiska trycket på 5 km höjd är ungefär hälften av trycket vid havsytans nivå. Statiskt tryck kommer i fortsättningen att betecknas P. Höjd kan fås ur statiskt tryck genom sambandet [9]: h = R T ( ) P (h) M a g ln (2.1) P 0 där R är en proportionalitetskonstant, T temperaturen i Kelvin, g tyngdaccelerationen, M a luftens medelmolvikt och P 0 trycket vid höjden h = 0. Enligt internationella standardatmosfären, ISA, är medeltemperaturen vid havsytans nivå 15 C och lufttrycket 101, 325 kpa. Temperaturen avtar enligt denna modell med 6, 5 C/km i höjdled. 2.1.2 Dynamiskt tryck Det dynamiska trycket uppstår vid luftens strömning mot en yta och är beroende på luftens täthet och dess strömningshastighet. Vid de låga farter som är aktuella 3

4 Segelflygteori inom segelflygning kan luften betraktas som en inkompressibel gas. Dynamiskt tryck kan då definieras på följande sätt [11]: q = ρ v2 2 (2.2) där ρ är lufttätheten och v strömningshastigheten. Även ρ avtarmed höjden. Med hjälp av ideala gaslagen kan ρ approximeras enligt [9]: ρ = M a P R T (2.3) där T avtar på samma sätt som i (2.1). 2.2 Flygmekanik Figur 2.1. Vingprofil. V är vingens hastighet relativt luftens. Luftmotståndet är parallell med v och lyftkraften är vinkelrät mot luftmotståndet. 2.2.1 Lyftkraften Lyftkraften påverkas av följande faktorer: Lyftkraftskoefficienten C L (α) som är beroende av vingprofilen och vingens anfallsvinkel Dynamiska trycket q Vingytan S Lyftkraften kan då tecknas [11]: L = C L (α) q S (2.4)

2.3 Energiberäkningar 5 2.2.2 Luftmotståndet I likhet med lyftkraften är även motståndet beroende av en koefficient, det dynamiska trycket och av vingytan enligt följande: Motståndskoefficienten C D som i sin tur är beroende av nollmoståndet C D0 och inducerade motståndet C Di Dynamiska trycket q Vingytan S Nollmotståndet är hela flygplanets luftmotstånd vid en anfallsvinkel där den resulterande lyftkraften är noll. Inducerade motståndet är ett extra motstånd som uppstår på grund av kantvirvlarna vid vingspetsarna. Den kraft luftmotståndet ger upphov till kan tecknas [11] : där C D = C D0 + C Di 2.3 Energiberäkningar D = C D q S (2.5) Den energi segelflygplanet har vid en tidpunkt t kan enkelt utryckas: E = m g h(t)+ m v(t)2 (2.6) 2 Under ideala förhållanden där ingen energiförlust eller inverkan av termik är närvarande skulle denna energi vara konstant. Under icke ideala förhållanden minskar energin på grund av luftmotståndet som uppstår när planet rör sig genom luftmassan. Om antagandet görs att denna energiförlust är känd, E förlust, skulle den från början tillförda energin, E t, minska enligt följande: E t E förlust = m g h(t)+ m v(t)2 (2.7) 2 Överflyttning av energiförlusten samt införandet av energiterm från termikbidrag fås totala energin för ett segelflygplan E t + E termik = m g h(t)+ m v(t)2 + E förlust (2.8) 2 Effekten fås genom derivering av energin (observera att E t är konstant) E t + Ėtermik = P termik = d (m g h(t)+ m ) v(t)2 + P förlust (2.9) dt 2 Omskrivning med sambandet P = m g v(t) fås segelflygplanets hastighet i vertikalled som termiken bidrar med v termik (t) = d dt (h(t)) + d dt ( v(t) 2 2 g ) + P förlust m g (2.10)

6 Segelflygteori Termen P förlust m g är den specifika effektförlust för segelflygplanet som uppstår på grund av luftmotståndet och kommer i fortsättningen kallas för sjunkhastighet. Sjunkhastigheten kan beskrivas i en polarkurva (se kapitel 2.4). I det fall luftens rörelse inte är konstant blir vi tvungna att utrycka v och h iett inertiellt koordinatsystem. Vi inför därför beteckningarna v flygplan som är farten flygplanet har relativt luften samt v luft som är luftens fart relativt det inertiella koordinatsystemet. Vi beräknar därefter effekten P på följande vis: P = F v = F ( v luft + v flygplan ) (2.11) där F, v luft och v flygplan är vektorer i det inertiala koordinatsystemet, betecknar alltså här en skalärprodukt. Normering med 1/(m g) i (2.11) (på samma sätt som i (2.10)): 1 P m g = F 1 ( v luft + v flygplan ) (2.12) m g Låt vektorn n = Luftkraft tyngdkraft beteckna lastfaktorn. Vi får att lastfaktorn n = F 1 m g : P 1 m g = n ( v luft + v flygplan ) Vi ser här att effekten normerad med 1/(m g) som luften tillför flygplanet blir 2.4 Polarkurva P luft 1 m g = n v luft Effektförlusten beror på luftmotståndet och kan med hjälp av (2.5) skrivas: D v(t) =q S C D v(t) (2.13) I figur 2.1 ses att luftmotståndet D har en koppling till lyftkraften L och vi betraktar därmed C D som en funktion av C L och kan enligt (2.4) skriva: ( ) L C D (C L )=C D (2.14) q S Den specifika effektförlusten som är segelflygplanets sjunkhastighet, v S, blir med hjälp av (2.13) och (2.14): v S = D v(t) m 0 g = q S v(t) ( ) L C D (2.15) m 0 g q S Utnyttjandet att lyftkraften L m 0 g vid planflykt samt utbyte av q från ekvation (2.2) insatt i ekvation (2.15) ger slutligen v S ρ ( ) v(t)3 S 2 2 m 0 g C m0 g D ρ v(t) 2 (2.16) S

