DEBATT DEBATT DEBATT DEBATT DEBATT DEBATT DEBATT Här presenterar Anders Tengstrand, f d universitetslektor i matematik vid Växjö Universitet, några reflektioner kring problemen med nybörjarstudenternas förkunskaper i matematik. Hösten 2001 utvärderades matematikutbildningen vid tjugoen lärosäten av en expertgrupp som utsetts av Högskoleverket. Bedömargruppen bestod av fem professorer från Norge, Finland, Schweiz och Sverige, fem studeranderepresentanter samt undertecknad som tillika tjänstgjorde som ordförande. Rapporten publicerades i början av mars 2002(Högskoleverket, 2002). Gruppens allvarligaste kritik riktades mot att universitetslärarna i matematik har alltför små möjligheter till egen forskning. Den påpekade också nödvändigheten av att koncentrera forskarutbildningen. En annan av huvudpunkterna i rapporten var den stora variationen i studenternas förkunskaper. Många av de som börjar sina matematikstudier kommer väl förberedda till universitetsstudierna men, enligt de universitetslärare som bedömargruppen har samtalat med, visar allt fler studenter allt större brister inom olika delar av skolmatematiken. Det gäller framför allt inom elementär algebra som enkel ekvationslösning, bråkräkning och förenklingar. I en av punkterna under rubriken Sammanfattning och rekommendationer står följande: Det visar sig att de flesta nybörjarstudenter har bristande förkunskaper i elementär algebra. Kunskaper och färdigheter inom detta område är en absolut förutsättning för högre studier i matematik. Det är inte acceptabelt att studenter som har de formella förkunskaperna för att studera matematik på högskolenivå är osäkra på centrala moment som hör hemma på grundskolans högstadium. (Högskoleverket, 2002, s 18) Vid de olika matematikinstitutionerna gör lärarna ett stort och engagerat arbete med att på olika sätt hjälpa de studenter som har otillräckliga förkunskaper att klara studierna. Detta är en ekonomisk nödvändighet. Institutionernas tilldelning är helt beroende av antalet registrerade studenter och deras studieresultat. Med det vikande intresset för studier inom naturvetenskap och teknik är man på många lärosäten tvingad att ta in alla behöriga sökande. Det diskuteras också på en del håll att sänka förkunskapsgränsen till Matematik C för att fylla studieplatserna. NÄMNAREN NR 3 2002 47
Det finns ett samband mellan bedömargruppens kritik av många universitetslärares låga forskningsaktivitet och nybörjarstudenters bristande förkunskaper. Lärarnas tid kommer i allt för hög grad att ägnas åt att täppa till kunskapsluckor från grundskola och gymnasium och de får varken tid eller kraft till egen forskning, även om de formella möjligheterna finns. Sambandet mellan forskning och grundutbildningen kan därmed försvagas och kvaliteten på den akademiska utbildningen försämras. Bedömargruppen konstaterar alltså att alltför många nybörjarstudenter har alltför svaga förkunskaper och konstaterar att det inte finns någon enkel förklaring till detta. En analys av förkunskapsproblematiken finns i rapporten Räcker kunskaperna i matematik? (Högskoleverket 1999). Där ges också ett antal förslag till hur situationen skall förbättras. Sedan rapporten skrevs har en del av de föreslagna åtgärderna vidtagits samtidigt som det verkar som om problemen i vissa avseenden förvärrats. Rapporten ger ett utomordentligt underlag för en fortsatt diskussion och för ett kommande förändringsarbete. I de diskussioner jag haft med lärare i skolor och högskolor efter publiceringen av rapporten har framkommit en rad synpunkter och jag kommer att redovisa några av dessa samtidigt med egna bedömningar grundade på mina erfarenheter som universitetslärare. Den analys jag gör och de åtgärder jag föreslår står alltså helt och håller för mig personligen och inte för bedömargruppen. De har inte ens diskuterats där. Det är många faktorer som spelar in för att förklara