I' i-*:.ti i :ffi - Hör upp gott folk. Överlista rnig i snörspelet och vinn en slantl Bondfångaren Putte försöker locka folk att spela ett spel med honom på Kiviks marknad. - Hur gör man då, frågar ingrid? - ]o, jag håller tre snören i min högra hand på det här viset. Du trehör.er bara knyta ihop de ör.re snörändarna med de undre. Om snöret är hopknutet i er-r enda ring då jag öppnar handen så vinner dr-r. - Vad vinner jag, undrar Ingrid? Oddset är 2,00. Har du satsat 10 kronor så tår - du 20 av n-rig vid vinst, svarar Putte. Ingrid funderar en stund och rynkar pannan. - Det låter som ert dåligt odds. * Nej det lir jättemånga som vinner, påstår Putte. - Om det gäller två snören i stallet för tre så ställer jug rpp, säger Ingrid. - Bara två snören! Då förlorar jag ju varje gång, snäser Putte.. Om man ska knyta ihop två snören till er-r ring, så börjar man med en snörända ovanför handen. Hur mångur är då de gynnsamma utfallen, det vill säga de snörändar på undersidan handen som ger en ring. ' Hur stor är sannolikheten att man knyter ihop två snören till en ring? i...:, r.i '' ' - 'rr:i..:.t"t:;r"1-......,,,:.., aa.:,:..,:.. i lr l :,'' 1,1-' i tr li!: "&.:ii:.:-:ii,:a.': ::-: 1 i i '-l'::l:::r,.. Varför tycker Ingrid att det odds sorn Putte ger' passar bättre till tr'å snören än tre? -,\r. Hur stor är sannolikheten att man knyter ihop trsnören til1 en ring? Hur stor vinstmarginal får Putte på sitt odds tiil r:.. snören? Vad händer om man knyter ihop fler snören än tre? Vilken sannolikhet är det att knyta ihop fyra eller fem till en ring? Hur stor är sannolikheten att knyta ihop ir stycken snören till en ring? Försök att förklara hur du kom fram till resultatet i föregåerrde fråga. 25O sanno!<hetstärao E upp[ FT
i =;e Pascal (1632-1662). f** '*.w $ $,,.$? vitk.n chans är störst? Att få minst en sexa vid l<ast med sex tärningar, eller få minst ett klätt kort om du drar sex l<ort ur en l<ortlek. H,asardspel Det är inte så förvånande att beteckningen p för sannolikhet kommer just från franskan s probabilitö. Hasardspel var orroligt popurärt brand den franska societeten under 1600-talet. Utvecklingen av sannolikhetsläran sägs ha tagit fart när de båda franska matematikerna Braise pascal och Pierre de Fermat löste ett spelproblem åt spelaren chevarier de M6r6 i mitten på 1600-talet. chevalier de M6r6 misstänkte att sannolikheten var större att få minst en 6:a när man kastade 4 tärningar, än att få minst en dubbelsexa vid 24 kast med 2 tärningar. Han kunde inte visa det matematiskt, men det kunde Pascal och Fermat med hjalp av komplementhändelser. Det visade sig att det var 5 %o större chans att fä minst en sexa när man kastade 4 tärningar än att ffi en dubbelsexa vid 24 kast med wå tärningar. P( minsr en 6:a... ) - I - (f 1t = o,s, tt P(minst en dubbelsexa...) = t - l-l'- = 0,4914 \Jb / BeattheDeqler Hasardspelande och sannolikhetslära har alltid gått hand i hand. Sedan Edward Thorps bok Best the Dealerkom ut 1962 har det skrivits mängder av böcker som rör spelet Blackjack och möjligheten att med hjaip av matematik bli en vinnare. Genom att hålla i minnet vilka kort som har spelats kan man beräkna sannolikheten för att vissa kort kommer att dras. På det sättet kan man fi en fördel gentemot banken pä ctrka 2 o/o. Kasinon har naturligtvis reagerat på dessa "korträknare'i För att göra det svårare att vinna mot banken används det numera ofta sex kortlekar och man använder aldrig mer än 2/3 av leken innan man blandar på nytt. Lagg dartill mängder av videokameror som avläser varje form av hot mot kasinot' ja då forstår man att det inte är så lätt för dagens "korträknare". Tiots detta lyckades ett antal studerande vid MIT (Massachusetts Institute of rechnology) utarbeta ett system som i mitten av 1990-talet kom att ge dem stora summor pengar. Den bästa helgen i Las Vegas gav en vinst på $400 000. Deras mycket precisa system som de hade utarbetat under många år med hjalp av datorer, kunde vid vissa tillfallen ge en stor fördei gentemot banken. För att kunna utnyttja dessa tillfällen hade man delat upp sig på kasinot. Alla hade en roll: "The back-spotter", "the spotter", "the gorilla" och "the big player" var smeknamnen på de olika rollerna. Gruppens lycka holl i sig under ett par år, men kasinona var dem på spåren. snart var gruppen portförbjuden på alla kasinon från USA till Asien. De hade inte gjort något olagligt, utan hade helt enkelt bara varit duktiga på matematik. sannollt(hetslara o HlsroR A 2S1