2.4 Polarkurva 7 Ett diagram med v S plottat som funktion av v kallas för polardiagram. Kurvan för sjunkhastighet kallas polarkurva. Polarkurvan ser olika ut för varje flygplansindivid. Sjunkhastigheten är ett sätt att beskriva den energi som går förlorad på grund av luftmotståndet för olika farter. Observera att det finns ett sjunkhastighetsbidrag även när segelflygplanet stiger eftersom det är ett mått på energiförlusten som uppstår av att planet rör sig genom luftmassan. Då extra vikt lastas i segelflygplanet ökar sjunkhastigheten. Varje punkt på polarkurvan förskjuts då utefter en tangenten genom origo. Den nya farten för bästa glidtal blir enligt [11] m v 2 = v 1 (2.17) m 0 där m är totala vikten och m 0 är ursprungs vikten som polarkurvan är plottad för. Figur 2.2 visar hur polarkurvan förflyttas vid ökad vikt. 0 V1 V2 1 Sjunkhastighet [m/s] 2 3 4 5 6 7 0 50 100 150 200 250 300 Fart [km/h] Figur 2.2. Förflyttning av polarkurvan vid ökad vikt.

8 Segelflygteori 2.5 G-belastning När piloten gör en manöver med segelflygplanet som medför en extra g-belastning (utöver vanliga tyngdaccelerationen) så ökar energiförlusten. Det kan intuitivt förstås då pilotens manövrering får flygplanet att stiga. Den acceleration som planet gör i vertikalled fodrar mer lyftkraft ur vingarna. För att få mer lyftkraft ur vingarna åtgås mer energi vilket bidrar till flygplanets energiförlust. Den extra energiförlusten ger ökad sjunkhastighet. Lyftkraften blir L = n m g som i (2.15) ger sjunkhastigheten vid g-belastning v S,G-belastat = ρ ( ) v(t)3 S 2 n m g C D 2 m g ρ v(t) 2 (2.18) S Utryckt i den ordinarie polarkurvan samt insättning av sambandet (2.17) v S,G-belastat = ρ v(t)3 S 2 m g 2 m 0 g ) 3 v S (v(t) S ρ (v(t) m 0 n m ( m = n 3/2 v S v(t) m 0 Se bilaga A för detaljerna i dessa beräkningar. ) m0 n m ) m0 n m (2.19)

Kapitel 3 Befintliga system Den variant på totalenergikompensering som segelflygplanspiloter har att tillgå idag baseras nästan uteslutande på TEK-rör. TEK-rörets utformning är sådan att röret är vinkelrät avkapat samt har änden tilltäppt. De sista centimetrarna av den änden är sedan böjt uppåt i ca 70 vinkel. På baksidan av den uppböjda delen är två hål uppborrade. När anströmmande luft föreligger uppstår ett undertryck i röret på grund av hålen. Undertrycket är beroende av hålens avstånd från änden, farten på den anströmmande luften samt det statiska trycket. Röret monteras sedan på utsidan av flygplanet på lämpligt ställe, vanligtvis på fenan. När flygplanet omvandlar kinetisk energi mot potentiell energi får fartminskningen trycket att öka i röret (eftersom undertrycket minskar) samtidigt som det statiska trycket minskar på grund av högre höjd. Om utformingen av röret görs sådan att dessa tryckförändringar tar ut varann har en form av totalenergikompensering erhållits. Det finns ett antal brister med dessa system, en av dom största är att energiförluster inte kompenseras bort. Detta bidrar till att flygplansinstrumentet aldrig visar enbart den energi som termiken bidrar med. Instrumentet kommer även visa mer eller mindre fel beroende på hurvida segelflygplanet accelererar eller ej. Många instrument görs därför långsamma för att inte dessa fenomen ska synas lika väl. Utformningen av TEK-röret och placeringsfel är ytterligare orsaker som bidrar till missvisande totalenergikompensering. Vanligt bland tillverkare av TEKvariometerar är att instrumentet producerar ett ljud vars frekvens förändras med totala energin. Piloten kan då lyssna på detta ljud och behöver inte ägna uppmärksamhet åt att titta på instrumentet. Accelerometrar används i vissa av dessa instrument men har då endast till uppgift att styra ljudet beroende på vad förändringen av totala energin beror på. Exempel på funktioner som brukar ingå i ett vanlig TEK-instrument: Ställbar responstid för instrumentet Filter för att motverka effekter av turbulens Producerat ljud vars frekvens är proportionellt mot sjunkhastighet och/eller stighastighet 9

