Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S000M Poäng totalt för del 25 (8 uppgifter) Poäng totalt för del 2 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2009-06-02 Kerstin Vännman Lärare: Ove Edlund Hans Johansson Skrivtid 09.00-4.00 Jourhavande lärare: Ove Edlund Tel: 495 (070-282866) Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa Kursboken Vännman: Matematisk statistik Kompletterande kursmaterial till kursen Matematisk statistik (formelblad, kompendier i Regressionsanalys och Försöksplanering, tabeller). Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan rättas upp på grund av slarvfel. Svaren ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 9 poäng. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 5 poäng av de 25 möjliga för godkänt. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 3 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för uppgifterna 9, 0 eller. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL!
Tentamen i Matematisk statistik, S000M, del, 2009-06-02. Tillverkningen av färgpatroner till bläckstråleskrivare är en mycket känslig process, som kräver enorm renhet i fabrikslokalerna. Likväl, eller just därför, blir en viss andel av färgpatronerna defekta. Anta att en tillverkad färgpatron blir defekt med sannolikhet 5%, och att det sker oberoende av övriga tillverkade färgpatroner. Betrakta en serie på 9 tillverkade färgpatroner. a) Vad är sannolikheten att ingen av de 9 färgpatronerna är defekta? Ange ditt svar i procent med två decimaler. (p) b) Vad är sannolikheten att minst två färgpatroner blir defekta? Ange ditt svar i procent med två decimaler. 2. Antalet pixelfel på en viss modell av platta TV-skärmar antas vara Poissonfördelad med väntevärde 2. a) Bestäm sannolikheten att en slumpmässigt utvald platt TV-skärm har exakt 2 pixelfel. Ange ditt svar i procent med två decimaler. (p) b) Om man får veta att för en slumpmässigt utvald platt TV-skärm gäller att den har minst pixelfel vad är då sannolikheten att den har mer än 3 pixelfel? Ange ditt svar i procent med två decimaler. 3. Livslängden hos hårddiskar kan vara mycket varierande och i vissa lägen högst irriterande kort. Utgå ifrån att livslängden (enhet: år) hos en viss hårddiskmodell kan beskrivas av en exponentialfördelning med λ = /4. a) Bestäm sannolikheten att en slumpmässigt vald hårddisk av den studerade modellen har en livslängd på minst 3 år. Ange ditt svar i procent med två decimaler. (p) b) Bestäm sannolikheten, med en lämplig approximation, att medellivslängden hos 50 slumpmässigt valda hårddiskar av den studerade modellen är minst 3 år. Ange ditt svar i procent med en decimal. 4. Antag att en befolknings vuxna män har en normalfördelad längd med väntevärde 80 cm och standardavvikelse 5 cm och att befolkningens vuxna kvinnor också har normalfördelad längd, men med väntevärde 68 cm och standardavvikelse 4 cm. a) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald kvinna är mellan 65 cm och 75 cm? Ange ditt svar i procent med två decimaler. b) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald kvinna är längre än en slumpmässigt vald man? Ange ditt svar i procent med två decimaler. - -
Tentamen i Matematisk statistik, S000M, del, 2009-03-25 5. Vindkraftverk har enligt Betz s lag en teoretisk övre gräns på verkningsgraden, som är 59.3% av den kinetiska vindenergin. Dagens vindkraftverk har en verkningsgrad på cirka 44% vid optimal vindhastighet. Tillverkare B vill påvisa att verkningsgraden i hans vindkraftverk är högre än i tillverkare A:s. Två vindkraftverk, ett från tillverkare A och ett från tillverkare B, har ställts upp i nära anslutning till varandra och verkningsgraden hos dessa har mätts vid tillfällen. Vid 8 av dessa tillfällen uppvisade B:s vindkraftverk högre verkningsgrad än A:s. För att testa på 5% signifikansnivå om B har rätt görs ett test där nollhypotesen är H 0 : ingen skillnad i förväntad verkningsgrad och mothypotesen är H : B:s vindkraftverk har högre förväntad verkningsgrad än A:s. Använd direktmetoden för att beräkna den sannolikhet som ska jämföras med testets signifikansnivå för att kunna avgöra om H 0 kan förkastas eller inte. Ange ditt svar i procent med två decimaler. 