OM SPECIALKOMBINATIONER

Relevanta dokument
OM SPECIALKOMBINATIONER

SPECIALKOMBINATIONER.

OM SPECIALKOMBINATIONER

FÖRSTA GRUNDERNA RÄKNELÄRAN. MKl» ÖFNING S-EXEMPEL A. WIEMER. BibUothek, GÖTEBOf^. TBKDJK WPH.AC.AW. KALMAR. Jj«tfCrIaS'safetieb»laarets förläs

ARITMETIK OCH ALGEBRA

utarbetad till tjenst tor elementarläroverk oca tekniska skolor m. PASCH. Lärare vid Kongl. Teknologiska Institutet och vid Slöjdskolan i Stockholm.

Några ord om undervisningen i aritmetik.

FÖR SKOLOR. uppstälda med afseende på heuristiska. K. P. Nordlund. lektor i Matematik vid Gefle Elementarläroverk. H ä f t e t I.

ELEMENTBENA GEOMETRI A. W I I M E 3 MATK. LEKTOR I KALMAB. TREDJE UPPLAGAN. ittad i öfverensstämmeke med Läroboks-Kommissionen» anmärkningar.

ELEMENTAR-LÄROBOK. i PLAN TRIGONOMETRI, föregången af en inledning till analytiska expressioners construction samt med talrika öfningsexempel,

Ännu några ord om lösning af amorteringsproblem.

ALLMÄNNA METHODER 1100 EXEMPEL. A. E. HELLGREN

RÄKNEEURS FÖR SEMINARIER OCH ELEMENTARLÄROVERK, RÄKNE-EXEMPEL L. C. LINDBLOM, ADJUHKT VID FOLKBKOLELÄBABISNESEMINABIET I STOCKHOLM.

ELEMENTARBOK A L G E BRA K. P. NORDLUND. UPSALA W. SCHULTZ.

a = a a a a a a ± ± ± ±500

Andra lagen. 2. Sedan man sålunda funnit, att ' a. = 1 1 h (a st.) = a : n, n n n n där a och n beteckna hela tal, definierar

SAMLING RAKNE-EXENPEL, till Folkskolornas tjenst. P. A. SlLJESTRÖM.

Witts»Handledning i Algebra» säljes icke i boklådorna; men hvem, som vill köpa boken, erhåller den till samma som skulle betalas i bokhandeln: 2 kr.

som de här anmärkta, dels äro af den natur, att de gifva anledning till opposition. De här ofvan framställda anmärkningarna torde vara tillräckliga

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

INLEDNING TILL. urn:nbn:se:scb-bi-m0-8202_

stadgåb för VBlociped Klubb. Abo

METER-SYSTEMET. MED TALRIKA RÄKNEUPPGIFTER, FÖR SKOLOR OCH TILL LEDNING VID SJELFUNDERVISNING

Djurskyddsföreningen. S:tMichel. S:t MICHEL, Aktiebolags t ryckeri e t, 1882

LÄROBOK PLAN TRIGONOMETRI A. G. J. KURENIUS. Pil. DR, LEKTOR VID IEKS. ELEM.-SKOLAN I NORRKÖPING STOCKHOLM P. A. N O R S T E D T & SÖNERS FÖRLAG

Ur KB:s samlingar Digitaliserad år 2014

strakta reglor, till hvilkas inöfvande en mängd lika abstrakta sifferexempel vidfogas, utan den måste nedstiga till åskådningens gebit; ty blott der

INLEDNING TILL. Efterföljare:

I detta arbete har författaren till skolungdomens tjänst sökt sammanföra och systematiskt ordna närmast de formler som

Sammanfattningar Matematikboken Y

Kongl. Maj:ts befallningshafvandes femårsberättelse för åren... Stockholm, Täckningsår: 1817/ /55.

afseende på vigten af den s. k. hufvudräkningen.

RAKNEKURS FÖR FOLKSKOLOR, FOLKHÖGSKOLOR, PEDÅGOGIER OCH FLICKSKOLOR, FRAMSTÄLD GENOM. t RÄKNE-EXEMPEL, UTARBETADE OCH DTGIFNA L. O.

Bidrag till Sveriges officiella statistik. M, Postverket. Generalpoststyrelsens

BESKRIFNING PATENT N.^^. P. C. OSTERBERG KONGL. PATENTBYRÅN. t.igarrforsäljningsapparat. Patent i Sverige från den 28 anrii 1885.