10 Befintliga system En längre medelvärdesbildare för stighastigheten (ex över 30 sekunder) Kommunikation till/från andra mätinstrument och datorer Möjlighet att sammankoppla instrumentet till PC har också blivit vanligt för att göra det möjligt att uppgradera mjukvaran i instrumentet. Det har även blivit vanligt att sammankoppla flera system. Exempelvis kan TEK-variometern sammankopplas med GPS-navigator och logger. Det är då möjligt att också få information om position samt att logga samtliga parametrar för inspektion i efterhand. Kommunikation med en PDA är också något som fått stort genomslag de senare åren. Det är på en PDA möjligt att visa kartor över terrängen man flyger över inkluderat sjöar, berg, skogar, vägar och flygplatser. Allt sammantaget gör det lättare för piloten att både navigera och att hitta områden med termik. Bland tillverkare av TEK-rör finns bla esa-systems [4] och ILEC [2]. Stora tillverkare av instrument för totalenergikompensering är bland annat Cambridge aero instruments [1], Borgelt instruments [3], Zander [5] och ILEC [2]. För ytterligare information om totalenergikompensering baserad på TEK-rör och de fel som kan uppstå, se [6] och [7].

Kapitel 4 Implementering Den hårdvara samt den mjukvara som använts i testflygningen i kapitel 5 tas upp i detta kapitel. En skiss över systemet visas i figur 4.1. Figur 4.1. Principskiss över hårdvaran i prototypen. 11

12 Implementering 4.1 Hårdvara 4.1.1 C515C-kitet Figur 4.2. C515C-Kitet som Research Electronics AB har utvecklat. Research electronics AB har tagit fram ett utvecklingskort baserat på mikroprocessorn C515C tillverkad av Siemens. Utvecklingskortet innehåller förutom mikroprocessorn ROM, RAM, spänningsregulatorer samt serieport för kommunikation. I ROM-minnet finns ett monitorprogram som möjliggör nerladdning av program från PC samt debug-verktyg. Mikroprocessorn arbetar med klockfrekvensen 10 MHz och innehåller bland annat följande: 5 stycken 8-bitars I/O portar 10-bitars AD-omvandlare SPI, synkront serieports interface UART 3timers CAN controller 4.1.2 Statiskt tryck Den mest kritiska mätningen är av det statiska trycket. För att få ett fungerande instrument uppskattas att mätning på decimeternivå i höjd krävs. Med anledning av detta konstruerades ett kretskort innehållande sensor, spänningsregulator, OP-förstärkare samt en 24-bitars AD-omvandlare. AD-omvandlaren är tillverkad av Linear Technology och heter LTC2440. Den kan programmeras i olika moder där den långsammaste moden, 6,9 Hz, innehåller minst omvandlingsbrus och är

4.1 Hårdvara 13 Figur 4.3. Kretskort för mätning av statiskt tryck. den som används i flygtestet i kapitel 5. AD-omvandlaren har en kanal och den används till mätning av statiskt tryck. Omvandlingen skickas till mikroprocessorn via synkront seriellt snitt. Tryckgivaren är tillverkad av honeywell, CPC 15, och kan mäta tryck från 0-15 psi vilket motsvarar 0-1034 hpa. Ett överslag på upplösningen som krävs kan göras. Vid marknivå motsvarar 1 hpa ungefär 8 meter. Fullt utslag från givaren är 90 mv: 1 dm 1 80 hpa 90 1, 088 µv 80 1034 För att kunna mäta 1 dm höjdskillnad av atmosfärstrycket krävs alltså en upplösning på 1 µv från AD-omvandlaren. Kretskortet har utrustats med egen spänningsregulator för att minska bruset i referensspänningarna till AD-omvandlaren. Känsliga ledare, mellan tryckgivare och AD-omvandlaren, har gjorts så korta som möjligt samt med omliggande jordplan för att minimera störningar. I övrigt är kretsschemat enligt tillverkarens rekommendationer för att minimera brus. LTC2440 är en 24-bitars AD-omvandlare men där ytterligare 5 bitar kan plockas ut för statistisk behandling om så önskas. Med referensspänningen 5 V fås med 29 bitar en upplösning av 10 nv. Enligt tillverkaren skall omvandlingsbruset vara 200 nv vilket ligger väldigt nära de resultat som erhållits i mätningar av statiskt tryck. 200 nv motsvarar i höjd ungefär 4,9 cm. Det krävs alltså en statistisk behandling av mätningarna i statiskt tryck för att kunna mäta 1 dm i höjd.

