Stat. teori gk, ht 006, JW F0 ICKE-PARAMETRISKA TEST (NCT 15.1, 15.3-15.4) Ordlista till NCT Nonparametric Sign test Rank Icke-parametrisk Teckentest Rang Teckentest Teckentestet är formellt ingenting annat än ett test av nollhypotesen att P 0,5. Det nya är nu att testet kan användas i vissa situationer som vi inte har behandlat tidigare, varvid testet brukar kallas för teckentest. Situationerna är följande: 1. Test av skillnad mellan två populationer, när vi har parvist beroende (matchade) observationer och låg datanivå (nominal- eller ordinalskala).. Test av hypotes rörande medianen i en population. 1
Vi ser först på teckentestet mer allmänt: Varje objekt i populationen tänks kodad med antingen ett plustecken eller ett minustecken. P proportionen plustecken i populationen. Det numeriska värdet på P är okänt. Vi har ett slumpmässigt stickprov av n objekt från populationen. S antalet plustecken i stickprovet. Vi vill testa H 0 : P 0,5. Om H 0 är sann, så är S en binomialfördelad stok. variabel, Bin(n; P 0,5). Bl.a. gäller då att E(S H 0 sann) np n 0,5 Hur skall vi pröva H 0? Vi skiljer mellan fallen med stort och litet stickprov.
Litet stickprov, dvs n 0. Beräkna p-värde. Vid H 1 : P>0,5: p-värde P(S S obs P 0,5) Vid H 1 : P<0,5: p-värde P(S S obs P 0,5) Vid H 1 : P 0,5: p-värde (p-värde ovan) p-värden beräknas med hjälp av Tab. eller 3 i NCT. Ex.: Sju personer (slumpmässigt utvalda från en viss population) fick sätta betyg på två diskmedel, A och B, på en skala från 1 till 10 (1 lägsta betyg, 10 högsta betyg). Person Diskm. 1 3 4 5 6 7 A 6 8 7 8 7 8 5 B 5 9 7 6 5 7 4 Vi frågar: Är det någon skillnad i preferens mellan de två diskmedlen i populationen? 3
Här är det fråga om parvist beroende observationer. En typ av test som vi tidigare använt i liknande fall går ut på att man bildar en differens för varje person och testar om de observerade differenserna kan tänkas komma från en population av differenser med medelvärdet 0. Men ett sådant test är inte lämpligt här, därför att: Litet stickprov kräver normalfördelad population av differenser. Knappast uppfyllt här. Data är på ordinalskalenivå. Inte meningsfullt att beräkna medelvärden och varianser. Gör så här i stället: Se för varje person efter om personen tyckte att A var bättre än B eller tvärtom. Person Diskm. 1 3 4 5 6 7 A 6 8 7 8 7 8 5 B 5 9 7 6 5 7 4 Tecken + - 0 + + + + + betyder att A föredras framför B. - betyder att B föredras framför A. 0 betyder att båda anses likvärdiga 4
Nollorna (s.k. ties ) stryks (om de inte är alltför många). Vi räknar därför bara på de 6 återstående (n6). Låt S antal plus (S obs 5). Hypoteser: H 0 : P 0,5 H 1 : P 0,5 där P är andelen i populationen, som föredrar A framför B (bland dem som har preferenser). Om H 0 är sann, så är S Bin(6; 0,5), med E(S H 0 sann) n P 0 6 0,5 3 Ett observerat värde på S, som ligger långt från det under H 0 förväntade värdet 3 är en indikation på att H 0 inte är korrekt. (Mothypotesen är här tvåsidig.) Eftersom S obs 5, blir p-värde P(S 1 eller S 5 H 0 sann) P(S 1 H 0 sann) [Varför?] 0,109 [Tabell 3] 0,18 5
Vid exempelvis signifikansnivån 5%, så kan vi inte förkasta nollhypotesen. Dvs. vi kan inte statistiskt påvisa (på 5% signifikansnivå) att något av diskmedlen föredras framför det andra i populationen. OBS Om vi i stället har en ensidig mothypotes, t.ex. att P > 0,5 (vad betyder det?), så får vi p-värde P(S 5 H 0 sann) 0,109 > 0,05 Så vi kan inte förkasta H 0 då heller. Dvs. vi kan inte påvisa att A föredras framför B i populationen. 6
Stort stickprov, dvs. n > 0. Vi beräknar p-värden enligt samma princip som vid litet stickprov, med skillnaden att binomialfördelningen, Bin(n; 0,5), nu approximeras med en normalfördelning, N(µ n 0,5; σ n 0,5). I följande exempel används halvkorrektion. Ex.: Ett slumpmässigt utvalt stickprov på 100 barn får prova och jämföra två nya glassorter, Peanut Butter Ripple och Bubblegum Surprise. 56 föredrog PBR, 40 föredrog BS och 4 föredrog inte någon framför den andra. Är det någon skillnad i preferens mellan de två glassorterna i populationen? Vi stryker ties och räknar på n 96 observationer. + betyder föredrar PBR - betyder föredrar BS. P andelen + i populationen, dvs. andelen som föredrar PBR framför BS (bland dem som har preferenser). Vi har observerat pˆ 56/96 7