problemen med de förändrade förkunskaperna. Jag delar in dem i fyra kategorier: Strukturella problem Det minskade intresset för naturvetenskap och teknik Ökande användning av datorer och miniräknare En avteoretisering av matematiken Strukturella problem Förståelsen av matematiska begrepp och samband byggs upp successivt och utvecklas ständigt genom övningar, diskussioner och tillämpningar. Detta är en mycket tidskrävande process. Nya begrepp bygger på tidigare begrepp, som måste behärskas för att ge de nya begreppen mening. Matematiken kan därför inte delas in i moduler som är oberoende av varandra. I det avseendet skiljer sig matematiken från ett flertal andra ämnen. Kurssystemet på gymnasiet kan medverka till en fragmentisering som motverkar förståelsen av matematikämnet. Förslaget från utbildningsministern att ge ämnesbetyg istället för kursbetyg är ett steg i rätt riktning. Det nuvarande betygsystemet har en fyrgradig skala: Icke godkänd (IG), Godkänd (G), Väl godkänd (VG) och Mycket väl godkänd (MVG). För dem som får Icke godkänd måste skolan arrangera särskilt stöd och examination och det medför extra kostnader. De ekonomiska konsekvenserna kan innebära att det skapas ett tryck på lärarna att avstå från att sätta betyget IG. Olika undersökningar visar att de som får betyget G från t ex D-kursen i matematik kan ha mycket varierande kunskaper och att dessa i många fall är ytterst bristfälliga. De svagaste studenterna med betyget G har mycket små utsikter att klara universitetskurser i matematik utan omfattande stödundervisning och förlängd studietid. Detta skapar ekonomiska problem för såväl individen som för institutionen. 48 N Ä MNAREN NR 3 2002
I dagens gymnasium är valfriheten mycket stor och det kan naturligtvis ses som något positivt men det har också negativa konsekvenser. Matematik är ett ämne som oftast kräver mycket arbete. Det kan därför vara frestande att välja enklare kurser, ibland av mer hobbykaraktär, för att få en bekvämare studiegång samtidigt som möjligheterna att få höga betyg ökar. En sådan utveckling leder till att färre läser de högre matematikkurserna och att begåvade elever som mycket väl kan klara t ex en civilingenjörsutbildning väljer andra inriktningar eftersom de saknar de nödvändiga matematikkunskaperna. Det är en för nationen olycklig utveckling. Minskat intresse för naturvetenskap och teknik Under senare år har intresset för naturvetenskap och teknik minskat avsevärt. Det är en internationell företeelse. Många av platserna på högskolornas ingenjörsutbildningar står tomma. Det gäller också lärarutbildningar med inriktning mot matematik och naturvetenskap. I en framtid kan det bli svårare än vad det redan nu är att rekrytera matematiklärare till grundskola och gymnasium. Det är en uppenbar fara att möjligheterna att intressera nya elever för matematik och naturvetenskap minskar med avtagande kompetens ute i skolorna. Vi befinner oss i en ond cirkel som det är nödvändigt att bryta sig ur. Hur det skall göras är en mycket komplicerad fråga som många brottas med och det inte min mening att gå in i den diskussionen. Men problemet är grundläggande och har tydliga kopplingar till problemen med högskolestudenterna bristande förkunskaper i matematik. En del av de studenter som börjar sina matematikstudier är som förut genuint intresserade av ämnesområdet och de har inga svårigheter att följa undervisningen och klarar studierna utmärkt. Men högskolorna måste, bl a av ekonomiska skäl, se till att fylla sina platser. De sista studenterna som tas in på ett matematikintensivt program har inte alltid prioriterat matematiken i skolan och har ofta endast betyget G i ämnet. Många av de högskolor och universitet som bedömargruppen besökte talade om en kamelpuckeleffekt. Studenternas förkunskaper är inte som förut normalfördelad och utan den beskriver två pucklar: En för de motiverade studenterna