14 Implementering Kalibrering av statiskt tryck har erhållits genom parallellkoppling av mätutrustningen och ett flygplans höjdmätare som i sin tur anslutits till en vakumpump. Värden från AD-omvandlaren har sedan noterats för olika höjder. Därefter har i Matlab 1 anpassning av de uppmätta värdena för olika höjder till kurvan för den teoretiska standardatmosfären i (2.1) gjorts. Skalning och translation av mätvärden sker med kalibreringskonstanterna k respektive m som skattas i minsta kvadrat-mening. Anpassningen kan ses i figur 4.4. 100 90 Pmätning(h) [kpa] 80 70 60 50 40 30 30 40 50 60 70 80 90 100 Pteoretisk(h) [kpa] Figur 4.4. Kalibrering av mätningar från statiskt tryck till standardatmosfären. Fel respektive osäkerhet som är behäftade med mätning av statiskt tryck: Placeringsfel av statisk tryckport Hysteres i tryckgivaren Tryckförändringar vid acceleration Kalibreringskonstanter Skillnad mellan verklig atmosfär och standardatmosfären ISA 1 Kommandot polyfit applicerar ett polynom med givet gradtal på en vektor för att den i minsta kvadrat-mening ska anpassas till en annan vektor. Polynomet har valts till graden ett vilket medför att kalibreringen fås på formen: k mätvärde + m, där k och m är de sökta kalibreringskoefficienterna

4.1 Hårdvara 15 4.1.3 Dynamiskt tryck Figur 4.5. Kretskort för mätning av dynamiskt tryck. Dynamiskt tryck valdes att mätas med en tryckgivare från SenSym, SDX 01D4, samt använda AD-omvandlaren i mikroprocessorn. Tryckgivaren är differentiell vilket innebär att den har två ingångar varvid den första sammankopplas med pitotröret och den andra till statiskt tryck och på utgången fås skillnaden mellan dessa. Eftersom det i pitotröret finns summan av statisk och dynamiskt tryck fås ur tryckgivaren endast dynamiskt tryck. Mikroprocessorns AD-omvandlare får med referensspänning 5V upplösningen 4,9 mv, varav signal från tryckgivaren måste förstärkas. Med en OP-förstärkare AD623 görs därför en förstärkning på 55 ggr varefter signalen filtreras med en RC-länk. Vi uppskattar att hastigheten på ett segelflygplan inte kan ändras särskilt snabbt varför gränsfrekvensen sätts till låga 8 Hz. Det brus som uppstår i den elektronik som berör fartmätningarna är mycket lägre än upplösningen på AD-omvandlingen och kan därför försummas i omvandlingsresultatet. Kalibrering av den digitala representationen från mikroprocessorns AD-omvandlare till fart har erhållits genom mätning av millimeter vattenpelare. De tryck som vattenpelaren ger upphov till blir: P = F/A = h ρ vatten g (4.1) Där h är höjden på vattenpelaren och ρ vatten densiteten för vatten. Vattenröret sammankopplas sedan med uttaget för dynamiskt tryck och man får med hjälp av (2.2) och (4.1): P = q h ρ vatten g = ρ v2 2 Ur vilket v 2 kan lösas ut: v 2 = 2 ρ vatten g h ρ v 2 blir en funktion av enbart höjden på vattenpelaren. Vid noterandet av ADomvandlarens resultat vid olika höjder på vattenpelaren kan omvandling från mätvärdet till farten i kvadrat göras. AD-omvandlarens offset är mätvärdet då höjden

16 Implementering på vattenpelaren är noll. Luftens densitet, ρ, är vid kalibreringen satt till 1,2 kg/m 3 vilket motsvarar densiteten på luft vid marknivå. Kalibreringen fås på formen (mätvärde + K 3 ) A. A motsvarar här en annan konstant K 4 /ρ, därρ kan beräknas för olika höjder enligt (2.3). Fel och osäkerhet som kan uppstå vid mätning av dynamiskt tryck: Design av pitotröret Hysteres i tryckgivaren Felaktighet i dynamiskt tryck på grund av störning av luften runt pitotröret. Störningen kan i sin tur bero på: Anfallsvinkel Acceleration Placeringsfel Kalibreringskonstanter Felaktig registrering av statiskt tryck 4.1.4 Accelerometer Figur 4.6. Kretskort för mätning av acceleration. En två-axlig accelerometer, ADXL320, har anslutits till AD-omvandlaren på C515C-kitet. Denna anordning är tänkt skall mäta g-belastningen vid flygningen. Accelerometern klarar upp till ± 5 g. Kalibrering av dessa mätningar har erhållits genom att mäta jordaccelerationen och skala mätningen till 1 vilket motsvarar lastfaktorn då utrustningen ej accelererar.

