ÖVNINGSTENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: När det passar dig Plats: Där det passar dig Ansvarig lärare: Någon bra person. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv namn på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Skrivningen består av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på skrivningen krävs att man är godkänd på del A. Del A Del A omfattar uppgifterna 4. För godkänt på del A krävs godkänt på varje uppgift. Uppgift Betrakta systemet i blockschemat nedan. Ù + Ü + Ü Σ Σ Ý (a) Ställ upp tillståndsbeskrivningen för systemet, med tillståndsvariablerna Ü och Ü enligt blockshemat. (b) Bestäm överföringsfunktionen för systemet. (c) Ange systemets viktfunktion. Uppgift En harmonisk oscillator har tillståndsbeskrivningen 0 Ü(Ø) = Ü(Ø) + Ù(Ø) 0 0 Ý(Ø) = 0 Ü(Ø) (a) Avgör ifall tillståndsbeskrivningen är en minimal realisation. (b) Systemet ska styras med tillståndsåterkoppling, d.v.s. med styrlagen Ù(Ø) = ÄÜ(Ø) + ÑÝ Ö (Ø). Bestäm radvektorn Ä och skalären Ñ så att det slutna systemet blir ( ) = + + Ö( ) (c) I själva verket kan man dock inte mäta hela tillståndsvektorn Ü(Ø) utan bara utsignalen Ý(Ø). Därför går styrlagen i (b) inte att implementera, utan man får istället använda Ù(Ø) = ĈÜ(Ø) + ÑÝ Ö (Ø), där ˆÜ(Ø) är en skattning av Ü(Ø) som fås från en observatör. Observatörsförstärkningen är 7 à = 4 Vad blir då observatörspolerna?
PSfrag Uppgift 3 Betrakta det återkopplade systemet i blockschemat nedan, där Ý Ö Ã Ö + Σ 0 ( ) + + Ú Σ Ý Ã Ý Σ + + Ò Ú är en processtörning och Ò är en mätstörning. Det sanna systemet är 0 ( ) = ( )( + ( )), där ( ) är det relativa modellfelet, och den nominella modellen är ( ) = ( + ) För uppgifterna (a) (c) antas att ( ) = 0 µ 0 ( ) = ( ). (a) För vilka Ã Ý ¾ Ê är det slutna systemet stabilt? (b) Anta att Ý Ö = Ò = 0 och att Ú är ett enhetssteg. Bestäm lim ؽ Ý(Ø) som en funktion av à Ý. (Slutna systemet antas vara stabilt.) (c) Ange överföringsfunktionen från mätstörningen Ò till utsignalen Ý. (d) Anta nu att det finns ett modellfel, och att man vet att () (=konstant) för alla. För ett visst värde på Ã Ý blir beloppkurvan för 0 0 T(iω) 0 0 0 0 0 ω (rad/s) den komplementära känslighetsfunktionen Ì ( ) som i Bodediagrammet ovan. Vilket är det största värdet man kan tillåta på ifall man vill kunna garantera stabilitet för alla ()?
