OM SPECIALKOMBINATIONER

Transkript

1 *7 OM SPECIALKOMBINATIONER Akademisk Afhaiidling, som med vidtberömda Philosophiska Facultetens i Upsala samtycke till offentlig granskning frainställes af MAG. VICTOR VON ZEIPEL och AXEL PETTERSSON af Uplands Nat. på öfre Philosophiska lärosalen den 15 Mars p. v. t. e. m. VII. UPSALA, C. A. LEFFLER

2

3 49 fys(2,n) S(2,n- -f) a,.<t +1, men a +,~S(l,n-f 1) och alltså S(*,n)=S{*tn+t) «,8(1,«+!), hvadan equ. (t) är verifierad för alla värden på it, då m = 2. Af det bevis, hvars resultat är (3), följer då, att equ. (1) är rigtig för alla värden på n, då m successivt göres lika med 5, 4, 3 etc.; och då det kan besannas, att equ. (1) är rigtig för alla värden på it, då m = 1, genom att gå till väga på ett sätt analogt med det, som ofvan blifvit framställdt, då m=2, så måste nämnde equ. vara gällande för alla värden på tit och w, som äro hela tal. Att båda membra af equ. (1) äro identiskt lika med noll, då m eller it, eller ock både m och n äro noll, följer ome delbart af de i 1 gifna definitioner. Genom ett bevis, analogt med det, som nyss blifvit anfördt, kan man verifiera följande allmänna formel (3) Jpr S (»t,it) S(in,m-r) a{ S (ni-1,n+r) a2s(ni-l,n+r-l)..... ar S{m-l,n+l). Om värdet på S(m,n+r) enligt formeln (10) 1 insättes i (3), erhålles d. v. s. {ais{m-l,n+r) + a2skm-lfn+r-l) an+ri -a,n+r) -a2s(tn-l,n+r-l)... - ars(ni-l tn+lj j (0)....$rS(mfn)=ar+lS(m-l,n)+ar+2S(m-l,n-l)...+ar<HS(m-i,l) eller (7)... $rs[mfn)^xartps(m-l,h-p+l). p=\ 7

4 SO (9) (8) I det särskilda fall att r=n och de i (7) ingående spe cialkombinationer äro bildade af n qnantitefer och således hvarje «, b vars index är större än n, betraktas såsom noll, finna vi af föregående formel, att. )" <S 'Kmtn) o. Vore åter specialkombinationerna bildade af n-j-s quantiteter, försvinner i allmänhet ingen derivata, hvars ordningsnummer är mindre än n-f-«; men såväl denna derivata som alla de, hvilkas ordningsnummer är större än n-f a, äro noll. Sålunda är Spn+s+lc S(mfn)=o för alla obrutna värden på k, som äro lika med eller större än noll. Exempel på successiv derivation af specialkombinationer S (6,5) = 6«3a,5 + 1 Sa/«,4, ) SI (6,3)=«4«t5-j- loa^a* 10a23«,3 S (6,5) = a5«,5 -}- 5a4«2a,4 -f- 5a32«,4 -f 1 ö«3«22a,3,!p3 S (6,5) = «g«!5 + -f- S«4a3«,4 -f-10«4«22a,3. Enligt (10) och (12) 6 är Kh = AhS{Ofi)a0h-Ah_{S{i,\)a0h-^Ah.2{S{\,(2)a{i-S{%i)}(hh-\.. ^0{S(l/A)flo*-,-S(ä^-l)a0"...+(-i)*^(M)>- I afseende på de successiva derivatorna af Iih måste föl jande anmärkning göras: för hvarje gång ofvan framställda derivations-lag appliceras på Kh bör h, som är index för A i den term, hvilken innehåller S^0,1) såsom faktor, ökas med