4.2 Mjukvara 17 4.2 Mjukvara 4.2.1 Mikroprocessorn Till en inledande flygtest skrevs ett program som endast skickade ut mätdata på serieporten till en portabel PC som i sin tur kunde spara dessa i en loggfil. Hur dessa mätvärden behandlats beskrivs i kapitel 4.2.2 och resultatet av behandlingen återfinns i kapitel 5. Drivrutiner till mikroprocessorn är skrivna i assembler och övrig kod i C. Den kod som fanns att tillgå sen tidigare var drivrutiner för seriekommunikationen samt program till PC för loggning av data. 4.2.2 Matlab Mätvärden som loggats från flygtestet har behandlats i Matlab. Målet är att beräkna v termik i (2.10). Pseudokoden nedan visar hur höjd har beräknats ur mätvärden av statiskt tryck (enligt (2.1)): P statiskt = P mätvärde k + m h ISA = (R T )/(M a g)ln(p statiskt/p 0) h = h ISA h flygplats Där R, M a, g och P 0 är konstanter men förenkling av modellen i (2.1) har gjorts genom att även sätta T till en konstant. Med h ISA menas höjden i standardatmosfären. P 0 avser alltså trycket vid havsytan i standard atmosfären. k och m är de kalibreringskonstanter som beräknats i kapitel 4.1.2. Slutligen dras höjden vid flygplatsen bort för att få just höjden över flygplatsen. Fart har beräknats ur mätvärden i dynamiskt tryck enligt: rho = M a/(r T ) P statiskt v 2 =(q mätvärde + K 3) K 4/rho v = sqrt(v 2 ) Där kalibreringskonstanterna är tagna från kapitel 4.1.3. Derivatorna approximeras med bakåtdifferans enligt [10]: f(t) f(t) f(t h) h (4.2) Med diskreta sampelvärden, S, kan (4.2) skrivas: f(t) S[n] S[n 1] (4.3) t s där t s är sampelintervallet. Polarkurvan beskrivs i ett tredjegradspolynom på formen: C 1 v 3 + C 2 v 2 + C 3 v + C 4 där C n,n =1...4, är konstanter vars värden bestäms ur flygtestet i kapitel 5.1.1. Polarkurvans påverkan vid g-belastning samt vid eventuell viktändring blir enligt

18 Implementering (2.19): n 3/2 ( m m 0 C 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ) m0 m0 m0 v + C 2 v + C 3 v + C 4 m n m n m n (4.4) Vi har även genomgående i flygtestet att m = m 0 eftersom ingen extra vikt lastats i planet efter det att C n,n=1...4 blivit uppmätta.

Kapitel 5 Flygtest Figur 5.1. Segelflygplanet Janus B som användes vid testflygningen. Hårdvaran som beskrevs i kapitel 4 monterades i ett segelflygplan för ett inledande test. I det här kapitlet demonstreras resultatet. Flygtestet utfördes i ett tvåsittsigt segelflygplan vid namn Janus B vid Siljansnäs flygklubb (se figur 5.1). För att få med relevanta data bestämdes på förhand olika flygmanövrar. Bland dessa inkluderades bland annat: Fartupptagning från min till max hastighet Extrem g-belastning Sväng 30 Sväng 60 Flygningen valdes att göras en stillsam dag så att någon termik inte skulle påverka mätningarna. Ingen Matlabkod för beräkningar fanns att tillgå sen tidigare. 19

20 Flygtest 5.1 Resultat Utvalda mätdata av relevans har behandlats i Matlab och visas nedan. Varje sampel för de olika mätningarna har behandlats med respektive kalibreringskoefficienter från kapitel 4.1 för att få statiskt tryck, farten i kvadrat samt lastfaktor. Höjd beräknas med hjälp av (2.1) där temperaturen är satt till en konstant, 288 K. Följden av det blir att höjden i respektive figurer inte blir helt korrekt. Intresset ligger istället i hur stort felet i derivatorna för beräkningen av v termik blir. En jämförelse av respektive derivator för olika temperaturer har gjorts och visar att felet blir försumbart. Det är dock möjligt att temperaturkompensering krävs då flygning görs på högre höjd än vad som gjorts i detta flygtest. För beräkning av derivatorna i (2.10) används bakåtdifferans enligt (4.3). Efter att konstanterna för polynomet som beskriver polarkurvan blivit framtagna i avsnitt 5.1.1 används (4.4) för att beräkna effektförlusterna. Dynamiskt tryck är vid denna provflygning kopplad till pitotröret. Statiskt tryck är mätt i kabinen. Detta är naturligvis inte att rekommendera för ett färdigt instrument eftersom vädringsluckor och liknande påtagligt kan förändra trycket i kabinen. Med detta i åtanke har dock åtgärder vidtagits för att minska den typen av störningar vid denna flygning.

5.1 Resultat 21 5.1.1 Framtagning av polarkurva för Janus B I figur 5.2 visas fartupptagning från minimal till maximal fart. Om antagandet att ingen termik inverkat kan v termik i (2.10) sättas till noll och vi kan lösa ut P förlust. Studie av mätningen av g-belastningen ger indikationer om att den ej påverkar sjunkhastigheten vid denna manöver i någon större grad. Med det som utgångspunkt har i Matlab 1 en polarkurva tagits fram i form av ett 3:e gradspolynom (se figur 5.2(d)). Vid jämförelse med flygplanstillverkarens polarkurva för 1200 65 1150 60 1100 55 1050 50 Höjd [m] 1000 950 Fart [m/s] 45 40 900 35 850 30 800 25 750 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid [s] 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid [s] (a) Höjd (b) Fart 15 1 10 0 5 1 Sjunkhastighet [m/s] 0 5 10 15 Sjunkhastighet [m/s] 2 3 4 5 6 20 7 25 8 30 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 Fart [m/s] (c) Sjunkhastighet framtagen ur (2.10) 9 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 Fart [m/s] (d) 3:e gradspolynom skapat ur sjunkhastigheten i figur 5.2(c). Streckad linje är flygplanstillverkarens polarkurva Figur 5.2. Framtagning av polarkurva ur flygning från min till maxfart. Janus B kan nämnas att vi fått en något större sjunkhastighet. Detta var dock väntat eftersom flygningen gjordes med otejpat 2 flygplan. Polynomet i figur 5.2(d) tillsammans med mätning av g-belastning används i fortsättningen för att beräkna effektförlusterna i (2.10). Totalenergikompensering kan göras på den här delen av flygningen och visas i figur 5.3. 1 Toolbox cftool 2 Segelflygplanets skarvar brukar tejpas för att minska luftmotståndet.