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V

Utvidgad aritmetik. AU

E. J. Mellberg, Plan trigonometri, Helsingfors, förlagsaktiebolaget Helios (Björck & Börjesson, Stockholm).

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I

Resträkning och ekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Ytterligare i representationsfrågan.

INLEDNING TILL. Efterföljare:

EQVATIONEN OCH REDAN VID UNDERVISNINGEN ARITMETIK, TIL. D:R. ADJUNKT VID HÖOKK ALLMÄNNA LÄROVERKET I LUND. L U N D 1881,

Imatra Aktie-Bolag. "Reglemente för. Hans Kejserliga Majestäts

Ur KB:s samlingar Digitaliserad år 2013

LÖSNING AF UPPGIFTER

Subtraktion. Räkneregler

Lösningsförslag envariabelanalys

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Hela tal LCB 1999/2000

El SAMLING RÄKNEUPPGIFTER

NMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets

Instruktion. for bevakninrj och trafikerande a f. vägöfvergången vid Gamla Kungsholmshrogatan i Stockholm.

FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

(Aftryck ur Geol. Foren, i Stockholm Förhandl. Bd 13. Häft )

= = i K = 0, K =

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

apparater. far J()Ua*apf)taka: grafrtn UXl&lDlISr&aiD den fördelaktigaste construction af thermoeleetriska Med Phil. Facult.

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

FOLKSKOLANS GEOMETRI

INLEDNING TILL. Efterföljare:

T. J. Boisman. Filialstyrelsen uppmanas härmed att snarast möjligt lämna Filialens medlemmar del af dessa handlingar. Helsingfors den 23 april 1912.

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

RAKNELARA FÖR DE ALLMÄNNA LÄROVERKEN OCH FLICKSKOLOR FIL. D: R, ÖFVERLÄRAHE VID TEKN. SKOLAN I STOCKHOLM, LÄRARE I

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

Inlämningsuppgift-VT lösningar

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Vektorgeometri för gymnasister

f (a) sin

Om öfverensstämmelse mellan form och innehåll vid räkneundervisningen.

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Gamlakarleby Velociped Klubb.

General-Tull-Styrelsens underdåniga Skrifvelse af den 8 Oct med General-Sammandrag öfver Rikets Import och Export år 1827

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

Avsnitt 1, introduktion.

FRANZ GABRIEL LIGNER. försvaras. offentligen. om folksouveraineteten. FLOREN af Westgiitha Landskap. mag. AUGUST. Akademisk afkandling

AD RESS- KALENDER OCH VAGVISARE

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson

EUCLIDES F Y R A F Ö R S T A B Ö C K E R ' CHR. FR. LINDMAN MED SMÄERE FÖRÄNDRINGAR OCH TILLÄGG UTGIFNA AF. Matheseos Lector i Strengnäs, L. K. V. A.

Vid de allmänna läroverken i vårt land har geometrien såsom läroämne inträdt i tredje klassen och en ganska rundlig tid anslagits åt detta ämne.

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

STADGAR DJURSKYDDSFÖRENINGEN I LOVISA <I^M^ FÖR af guvernörsämbetet i Nylands län faststälts till efterrättelse. LOVISA ~()Btr» 1897

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Till Kongl General Poststyrelsen

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

BFSKRIFNING. OFFl^NTLIGGJOll.lJ AF FONGL. P^VTFNTBYRAN. C. A. ^LLER. l^^t.ol^g.

Alexander I:s proklamation 6/ till Finlands invånare med anledning av kriget (RA/Handlingar rörande kriget , kartong 10)

INLEDNING TILL. urn:nbn:se:scb-bi-m0-7902_

X. Bestyrelsen för biblioteket och läsesalen i Sörnäs.

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

Transkript:

" OM SPECIALKOMBINATIONER Akademisk Afhandling, som med vidtberömda Philosophiska Facultetens i Upsala samtycke till offentlig granskning framställes af MAG. VICTGÜ VON ZEIPEE och CHRISTER LEONARD SCHÅNBERG af Götlieborgs Nat. på öfre Philosophiska lärosalen den 10 December 1853. p. v. t. f. in. V. UPSALA, C. A. LE P FL ER. 1833.