Uppgift 4 Systemet ( ) = ( )Í( ) styrs med proportionell återkoppling, Í( ) = Ã( Ö ( ) ( )). Rotorten nedan visar hur det slutna systemets poler beror av förstärkningen à 0. Fyra olika värden på à har använts, 0.6 Im A K = 0.5 0 Re y B C D 0.6 0 0 0 tid à = 05 à = 05 à 3 = 05 à 4 = 0 och för vart och ett av dessa har man gjort ett stegsvarsexperiment på det slutna systemet. De fyra stegsvaren, A D, visas ovan. Para ihop förstärkningarna à à 4 med rätt stegsvar A D. Motivering krävs! 3
Del B Del B omfattar uppgift 5 till 8. Uppgift 5 Man vill styra ett system ( ) = ( )Í( ) genom att återkoppla från reglerfelet, Í( ) = ( )( Ö ( ) ( )). Man gör två sorters experiment på systemet. Dels gör man ett stegsvarsexperiment för systemet när det återkopplas med ( ) =, dels mäter man upp systemets frekvenssvar. Frekvenssvaret redovisas i tabellen nedan: (rad/s) () arg () 00 336 3 Æ 05 00 37 Æ 050 03 55 Æ Stegsvarsexperimentet ger stigtiden Ì Ö = 5 sekunder, överslängen Å = 5% och det kvarvarande reglerfelet lim (Ý Ö (Ø) Ý(Ø)) = 004. ؽ (a) Föreslå en regulator ( ) sådan att det slutna systemet (i) blir dubbelt så snabbt som då ( ) =, (ii) får samma dämpning som då ( ) =, samt så att (iii) stegsvarets kvarvarande reglerfel elimineras helt. (3p) (b) Ange en undre gräns för hur stor det slutna systemets resonanstopp Å Ô blir med regulatorn i (a). (p) Uppgift 6 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Systemet med det karakteristiska polynomet + ( + 08) är stabilt. (b) Det återkopplade systemet med kretsförstärkningen Ó ( ) = stabilt. ( +08) (c) Känslighetsfunktionen Ë( ) och den komplementära känslighetsfunktionen Ì ( ) har samma poler. (d) Ë( ) och Ì ( ) har samma nollställen. (e) Vid tillståndsåterkoppling, Ù = ÄÜ + Ö, på ett system Ü = Ü + Ù, Ý = Ü, kan kretsförstärkningen Ó ( ) bestämmas från sambandet ( ) = ( Á + Ä) = Ó( ) + Ó( ). Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (5p) är 4
Uppgift 7 En enkel modell som kan användas för att studera t.ex. hur koncentrationen av ett läkemedel varierar i olika delar av kroppen är en så kallad compartment model. Figuren nedan visar en schematisk bild över just en sådan modell, där flödet av läkemedel in till (Ò ), ut från ( ÙØ ) respektive mellan ( ) olika organ/delar av kroppen ( compartments, fack) styr de olika koncentrationerna. Kroppen delas alltså in i ett antal fack, och inom varje sådant fack antas perfekt omblandning, med andra ord att koncentrationen är densamma överallt inom facket. Ò = Ò Ù Î Î ÙØ = Õ ÙØ Massbalans för de två facken ger följande ekvationer för mängden läkemedel: Î Ø = Õ( ) Õ ÙØ + Ò Ù 0 () Î Ø = Õ( ) 0 () där Î och Î anger volymen, och och koncentrationen, i de två respektive facken. Parametern Õ anger totala flödet mellan facken, Õ ÙØ totala flödet ut från första facket, Ù det totala flödet in i detsamma, och Ò är koncentrationen av tillfört läkemedel (antas vara konstant). Det första facket representerar blodplasman, medan det andra representerar den del av kroppen där läkemedlet är aktivt. (a) Låt Ù vara insignal och Ý = vara utsignal till systemet. Ställ upp en tillståndsbeskrivning för systemet med Ü = och Ü = som tillståndsvariabler. (p) (b) Förklara varför antagandet 0 och 0 är rimligt. (p) (c) Man mäter utsignalen Ý =, men i själva verket vill man styra Ü =. Föreslå hur man ska konstruera en regulator sådan att, med återkoppling från Ý, reglerfelet Ö(Ø) (Ø) avtar som ( + «Ø) «Ø (där «0) när referenssignalen Ö(Ø) är ett steg. (p) 5
