Tema Förväntat värde Teori Förväntat värde Begreppet förväntat värde används flitigt i diskussioner om olika pokerstrategier. För att kunna räkna ut det förväntade värdet så tar du alla möjliga resultat, multiplicera var och en med sannolikheten att det resultatet inträffar, och addera sedan ihop de talen. Det har även växt fram ett helt nytt kunskapsområde, beslutsteorin, där man undersöker hur man bör välja i situationer där konsekvenserna av en handling är osäkra. En princip som man kan grunda beslutsteorin på är: välj att utföra den handling vars konsekvenser har det största förväntade värdet jämfört med det förväntade värdet av de alternativa handlingarnas konsekvenser. Det förväntade värdet av en handling får vi som vi skrivit ovan fram genom att: a) räkna ut sannolikheten för var och en av de konsekvenser (utfall) handlingen kan tänkas få (sannolikheten tilldelas ett värde mellan 0 och1) b) bestämma vilket värde var och en av dessa konsekvenser har (värdet anges som ett tal) c) för alla konsekvenser multipliceras sannolikheten för denna konsekvens med värdet för denna konsekvens d) summera de tal man då får Exempel Om du har en vanlig 6-sidig tärning och använder dig av ovanstående teori får vi: Att rulla en 1:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 2:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 3:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 4:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 5:a har en sannolikhet av 1/6 Att rulla en 6:a har en sannolikhet av 1/6
Lösning Att multiplicera värdena (resultaten) med deras respektive sannolikhet ger: 1 1/6 = 1/6 2 1/6 = 2/6 3 1/6 = 3/6 4 1/6 = 4/6 5 1/6 = 5/6 6 1/6 = 6/6 Genom att addera dem tillsammans får vi: 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 3,5 Således är ditt förväntade värde av att kasta en tärning 3,5. Med en annan synvinkel, om du kastar en 6-sidig tärning 1 miljon gånger, adderar ihop alla dina poäng och sen delar summan med 1 miljon, så kommer resultatet med största sannolikhet bli 3,5. G1 Vad händer om det är en fusktärning så att nummer 6 har en 50 % chans att komma. De övriga sannolikheterna är lika stora? G2 Beräkna det förväntade värdet med kast av en dodekaeder. G3 Anta att du ska singla slant med Per och ni har gjort ett vad. Om myntet landar på krona, så ger Per dig 100 kr. Om det kommer klave, så ger du Per 1 kr. Vilket blir det förväntade värdet i detta vad? Skulle du, rent teoretiskt acceptera förutsättningarna för det här vadet? G4 Johan har upptäckt två aktier vars utfall beror på vädret. Han har dessutom räknat fram att deras förväntade värden är lika. Visa att Johan har räknat korrekt Vädret och sannolikheten Aktie A (avkastning) Aktie B (avkastning) Regn 1/3 0 5 Molnigt 1/3 5 15 Sol 1/3 10-5 G5 Sara vet inte vilket jobb hon skall ta. Hon kan välja bland två som ger samma ingångslön och det första ger en 50%-ig chans till 20% i löneökning inom det närmaste året. Det andra ger en 80%-ig chans till 10% i löneökning. Kan du hjälpa henne att välja genom att använda begreppet förväntat värde?
G6 Vilket av följande lotterier bör du välja för att maximera förväntat värde? Lotteri 1säljer 12000 lotter à 5 kr 1 högsta vinst à 1000 kr 200 vinster à 100 kr Lotteri 2 säljer 6000 lotter à 5 kr 15 högsta vinster à 1000 kr Om nu det förväntade värdet av ett lotteri är negativt, hur kommer det sig att man ändå köper lotter? Modell Subjektiv uppskattning av sannolikheter Exempel Erika och hennes kompis Malin har varit på nattklubb i Öbro. De bestämmer sig för att bryta upp klockan tre på morgonen. De bor åt motsatt håll och Erika vet att Malin kommer att ta vägen genom en park med täta buskage. Det har förekommit en hel del överfall på kvinnor den senaste tiden. Erika vill gärna gå direkt hem, men är lite orolig för att låta Malin gå hem ensam. Samtidigt vet hon att sannolikheten för att Malin skall råka ut för en våldtäktsman är ganska liten. Erika överväger om hon bör erbjuda sig att följa med Malin hem och sova över hos henne. Hon har alltså två handlingsalternativ H 1: att lämna Malin och gå direkt hem eller H 2: att följa med Malin. Vi kan tänka oss att H 1 helt säkert har konsekvensen att Erika snabbt kommer i säng och får sova lugnt trots en viss oro. Låt oss säga att värdet av denna konsekvens kan sättas till + 1000 och att sannolikheten för detta alternativ är 1. Sannolikheten för att Malin blir våldtagen är då 0,01. Om hon väljer H 2 är sannolikheten för att Malin skall bli överfallen 0,001. Om Erika följer med så slipper hon oroa sig och vi antar att denna konsekvens har värdet + 100. Om Malin skulle bli överfallen är det negativa värdet av denna konsekvens mycket högt, säg 100 000. Det förväntade värdena av de två alternativen: H 1 är 1 1000 + 0,01 ( 1 000 000) = 9000 H 2 är 1 100 + 0,001 ( 1 000 000) = 900 Erika bör alltså välja H 2 som har ett större förväntat värde än H 1.
