Gradientbaserad strukturoptimering

Gradientbaserad strukturoptimering Anders Klarbring solutions by Bo Torstenfelt, Thomas Borrvall and others Division of Mechanics, Linköping University, Sweden ProOpt Workshop - October 7, 2010 Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 1 / 33

Contents 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 2 / 33

1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 3 / 33

Strukturoptimering - Allmänt Definition: Att finna en (lastbärande) strukturs bästa utformning. Utformning? (= geometri och materialval) Bästa? (=lättaste, styvaste, längst livslängd, etc.) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 4 / 33

Modellexempel Finn det styvaste stångbärverket för en given mängd material genom att variera stängernas areor. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 6 / 33

Modellexempel Given mängd material N ρ e l e = V (= volym) e=1 där ρ e = areor l e = längder N = antal stänger (N = 21 ovan) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 7 / 33

Modellexempel Styvhet där och 1 2 F T u ( förskjutningen i lastens riktning) F = K(ρ)u K(ρ) = K e formellt = u(ρ) = K(ρ) 1 F N ρ e K e e=1 (styvhetsmatris) (elementstyvhetsmatris) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 8 / 33

Optimeringsproblem min (S) då ρ 1 2 F T u(ρ) N ρ e l e = V e=1 ρ l ρ e ρ u Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 9 / 33

Lösningsmetod METOD SEQUENTIAL EXPLICIT CONVEX APPROXIMATIONS Vi demonstrerar på ett generellt problem min g 0 (x) (G) x då g i (x) 0, 1 = 1,...,n När detta problem kommer från en strukturoptimeringsfråga är det oftast så komplicerat (implicit) att vi behöver LÖSA EN SEKVENS AV ENKLARE PROBLEM som konvergerar mot lösningen av det svåra problemet. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 11 / 33

Lösningsmetod (LP) k IDE I LINJÄRISERA KRING EN ITERATIONSPUNKT x k min x då g 0 (x k ) + g 0 (x k ) T (x x k ) g i (x k ) + g i (x k ) T (x x k ) 0, 1 = 1,...,n Lösningen av (LP) k ger x = x k+1 som definierar (LP) k+1. Förhoppningsvis konvergerar x k mot lösningen av (G) då k. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 12 / 33

Lösningsmetod IDE II LINJÄRISERA I EN NY VARIABEL y j = y j (x i ), 1 = 1,...,m vilket ger det approximativa problemet m min g 0 (x k ) + x (GL) k j=1 m då g i (x k ) + j=1 g 0 (x k ) (y j (x j ) y j (xj k )) y j g i (x k ) (y j (x j ) y j (xj k )) 0, 1 = 1,..., n y j Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 13 / 33

Lösningsmetod Några val av mellanliggande variabel y j : CONLIN (kräver x j > 0) x j om g 0(x k ) 0 x j y j = 1 om g 0(x k ) < 0 x j x j OPTIMALITY CRITERIA (kräver x j > 0 och g 0(x k ) x j < 0) y j = 1, α > 0 xj α Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 14 / 33

Lösningsmetod METHOD OF MOVING ASYMPTOTIC (MMA) (L j < x k j < U j ) y j = 1 om g 0(x k ) 0 x j L j x j 1 om g 0(x k ) > 0 U J x j x j Alla dessa val av mellanliggande variabel ger ett konvext och separabelt (GL) k som lätt löses med Lagrange dualitet. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 15 / 33

Känslighetsanalys Uppställande av (GL) k kräver att g 0(x k ) beräknas! x j Två grundmetoder existerar för detta: Direkt metod är effektivast när antalet variabler är färre än antalet bivillkor (n < m). Adjunkt metod är effektivast när det motsatta gäller (n > m). Detta är nästan alltid fallet vid topologioptimering. I både fallen måste K beräknas. x j Detta kan göras numeriskt, men bättre i de flesta fall är en analytisk beräkning som ofta är tillgänglig. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 17 / 33

Resultat - Stångbärverk Åter till stångbärverksproblemet! 1 min ρ 2 F T u(ρ) (S) N ρ då e l e = V e=1 ρ l ρ e ρ u Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 19 / 33

Resultat - Stångbärverk Med ρ l 0 och ρ u så stor att den inte har någon inverkan fås följande lösning (MMA): Värdet på areorna (ρ e ) ges av tjocklekarna på linjerna och spänningsnivån ges av färgen. Notera att hela stångbärverket har samma absoluta spänningsnivå! Detta blir ALLTD fallet vid styvhetsoptimering med volymsbivillkor, när designrummet är tillräckligt stort. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 20 / 33

Resultat - Stångbärverk - Formoptimering Om vi istället för stängernas tjocklekar väljer några knutpunkters placering i rummet som designvariabler fås ett FORMOPTIMERINGSPROBLEM. Nedan ges en sådan optimal lösning då bärverkets fem övre noder får flytta sig vertikalt. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 21 / 33

Resultat - Stångbärverk - Formoptimering + Size Om både stängernas tjocklekar (size) och knutpunkternas placering (5 knutpunkter) inkluderas som variabler i optimeringsproblemet fås följande lösning. Notera att återigen blir absolutspänningen konstant i hela bärverket! Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 22 / 33

Topologioptimeringsprobl för ett kontinuum För ett två-dimensionellt problem (skiva) är det uppenbart hur ovanstående behandling ska generaliseras: efter FE-diskretisering kan elementens tjocklekar utgöra variablerna ρ e. I ett tre-dimensionellt fall finns ingen tjocklek, men vi kan tänka oss att ρ e utgör en densitet som får anta värdena 0 (hål) eller 1 (material). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 24 / 33

Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum Vi stoppar in en penaliseringskoefficient q > 1 i styvhetsmatrisen på följande sätt N K(ρ) = ρ q K e e (styvhetsmatris) e=1 och löser (0 < ε 0) min (S) då ρ 1 2 F T u(ρ) N ρ e l e = V e=1 ε ρ e 1 Praktiskt visar det sig att värdet q = 3 ger lösningar som nästan bara innehåller ρ e = ε 0 och ρ e = 1. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 25 / 33

Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 26 / 33

General applicability TO can (and has been used) for a large number of other areas Heat flow Fluid flow Acoustics Electromagnetism Multiphysics problems Any problem that can be written as a system of partial differential equations (and corresponding discrete problems). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 27 / 33

Review of TO in flow problems Discrete problem Klarbring et al., Topology optimization of flow networks, 2003. Laminar pipe flow. Fixed ground structure. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 29 / 33

Review of TO in flow problems ΓD Ω L ΓN Borrvall et al., Topology optimization in fluid mechanics (WCCM V), 2002. Darcy flow in porous material. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 30 / 33

Review of TO in flow problems d d d 1 d 1 Borrvall och Petersson, Topology optimization of fluids in Stokes flow, 2001. Stokes flow (very) low Reynolds numbers. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 31 / 33

Review of TO in flow problems Q Q 0.45 0.55 Thellner, Multi Parameter Topology Optimization in Continuum Mechanics, 2005. Stokes + temperature. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 32 / 33

End Thank you for listening! Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 33 / 33