6. För att få reda på den förväntade bränsleförbrukningen, µ opel, hos en miljöklassad Opel vid blandad körning mäts bränsleförbrukningen vid 7 tankningar. De 7 tankningarna visar sig ge medelförbrukningen x = 4.9 och stickprovsstandardavvikelsen s = 0.4 (enhet: liter/00 km). Anta att bränsleförbrukningen är normalfördelad. a) Bestäm ett dubbelsidigt konfidensintervall med konfidensgrad 95% för den förväntade bränsleförbrukningen µ opel. Redovisa den övre gränsen för konfidensintervallet med två decimalers noggrannhet. b) En miljöklassad Peugeot har efter 9 tankningar en medelförbrukning x = 4.6 och stickprovsstandardavvikelse s = 0.3 (enhet: l/00 km). Bestäm ett dubbelsidigt konfidensintervall med konfidensgrad 99% för skillnaden i förväntad bränsleförbrukningen mellan Opeln och Peugeoten, d v s för µ opel µ peugeot. Redovisa den undre gränsen för konfidensintervallet med två decimalers noggrannhet. 7. På ett farmaceptiskt företag gjordes ett försök där patienter med liknande typ av smärta behandlades med ett nytt smärtstillande medel. Det smärtstillande medlet gavs till varje patient i någon av följande dosnivåer: 2, 5, 7 eller 0 gram. Tiden i minuter tills dess en märkbar smärtlindring upplevdes mättes för varje patient. Det var 24 patienterna som deltog i studien, hälften var kvinnor och hälften män. Resultatet analyserades med multipel regressionsanalys, där tid till smärtlindring var beroende variabel och dos, dos 2 och kön var förklarande variabler. Variabeln kön har kodats så att kvinna = 0 och man =. Delar av resultatet framgår av tabell. a) Beräkna ett dubbelsidigt 90% konfidensintervall för regressionskoefficienten för variabeln Kön. Ange den övre gränsen med en decimals noggrannhet. b) Vad blir den den skattade residualspridningen? Ange ditt svar med två decimalers noggrannhet. (p) - 2 -
Tentamen i Matematisk statistik, S000M, del, 2009-03-25 Tabell The regression equation is Tid = 62.4-0.3 Dos + 0.5 Dos^2 + 5.67 Kön Predictor Coef SE Coef T P Constant 62.379 5.883 0.60 0.000 Dos -0.27 2.70-4.73 0.000 Dos^2 0.5 0.768 2.89 0.009 Kön 5.667 2.652 2.4 0.045 Analysis of Variance Source DF SS Regression 4037.2 Residual Error 844.2 Total 23 488.3 8. Ett försök gjordes i en tillverkningsprocess för paneler i flygplansinnerväggar. Panelerna formades i en press och under nuvarande tillverkningsvillkor så var genomsnittliga antalet defekter per panel alldeles för högt. För att försöka minska antalet defekter gjordes ett 2 4 -försök där presskraften hölls konstant men man varierade fyra faktorer på låg respektive hög nivå. Faktorerna var temperatur (A), klämtid (B), hartsflöde (C) och stängningstid (D). Resultatet analyserades i Minitab. Se tabell 2. Tabell 2 Estimated Effects and Coefficients for Antal defekter (coded units) Term Effect Coef Constant 6.688 A 5.750 2.875 B 0.875 0.438 C -4.250-2.25 D.375 0.687 A*B -0.500-0.250 A*C -0.625-0.33 A*D -.000-0.500 B*C 0.500 0.250 B*D.25 0.563 C*D -2.000 -.000 A*B*C -0.625-0.32 A*B*D -0.500-0.250 A*C*D -.625-0.83 B*C*D -.000-0.500 A*B*C*D -0.875-0.438 a) Anta att samspelseffekter av ordning 3 eller högre är försumbara. Bestäm standardavvikelsen för en effekt. Ange ditt svar med två decimalers noggrannhet. b) Om samspelseffekter av ordning 3 eller högre är försumbara kan man testa om en effekt är signifikant skild från 0 genom att jämföra en lämplig testvariabeln med en percentil ur en t-fördelning. Hur många frihetsgrader har den t-fördelningen som man då ska använda? (p) Slut på del. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! - 3 -
Tentamen i Matematisk statistik, S000M, del, 2009-03-25 Tabell för svar till del. Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen! Namn... Personnummer... Fråga Svar Poäng a Sannolikhet 37.74% b Sannolikhet 24.53% 2 2 a Sannolikhet 27.07% b Sannolikheten 6.53% 2 3 a Sannolikhet 47.24% b Sannolikhet 96.2% 2 4 a Sannolikhet 73.33% 2 b Sannolikhet 3.07% 2 5 Sannolikhet.33% 2 6 a Övre gräns 5.27 2 b Undre gräns 0.22 2 7 a Övre gräns 0.3 2 b Residualspridning 6.50 8 a Standardavvikelse.00 2 b Frihetsgrader 5 Totalt antal poäng 25 Lycka till! - 4 -