G7 Det är kanske möjligt att sätta ett siffervärde på sannolikheten för att något skall inträffa, men hur är det med värdet av konsekvenserna? Diskutera om det går att hitta en skala där man kan placera in konsekvensernas värde. Hur mycket skall det negativa värdet av t ex en våldtäkt understiga det positiva värdet av att ingenting allvarligt händer? Vi har ett problem med de värden som vi laborerar med. I lotteriexemplet G6 antog vi att värdet av pengar kunde sättas proportionellt mot penningsumman, men vi förstår kanske att detta inte alltid är fallet. Ofta har vi inte något kvantitativt mått för de värden som vi måste ta hänsyn till. Har vi vissa värden som överhuvudtaget inte kan uppvägas av några andra värden, kan vi t ex sätta deras värde mycket högt, en sorts maximin-princip. Den franske filosofen och matematikern Blaise Pascal (1623-62) ger i sina Tankar (nr 233) ett berömt argument, som kallats vadslagningen, där han anger värdet av evig salighet som oändligt. Jag använder här Føllesdals och Walløes formulering av argumentet i deras Argumentationsteori, Språk och Vetenskapsfilosofi:
Vi har valet mellan att foga oss efter den kristna religionen (alternativ A 1) eller inte foga oss efter den (alternativ A 2). Om den kristna religionen är sann, så vinner vi ett liv i evig salighet (värde ) om vi fogar oss efter den. Skulle den vara osann, förlorar vi mycket lite, för det vi måste offra för den är bara några flyktiga glädjeämnen i ett kortvarigt liv (förlusten av dessa flyktiga glädjeämnen åsätter vi godtyckligt värdet 1). Det värde vi väljer kan vara godtyckligt, eftersom det här ska jämföras med ett oändligt stort värde. Det enda villkor som värdet måste uppfylla, är att det är oändligt litet i förhållande till värdet av evig salighet. Ett evigt liv utan salighet ger vi, godtyckligt, värdet 0. Kanske skulle det vara rimligt att ge detta ett oändligt stort negativt värde, det kunde ju möjligen innebära evig förtappelse. Då skulle Pascals överväganden gå ännu starkare i hans favör. Men Pascal går inte in på detta, allt han behöver för sitt argument är antagandet om en evig salighet, han behöver dessutom inte anta en evig pina. G8 Gör ett träddiagram för Pascals exempel. G9 Det byggs mötesfria s.k. 2+1 vägar i Sverige. Det har diskuterats vilka fördelar och nackdelar dessa har. Ta reda på fakta om detta och försök att räkna ut det förväntade värdet av att bygga dessa vägar. Undersökningar visar att antalet dödsolyckor är lågt på mötesfria vägar. Här uppstår frågan: hur mycket är ett människoliv värt? G10 Gör en undersökning lik den i G9 rörande vaccination mot svininfluensa. G11 Du har vunnit en gratis semesterresa på din senaste bingolott. TV4:s programansvarig ger dig tre valmöjligheter. Du kan välja mellan att resa till London, Paris eller Tokyo. Om du reser till London kommer du att ha det småtrevligt. Om du reser till Paris kommer du att ha det underbart förutsatt att du inte blir matförgiftad. Om du blir matförgiftad kommer du att ha det tråkigt. Om du reser till Tokyo kommer du att ha det trevligt förutsatt att det inte är kallt. Om du väljer att resa till Tokyo och det är kallt där kommer du att ha det tråkigt. Försök att lösa problemet.