t{- i '..t." ili. '.,': DE STAN6DA DORRARNA Ett känt sannolikhetsproblem presenterades i amerikansk TV. En tävlande visas tre stängda dörrar. Han får veta att det bakom en dör: gömmer sig en bil och att det står en get bakom de båda andra. Den tär-l-r.t får välja en dörr som förblir stängd. Sedan öppnar tävlingsledaren en ar ir* två andra dörrarna som visar sig dolja en get. Den tävlande får då möi1i1':* att antingen behålla den dörr han ursprungligen valt eller byta till den a:.:u-a stängda dörren. Det som ställde till rabalder var när en matematiker påstod att chansen e:: vinna ökar dramatiskt om den tävlande byter dörr. :,, Undersök tillsammans med en kamrat genom att placera något litet ti':*- mål under en av tre plastmuggar. Låt den tävlande först göra ett antal l: i- sök dar hon byter mugg och jämför med de resuitat som hon får då hc':- behåller förstahandsvalet. Kom ihåg att göra försöket tillräckligt många gånger, så att inte slumpen får for stor inverkan på försöksresultatet..,: Förklara ert resultat. T'vÅ KsIaT [tn tit l(ort l- tltl Fra m- Ba k- sida sida Klipp ut två likadana kort ur tjockt vitt papper. Sätt ett kryss på en av sidc,:- na på det ena kortet. Det får inte synas igenom till den andra sidan. Blanda korten och vänd dem fram och tillbaka flera gånger. Lägg sedan ut ett av korten på bordet. :,.. Om kortet visar sin helvita sida, så gissa vad sannolikheten är att också undersidan av kortet är vit. 'r.. Testa din gissning genom att upprepa försöket flera gånger. Hoppa ör'er de tillfällen då krysset ligger på ovansidan av ett kort när du lägger dem på bordet. '.-: Försök att förklara resultatet. s Y\fÅ aåmsprue Du är med i en tävling. Framför dig har du två lådor. I den ena lådan ligger 7 lapparmed bokstäverna M A T C H E N. I den andra lådan ligger 14 lappar med samma bokstäver. Varje bokstav finns här på två lappar. Om du ur en låda drar 4 lappar utan återläggning och bokstäverna på de lapparna kan bilda ordet META, så vinner du. :.: Vilken låda ska du välja för att ha störst chans att vinna? Innan du börjar dra lappar, får du foljande erbjudande: Om du drar lapparna i rätt ordning så att de bildar ordet META, vinner du i stailet den dubbla prissumman. Misslyckas du att dra dem i rätt ordning, så vinner du inget. :,. Bör du anta erbjudandet? Motivera ditt svar. 252 sanno!khetstära o proble[,4 oth UNDERSO<N NCAR
Sannolikåemffiwffiåffiwm $ #,r-r ffi:" ffi :.i w #;q.. i*,,-"1 Efla Sannolikhet. händelseä. utfall. utfallsrummet antal svnnsamma utfall L antal möjliga utfall. komplementhändelseac. P(A) + P(Ac) = t Slumpförsök i ett steg i flera steg Slumpförsök i flera steg. produl<tregeln. träddiagram. beroende och oberoende händelser. diagram över utfallsrummet Slumpförsök i ett steg likformig sannolil<hetsfördelning icke likformig sannolil<hetsfördelning Icke likformig sanno li khetsfördelning. experiment. statistisl<a undersöl<ningar. relativa frel<venser SANNoLTKHETSLÄRA o TANKET<ARTA 253