Vi kan nu göra så här (på samma sätt som vi gjort tidigare vid hypotesprövning av en proportion vid stora stickprov): Hypoteser: H 0 : P 0,5 H 1 : P 0,5 Testvariabel: Z pˆ P0 P0 (1 P0 ) n (56/96) 0,5 Resultat: Z obs 1, 63 0,5 0,5 96 H 0 kan t.ex. inte förkastas på 5 % signifikansnivå, eftersom Z obs inte ligger utanför gränserna ± 1,96. Teckentestet kan också användas för att pröva en hypotes om en populationsmedian. Vi går inte igenom detta. 8
Mann-Whitneys U-test Oberoende stickprov från två olika populationer. Vi observerar värden på en kvantitativ variabel i vardera stickprovet. Stickprov 1: n 1 observationer från population 1 Stickprov : n observationer från population Om n 1 och n är stora kan vi testa ifall µ 1 µ, dvs. ifall populationerna har samma medelvärde. (Testvariabel Z se nedan) Om stickproven är små men kommer från populationer som är normalfördelade med lika varians, kan vi också testa ifall populationerna har samma medelvärde. (Testvariabel t se nedan) Z x y ; s s x y + n n x y t s p x 1 ( n x y + 1 n y ) 9
Men om stickproven är små och kommer från ickenormalfördelade populationer? Då kan vi använda Mann-Whitneys U-test. Fast då är det egentligen något annorlunda hypoteser man testar: H 0 : De två populationerna har lika fördelning. H 1 : Den ena populationens fördelning är förskjuten i förhållande till den andra (men har för övrigt samma form). OBS Inga antaganden om vilken form fördelningarna har. Bara att fördelningarna har lika form i båda populationerna (fast kanske förskjutna i förhållande till varandra). (Ett annat test av samma hypoteser är Wilcoxons rangsummatest, som är helt likvärdigt med Mann- Whitneys U-test. Båda leder alltid till samma resultat och är egentligen bara två olika sätt att göra samma sak.) 10
Mann-Whitneys U beräknas på följande sätt: 1. Slå ihop båda stickproven och storleksordna alla n 1 +n observationer i det kombinerade stickprovet (från minsta till största värdet).. Låt den minsta observationen få rangtalet 1, den näst minsta rangtalet osv. till den största, som får rangtalet n 1 +n. (Om flera observationer har samma värde, så får de samma rangtal, nämligen medelvärdet av de rangtal de skulle ha fått ifall man kunnat skilja dem åt.) 3. Beräkna R 1 summan av rangtalen i stickprovet från population 1. 4. Beräkna U såsom: U n n 1 + n 1 ( n1 + 1) R 1 11
Testvariabeln i Mann-Whitneys test är: Z U µ U σ U n där 1 n µ U E( U 0 sann) H σ n n ( n1 + n 1 + 1) 1 U Var( U H 0 sann) Om både n 1 > 10 och n > 10, så är U approximativt fördelad som N(0; 1), ifall H 0 är sann. Beslutsregeln vid 95% signifikansnivå är: Dubbelsidig H 1 : Pop. förskjuten uppåt eller neråt. Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs > 1,96. Enkelsidig H 1 : Pop. förskjuten uppåt. Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs < -1,645. Enkelsidig H 1 : Pop. förskjuten neråt. Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs > 1,645. 1
Ex. (NCT Ex. 15.6): n 1 10 studenter slumpm. utvalda från kurs A och n 1 från kurs B tillfrågas om antal studietimmar per vecka. Är det någon skillnad mellan de båda kurserna i fråga om medianantalet studietimmar per vecka (givet att fördelningarna i övrigt har samma form)? Data: A 10 6 8 10 1 13 11 9 5 11 B 13 17 14 1 10 9 15 16 11 8 9 7 Storleksordna alla observationer och beräkna R 1. 13
Timmar, storleksordnade Rangtal Kurs Rangtal, kurs A 5 1 A 1 6 A 7 3 B 8 4,5 A 4,5 8 4,5 B 9 7 A 7 9 7 B 9 7 B 10 10 A 10 10 10 A 10 10 10 B 11 13 A 13 11 13 A 13 11 13 B 1 15,5 A 15,5 1 15,5 B 13 17,5 A 17,5 13 17,5 B 14 19 B 15 0 B 16 1 B 17 B Summa 93,5R 1 14
Hypoteser: H 0 : Samma fördelning i båda pop. H 1 : Skillnad i fråga om läge (Dubbelsidig mothypotes) Sign.-nivå: 5% Testvariabel: Z U µ U σ U Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs > 1,96. Resultat: n1 ( n1 + 1) 10 11 U n1 n + R1 10 1 + 93,5 81,5 µ U n n 10 1 1 60 σ U n n 1 n1 + n 1 ( + 1) 10 1 3 1 30 Z obs 81,5 60 30 1,4 H 0 kan inte förkastas på 5% signifikansnivå. 15