Lätteligen inses, att den method, som blifvit använd att summera andra och tredje vertikalkolumnerna, förblir den samma för alla de kolumner, livilka kunna ingå i högra membrum af (12). Sammanställa vi föregående resultater, antager (12) föl jande form (15)... S(r+l,ti) = (r+n).1s^(o,tt)«ir'1 + (»*+^i,52/(i/n-i)a1r + {r+n)n+, S2' (2,n-2) + etc. och är dymedelst riktigbeten af (10) bevisad. För att med tillhjelp af (10) eller (15) bevisa (7), göra vi i den sednare n lika med 1, och antager densamma i detta fall följande utseende (14)... S(l/w) = w.1s2/(o/n)a1-(-uns2 (1,11-1) Att equ. (14) är sann för alla värden på n från och med 1 till och med n, inses genom att undersöka den l;o då»t=l 2:o då ii > 1 I förra fallet får (14) denna form S(I/1) = 1 os/(0,1)a,-f l] S2'(l,o) eller (1,!) = <*,, hvilket resultat är en omedelbar följd af equ. (t) denna. I sednare fallet åter måste första termen af högra membrum försvinna och S{l,n) = iins2{lfii-\) eller S (l,n) = S/(l,n-l). Omedelbart af equ. ( ) får man S2/(i,n-l) = ö och alltså är S (!,«)= «.

34 Rigtigheten af detta sednare resultat följer äfven af equ. (1) denna. Då, enligt livad nyss blifvit anfördt, (14) eller Ii vilket är detsamma (7) är gällande lör alla värden på n från och med 1 till och med n, när r är lika med 1, så föij er enüigt det bevis, livars resultat är (13), att (7) är rigtig för alla dylika värden på n, då r är lika med 2. På samma sätt slu ter man, att (7) är sann för alla dessa värden på n, då r är lika med 3, 4, 3, etc. Hvaraf således inses, att denna equ. (7) är rigtig för alla värden på r och n, hvilka äro hela tal. Med tillhjelp af equ. (7) kan man bestämma de special kombinationer, hvilka i denna äro i fråga, d. v. s. de spe cialkombinationer, hvilkas coefficienter äro determinerade ge nom equ. kp(r,n) = (n + r-2)p_t. För att med ett exempel visa användningen af nämnde equ. (7), så låtom oss antaga, att det vore fråga om att be stämma S{4,5). Equ. (7J antager i detta fall formen (15j S(4,8) = 848/(0,5)«,* + (2,3)«,» ~f 87^2'(5,2) rt!h-885/(4,1). Men enligt (4) 1 är och enligt (9J denna S'/ (0/5) = o är («)... 5/(1 /4)=41a252/(0,4)+42a3S2/(0,3)^30^/(0,2)4^^/(0,1 )=«,, S2/(2/3)=51«2S2/(l,3>52«35/(I,1) och på samma sätt, som nyss är visadt, att 5/(1,4) =?«5, kan äfven visas, att 5/( 1,5) = a4, 5/(1,2) = «3, 5/(i,l) = a2, i följe hvaraf

35 (b).... 5/(2,3) = 51«4ö2 + 52«32-f 5S«4«2 = 15«4«2 + 10«32; vidare blir enligt samma equ. (9) 5/(5,2) = 6,«2 5/(8,2) + 02«3 5/(8,1), men 5/ (2,2) = 4<«2 5/ (1,2) + 42«3 5/(1,1) = 41«3«/+ 42«3«2 = 10 «3«2 och <S2'(2,l) = 5l«2iS2/(l,l) = 3rt28, hvaraf (c).... S/(3,2)=6]rt2(10«3rt2)+62rt3(3rt22)=60rt3fl22+45tf3rt22='l05rt3a22, och (d)...52u'uh7l"a/(3/l) = 7la2.5ln2S2/(2/1) = 7l«2.5^. 3^5/(4,1) = 7j. 5,. 3j. \ j «/ = 105 «24. Blifva nu värdena på 5/(0,5), 5/(1,4), 5/(2,3), 5/(3,2), 5/(4; 1) insalta i equ. (15), så är 5(4,5;=8-^«5]«i3-f86[ ld«4«.2+10«32jal2+8?[l05rt3a22jrtl+8s[l05«24] eller S(4,5) = 56«ä«/+ 420«4«2rtI2+280a32a12+840rt3rt22rt1+'l 05«/; och är högra membrum af föregående equation alldeles samma quantitet, som den hvilken i tabellen B blifvit betecknad med 5(4,5). Förrän vi gå 5. vidare, erinra vi läsaren, att, när det talas om specialkombinationers coefficienter, kan detta uttryck tagas i en tvåfaldig betydelse. Af första är det bekant, att kr(tn,n) betecknar den eoefficient, som tillhör r:te termen för en spe cialkombination af m:te ordningen, bildad al n quantiteter, i den equation, som visar sambandet mellan 5(m,w) och 5(in-l,»i), 5(m-l,n-l)... 5(»i-l,l) d. v. s. i den equation, som de finierar S(m,n)... 5(m-l,l) Blifva derefter värdena på 5(m-l,n), 5(m-f,n-i)... funna och insatta i 5(m,w) och i följe häraf

