OM SPECIALKOMBINATIONER

Transkript

1 " OM SPECIALKOMBINATIONER Akademisk Afhandling, som med vidtberömda Philosophiska Facultetens i Upsala samtycke till offentlig granskning framställes af MAG. VICTGÜ VON ZEIPEE och CHRISTER LEONARD SCHÅNBERG af Götlieborgs Nat. på öfre Philosophiska lärosalen den 10 December p. v. t. f. in. V. UPSALA, C. A. LE P FL ER

2

3 Lätteligen inses, att den method, som blifvit använd att summera andra och tredje vertikalkolumnerna, förblir den samma för alla de kolumner, livilka kunna ingå i högra membrum af (12). Sammanställa vi föregående resultater, antager (12) föl jande form (15)... S(r+l,ti) = (r+n).1s^(o,tt)«ir'1 + (»*+^i,52/(i/n-i)a1r + {r+n)n+, S2' (2,n-2) + etc. och är dymedelst riktigbeten af (10) bevisad. För att med tillhjelp af (10) eller (15) bevisa (7), göra vi i den sednare n lika med 1, och antager densamma i detta fall följande utseende (14)... S(l/w) = w.1s2/(o/n)a1-(-uns2 (1,11-1) Att equ. (14) är sann för alla värden på n från och med 1 till och med n, inses genom att undersöka den l;o då»t=l 2:o då ii > 1 I förra fallet får (14) denna form S(I/1) = 1 os/(0,1)a,-f l] S2'(l,o) eller (1,!) = <*,, hvilket resultat är en omedelbar följd af equ. (t) denna. I sednare fallet åter måste första termen af högra membrum försvinna och S{l,n) = iins2{lfii-\) eller S (l,n) = S/(l,n-l). Omedelbart af equ. ( ) får man S2/(i,n-l) = ö och alltså är S (!,«)= «.

4 34 Rigtigheten af detta sednare resultat följer äfven af equ. (1) denna. Då, enligt livad nyss blifvit anfördt, (14) eller Ii vilket är detsamma (7) är gällande lör alla värden på n från och med 1 till och med n, när r är lika med 1, så föij er enüigt det bevis, livars resultat är (13), att (7) är rigtig för alla dylika värden på n, då r är lika med 2. På samma sätt slu ter man, att (7) är sann för alla dessa värden på n, då r är lika med 3, 4, 3, etc. Hvaraf således inses, att denna equ. (7) är rigtig för alla värden på r och n, hvilka äro hela tal. Med tillhjelp af equ. (7) kan man bestämma de special kombinationer, hvilka i denna äro i fråga, d. v. s. de spe cialkombinationer, hvilkas coefficienter äro determinerade ge nom equ. kp(r,n) = (n + r-2)p_t. För att med ett exempel visa användningen af nämnde equ. (7), så låtom oss antaga, att det vore fråga om att be stämma S{4,5). Equ. (7J antager i detta fall formen (15j S(4,8) = 848/(0,5)«,* + (2,3)«,» ~f 87^2'(5,2) rt!h-885/(4,1). Men enligt (4) 1 är och enligt (9J denna S'/ (0/5) = o är («)... 5/(1 /4)=41a252/(0,4)+42a3S2/(0,3)^30^/(0,2)4^^/(0,1 )=«,, S2/(2/3)=51«2S2/(l,3>52«35/(I,1) och på samma sätt, som nyss är visadt, att 5/(1,4) =?«5, kan äfven visas, att 5/( 1,5) = a4, 5/(1,2) = «3, 5/(i,l) = a2, i följe hvaraf