Uppgift 8 I figuren nedan till vänster visas Nyquistkurvan, d.v.s. () för 0 ½, och till höger faskurvan för ett system ( ) = ( )Í( ). Systemet ska styras med proportionell återkoppling, d.v.s. med styrlagen 0,5 0 Enhets cirkeln Im Re 90 0 0,5 arg G(iω) (grader) 50 80 0 40,5,5 0,5 0 0,5 70 0 0 0 0 ω (rad/s) Í( ) = Ã( Ö ( ) ( )). Systemet har inga poler i höger halvplan. (a) För vilka à 0 är det slutna systemet stabilt? (p) (b) Ange skärfrekvensen, fasmarginalen ³ Ñ, fas-skärfrekvensen Ô, samt amplitudmarginalen Ñ då à =. (p) (c) Anta igen att à =, men att kretsförstärkningen innehåller en tidsfördröjning, så att styrlagen är Ù(Ø) = Ù (Ø Ì ), där Í ( ) = Ã( Ö ( ) ( )). Hur stor får tidsfördröjningen Ì högst vara för att det slutna systemet inte ska bli instabilt. (p) 6
Lösningar till övningstentamen i Reglerteknik I 5hp. (a) Ü = Ü + Ù Ü = Ü Ü µ Ý = Ü Ü = Ý = 0 Ü + Ù 0 0 Ü (b) Använd t.ex. formeln ( ) = ( Á ) : ( ) = 0 + 0 + 0 = ( + )( + ) (c) Utnyttja att (Ø) = Ä [( )]: (Ø) = Ä ( + )( + ) = Ä + = Ø Ø +. (a) Systemet är en minimal realisation om det är både styrbart och observerbart. Styrbarhets- och observerbarhetsmatriserna blir Ë = = 0 Ç = = 0 0 0 vilka båda har full rang. Alltså är tillståndsbeskrivningen en minimal realisation. (Systemet står på styrbar kanonisk form, så styrbarheten kan konstateras också utan att använda Ë.) (b) Öppna systemet är ( ) = Í( ) (fås enkelt ty systemet på styrbar + kanonisk form), så det slutna systemet blir ( ) = + + Ñ Ö( ) så välj Ñ =. Det slutna systemets nämnarpolynom blir det( Á + Ä) = det + Ð + Ð = + Ð + + Ð Identifiering av koefficienterna (jämför med det önskade polynomet) ger Ä = Ð Ð =. Styrlagen blir alltså Ù = Ü + ÝÖ. (c) Observatörspolerna är nollställena till observatörspolynomet + det( Á + Ã) = = + + + + = + 4 + 8 Observatörspolerna är alltså.
3. (a) Här är 0 ( ) = ( ), och kretsförstärkningen Ó ( ) = Ã Ý ( ). Det slutna systemets poler ges av 0 = + Ó ( ) µ 0 = ( + ) + Ã Ý = + + Ã Ý vars rötter ligger i VHP för alla Ã Ý 0. Det slutna systemet är alltså stabilt för Ã Ý 0. (b) Överföringsfunktionen från Ú till Ý är känslighetsfunktionen Ë( ) = = ( +) + Ó( ) ( +)+à Ý. Slutvärdesteoremet ger lim ؽ Ý(Ø) = lim ( ) = lim Ë( ) 0 0 = 0 (c) Överföringsfunktionen från Ò till Ý är (se t.ex. ekvation (6.) i kursboken) den negativa komplementära känslighetsfunktionen Ì ( ) = Ó ( ) + Ó ( ) = Ã Ý ( + ) + Ã Ý (d) Enligt resultat 6. gäller att det slutna systemet är garanterat stabilt ifall () för alla Ì () Av Bodediagrammet framgår att Ì () för alla, så villkoret är uppfyllt ifall () 05 för alla. Alltså måste 05 gälla. 4. Av rotorten framgår att polerna är reella för à 05 och att den dominerande polen fjärmar sig från origo fram till detta värde. För à 05 är polerna komplexvärda, och den relativa dämpningen minskar när à ökar. Stegsvaren A och B har översläng och svarar därmed mot komplexvärda poler, och eftersom A är mindre dämpad än B hör A till à 4 och B till à 3. Stegsvaren C och D är helt dämpade och svarar mot reellvärda poler. Stegsvaret C är snabbare och har sin dominerande pol längre från origo än för D. Därför hör C till à och D till Ã. Korrekt ihopparning är alltså A à 4 B à 3 C à D à 5. (a) Från fallet med ( ) = (=µ Ó ( ) = ( )) fås att = 