56 S(m,n) en function af an a2, a3,... an, i hvilken ingen spe cialkombination vidare ingår, så erhålles en expression på $(rn,ii), hvars coefficienter naturligtvis äro olika med coefficienterna i den definierande equationen. Coefficienterna så väl i den sistnämnde equationen som äfven i den från specialkom binationer befriade expressionen på S(tnfn) kallas coelfieienter för denna specialkombination. De förra, Ii vilka i allmänhet blifvit betecknade med Ar(m,n), antagas öfverallt i denna afhandling såsom gifna och såsom functioner af dem bestämmas de sednare. För öfrigt visar sammanhanget ganska lätt, hvilketdera slaget af coefficienter vid hvarje särskildt tillfälle är i fråga. 1. Det gifves en för det praktiska ändamålet enkel method att bestämma coefficienterna för de specialkombinationer, som i tredje blifvit framställda; coefficienterna i den equation, som definierar dem, äro gifna genom formeln kr(mfn) 1. Ifrågavarande method kan i ord uttryckas genom följande från equ. (Oj 5 härledda regel: sedan en specialkombinations form förmedelst den i slutet af 5 gifna symboliska formeln blifvit funnen och således antalet af både lika och olika bokstafs-faktorer i hvarje term är bekant, utgör livar och en sär skild terms coefficient ett sådant bråk, att dess täljnre är en produkt af lika många faktorer, som specialkombinationens ordningsnummer innehåller enheter och hvars första faktor är 1 samt hvar och en följande en enhet större än den föregå ende, samt att dess nämnare är ett multiplicationsresultat af /

2 57 så många särskilda produkter, som antalet olika bokstafs-faktorer i termen sjelf och innehåller första produkten så inånga faktorer som första bokstafs-fäktorns exponent innehåller en heter, den andra produkten så många som den andra boks t a fsfaktorns exponent har enheter o. s. v. och är första faktorn inom hvarje produkt 1 samt livar och en följande en enhet större än den föregående; t. ex. om i en specialkombination, hvars form blifvit bestämd, en term vore amr.ana.ap\ och således specialkombinationens ordningsnummer (r + s + t), så är denna terms coefficient 1..5... (r + s + t) (!.2.5... / )(! 2.5... s)( 1.2.3... t) II. En analog method gifves för att bestämma coefficienterna för de specialkombinationer, som i g 4 blifvit fram ställda; coefficienterna i den equation, af hvilken dessa blifva definierade, äro gifna genom formeln kr(m/n) = (m-\-n-2)r.i. Enligt denna method, deducerad från equ (7) 4, är, sedan specialkombinationens form blifvit bekant, hvarje terms coefficient bestämbar genom följande regel: livar och en terms coefficient är ett sådant brak, alt dess nämnare bestämmes på det sätt, som i I blifvit anfördt för att finna der omtalade nämnare, och alt dess täljare utgör ett multiplicationsresultat af så många särskilda produkter, som olika faktorer finnas i termen sjelf, och är hvarje faktor i första produkten en sådan binomial-coefficient, att dess index är den minsta bland ter mens supponenter och svarar den första bland dessa faktorer