5 51 en enhet och de öfri ga faktorerna förblifva oförändrade. (För korthets skull utelemnas härefter faktorn S(0,1) ur denna term). Vi fi nna således -.<, '{StMK5-'-S(2,Ä-l...+(-l)i*'S(A, 1 }. Blifva de, enligt formeln (6) bestämda, värdena på,!pr.s(l,l), $rs( 1/2), ^5(2,1) etc. insatta i föregående formel erhålles efter några enkla transformalioner följande vigtiga formel (10)...«)r/» = A.h^r(l^ <lr+,./iä.1-flr+2rt0. l>/l.i-ar+sa0 f*h-z'"~ari)ia0 '1*0 Formeln (10), hvilken enligt föregående framställning är gällande för alla hela och positiva värden på r, från och med r=l till och med r~r, är äfven rigtig då r=o. Sanningen häraf inses lätt med tillhjelp af (12) C, hvilken sednare formel således är identiskt densamma som (11)... Kh /4ha^ a{kh.a2a0kh_2 a3a02kh_s... aä«0a_1k0. Denna formel (11) innehåller den recursions-lag, enligt hvilken hvarje quot-terms koefficient bestämmes i function af föregående termers koefficienter. Den användes i det praktiska naturligtvis på så sätt, att först bestämmes värdet på i?0, derigenom att h antages lika med noll i (11), derefter erhålles Kt i function af /», om h antages lika med 1, li2 i function " af och f»0, då h antages lika med 2 o. s. v. Förrän vi sluta denna, skola vi bevisa följande theorem:

6 - ^h-l^m) tfh.a.<9(l,2) «h,3.<9(l,5) l,/l-l) <9( 32 r=h+ia - ^Tr-i är lika med noll för hvarje värde på /i, som är r= 1 <l0 ett helt tal, men lika med 1, då h = o. Emedan'.#/,,. r=l «0r rt0 fl02 rt f- (~- //h_, -f- *V. l/h, der //h är bestämd genom (11) 6, så måste h+1 '*0 r=h+1fl ^j.//r_1== r=l _ /«h _ l «0 «o2 «02 «02 «.,.^2,1) «.,,. (2,2)»o' «o3 _ 1,/i) n,.5t2,/.-2),s?2,/,-l) _«^S\5>-3) *9(3,/i-2) = 4. (-1)h"1 1) + / i \h-1 S(Ji-1,2) n h * ^ ll-t men enligt (10) 1 är ^l/iw«,, och (_yam; "o «h-i ) ~ ab_2 <9(1,2)- rth.3 *9(1,3)... - «,»9 ^ 1,/i-1) = - <9(2,h- i) + ah_2 ^v2r1)+ "h-3 ^(2,2)a{ <9(2,/»-2) = <9(5/1-2) + (-l)h-1«1^(a-l,l) = (-l)h-,)s(ä/l), hvaraf inses, att

7 S5 <h S(Z,h-l) (h ti 'o «n n S(5,/.-2). S 2,/t-i) : + : : ll+1 fl I 3 r=l 5fcl.ÄM=( _5(4,/t-5)_ S(5,fe-2) flo «0 +(-i)h" flo +(-i)h"' flo - +;-i)h's/'.'x Högra membrum af föregående equ. är tydligen identiskt lika med noll, då h är ett helt tal; då h o åter, reducerar sig ifrågavarande summa till blott en term, hvilken i denna händelse blir af formen d. v., s. lika med 1: och är alltså (12) (15). r=h+l r=l h-r+j fl0 r=h+l, Mi-r+l r=l fl.hxa o, då h är ett helt tal,. //M 1, då h o. 8. Om på de båda polynomerna (1).... fl0 xn + di xn'1 + «2 xn~2... anax-\-ad och (2).... A0Xm+n-\-AiXm+n~l -f- A2Xm+n'2... Am+n.iX + Am+n divisionsmethoden r gånger appliceras, i det man betraktar (i)

