OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med dina lösningar. Ange där hur många (kurs- poäng du tenterar för. TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3 Tid: Onsdag juni 008, kl 9.00 4.00 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel 08-473070. svarar på frågor ungefär kl 0.30 och kl.30. Hans kommer och Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung, miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Preliminära betygsgränser: 3:[3, 33[, 4:[33, 43[, 5:[43, 50 maxpoäng] Uppgift 8 är istället för inlämningsuppgifterna. OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv namn på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges. Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Uppgift I blockdiagrammet nedan visas två seriekopplade system, med två insignaler, Ù och Ù. De två delsystemen har överföringsfunktionerna Ù + + Ù ( Σ ( Ý ( respektive (. I bodediagrammet nedan visas de två delsystemens belopp- och faskursvor för är kurvorna heldragna och för är kurvorna streckade. 30 G 0 belopp 0 0 G fas ( o 30 60 90 G 0 0 50 G 0 0 0 0 ω (rad/s 80 0 0 0 0 ω (rad/s (a Om Ù (Ø 0 och Ù (Ø sin Ø så kommer också Ý(Ø att bli en sinussvängninging (efter att transienterna har klingat ut. Bestäm Ý(Ø. (p (b Bestäm på motsvarande sätt utsignalen Ý(Ø för fallet då Ù (Ø sin Ø och Ù (Ø 0. Uppgift (a Bestäm polerna och nollställena för systemet med tillståndsbeskrivningen 3 Ü(Ø Ü(Ø + Ù(Ø 4 5 6 Ý(Ø 7 8 Ü(Ø (b Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet ( tillståndsvariablerna Ü Ý och Ü Ý Ø. (p Í( med ( +( +
Uppgift 3 Ett system har tillståndsbeskrivningen Ü(Ø Ü(Ø + Ù(Ø 0 Ý(Ø 0 Ü(Ø och man vill styra systemet med tillståndsåterkoppling, d.v.s. med styrlagen Ù(Ø ÄÜ(Ø + ÑÝ Ö (Ø. (a Bestäm Ä och Ñ i styrlagen ovan så att det slutna systemet blir ( 8 + 8 + 4 + 8 Ö( (4p (b Bestäm överföringsfunktionen från referenssignalen Ý Ö till styrsignalen Ù för det slutna systemet, när man använder tillståndsåterkopplingen som konstruerades i uppgift (a. Uppgift 4 Systemet ( Ì Í( ska styras genom återkoppling från reglerfelet, Ý Ö Ý. Systemet består alltså av en ren integration samt en tidsfördröjning på Ì sekunder. (a Anta att man använder proportionell återkoppling, Ù(Ø Ã(Ø Ã(Ý Ö (Ø Ý(Ø. Vilken är då den högsta skärfrekvens man kan få, och vad är största värdet på à man kan ha, om man vill ha fasmarginalen ³ Ñ 60 Æ? Ange svaret uttryckt i tidsfördröjningen Ì. (b Anta nu att Ì sekund. Man ska konstruera en regulator ( sådan att (med Í( ( ( följande specifikationer är uppfyllda:. kretsförstärkningen får skärfrekvensen rad/s,. och fasmarginalen ³ Ñ 50 Æ, 3. samt att det kvarvarande felet för det slutna systemet är lim ؽ (Ø 0 då referenssignalen är en ramp med lutningen ett, Ý Ö (Ø Ø för Ø 0. Ange värdena för (, arg ( och (0 för en regulator som uppfyller specifikationerna. (Regulatorn (, som t.ex. kan vara ett lead-lagfilter, behöver alltså inte bestämmas! (4p
Uppgift 5 Blockschemat nedan beskriver hur hastigheten Ý hos en viss bil beror av gaspådraget Ù och en yttre störningskraft Ú. är dragkraften genererad av motorn. Bilen är utrustad med en farthållare i form av en motor Ú bil Ù 5 + + Σ +0 Ý PI-regulator så att gaspådraget bestäms enligt Í( à + Ì ( Ö ( ( Ã Ì 0 (a När farthållaren är inkopplad kommer det återkopplade systemet ges av ( ( Ö ( Ú ( Î ( Bestäm överföringsfunktionerna ( och Ú (. (b Anta att man valt PI-regulatorns integrationstid till Ì 05. Ange ett villkor på förstärkningen à för att det återkopplade systemet ska vara stabilt. (c Anta att à och Ì valts så att det återkopplade systemet är stabilt. Om Ý Ö 0 m/s ( 7 km/h och Ú (beroende på en lång uppförsbacke med ungefär 0% lutning, vad blir då hastigheten stationärt? D.v.s. bestäm lim ؽ Ý(Ø för detta fallet. (p 3