05 rad/s, ³ Ñ = 37 Æ + 80 Æ = 43 Æ, samt att ( ) inte har integralverkan ((0) = 004 = 4). Kraven (i) och (ii) ger den önskade skärfrekvensen = = 050 rad/s och den önskade fasmarginalen ³ Ñ = 43 Æ, vilket tillgodoses med ett leadfilter. Kravet (iii) innebär att ( ) måste ha integralverkan, vilket åstadkommes med ett lagfilter med = 0. Vid = 050 rad/s är ju fasen 55 Æ, d.v.s. det är 5 Æ kvar ner till 80 Æ. Fasen måste alltså lyftas med 43 Æ 5 Æ = 8 Æ, och för att kompensera för lagfiltret läggs ytterligare 6 Æ till. Leadfiltret måste alltså ha ³ ÑÜ = 4 Æ =µ välj = 04 (fig. 5.3). Vidare väljs = Ô = 05 Ô 04 = 309 för
att få maxfasen vid. Slutligen väljs à så att = 050 rad/s verkligen blir skärfrekvens: = Ô Ã Ô Ô 04 ( ) µ à = ( ) = 03 = 09 Leadfiltret blir Ð ( ) = à + + = 09 309 + 04 0309 + För lagfiltret väljs som nämnts = 0, och enligt tumregeln Á = 0 = 0, så lagfiltret blir Ð ( ) = Á + Á + = 0 + 0 Den totala regulatorn blir ( ) = Ð ( ) Ð ( ). (b) Med ( ) i (a) blir ³ Ñ = 43 Æ, varför (Se sidan 03 i Glad/Ljung.) Å Ô ( ) = sin ³Ñ = 36 6 (a) Sant (testas med Rouths algoritm); (b) Sant (slutna systemets polpolynom som i (a)); Ó( ) (c) Sant (Ë( ) = + Ó( ) och Ì ( ) = + Ó( ) har samma nämnare); (d) Falskt (per definition gäller Ë( ) + Ì ( ) = ); (e) Falskt ( Ó ( ) = Ä( Á ) vid tillståndsåterkoppling, och därmed ( ) = Ó( ).) + Ó( ) 7. (a) Om man skriver om ekvationerna med tillståndsvariablerna får man Õ + Õ ÙØ Ü = Ü + Õ Ü + Ò Ù Î Î Î Ü = Õ Õ Ü Ü Î Î Ý = Ü så Ü = Õ+ÕÙØ Î Õ Î Ý = 0 Ü Õ Î Õ Î Ü + Ò Î 0 Ù (b) De är ju koncentrationer och kan inte vara negativa. (c) Låt ( ) = À( )Ê( ) representera det slutna systemet. Med Ê( ) = 3
(ett steg) blir Laplacetransformen för reglerfelet ( À( )). Laplacetransformen ger också Alltså måste Ä ( + «Ø) «Ø = + «+ «( + «) = + «( + «) ( À( )) = + «( + «) µ À( ) = ( + «) ( + «) = «( + «) Detta åstadkommes t.ex. med tillståndsåterkoppling med observatör, Ù = ÄˆÜ + ÑÖ, där Ä väljs så att slutna systemet får en dubbelpol i «, och Ñ väljs så att den statiska förstärkningen blir ett. Observatören kommer inte att synas i överföringsfunktionen À( ). Observatörsförstärkningen à kan t.ex. väljas så att observatörspolerna blir något snabbare än för det slutna systemet (t.ex. i «). 8. (a) För stabilitet måste Nyquistkurvan skära negativa reella axeln till höger om punkten. Här blir denna skärningspunkt i 05Ã, så för stabilitet krävs 05Ã, d.v.s. Ã. (b) Amplitudmarginalen bestäms ju av var Nyquistkurvan skär den negativa reella axeln, och vid fas-skärfrekvensen är fasen 80 Æ. Från Nyquistkurvan fås då att Ñ = (skärningen i 05), och från faskurvan fås att Ô = 4 rad/s. Fasmarginalen bestäms av var Nyquistkurvan skär enhetscirkeln, och vid skärfrekvensen är beloppet lika med ett. Från Nyquistkurvan fås att enhetscirkeln skärs i 03 094, så fasmarginalen blir ³ Ñ = arctan(09403) = 7 Æ. Eftersom vi inte har beloppkurvan får vi bestämma skärfrekvensen utifrån faskurvan. Vid skärfrekvensen är ju fasen ³ Ñ 80 Æ = 09 Æ, och från faskurvan fås då att = 055 rad/s. (c) Kretsförstärkningen blir här Ó ( ) = Ì ( ), så Ó () = () och arg Ó () = Ì + arg (). Eftersom beloppet inte påverkas av tidsfördröjningen blir skärfrekvensen densamma, = 055 rad/s. Fasmarginalen minskas dock till Ì + ³ Ñ, och för stabilitet måste ju den vara positiv =µ Ì ³ Ñ = 055 7Æ = 5 sekunder. Alltså stabilt 80 Æ för Ì 5 sekunder. 4