22 Flygtest 20 15 10 Vtermik [m/s] 5 0 5 10 15 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid [s] Figur 5.3. Totalenergikompensering på min till max fart. 5.1.2 Filtrering Totalenergikompenseringen i figur (5.3) är väldigt brusig och kräver någon form av statistisk behandling. Många former av filtrering har provats (inkluderat FIRfilter, IIR-filter, exponentiellt filter, medelvärderdesbildning och anpassning till rät linje med minsta-kvadrat metoden) och den som gett bäst resultat är minstakvadrat anpassning till en rät linje. Den räta linjen beräknas genom de senaste n 50 45 40 Sampelvärde 35 30 25 20 15 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tid Figur 5.4. Exempel på rät linje anpassad till 14 sampelpunkter med minsta-kvadrat metoden. punkterna (se figur 5.4) varvid den sista resulterande punkten fås på följande sätt

5.1 Resultat 23 [8]: y = n k=1 y k (x k M) n k=1 σ 2 (x n M)+ y k n (5.1) där M = (x 1 + x 2 + + x n ) n och σ = (x 1 M) 2 +(x 2 M) 2 + +(x n M) 2 Minsta-kvadrat metoden applicerad på totalenergikompenseringen visas i figur 5.5 och ska jämföras med den icke behandlade totalenergikompenseringen i figur 5.3. Antalet punkter, n, är här vald till 30 och ger en tidsfördröjning på ungefär 1 sekund. (Observera att 30 sampel måste behandlas innan korrekt resultat fås vilket kan ses de första sekunderna i figur 5.5). De övriga filtertyperna som testats visas 3 2.5 2 1.5 Vtermik [m/s] 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tid [s] Figur 5.5. Totalenergikompensering filtrerad med minsta-kvadrat metoden. i figur 5.6. FIR- och IIR-filtren är av ordning 9 respektive 10 med gränsfrekvens 2Hz. Filter av större ordning blir för långsamt. Exponentiella filtret har formen: y[n] =a y[n 1] + (1 a) x[n], 0 <a<1 där a är vald till 0,97. Anledningen till att medelvärdesbildning i form av löpande

24 Flygtest 15 4 10 3 Vtermik [m/s] 5 0 5 Vtermik [m/s] 2 1 0 10 1 15 2 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tid [s] (a) IIR-filter 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tid [s] (b) FIR-filter 4 2.5 3 2 Vtermik [m/s] 2 1 0 1 Vtermik [m/s] 1.5 1 0.5 0 0.5 1 2 1.5 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tid [s] (c) Löpande medelvärde 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tid [s] (d) Exponentiellt filter Figur 5.6. Jämförelse mellan olika filtertyper. Filtrering på totalenergikompenseringen på min till maxfart. medelvärde och minsta-kvadrat metoden fungerar så bra beror på den typ av brus som signalen innehåller. Vi har här i huvudsak kvantiseringsbrus som uppstått vid deriveringen av fart. Medelvärdesbildning har visat sig ha bra egenskaper för att undertrycka den typen av brus. Det exponentiella filtret fungerar också bra men har en tendens att jämna ut den underliggande signal som vi vill ha fram i större utsträckning än de medelvärdesbildande filtren.

5.1 Resultat 25 5.1.3 Flygning med g-belastning I figur 5.7 visas en flygmanöver som genererar hög g-belastning. 900 50 850 45 Höjd [m] 800 750 Fart [m/s] 40 35 700 650 30 600 0 50 100 150 200 250 Tid [s] (a) Höjd 25 0 50 100 150 200 250 Tid [s] (b) Fart 3 2.5 2.5 2 Lastfaktor [dimensionslös] 2 1.5 1 0.5 Vtermik [m/s] 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 0 0 50 100 150 200 250 Tid [s] (c) Lastfaktor 2 0 50 100 150 200 250 Tid [s] (d) Totalenergikompensering filtrerad med minsta-kvadrat metoden Figur 5.7. Flygning som genererat hög G-belastning.