och en för de som har ett sämre utgångsläge. I regel klarar sig studenterna i den första kategorin bra medan de i den andra kategorin har stora svårigheter. Andelen svaga studenter har ökat under senare år och därmed de pedagogiska problemen på högskolenivå. Datorer och miniräknare Datorn har i grunden förändrat vårt samhälle och naturligtvis får den också konsekvenser för matematikundervisningen. Mycket av den algoritmräkning som förut måste göras för hand kan idag göras med teknikens hjälp. Det gäller numerisk räkning, algebraiska förenklingar, ekvationslösning, kurvritning, lösning av differentialekvationer m m. Undervisningens tyngdpunkt måste därför förskjutas från beräkning till förståelse. Men förståelsen för processer och begrepp kräver oftast ett visst mått av algoritmisk träning. Det blir av naturliga skäl allt svårare att motivera elever för algoritmräkning och det är en verklighet som vi lärare måste acceptera. Elektroniska hjälpmedel skall användas för att förstärka begreppsförståelsen och för att underlätta räkningarna när de har blivit rutin. Vi vet idag alltför litet om hur datorer och miniräknare påverkar förståelsen av matematiska begrepp och hur vi skall använda de nya hjälpmedlen. Här krävs både forskning och utvecklingsarbete. NÄMNAREN NR 3 2002 49
Avteoretisering av matematikundervisningen Min uppfattning är att skolundervisning i mycket stor utsträckning har koncentrerats på vad som brukar kallas vardagsmatematik, dvs den matematik som behövs för att kunna handla, göra bankaffärer, utföra enkla mätningar och liknande. Men det är inte den matematik som en blivande tekniker, ingenjör eller naturvetare behöver. Teknikens och naturvetenskapens språk är i stor utsträckning matematiska där algebraiska begrepp som obekanta och ekvationer, variabler och formler är oundgängliga. För att kunna tolka och arbeta med dessa krävs algebraiska färdigheter som det krävs tid för att uppnå. Brister i detta hänseende är svåra att reparera på kort tid under universitetsstudierna och får konsekvenser inte bara för matematikstudierna utan också för studier i de tillämpade ämnena. En successiv anpassning av kurser och kurslitteratur så att allt fler studenter kan följa undervisningen utan matematiska kunskaper kommer att innebära en allvarlig standardsänkning. Eleverna måste redan i grundskolan tränas i att föra generella resonemang. Genom algebran går man från det speciella till det generella och det är viktigt att skapa motivation för det. Att inskränka algebraundervisningen till mekaniskt räknande är att ta död på intresset. Genom att på ett intresseväckande sätt introducera generella matematiska resonemang bör också intresset för naturvetenskap och teknik öka. Naturligtvis är det då viktigt att utgå från elevernas erfarenhetsvärld, men det är inte säkert att eleverna upplever vardagsmatematiken som inspirerande. Den berömda undersökningen av Jan Wyndhamn (Säljö & Wyndhamn, 1988) där eleverna visar sig ha lättare för att räkna ut portokostnaderna på en lektion i samhällskunskap än i matematik, antyder att många lär sig vardagsmatematiken utanför matematiklektionerna. Studenternas bristande förmågan att föra generella resonemang märks på fler områden än inom algebran. De flesta studenter har inte sett ett bevis och vet inte vad en definition är när de börjar sina universitetsstudier i matematik, och möjligen är dessa begrepp oklara för många även efter avlagd akademisk examen. Giltigheten av en sats verkar accepteras genom ett antal exempel. Generella resonemang undviks. Men berövar man inte på detta sätt matematiken dess själ? Genom att se samband mellan satser och se hur de bygger på varandra får många den aha-upplevelse som ger ett bestående intresse för ämnet. Många invänder att det är svårt och att de flesta elever inte har intresse av den typen av teoretiska resonemang. Det kan vara sant men om man tar