G12 En riskkapitalist skall investera 2500 kkr. De verksamheter han tänker investera i ger följande vinster. Vinst 400 kkr 300 kkr 150 kkr 50 kkr Sannolikhet 0,25 0,50 0,20 0,05 Vilket är det förväntade värdet på hans investeringar? G13 En innehavare av ett stånd på en marknadsplats erbjuder 50 kr för den som lyckas få en multipel av tre på varje tärning. Kostnaden för ett försök är 2,50 kr. Vilket är det förväntade värdet för detta spel för innehavaren? (Vinnare får tillbaka de satsade 2,50 kr.) G14 En urna innehåller fyra orangea kulor och fyra gröna kulor. Två spelare definierar ett spel med följande regler Du turas om att på måfå ta en kula ur urnan. De kulor som tagits läggs ej tillbaka i urnan. Spelet är slut när den första gröna kulan har tagits upp. Beräkna det förväntade värdet. Vi ger som ledtråd ett träddiagram med tre sannolikheter utskrivna de övriga får du själv beräkna.
Facit G1 1 1/10 = 1/10 2 1/10 = 2/10 3 1/10 = 3/10 4 1/10 = 4/10 5 1/10 = 5/10 6 1/2 = 3 Det förväntade värdet är 1/10 + 2/10 + 3/10 + 4/10 + 5/10 + 3 = 4,5 G2 Det förväntade värdet är 6,5. G3 Det är en 50 % chans att myntet landar krona, och då vinner du 100 kr. Således är din förväntade vinst 50 kr (0,5 100kr). Om det landar på klave så förlorar du 1 kr. Följaktligen är din förväntade förlust på 0,5 kr (0.5 1kr). Ditt förväntade värde är den förväntade vinsten minus den förväntade förlusten. Din förväntade vinst kommer att ligga på 49,5 kr. Du kommer naturligtvis inte att vinna 49,5 kr på en slantsingling, du kommer antingen vinna 100 kr eller förlora 1 kr. Men, du bör se vadet som att du vinner 49,50 varje gång. Naturligtvis är resultatet högst osäkert i det korta loppet. Men om vi skulle singla slant 1 miljon gånger så skulle din vinst vara väldigt nära 49,50 miljoner kr. G4 G5 De förväntade avkastningarna på dessa tillgångar: Förväntad avkastning Aktie A = (1/3) (0)+(1/3) 5+(1/3) 10 = 5 Förväntad avkastning aktie B = (1/3) 5+(1/3) 15+(1/3) (-5) = 5 Båda två har förväntad avkastning på 5 kr. Detta innebär att vi behåller tillgångarna under en längre period kan vi förvänta oss en avkastning på 5 kr. Eftersom de båda tillgångarna har samma avkastning, kan de då betraktas vara lika bra? Enligt finansiell teori är svaret nej, då de båda aktierna har olika risk. Vilket har den största risken tror du? Det första förväntade värdet är 0,5 1,20 = 0,60; det andra förväntade värdet är 0,80 1,10 = 0,88. Hon bör välja det andra erbjudandet. G6 Lotteri 1 ger en förväntad vinst = 1000 1/12000 + 100 200/12000 11799/12000 = 0,77. Lotteri 2 ger en förväntad vinst = 1000 15/6000 5 5985/6000 = -2,49.
G8 G12 Det förväntade värdet på hans investeringar är 0,25 400 + 0,50 300 + +0,20 150 + 0,05 50 kkr = 282,5 kkr G13 Sannolikheten för multipler 8/216 och därmed sannolikheten för icke multipler är 208/216. Alltså är den förväntade vinsten 50 8/216 + 2,5 208/216=0,60 kr G14 Dina sannolikheter för träddiagrammet bör vara: Antalet val för att få en grön kula Sannolikheten 1 4/8 = 1/2 2 4/8 4/7 = 2/7 3 4/8 3/7 4/6 = 1/7 4 4/8 3/7 2/6 4/5 = 2/35 5 4/8 3/7 2/6 1/5 4/4 = 1/70 Det förväntade värdet = 1 1/2 + 2 2/7 + 3 1/7 + 4 2/35 + 5 1/70 = 1,8