26 Flygtest 5.1.4 Normal flygning Slutligen visas totalenergikompensering under mer normal flygning i figur 5.8. Här inkluderas bland annat fartändringar och svängar. 600 36 550 35 34 500 33 Höjd [m] 450 400 Fart [m/s] 32 31 30 350 29 300 28 250 0 50 100 150 200 250 300 350 Tid [s] 27 0 50 100 150 200 250 300 350 Tid [s] (a) Höjd (b) Fart 1.25 4 1.2 3 Lastfaktor [dimensionslös] 1.15 1.1 1.05 1 Vtermik [m/s] 2 1 0 1 0.95 2 0.9 0 50 100 150 200 250 300 350 Tid [s] (c) Lastfaktor 3 0 50 100 150 200 250 300 350 Tid [s] (d) Totalenergikompensering med minstakvadrat metoden Figur 5.8. Normal flygning, inkluderat svängar och fartändringar.

5.2 Slutsats flygtest 27 5.2 Slutsats flygtest Man kan ur denna flygtest först och främst konstatera att fart har mätts med för dålig noggrannhet. Det är främst vid derivering av mätningar som problem uppstår. Den dåliga upplösningen av fart ger vid derivering ett stort kvantiseringsbrus. Minsta-kvadrat metoden har visat sig vara ett utmärkt hjälpmedel för att filtrera resultaten. Möjligheten finns att anpassa resultaten till tex. ett 3:e grads polynom istället för en rät linje vilket skulle kunna medföra en snabbare respons vid förändring av mätdata samt att filtreringen skulle kunna göras över fler punkter. Men det kan också vara tänkbart att en annan typ av filtrering är att föredra om kvantiseringsbruset inte blir det dominerande. Att termiken under hela flygningen var identiskt lika med noll är också en orimlig ansättning, därav kan heller inte totalenergikompenseringen antas bli noll för alla flygmanövrar. För kraftig g-belastning kan vi se att kompenseringen inte är fullständig. Det finns ett antal felkällor som skulle kunna ge upphov till det och listas nedan: För dålig upplösning av fartmätning Felaktig mätning av statiskt tryck eftersom trycket vid givaren ökar respektive minskar när kraften som g-belastningen ger upphov till påverkar den luftmängd som befinner sig mellan givare och uttaget för statiskt tryck De olika mätningarna samplas inte exakt samtidigt, ej i fas, vilket kan medföra att beräkning av energin blir felaktig 5.3 Fortsatt arbete Med anledning av de punkter som listats i kapitel 5.2 konstruerades även ett kretskort för mätning av fart. Tryckgivaren ger 18mV vid fullt spann som är 6895 N/m 2. Vid marknivå är luftens densitet ungefär 1,2 kg/m 3. Ur (2.2) fås att 0,6 (m/s) 2 motsvarar 1 N/m 2. För att få upplösningen 1 (m/s) 2 krävs således: 1(m/s) 2 18 10 3 4, 35 µv 0, 6 6895 Av den anledningen försågs det nya kretskortet för mätning av fart med samma AD-omvandlare som för mätning av statiskt tryck. För att komma till rätta med felaktig mätning av statiskt tryck vid g-belastning måste höjdskillnaden mellan uttaget av statiskt tryck och givaren vara känd. Därefter finns möjlighet att beräkna hur trycket förändras vid acceleration. Vad beträffar synkroniseringen mellan mätningarna krävs mjukvaruimplementering som ser till att samtliga mätningar sker samtidigt. Verifiering av dessa punkter kräver ytterligare flygtest med den förbättrade hårdvaran. För presentation av totalenergikompenseringen anslöts även två alfanumeriska displayer till mikroprocessorn. En bild av hela systemet visas i figur 5.9.

28 Flygtest Figur 5.9. Hela systemet

Kapitel 6 Slutsatser Flygtestet har visat att det är fullt möjligt att göra ett instrument för totalenergikompensering på det sätt som framgår i rapporten. Trots några bristande punkter (upplösningen på fartmätning och dålig synkronisering mellan de samplade mätstorheterna) har ett instrument konstruerats som fungerar relativt bra. Ytterligare hårdvara har konstruerats för att öka upplösningen av fartmätning och skall förhoppningsvis kunna förbättra resultatet ytterligare. Det finns även tankar kring andra fel som skulle kunna påverka instrumentets prestanda. Verifiering av dessa tankar kräver ytterligare flygtest med ökad upplösning av fartmätning. Mätning av statiskt tryck har överträffat förväntningarna. Upplösning av 1 dm i höjdled har åstadkommits. Detta är en viktig del i att totalenergikompensering kan utföras i en mikroprocessor. Derivering av mätsignaler har genererat brus. Det handlar främst om kvantiseringsbrus vid derivering av fartmätning på grund av dess dåliga upplösning. Filtrering av resultatet med minsta-kvadrat metoden har visat sig vara ett bra verktyg för statistisk behandling av totalenergikompenseringen. Valet av antal punkter n som filtreringen sker över är något som lätt kan varieras vilket medför ett snabbare respektive långsammare instrument. Piloten kan då anpassa instrumentet efter väder och tycke genom att ändra detta n. Kompenseringen vid g-belastning visar att teorierna överensstämmer relativt bra med praktiken. Detta är dock en punkt som skulle kunna förbättras om hänsyn till att mätningen av statiskt tryck inte blir riktig vid sådana manövrar. Eventuellt skulle ökad synkronisering mellan mätningarna kunna förbättra resultatet ytterligare. Alla funktioner skrivna i Matlab för totalenergikompenseringen har även skrivits för C515C-processorn. 6.1 Framtida studier Totalenergikompensering baserad på den teori och utförande som presenterats i denna rapport har god potential att kunna resultera i ett bra flyginstrument. Ytterligare flygtest med ökad upplösning av fart krävs för att kunna fastställa 29