Tentamen i Matematisk statistik, S000M, del 2 (för överbetyg), 2009-06-02 Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden. 9. En ideell förening planerar en insamling och skickar därför till var och en av de 000 medlemmarna ett brev, i vilket man ber om ett bidrag på 50 eller 00 kronor. Av tidigare erfarenhet gör man uppskattningen att att det är lika vanligt med det större som det mindre bidraget och att 20% av medlemmarna inte ger något bidrag alls. Ställ upp en lämplig sannolikhetsmodell, i vilken medlemmarnas bidrag antas vara slumpvariabler, som är oberoende av varandra. Beräkna utgående från den uppställda modellen sannolikheten att föreningen får in minst 58 000 kronor, med en lämplig approximation. (0p) 0. Vid påfyllning av 500 grams kaffepaket ska vikten vara densamma för alla paket. Det händer dock att maskinen som fyller på kaffet krånglar. Utforma ett test för att upptäcka avvikelser i vikten hos kaffepaketen, och bestäm hur många paket som måste användas i testet för att uppnå en signifikansnivå på % för en viss given styrka. Paketen, som maskinen fyller, har en vikt som kan antas vara normalfördelad med en känd standardavvikelse 5 gram. När maskinen fungerar som den ska är normalfördelningens väntevärde 500 gram. När maskinen krånglar kan väntevärdet förändras godtyckligt, ibland uppåt och ibland neråt, men ofta hamnar det kring 520 gram. Bestäm ett test genom att bestämma hypoteser, testvariabel och beslutsregel och bestäm det minsta antal observationer som behövs för att testet ska ha signifikansnivå % och styrka på minst 90% om väntevärdet är 520 gram. (8p). Ett faktorförsök genomfördes för att undersöka hur tre faktorer påverkar bildandet av en slaggprodukt i en kemisk process. De tre faktorerna är koncentrationer av tre olika ämnen i den kemiska processen. Målet med försöket var att försöka hitta koncentrationer av dessa ämnen som minimerar bildandet av slaggprodukten i processen. De tre faktorerna benämns A, B och C och ges i kodad form. Först gjordes ett 2 3 -försök med 2 replikat. Tabell 3 visar försöksplanen och resultaten. I tabell 4 ges de skattade effekterna. a) Bestäm vilka effekter i tabell 4 som är signifikant skilda från 0 på 5% signifikansnivå. Hypoteser, testvariabel och beslutsregel ska tydligt framgå. b) I figur visas en av samspelsplotterna från analysen i a). Tolka figur och beskriv tydligt i ord vad denna plott visar. c) En statistikkunnig person påpekade att om minimum finns någonstans mellan de försöksnivåer som man valt så hittar man inte detta med den använda försöksplanen. Då utökade man försöksplanen till en s k Central Composite Design och gjorde fler försök så att det gick att skatta en modell som också innehåller kvadrattermer. Totalt hade man då gjort 29 (5p) - 5 -
Tentamen i Matematisk statistik, S000M, del 2 (för överbetyg), 2009-06-02 försök. Utgående från dessa 29 försök gjordes en regressionsanalysen, se tabell 5. Ange modellantagandet för den skattade modellen i tabell 5. Är alla tre kvadrattermerna är signifikant skilda från 0 på 5% signifikansnivå? Hypoteser, testvariabel och beslutsregel ska tydligt framgå. d) Man tog bort termer som var tydligt icke-signifikanta och gjorde sedan en residualanalys av den nya skattade modellen. Två av residualplotterna finns i Figur 2. Tolka dessa och ange tydligt vilka delar av modellantagandet som man undersöker med dessa. (3p) Tabell 3 Slagg Medel- Standard- A B C Replikat Replikat 2 värde avvikelse 74 78 76.0 2.828 5 48 49.5 2.2 88 86 87.0.44 70 76 73.0 4.243 7 68 69.5 2.2 90 93 9.5 2.2 66 60 63.0 4.243 97 9 94.0 4.243 Tabell 4 Estimated Effects and Coefficients for Slagg (coded units) Term Effect Constant A 3.25 B 7.625 C 8.25 A*B 5.375 A*C 23.375 B*C -9.625 A*B*C -0.875 95 90 Interaction Plot (data means) for Slagg A - 85 Mean 80 75 70 65 60 - C Figur. Samspelsplot utgående för resultatet i tabell 3. - 6 -
Tentamen i Matematisk statistik, S000M, del 2 (för överbetyg), 2009-06-02 Tabell 5 Estimated Regression Coefficients for Slagg Term Coef SE Coef T Constant 62.00.4493 42.787 A.387 0.8248.682 B 3.749 0.8248 4.545 C 5.020 0.8248 6.087 A*A 4.372 0.9650 4.53 B*B 9.45 0.9650 9.477 C*C.04 0.9650.050 A*B 2.688 0.9596 2.80 A*C.687 0.9596 2.79 B*C -4.83 0.9596-5.05 S = 3.838 R-Sq = 94.9% R-Sq(adj) = 92.5% Normal Probability Plot of the Residuals (response is Slagg) Residuals Versus the Fitted Values (response is Slagg) 99 3 Percent 95 90 80 70 60 50 40 30 20 0 5 Standardized Residual 2 0 - -2-0 Standardized Residual 2 3-2 50 60 70 80 Fitted Value 90 00 Figur 2. Residualplotter av den skattade modellen från tabell 5 sedan tydligt icke-signifikanta termer eliminerats. - 7 -