bort det elementet i matematiken så kommer de elever som har förmågan att genomföra resonemang aldrig få möjligheten att upptäcka matematiken. Och dessa elever är kanske inte så få som många tror. Jag har i detta avsnitt talat för en ökad teoretisering av matematikundervisningen. Det är kanske inte politiskt opportunt. Men jag vill betona att jag naturligtvis anser det nödvändigt att alla elever ges tillräckliga kunskaper i matematik för att klara vardagen i vårt samhälle och att konkreta exempel är viktiga i all matematikundervisning. Men det får inte sluta med det konkreta. De konkreta exemplen skall vara utgångspunkt för att utveckla ett mer abstrakt tänkande bl a förmågan att arbeta med symboler. Man måste gå från det speciella till det generella och inte stanna i det speciella. Ett stort arbete måste läggas ner på att motivera eleverna för att utföra generella resonemang. Den tiden är förbi när man kan kommendera fram en mekanisk drill av algebraiska färdigheter eller ett inpluggande av satser och bevis ur Euklides Elementa. Men det betyder inte att algebraiska färdigheter och bevisfö- 50 N Ä MNAREN NR 3 2002
ring av otidsenliga 1. Tvärtom. Vårt samhälle bygger idag mer än någonsin förr på avancerad matematik. Idag är det brist på matematiker och det är ett viktigt skäl för att stimulera elevers matematikintresse och att få dem att förstå att matematik är mer än räkning. Ett annat skäl är att det i en demokrati är mycket olyckligt om endast ett fåtal kan sätta sig in i de principer som ligger bakom våra tekniska och ekonomiska system. Förslag Som en konsekvens av den analys jag gjort vill jag rekommendera följande åtgärder Lärare på högskolor och gymnasier samt beslutsfattare inom universitet och skolväsende bör studera och diskutera rapporten Räcker kunskaperna i matematik? Samverkan mellan grundskola - gymnasieskola - högskola måste öka inte bara centralt utan även regionalt. Varje universitet och högskola bör se som sin uppgift att initiera ett sådant samarbete. Universiteten måste som den största avnämaren ställa tydliga krav och få ökade möjligheter att påverka gymnasiets och grundskolans kursplaner. Fler matematikkurser än nu skall vara obligatoriska på gymnasiet naturvetenskapliga och tekniska program. Helhetssynen på ämnet matematik måste betonas mer än vad nu är fallet framför allt inom gymnasieskolan. Universiteten skall inte minska förkunskapskraven. Lägre förkunskaper måste innebära ökad studietid. För att kunna tillämpa matematiken på komplexa problem krävs förmåga att föra generella resonemang. En ökad satsning på matematikens teoretiska delar med start i lägre årskurser på grundskolan bör därför komma till stånd. Detta kan innebära ökade möjligheter till kompetensutveckling för lärarna och krav på förnyelse av läromedel. Den matematikdidaktiska forskningen måste öka och den bör i stor utsträckning bedrivas i nära kontakt det konkreta arbetet i skolor och på universitet. Bl a bör studier göras om hur datorerna och minräknarna påverkar begreppsförståelsen Till sist vill jag återigen betona: Analysen och de förslag jag framfört står helt och hållet för mig själv! Anders Tengstrand LITTERATUR Högskoleverket (1999). Räcker kunskaperna i matematik? Stockholm: Högskoleverket. Högskoleverket (2002). Utvärdering av matematikutbildningar vid svenska universitet och högskolor. Högskoleverkets rapportserie 2002:5. Stockholm: Högskoleverket. Säljö. R & Wyndhamn. J. (1988). Cognitive operations and educational framing of tasks. Schools as a context for arithmetic thought. Scandinavian Journal of Educational Research 32, 61 7. 1 För att undvika missförstånd vill jag betona att jag inte tycker Elementa är otidsenlig. Det är ett klassiskt verk som alltid kommer att vara aktuellt. Den finns nu tillgänglig på webben http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/ elements.html NÄMNAREN NR 3 2002 51