30 Slutsatser vilken noggrannhet instrumentet kan få. Ur en sådan flygtest skulle även en mer tillförlitlig polarkurva kunna beräknas. Implementering av bättre fartmätning är redan framtagen och fullt fungerande. Implementering av minsta-kvadrat metoden med anpassning till ett tredje gradspolynom är något som skulle kunna resultera i en bättre statistisk behandling av mätdata och därmed öka tillförlitligheten. Med en sådan implementering kan antalet punkter n ökas utan att instrumentet får en långsammare respons vid förändrad mätdata. Begränsningar hos mikroprocessorn C515C kan leda till att den måste ersättas mot en mer beräkningskraftig processor. Ökad upplösning av fart samt implementeringen av minsta-kvadrat metoden med anpassning till ett tredje gradspolynom kommer kräva en relativt stor ökning av flyttalsberäkningar. Presentationen av totalenergikompenseringen utförs idag med hjälp av två stycken alfanumeriska displayer. Det finns anledning att byta dessa mot en grafisk display. Presentationen kan då göras i form av den mer traditionella typen, en nål som svänger mot bakomliggande siffertavla. Fördelen med en sådan är att ögat gör en form av medelvärdesbildning när nålen svänger lite runt ett visst värde tillskillnad från när en digital representation i form av ett siffervärde hoppar mellan olika värden. Införandet av en sådan display är också något som skulle kräva en uppgradering av mikroprocessorn.

Litteraturförteckning [1] Cambridge aero instruments, 2004. URL: http://www.cambridge-aero.com/. [2] Ilec, 2004. URL: http://www.users.bigpond.com/dweston/ilec/index.html. [3] Borgelt instruments, 2005. URL: http://www.borgeltinstruments.com/. [4] esa-systems, 2005. URL: http://www.esa-systems.com/. [5] Zander, 2005. URL: http://www.zander-variometer.de/. [6] Rudolph Brozel. Total energy compensation. URL: http://www.eglider.org/total%20energy%20compensation.htm, 2005. [7] Rudolf Brözel. Glider induced errors in total energy variometry. URL: http://www.mandhsoaring.com/articles/te-variometry.pdf. [8] Peter Hackman. Kossan. Hut, Hyfs och Hållning Productions, 15 utgåva, 1999. [9] Kroemer Kittel. Thermal Physics. W.H. Freeman and Company, 2 utgåva, 1980. ISBN 0-7167-1088-9. [10] Linde Wittmeyer-Koch Lars Eldén. Numerisk analys - en introduktion. Studentlitteratur, Lund, 3 utgåva, 1996. [11] Bengt Söderholm. Flyglära och Aerodynamik för segelflygare. Västergötlands Tryckeri, Skara, 1 utgåva, 1976. 31

32 Litteraturförteckning

Bilaga A Härledning av polarkurva Vi har från kapitel 2: Vilket ger: C L = L q S = 2 L ρ v 2 S 2 L v = ρ S C L (A.1) (A.2) Energiförlusten är enligt kapitel 2: V S = D v m g = C D(C L ) q S v m g (A.3) En referenspolar, V P,medL m 0 g, därm 0 är massan för planet, kan då tecknas: V P (v) = D v m 0 g = ρ v3 S 2 m 0 g C D ( ) 2 m0 g ρ v 2 S (A.4) Utbrytning av C D (C L ) samt insättning av (A.2): C D (C L )= 2 m 0 g V P (v) ρ v 3 S ( 2 m 0 g V 2 m0 g P = ( ) 3/2 ρ 2 m0 g ρ S C L S ρ S C L ) (A.5) Vidare fås då planflykt ej är gällande att L = n m g, därm är planets massa: C L = 2 n m g ρ v 2 S (A.6) och sjunkhastigheten: V S (v) = D v m g = ρ v3 S 2 m g C D(C L ) (A.7) 33

34 Härledning av polarkurva som med utbyte av C D (C L ) från (A.5) blir: V S = ρ v3 S 2 m g ( 2 m 0 g V 2 m0 g P ( ) 3/2 ρ 2 m0 g ρ S C L S ρ S C L ) (A.8) Med C L från (A.6) i (A.8): = ρ v3 S 2 m g = v3 m ( 2 m 2 m 0 g V 0 g P ρ S 2 n m g ρ v 2 S ( ) 3/2 ρ S m = n 3/2 V P m 0 2 m 0 g ρ S 2 n m g ρ v 2 S m 0 V P ( m0 n m v 2 ( ) 3/2 m0 n m v 2 ( v(t) ) ) m0 n m )