Uppgift 6 Man har den nominella modellen ( ( Í( + Í( för ett system, och man vill styra det genom att återkoppla från reglerfelet, Í( ( ( Ö ( ( och man vill använda PI-regulatorn ( à + à 0 Man vet dock att modellen ( inte är en exakt beskrivning av systemet, utan att det verkliga systemet har överföringsfunktionen där ( är det relativa modellfelet. 0 ( ( ( + ( (a Anta att det enda man vet om ( är att ( för alla, och för någon konstant. Hur stor får vara för att det slutna systemet garanterat ska vara stabilt? (b Anta nu istället att man vet att ( 0 för alla. Hur stor förstärkning à kan man då välja i PI-regulatorn och fortfarande kunna garantera stabiliteten hos det återkopplade systemet? 4
Uppgift 7 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a Om systemet Ü Ý Ü + Ù Ü är på styrbar kanonisk form är det garanterat stabilt. (b Om systemet i (a är på styrbar kanonisk form, och om man använder tillståndsåterkoppling, så blir också det slutna systemet på styrbar kanonisk form. (c Om systemet i (a är på observerbar kanonisk form, och om man använder tillståndsåterkoppling, så blir också det slutna systemet på observerbar kanonisk form. (d Täljarpolynomet för överföringsfunktionen ( ( Á systemet i (a har lägre gradtal än nämnarpolynomet. för (e Om samtliga koefficienterna till observatörspolynomet det( Á +à går att välja godtyckligt (med hjälp av kolonnvektorn à så är systemet i (a observerbart. (f För matrisen är Ø Ø Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng. Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (6p Ø Ø Ø Uppgift 8 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna. Man styr ett system med återkoppling, och det slutna systemets karakteristiska polynom blir då ( + ( + 3( + 4 + 8 + Ã( +, där à 0 är en regulatorparameter. (a Skissa rotorten för det slutna systemets poler med avseende på à 0. Redogör tydligt för (i start- och ändpunkter, (ii asymptoterna, samt (iii vilka delar av den reella axeln som hör till rotorten. (4p (b Ange i vilka punkter rotorten skär den imaginära axeln, samt för vilket värde på à detta inträffar. 5
Lösningar till tentamen i Reglerteknik 6hp 08-06-. (a Enligt sinus in sinus ut blir utsignalen Ý(Ø ( sin(ø + arg (. Från Bodediagrammet fås ( 3 och arg ( 90 Æ radianer. Utsignalen blir alltså Ý(Ø 3 sin Ø. (b Nu blir utsignalen ( ( sin(ø+arg (+arg (. Från Bodediagrammet fås ( 07 och arg ( 37 Æ. Utsignalens amplitud blir då 07 3 08, och fasen 90 Æ 37 Æ 7 Æ radianer µ Ý(Ø 08 sin(ø.. (a Överföringsfunktionen fås av formeln ( ( Á, vilket här ger ( 7 8 3 4 5 6 5 7 8 ( ( 5 8 4 3 3 7 8 ( ( 5 8 6 + 6 3 6 69 + 7 6 3 7 ( har ett nollställe i 9 039, och poler i 3 Ô 3 346, 69 3 d.v.s. i +646 och 046. (b Vi får på en gång att Ü Ý Ø Ü. I Laplaceplanet blir tillståndsvariablerna ( ( och ( (. För att få ett uttryck för Ü bör hitta uttryck för ( (. För systemet gäller ( + ( + ( Í( µ ( + 3 + ( Í(, d.v.s. ( ( 3 ( + Í( µ Ü Ü 3Ü + Ù Tillståndsbeskrivningen blir Ü Ü Ü Ü 3Ü + Ù µ Ý Ü 0 0 Ü Ü + Ù 3 Ý 0 Ü 3. (a Systemet står på observerbar kanonisk form, så vi ser direkt att ( + + + Í( Det slutna systemet kommer därför (med lämpligt Ä att bli Ñ( + ( Ö ( + 4 ßÞ + 8 Ð ÖÝ(