5 35 (b).... 5/(2,3) = 51«4ö2 + 52«32-f 5S«4«2 = 15«4«2 + 10«32; vidare blir enligt samma equ. (9) 5/(5,2) = 6,«2 5/(8,2) + 02«3 5/(8,1), men 5/ (2,2) = 4<«2 5/ (1,2) + 42«3 5/(1,1) = 41«3«/+ 42«3«2 = 10 «3«2 och <S2'(2,l) = 5l«2iS2/(l,l) = 3rt28, hvaraf (c).... S/(3,2)=6]rt2(10«3rt2)+62rt3(3rt22)=60rt3fl22+45tf3rt22='l05rt3a22, och (d)...52u'uh7l"a/(3/l) = 7la2.5ln2S2/(2/1) = 7l«2.5^. 3^5/(4,1) = 7j. 5,. 3j. \ j «/ = 105 «24. Blifva nu värdena på 5/(0,5), 5/(1,4), 5/(2,3), 5/(3,2), 5/(4; 1) insalta i equ. (15), så är 5(4,5;=8-^«5]«i3-f86[ ld«4«.2+10«32jal2+8?[l05rt3a22jrtl+8s[l05«24] eller S(4,5) = 56«ä«/+ 420«4«2rtI2+280a32a12+840rt3rt22rt1+'l 05«/; och är högra membrum af föregående equation alldeles samma quantitet, som den hvilken i tabellen B blifvit betecknad med 5(4,5). Förrän vi gå 5. vidare, erinra vi läsaren, att, när det talas om specialkombinationers coefficienter, kan detta uttryck tagas i en tvåfaldig betydelse. Af första är det bekant, att kr(tn,n) betecknar den eoefficient, som tillhör r:te termen för en spe cialkombination af m:te ordningen, bildad al n quantiteter, i den equation, som visar sambandet mellan 5(m,w) och 5(in-l,»i), 5(m-l,n-l)... 5(»i-l,l) d. v. s. i den equation, som de finierar S(m,n)... 5(m-l,l) Blifva derefter värdena på 5(m-l,n), 5(m-f,n-i)... funna och insatta i 5(m,w) och i följe häraf

6 56 S(m,n) en function af an a2, a3,... an, i hvilken ingen spe cialkombination vidare ingår, så erhålles en expression på $(rn,ii), hvars coefficienter naturligtvis äro olika med coefficienterna i den definierande equationen. Coefficienterna så väl i den sistnämnde equationen som äfven i den från specialkom binationer befriade expressionen på S(tnfn) kallas coelfieienter för denna specialkombination. De förra, Ii vilka i allmänhet blifvit betecknade med Ar(m,n), antagas öfverallt i denna afhandling såsom gifna och såsom functioner af dem bestämmas de sednare. För öfrigt visar sammanhanget ganska lätt, hvilketdera slaget af coefficienter vid hvarje särskildt tillfälle är i fråga. 1. Det gifves en för det praktiska ändamålet enkel method att bestämma coefficienterna för de specialkombinationer, som i tredje blifvit framställda; coefficienterna i den equation, som definierar dem, äro gifna genom formeln kr(mfn) 1. Ifrågavarande method kan i ord uttryckas genom följande från equ. (Oj 5 härledda regel: sedan en specialkombinations form förmedelst den i slutet af 5 gifna symboliska formeln blifvit funnen och således antalet af både lika och olika bokstafs-faktorer i hvarje term är bekant, utgör livar och en sär skild terms coefficient ett sådant bråk, att dess täljnre är en produkt af lika många faktorer, som specialkombinationens ordningsnummer innehåller enheter och hvars första faktor är 1 samt hvar och en följande en enhet större än den föregå ende, samt att dess nämnare är ett multiplicationsresultat af /

7 2 57 så många särskilda produkter, som antalet olika bokstafs-faktorer i termen sjelf och innehåller första produkten så inånga faktorer som första bokstafs-fäktorns exponent innehåller en heter, den andra produkten så många som den andra boks t a fsfaktorns exponent har enheter o. s. v. och är första faktorn inom hvarje produkt 1 samt livar och en följande en enhet större än den föregående; t. ex. om i en specialkombination, hvars form blifvit bestämd, en term vore amr.ana.ap\ och således specialkombinationens ordningsnummer (r + s + t), så är denna terms coefficient (r + s + t) (! / )(! s)( t) II. En analog method gifves för att bestämma coefficienterna för de specialkombinationer, som i g 4 blifvit fram ställda; coefficienterna i den equation, af hvilken dessa blifva definierade, äro gifna genom formeln kr(m/n) = (m-\-n-2)r.i. Enligt denna method, deducerad från equ (7) 4, är, sedan specialkombinationens form blifvit bekant, hvarje terms coefficient bestämbar genom följande regel: livar och en terms coefficient är ett sådant brak, alt dess nämnare bestämmes på det sätt, som i I blifvit anfördt för att finna der omtalade nämnare, och alt dess täljare utgör ett multiplicationsresultat af så många särskilda produkter, som olika faktorer finnas i termen sjelf, och är hvarje faktor i första produkten en sådan binomial-coefficient, att dess index är den minsta bland ter mens supponenter och svarar den första bland dessa faktorer