Beräkr-ra sannolikheten för minst en pojk. barnen i en trebarnsfarmilj med hjälp ar.kc menthändelse. Anviind träddiagrammet och sr.ara på fiågo Av 3 000 bilf'örare som passerade en kontrollstation saknade 143 förare bilbalte. Hur stor iir sanr-rolikheten att en slumpvis ntvald bilförare saknar bilbälte? t: Timmo går i en klass med 14 pojkar och I I flickor. Tr.å elever, en pojke och en flicka, ska få åka tiil London. a) Hur stor a.ir sannolikheten aitt Timno får åkir? b) Är det större chans att få åka om man är flicka lin pojke? Motivera ditt sr.ar. I en besticklåda finns 5 gafflar, 3 skedirr och 7 knivar. Hur stor är sannolikheten att du tår upp en gaffel när du slumpmässigt vailjer ett bestick? Svara med ett bråk. ABCD a) Ileräkna sannolikheten för hiindelse A, b) Beräkna sannolikheten f-ör händelse C e1'.. - Tabellen yisar en test på hur lång brinntid rr lysrör har. Brinntid (h) Antal 8 000-10 000 570 5 000-8 000 950 4 000-5 000 430 0-4 000 224 Beräkna sannolikheten för att ett sh-rrnpvis r.. l,vrör brinner.r) n 000-8 000 tinrnrar b) mindre än 6 000 timmar 10 Sannolikheten föratt Irma får träff med luftge.. på ett nöjestalt är 0,2. Gör ett träddiagram ocl- t!, - beräkna sannolikheten för en tr'äff på tre sl<or:. 4 Om sannolikheten att göra mål på straff i fotboll är 80 %o, hur m:inga mål borde man då göra på 300 straffar? 11 Sannolikheten för grönt ljus vid ett ör.ergång: ställe rir 0,35. Hur stor är sannolikheten att det iir rött två gånger i rad? 22 Ett kort dr:rs slumpmässigt ur en vanlig kortlek. Hur stor är sannolikheten att det är en hjiirter? L2 Två kort dras slumprnässigt ur en vanlig kortle,. Berrikna sannolikheten för att det blir två ess.?? Det är alldeles mörkt när Layla kommer hem. Hon ska låsa r-rpp sin dörr med en av f'ern nästar.r likadana nl,cldar på si1 nyckelklippa. Beräkna sannolikheten för att a) den första nyckeln passar 13 L4 Två tärningar kastas. Rita ett utfallsdiagram och ta redir på sannolikheten för sumrnan 6. Vilken är kornplementhaindelsen till en 3:a när man kastar en tärning? b) den andra nyckeln hon provar pass:rr om den första nyckeln inte passade. 254 SANNOT <HETSLARA o BLANDADE r-.rppc FTER
i..:ss sorts blomma kan bli röd, vit eller blå. '. -,:landningen finns lika många av de tre -::3rna. Rita ett utfallsdiagram och ta reda på, 'rolikheten för att två frön ger blommor med.-ia tärg. 16,.ra ska byta två trasiga säkringar och trevar sig :n-r i mörkret till säkringsskåpet. När hon.,.:uyat ur de två trasiga så tappar hon dem, --.sammans med de tio hela som hon hål1er i -.-rnden, på golvet. Hur stor är sannolikheten att :,!rn sätter i två hela säkringar på första försöket? Två kulor väljs helt slr-rmpmässigt bland 3 gu1a, 4 blå och 5 röda. Hur stor är sannolikheten att två har samma färg? Per ska försöka ta sig igenom en trädgårdslabyrint. Vid varje valsituation har han två möjiigheter. Han tår inte gå tillbaka om han valt att gå åt ett håll. Hur stor är sannoiikheten att han går från start till mål på första försöket? l7 -lur stor är sannolikheten att det i en fyrabarns- ::milj finns fler söner än döttrar? Lts Tr å tärningar kastades 1 200 gånger. Är det :imligt att det blir en summa över 5 i 1 000 av kasten? Motivera. 1.9 En påse innehåller 3 gula,4 blå och 5 svarta kulor. Du drar slumpvis två kulor. Hur stor är sannolikheten att båda är blå? I ett lotteri finns I 000 lotter. Varje lott kostar 10 kr. I lotteriet finns 20 vinstlotter om vardera 400 kr. Hur mycket bör man i genomsnitt vinna eller förlora om man köper 100 lotter? 21 I en urna finns 5 b1å och l0 röda kulor. Två slumpmässigt valda kulor tas upp. Hur stor är sannolikheten att de har olika farg? 22 Yad är sannolikheten för att få minst en vinstlott när man köper f'ra lotter, om lotteriet innehålier 15 vinstlotter och 200 nitlotter? 23 Du är med i ett iekprogram på TV och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel. Spelet går till så här, programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans' Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor. Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna? Motivera varför. (Np MaB vt 2005) T-{Eh*åä ffi 25 På matematikkonferensen är tombolans lotter numrerade 1-200. Det är vinst på iott vars nummer är ett primtal. Hur stor är sannolikheten för vinst? 