LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25
Outline 1 Föreläsning 2/9 2 Föreläsning 4/9 3 Logik och ekvationslösning F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 2 / 25
Lite notation (mängder) Med klamrar {} betecknas mängder. Innanför klamrarna beskrivs mängden. Ex: M 1 = {1, 2, 3}, M 2 = {2, 3, 4}, M 3 = {reella tal x sådana att x 2 är mindre än eller lika med2} = {Reella tal mellan och inkluderande 2 och 2}. Unionen av två mängder A och B är alla tal som finns i någon av mängderna A och B och bildar en ny mängd, C säg. Vi skriver C = A B. Ex: M 1 M 2 = {1, 2, 3, 4}. Snittet, C, av två mängder A och B är mängden av alla tal som finns i båda mängderna samtidigt. Ex: M 1 M 2 = {2, 3}. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 3 / 25
Lite notation (mängder) Om alla tal i en mängd A även finns i en annan mängd B så säger vi att A är en delmängd av B och skriver A B. Annorlunda uttryckt så gäller att A B om A B = A. Ex: Om M 1 = {1, 2, 3, 4} och M 2 = {2, 3} så är M 2 M 1 men M 1 M 2. OM A B och B A så gäller att A = B. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 4 / 25
Våra viktigaste mängder(?) De positiva heltalen Z + = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}. De naturliga talen N = Z + {0} = {0, 1, 2, 3,...}. Heltalen Z = {..., 3, 1, 0, 1, 2, 3,...}. De rationella talen Q = {(p, q) eller p q där p och q är heltal. }. De reella talen R består av de rationella talen Q och de irrationella talen I d.v.s. R = Q I. Det gäller dessutom att Q I =...... där betecknar den tomma mängden, en mängd som inte innehåller några element. Notera alltså att {0} och 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 5 / 25
Mer mängdlära Om ett tal x finns i en mängd A så säger vi att x tillhör A och skriver x A. Ex: 1 N, 1 2 Q, 1 {1, 2, 3}. Om ett tal x inte tillhör en mängd A så skriver vi x A. Ex: 0 Z +, 5 {1, 2, 3}. Notera att, används för att säga något om tal/elements relation till mängder, medan, används för att säga något om en mängds relation till en annan mängd. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 6 / 25
Peanos axiom för de positiva heltalen Med positiva heltal (Z + ) menar vi en mängd som uppfyller följande axiom. 1 Mängden Z + innehåller ett tal som vi betecknar med 1 (ett). 2 Till varje tal x Z + existerar ett efterföljande tal x. 3 För alla tal x i Z + gäller att x 1. 4 Om x = y så är x = y. (x, y Z +.) 5 Induktionsaxiomet Antag att en mängd M av positiva heltal uppfyller följande två påståenden. I Talet 1 M. II Om x M Z + så är x M Då gäller att M = Z +. Uttryck som för varje tal/för alla tal x existerar något är så vanligt att vi inför kvantifikatorerna (för alla, för varje), (existerar,finns). Det andra axiomet kan skrivas kortare som x Z + ett efterföljande tal x. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 7 / 25
Satser om egenskaper hos Z + Theorem Om x y så gäller att x y. x Z + gäller att x x. Om x 1 så u Z + så att u = x. Dessa satser måste (och kan) alltså bevisas. Vi genomför dock inte bevisen. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 8 / 25
Outline 1 Föreläsning 2/9 2 Föreläsning 4/9 3 Logik och ekvationslösning F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 9 / 25
Addition av positiva heltal Definition Summan av två tal x, y Z + är ett nytt tal z Z + som vi betecknar x + y (z = x + y) och som uppfyller följande två villkor. x + 1 = x x + y = (x + y) Man måste bevisa att definitions två villkor ger ett entydigt z och att de inte strider mot varandra eller Peanos axiom, se Landau... Man kan bevisa följande egenskaper för addition av heltal. Om x, y, z Z + så gäller att (x + y)+z = x +(y + z) (associativa lagen), (1) x + y = y + x (kommutativa lagen), (2) x + z = y + z x = y (stykningslagen). (3) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 10 / 25
Multiplikation av positiva heltal Definition Produkten av två heltal x, y Z + är ett nytt tal z = x y = xy sådant att x 1 = x, (4) x y = x y + x. (5) Även detta måste visas vara konsistent med sig självt och det föregående. Man kan så visa följande räknelagar för multiplikation av heltal. (xy)z = x(yz) (associativa lagen), (6) xy = yx, (kommutativa lagen) (7) xz = yz x = y (stykningslagen). (8) För multiplikation och produkt gäller den distributiva lagen x(y + z) = xy + xz, (x, y, z Z + ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 11 / 25
Ordningsrelation hos de positiva heltalen Theorem För två positiva heltal x och y gäller ett och endast ett av följande påståenden. x = y, säger x är lika med y u Z + så att y = x + u, skriver x < y, y > x,säger x är mindre än y, u Z + så att x = y + u, (y < x, x > y). y är större än x. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 12 / 25
Mer om ordningsrelationen Theorem Låt x, y, z vara positiva heltal. Om x < y och y < z så är x < z, Om x < y så är x + z < y + z. Om x < y så är xz < yz. Det existerar ett n Z + sådant att y < nx, egenskapen). (transitiva lagen). (den archimediska Om x = y eller x > y(x < y) skriver vi x y(x y) och säger x är större (mindre) eller lika med y. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 13 / 25