8 58 mot en dignitet, livars exponent är denna index, den andra mot en dignitet, hvars exponent är dubbla index, den tredje mot en dignitet, livars exponent är tre gånger index, o. s. v ; och är bvarje faktor i den andra produkten en sådan binomial-cöefficient, att dess index är den supponent, som till sin storlek är närmast den minsta och svarar den första bland dessa faktorer mot en dignitet, livars exponent är summan af den största af förra produktens faktorer och sistnämnda index, den andra af dem mot en dignitet, hvars exponent är summan al nyssnämnda största faktor och dubbla index, o. s. v.; och är livarje faktor i den tredje protsukten en sådan binomialcoefficient, att dess index är den supponent, som till sin stor lek är närmast större än den supponent, som är index i andra produkten och svarar den första af dessa faktorer mot en di gnitet, hvars exponent är summan af den största bland andra produktens faktorer och ifrågavarande index, den andra af dem uioten dignitet, hvars exponent är summan af sistnämnda största faktor och dubbla index, o. s. v. och är antalet fakto rer inom livarje specialprodukt lika med exponenten för den bokstaf, hvars supponent är index, t. ex. om den term, hvars coefficient sökes, vore amr. an*. ap och rn < n <p, så är denna terms coefficient [(rm+n) (rm+2ri)...(rm+sn)a] \\rm+sn+p)p (rm+sn+< p)p...(rm+sn+tpf] (1 « r) ( ä) ( t) om den gifna termen vore a2 så är dess coefficient (lj. 2,. 3j) (6,. 93) i (1.2.5). (l. 2) ~ 2 * 20 * 48 ~~ 840< /

9 59 Låt C. (1).... fl0ar*-f- «!*""' +«2xn_2 + fl3xn'* x + «och (2)... A0x^n + Alxm-1 + A2xm-\A3xnt-s +...Am,n.iX + A^n våra två polynomer, hvars coefficienter ay, a2,.... an och A0, A^ A2,... Am+n äro hvilka qvantiteter eller functioner som helst, oberoende af x, och a0 en reel qvanlitet äfvenledes oberoende af x och låt vidare exponenterna för x i de båda polynomerna vara obrutna och positiva samt applicera på dessa båda regeln för division, i det man betraktar (1) såsom divisor och (2) som dividend, efter att, före hvarje partiell di vision, först hafva multiplicerat (2) och sedan livar och en af de successiva resterna med numeriska valören af a0. Genom detta förfarande finnes quotens första term vara A0xm och för sta resten vara (3)... (Aia0-A0a1)xm+n-x + (A2a0-A0a2)xm'n-1 + (A3a0~A0a3) x'n+n"3... Nu måste naturligtvis quotens andra term äfvensom andra resten stå i samma relation till (5), som quotens första term och (5) stå till (2); men 5 erhålles ur (2) om man i st. f. A0, Ai, A2.... skrifver {Ai (t0 A0(ii), (A2ati-A0a2), (A3U0 A()Ü3) och minskar hvarje terms exponent med 1 samt ihågkommer, att hvarje term, i hvilken någondera af a fl eller Am+n,v före kommer såsom faktor, måste vara lika med noll. Blir nu detta verkstäldt finner man quotens andra term och andra resten vara vara [Ala0-A0al)xm'i

10 40 (A)...(A2a02-A0a2a0-A1aia0+A0al2)xm*n'2+(Asa2-A0a3a0-Ala,a0 + A\a2a^)xm'n'\ -{-{A^^-A^a^iQ-A^(1^ + A^a^ay)xm*n'i... På samma sätt kan man finna coefficienten för quotens tredje och följande termer äfvensom den första termen i tredje och följande af de successiva resterna. Coefficienten lör första termen i den sålunda utveck lade quoten är lika med coefficienten för första termen i ^2), coefficienten för andra termen i quoten är lika med coefficien ten för första termen i ^5) och det är tydligt, att coefficienten för r:te termen i quoten är lika med coefficienten lör första termen i den rest, hvars ordningsnummer är (r-l). Det är dessa eoelficienter vi nu gå alt bestämma. I)en första, andra, tredje o. s. v. al dessa eoelficienter v. af följande rader äro framställda i första, andra, tredje o. s. A2a2-AyCiya0-A0{a2a0-a2) A3a0s-A2aia02-Ay(a2a02-al2a0)-A0(a3a02-<iia2ala0+als) Aia0i-A3aya02-A2(a2a03-a2a02)-Al(äia0:>-%a2aya02+ay2a0) A0[aia*-(%alai+a )a*+5aia*a(rali']. IAAj a0-a0(ty i de särskilda vertikalkolumnerna De quantiteter, som ingå af föregående formler skilja sig från livarandra blott dcrutinnan, att indices för hvarje A och exponenterna för a0 äro i hvar och en följande rad en enhet större än i den föregående och att hvar följande rad alltid innehåller en term mer än den föregående. /