58 mot en dignitet, livars exponent är denna index, den andra mot en dignitet, hvars exponent är dubbla index, den tredje mot en dignitet, livars exponent är tre gånger index, o. s. v ; och är bvarje faktor i den andra produkten en sådan binomial-cöefficient, att dess index är den supponent, som till sin storlek är närmast den minsta och svarar den första bland dessa faktorer mot en dignitet, livars exponent är summan af den största af förra produktens faktorer och sistnämnda index, den andra af dem mot en dignitet, hvars exponent är summan al nyssnämnda största faktor och dubbla index, o. s. v.; och är livarje faktor i den tredje protsukten en sådan binomialcoefficient, att dess index är den supponent, som till sin stor lek är närmast större än den supponent, som är index i andra produkten och svarar den första af dessa faktorer mot en di gnitet, hvars exponent är summan af den största bland andra produktens faktorer och ifrågavarande index, den andra af dem uioten dignitet, hvars exponent är summan af sistnämnda största faktor och dubbla index, o. s. v. och är antalet fakto rer inom livarje specialprodukt lika med exponenten för den bokstaf, hvars supponent är index, t. ex. om den term, hvars coefficient sökes, vore amr. an*. ap och rn < n <p, så är denna terms coefficient [(rm+n) (rm+2ri)...(rm+sn)a] \\rm+sn+p)p (rm+sn+< p)p...(rm+sn+tpf] (1 «2. 5... r) (1. 2. 3... ä) (1. 2. 3... t) om den gifna termen vore a2 så är dess coefficient (lj. 2,. 3j) (6,. 93) i (1.2.5). (l. 2) ~ 2 * 20 * 48 ~~ 840< /

59 Låt C. (1).... fl0ar*-f- «!*""' +«2xn_2 + fl3xn'* x + «och (2)... A0x^n + Alxm-1 + A2xm-\A3xnt-s +...Am,n.iX + A^n våra två polynomer, hvars coefficienter ay, a2,.... an och A0, A^ A2,... Am+n äro hvilka qvantiteter eller functioner som helst, oberoende af x, och a0 en reel qvanlitet äfvenledes oberoende af x och låt vidare exponenterna för x i de båda polynomerna vara obrutna och positiva samt applicera på dessa båda regeln för division, i det man betraktar (1) såsom divisor och (2) som dividend, efter att, före hvarje partiell di vision, först hafva multiplicerat (2) och sedan livar och en af de successiva resterna med numeriska valören af a0. Genom detta förfarande finnes quotens första term vara A0xm och för sta resten vara (3)... (Aia0-A0a1)xm+n-x + (A2a0-A0a2)xm'n-1 + (A3a0~A0a3) x'n+n"3... Nu måste naturligtvis quotens andra term äfvensom andra resten stå i samma relation till (5), som quotens första term och (5) stå till (2); men 5 erhålles ur (2) om man i st. f. A0, Ai, A2.... skrifver {Ai (t0 A0(ii), (A2ati-A0a2), (A3U0 A()Ü3) och minskar hvarje terms exponent med 1 samt ihågkommer, att hvarje term, i hvilken någondera af a fl eller Am+n,v före kommer såsom faktor, måste vara lika med noll. Blir nu detta verkstäldt finner man quotens andra term och andra resten vara vara [Ala0-A0al)xm'i

40 (A)...(A2a02-A0a2a0-A1aia0+A0al2)xm*n'2+(Asa2-A0a3a0-Ala,a0 + A\a2a^)xm'n'\ -{-{A^^-A^a^iQ-A^(1^ + A^a^ay)xm*n'i... På samma sätt kan man finna coefficienten för quotens tredje och följande termer äfvensom den första termen i tredje och följande af de successiva resterna. Coefficienten lör första termen i den sålunda utveck lade quoten är lika med coefficienten för första termen i ^2), coefficienten för andra termen i quoten är lika med coefficien ten för första termen i ^5) och det är tydligt, att coefficienten för r:te termen i quoten är lika med coefficienten lör första termen i den rest, hvars ordningsnummer är (r-l). Det är dessa eoelficienter vi nu gå alt bestämma. I)en första, andra, tredje o. s. v. al dessa eoelficienter v. af följande rader äro framställda i första, andra, tredje o. s. A2a2-AyCiya0-A0{a2a0-a2) A3a0s-A2aia02-Ay(a2a02-al2a0)-A0(a3a02-<iia2ala0+als) Aia0i-A3aya02-A2(a2a03-a2a02)-Al(äia0:>-%a2aya02+ay2a0) A0[aia*-(%alai+a )a*+5aia*a(rali']. IAAj a0-a0(ty i de särskilda vertikalkolumnerna De quantiteter, som ingå af föregående formler skilja sig från livarandra blott dcrutinnan, att indices för hvarje A och exponenterna för a0 äro i hvar och en följande rad en enhet större än i den föregående och att hvar följande rad alltid innehåller en term mer än den föregående. /