Positiva rationella tal Nästa steg blir att definiera de positiva rationella talen. Definition Vi låter det ordnade paret (p, q) där p och q är positiva heltal vara ett rationellt tal och säger att två rationella tal (p 1, q 1 ) och (p 2, q 2 ) vara samma om p 1 q 2 = p 2 q 1. Vi säger att (p 1, q 1 ) är större än (p 2, q 2 ) om p 1 q 2 > p 2 q 1 och mindre om den omvända relationen gäller. Vi skriver vanligen p q istället för (p, q), något som är vettigt när vi infört division. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 14 / 25
Addition och multiplikation Vi definierar summan mellan två rationella tal som p 1 q 1 + p 2 q 2 = p 1q 2 + p 2 q 1 q 1 q 2, ( (p1, q 1 )+(p 2, q 2 ) = (p 1 q 2 + p 2 q 1, q 1 q 2 ) )...... och produkten som p 1 q 1 p2 q 2 = p 1p 2 q 1 q 2, ( (p1, q 1 ) (p 2, q 2 ) = (p 1 p 2, q 1 q 2 ) ). Samtliga räkne- och ordningslagar från heltalsfallet gäller även för de positiva rationella talen. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 15 / 25
o.s.v. Sedan kan man med hjälp av de positiva rationella talen definiera de positiva reella talen samt additon och multiplikation för dessa. Slutligen kan man definiera alla reella tal, R. Räknelagarna fortsätter gälla. Dessa måste du kunna i detalj, inlusive tecken- och prioriteringsregler. Se boken! Notera att strykningslagarna gäller med ekvivalens för x, y, z Renligt x + z = y + z x = y xz = yz x = y, om z 0. Detta är fundamentalt i räkningar! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 16 / 25
Subtraktion och division Definition Differensen mellan två reella tal x och y är det unika reella tal z sådant att z + y = x. Vi skriver z = x y. Definition Vi definerar kvoten mellan de reella talen x och y 0 som det unika reella tal z som ger att yz = x. Vi skriver z = x y. Räknelagar för subtraktion och multiplikation blir naturligtvis en logisk följd av dessa definitioner. Se boken! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 17 / 25
Division Notera att addition och multiplikation av godtyckliga bråk ges av samma uttryck som för rationella tal! Låt x = a/b, y = c/d, b, d 0. Då har vi bx = a dy = c. Om vi multiplicerar den första likhetens båda sidor med d och den andras med b så ändras inte de båda lösningsmängderna. dbx = da bdy = bc Nu kan vi addera de båda ekvationerna till varandra och får dbx + dby = db(x + y) = da+bc så x + y = da+bc db, dvs a b + c d = da+bc db. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 18 / 25
Heltalsdivison och primtalsfaktorisering Definition Ett positivt heltal q säges vara en delare till ett heltal p om det finns ett annat heltal n så att p = nq. Vi säger då att p är (jämnt) delbart med q. Definition Ett positivt heltal p är ett primtal om det enbart är delbart med sig själv och med talet 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 19 / 25
Heltalsdivison och primtalsfaktorisering Theorem P1 Ett positivt heltal är delbart med 2 om och endast om det är jämnt. P2 Ett positivt heltal är delbart med 3 omm dess siffersumma är delbar med tre. P3 Ett positivt heltal är delbart med 5 omm det slutar på 0 eller 5. Bevis av P2: Varje positivt heltal n kan skrivas som n = n 0 10 0 + n 1 10 1 + n 2 10 2 +...+n j 10 j = n 0 + n 1 (1+9)+n 2 (1+99)+...+n j (1+99...9 }{{}) j st 9:or = (n 0 + n 1 + n 2 +...+n j )+(9n 1 + 99n 2 +...+99...9 }{{} n j ). j st 9:or Termerna i den andra parentesen är alltid delbart med tre (varför?) och utrycket i den första parentesen är inget annat än siffersumman varvid satsen följer. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 20 / 25
Definition Ett heltalsbråk är fullständigt förenklat om täljare och nämnare inte innehåller några gemensamma primtalsfaktorer. För att förenkla additionen av två heltalsbråk så bör man först förenkla dem fullständigt var för sig och sedan addera dem. Därefter bör man förenkla den erhållna kvoten fullständigt. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 21 / 25
Outline 1 Föreläsning 2/9 2 Föreläsning 4/9 3 Logik och ekvationslösning F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 22 / 25
Logiska satser Definition En logisk sats/utsaga är ett uttryck som kan karakteriseras som antingen falskt eller sant. En sats vars sanningshalt beror av värdet på någon variabel kallar vi öppen. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 23 / 25
Implikation och ekvivalens Definition Om en logisk sats Q är sann så fort en annan sats P är sann så säger vi att P implicerar/medför/är ett tillräckligt villkor för Q och vi skriver P Q. Definition Om P och Q är två logiska satser och det gäller att P Q och Q P så säger vi att P och Q är ekvivalenta och skriver P Q. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 24 / 25
Och, eller, icke Låt Q 1 och Q 2 vara två logiska påståenden. och Påståendet P 1 : Q 1 Q 2 utläses Q 1 och Q 2 och är sant omm både Q 1 och Q 2 är sanna. eller Påståendet P 2 : Q 1 Q 2 utläses Q 1 eller Q 2 och är sann om något av påståendena Q 1 och Q 2 är sanna, annars är det falskt. icke Påståendet P 3 : Q 1 utläses icke Q 1 är sant om Q 1 är falskt, annars falskt. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 25 / 25