och vi bör därför välja Ñ 8. Återstår att bestämma Ä: Nämnarpolynomet för slutna systemet blir + + Ð + Ð det( Á + Ä det + Ð + Ð ( + + Ð ( + Ð ( + Ð ( + Ð + ( + Ð + Ð + + Ð Identifiera koefficienter med ÖÝ :s nämnare: + Ð + Ð 4 µ + Ð 8 Ð 6 Ð 4 Styrlagen blir alltså Ù 6 4 Ü + 8ÝÖ. (b För ett generellt system Ü Ü+Ù som styrs med tillståndsåterkoppling Ù ÄÜ + ÑÝ Ö blir det slutna systemet Ü ( ÄÜ + ÑÝ Ö och Ù ÄÜ + ÑÝ Ö Ý Ü Överföringsfunktionen från Ý Ö till Ù blir då ÖÙ ( Ä( Á +Ä Ñ+ Ñ. Här har vi ( Á + Ä + + Ð + Ð + 8 5 + Ð + Ð 8 4 4 5 + 4 + 8 8 + 8 vilket ger ÖÙ ( + 4 + 8 6 4 4 5 8 + 8 8 + 8 8( + 6 + 4 + 8 + 8 8( + + + 4 + 8 (Detta kan också fås från sambandet ÖÝ ( ( ÖÙ (, där ju både ÖÝ ( och ( är kända. 4. (a Kretsförstärkningen blir Ó ( Ì Ã, så Ó( à och arg Ó ( Ì. Fasen påverkas inte alls av Ã, så det är enbart tidsfördröjningen Ì som begränsar hur stor kan väljas. Vi vill att arg Ó ( 60 Æ 80 Æ 0 Æ radianer µ 3 Ì 3 µ 6Ì rad/s Eftersom både belopp och fas för Ó ( avtar monotont med finns det en övre gräns för hur stor à får vara för att ³ Ñ 60 Æ, och gränsfallet svarar
mot ³ Ñ 60 Æ µ arg Ó ( 0 Æ. För att 3 6Ì skärfrekvens krävs Ó ( 6Ì Ã 6Ì µ à 6Ì ska vara (b Kretsförstärkningen blir Ó ( (, så Ó( (, arg Ó ( arg (. Med slutvärdesteoremet får vi lim (Ø lim ؽ 0 + Ó ( lim 0 + ( (0 Vi kan därför direkt se att för att uppfylla specifikationerna och 3 måste ( och (0 0. För att få rätt fasmarginal måste vi ha arg Ó ( 30 Æ d.v.s. arg ( + 30 80 radianer µ arg ( 30 80 030 radianer 73Æ. 30 80 5. (a Vi har ( 5 + 0 Í( Î ( + vilket ger Í( à + Ì ( Ö ( ( 5Ã( + Ì ( ( + 0( + ( Ö( ( + 5Ã( + Ì ( ( + 0( + 5Ã( + Ì ( +0( + µ ( + 5Ã( + Ì ( +0( + 5Ã( + Ì ( + 0( + + 5Ã( + Ì ßÞ Ð ( 5Ã( + Ì ( + 0( + Ö( Ö ( Ö ( Î ( µ + 0 +0 + 5Ã( + Ì ( +0( + + 0 Î ( Î ( ( + ( + 0( + + 5Ã( + Î ( Ì ßÞ Ð Ú( (b Med Ì 05 blir slutna systemets karakteristiska polynom ( + 0( + + 5Ã( + 3 + + (5à + 0 + 0à vars nollställen måste ligga strikt i VHP för stabilitet. Detta undersöks t.ex. med Rouths algoritm. Rouths tablå blir 5à + 0 0 0à 0 0à 5à + 0 0 0à 3
För stabilitet krävs enligt Rouths sats att alla koefficienter i kolumnen längst till vänster är strikt positiva µ 5à + 0 0à 0 µ à 006 (c Eftersom det återkopplade systemet är stabilt kan slutvärdesteoremet användas: lim Ý(Ø lim ( ؽ 0 lim 0 5Ã( + Ì ( + 0( + + 5Ã( + Ì 0 ( + ( + 0( + + 5Ã( + Ì 5Ã Ì 5Ã Ì 0 0 Farthållaren gör alltså att bilen till sist uppnår hastigheten 0 m/s 7 km/h Ý Ö (Ø, vilket beror på integralverkan i PI-regulatorn. 6. (a Resultat 6. i Glad/Ljung (4:e upplagan säger att det slutna systemet är garanterat stabilt ifall ( Ì ( µ ( Ì ( gäller för alla frekvenser. Här är Ì ( känslighetsfunktionen. Här blir ( ( + ( ( den komplementära Ì ( à + + + à + + Villkoret för garanterad stabilitet blir då à + à à + Ã Ã Ô + à à Men Ô (likhet för 0, så för att kunna garantera stabilitet +à måste. (b Nu blir villkoret för garanterad stabilitet 0 Detta villkor kan skrivas om som à + à 0Ã Ô + à (0à + à µ ( (0à + à 0 och för att vänsterledet ska vara positivt för alla måste 0Ã, d.v.s. à 0. 4
7. (a F, (b S, (c F, (d S, (e S, (f F, (sätt Ø 0: Ø Ø0 Á, så ej fallet här. 8. (a Startpunkter:, 3, Ändpunkter: Asymptoter: Tre asymptoter med riktningarna,, och 5, utgående från 3 3 3 + ( punkten. 3 Reella axeln: Intervallen ] ½ 3] och [ ] hör till rotorten. Rotorten ser ut som i figuren nedan. 6 Im 4 0 Re 4 6 8 6 4 0 (b Den karakteristiska ekvationen kan skrivas 0 4 + 8 3 + 7 + (44 + à + 4 + Ã. Sätt in i karakteristiska ekvationen och lös ut och Ã: 0 ( 4 + 8( 3 + 7( + (44 + Ã( + 4 + à 4 7 + 4 + à + (44 + à 8 Både realdel och imaginärdel måste vara noll, vilket ger oss ekvationssystemet 0 4 7 + 4 + à 0 (44 + à 8 Den andra ekvationen uppfylls då 0 och då 44 + à 8 0. 0 ger (insatt i den första ekvationen att à 0, så den lösningen är inte intressant här. Från det andra fallet får vi à 8 44, vilket instoppat i den första ekvationen ger andragradsekvationen (i 0 4 64. Detta ger 55 + Ô 945 (eftersom är reell bortser vi från den negativa roten, vilket i sin tur ger Ô 55 + Ô 945 390. Rotorten skär alltså den imaginära axeln i 390, för à 8(55 + Ô 945 44 777. 5