8 54 såsom di visor och (2) såsom dividend, så skall bevisas, att om r icke öfverskjuter ro-f-l5 måste, den i afseende på x obrutna delen af quoten, vara (5)... JLk *»+JL«,*-'+JL+ K, «0 «0 «0 < och den genom sista divisionen erhållna resten (4)... «0 «0 «0r do För alt bevisa denna sats behöfver blott visas, att sum man, som erhålles, om man till produkten af (1) och (5) ad derar (4), bör vara lika med (2), för hvarje värde på icke öfverskjuter m-j-i. r, som Om (I) multipliceras med (5) och sådana termer, hvilka innehålla samma exponenter för x, blifva sammanslagna, kunna i den sålunda erhållna produkten, två slag af termer särskiljas: l:o sådana, i hvilka exponenten för x är större än m + n-r; 2:o sådana, i hvilka exponenten för.v är lika med eller mindi e än i» + n-r. Den allmänna form, under hvilken livar och en af dc förra kan framställas, är <*> -fe A2^ «.fe -* t no ao ao d0 a0 I och erhållas alla termer af detta slag, om man i (5) successivt ger åt b värdena 1, 2, 5,... r. Den allmänna formen för livar och en bland de sednare är

9 55 och erhållas alla dessa, om man ger åt d värdena 1,2,3...». Då till produkten af (I) och (5) adderas (4), kan ingen al de termer i den ifrågavarande produkten, hvilka erhållas ur (5), innehålla en dignitet af x, hvars exponent vore lika med exponenten för x i någon af de i (4) förekommande ter mer; tvärfom måste hvar och en af de termer inom samma produkt, som erhållas ur (6), alltid hafva en motsvarande term i (4) med gemensam exponent för x. Men den term i (4), hvars exponent är (m + n-r-d+l) har formen (7) JL ^-I/;r.jrm+n-r-d+1. «or 1 den summa, som uppkommer, då (4) adderas till pro dukten af (I) och (5), kunna 5 slag af termer särskiljas:!:o de termer, som erhållas ur (5), om man der successivt ger åt b värdena 1, 2, 5... r och hvilka utgöra ifrågavarande summas r första termer; 2:o de termer, som erhållas ur (6) och (7), sedan man ur dessa båda utbrutit.*m+n"r"(1+l och derefter successivt ger åt d värdena 1,2, 5... ti och hvilka utgöra de n följande termerna af denna summa; 5:o de ter mer i (4), hvilkas exponenter icke öfverskjuta (m-r) och hvilka bilda de (m-r+1) sista termerna af samma summa. För att finna summan af den serie, som ingår i (5), in sattes der de värden på /i0,, K2... Kj_,, som erhållas ur (12) 6, och antager då (5) denna form

10 56 AbJI0+ Ab.2H1 + -Ab.zH2+ -xah.jiz... + j- A,HbA I «0 «0 «0 «o, +^Ab.A + ^Ab.zHx+^Ab.JH o rt, + ^ia^h^a^h, ' JlLA0Hb_, a n «r +^AJi( o-*-* o V (tn "o eller såsom föregående formel äfven kan skrifvas 2 ^//,,.At_sx"i±/4, + a,... X*"k/rt., *=1 «0 K=1 rt0 k=l rt0 + AöZa^Hk r k=i «0k Men enligt (12) 7 äro alla dessa summor lika med noll och alltså kan (5) reduceras till (8)..... Ab_1.xm+n-b+1. { I följd af (10) föregående kan (7) transformeras till 4 -a,r /T a,1+x TT Ü(U2 TT ar+(i-2 Tf "r+d-1 t" j m+n-r-d+1 «0 «0 «0 «0 "o J om härtill adderas (6), blifva de termer, som uppkomma af (6) och (7) gemensamt, af formen (0) ^r+d_1.*m+n-r-d+1. De termer af ifrågavarande summa, hvilka bero af (4) ensam, kunna erhållas, om man successivt ger åt / värdena 1,2,5... (m-r+1) i