27 Per ger sina klasskamrater en chans att vinna pengar. "Spela mitt spell Satsa en krona och kasta sedan två sexsidiga tärningar. Högst tre prickar sammanlagt ger tio kronor tillbaka." a) Vad är sannolikheten att få högst tre prickar när man kastar två tärningar? b) Vem tjänar på spelet, klasskamraterna eller Per? Motivera ditt svar. (I{p MaB vt 2002) 29 I ett lotteri är lotterna numrerade från 1-999. Man vinner 5 kr på alla nummer som slutar med 0. Lotterna kostar I kr. Hur mycket förlorar man i genomsnitt om man köper 100 lotter? 29 I en besticklåda finns 12 gafflar, 8 knivar och 5 skedar. Anta att du tar upp 3 bestick helt slumpmässigt. Hur stor är sannolikheten att det är en gaffel, en kniv och en sked? 30 Vilken är sannolikheten att minst två elever i en klass har fodelsedag på samma dag om det finns totalt 20 elever i klassen? SANNOL <HETSLÄRA O BLANDADE UPPC FTER 255
tel ru ; Ff ffi.gåe#' +, # ffi ffiffi9- ä Utan räknare På ett tivoli finns ett chokladhjui som ser ut som på bilden. a) Hur stor är sannolikheten att vinna en liten chokladask på ett försök? b) Hur stor är sannolikheten att vinna två stora chokladaskar på två försök? Sannolikheten för att man ska få någon vinst på en lott är 20 o/o. Hur m.::s: vinster finns det på 1 200 lotter? Om man redan fått tre kronor i rad vid en slantsingling. Vilken är då sannolikheten att få en krona även vid f arde försöket? Motivera ditt sr-a:. En låda innehåller klossar. Där finns 8 vita och 4 röda klossar' Två klossar dras slumpvis och utan åter1äggning. a) Beräkna sannolikheten att båda klossarna är röda. b) Beräkna sannolikheten att båda klossarna har samma färg' Beskriv hur man kan bestämma sannoiikheten för att en plastmugg ska hamna på sidan efter att man kastat den rakt upp i luften. En snurra är en leksak som kan rotera runt sin egen axel. När snurran stanna: landar den på ett av $rra lika stora fält som är numrerade från 1 till 4' Försöket med snurran upprepas två gånger och resultatet antecknas. a) Vad är sannolikheten att summan av de två resultaten blir 8? b) Vilken summa är den mest sannolika efter två försök? Motivera ditt svar. 256 snnnorr <HErsLÄRA o l<aptteltest
Med räknare 7 Frida kastar en tändsticksask rakt upp i luften 200 gånger och noterar att den landar stående på högkant 23 gänger. Hur stor är sannolikheten att tändsticksasken inte hamnar på högkant efter landningen? 't5:..-i I I sannolikheten att träffa en måltavla vid luftgevärsskytte är 0,7. Beräkna hur stor sannolikheten är att få två traffar och en miss på tre skott. 9 Du spelar poker och har tre hjärter och två klöver. vad är sannolikheten att du får två hjarter till, om du byter de båda klöverkorten? 10 Ett ltirforhör består av 5 frågor. varje fråga har tre svarsalternativ varav ett är rätt. Beräkna sannolikheten lor att åtminstone få ett rätt om man bara chansar. 11 Roulette är spelet där man låter en kula ramla ner i ett snurrande hjul med fack. Facken är numrerade från 0-36. Tie personer spelar roulette. Spelare A satsar på nummer 17. Spelare B satsar päfyra nummer och spelare C satsar på att det ska bli ett udda nummer. Alla tre har betalt lika mycket för sin spelmark. i&- t,*"'d "il. Beräkna de tre sannolikheterna för att spelare A, B eller C vinner.. Skulle vinsten bli lika stor för de tre spelarna? Putte har funderat lange på hur man kan kamma hem storvinsten från casinot. Han säger att om man använder sig av foljande strategi så kommer man alltid att vinna: Satsa lögsta möjliga insats så ldnge som du vinner och dubble insatsen varje gång du farlorar ände tilk du vinner igen. Genom dubbleringen så vinner du tillbaka allt du har förlorat nör du vinner nösta gång. Efter varje vinst börjar du om och satsar den lägsta möjliga insatsen igen.. Putte testar sin teori. Han satsar minsta insatsen 10 kronor på rött och tänker sedan dubbla ända tills han vinner. Vilken är sannolikheten att han vinner innan han gjort av med de I 000 kronor han har med sig till casinot?. Är det troligt att Putte kommer att bli miljonär genom att använda sig av sin strategi? Motivera ditt svar. san NoLr<HErsLÄRA o KAptrELrEsr 257