Fuzzy logic
Sammanfattning Inom klassiska logiska system är ett påstående antingen sant eller falskt. Fuzzy logic använder sig istället av grader av medlemskap som är värden mellan 0(inte alls sant) och 1(helt sant). Fuzzy logic är beräkning med ord och inte tal. Detta gör så att fuzzy logic mer liknar den mänskliga förmågan att kunna ta beslut i situationer där miljön är oprecis. I denna rapport redogörs för det logiska systemet fuzzy logic, hur fuzzy inference fungerar, sedan ges några exempel på tillämpningsområden och tillsist en diskussion av arbetet.
Innehållsförteckning 1.Inledning... 1 2. Det logiska systemet... 2 2.1 Lingvistiska variabler... 2 2.2 Crisp- och fuzzy mängder... 2 2.3 Medlemsfunktioner... 3 2.4 Operationer... 5 2.5 Fuzzy om-så-regler... 5 2.6 Fuzzy inference systems... 6 3. Tillämpningsområden... 9 4. Diskussion... 10 Referenser... 11
1.Inledning Aristoteles kallas för logikens fader. Han systematiserade hur vi drar slutsatser utifrån påståenden. Denna systematisering kallade han för syllogismer vilka visar hur människor drar sanna slutsatser utifrån premisser. Denna logik kallas för klassisk logik och inom sådan logik antas att ett påstående antingen är sant eller falskt. Givet ett påstående P är svaret antingen P eller P, detta kallas för tvåvärdeslogik. Men allt går inte att uttrycka som antingen sant eller falskt, 0 eller 1, utan det kan vara användbart att kunna uttrycka ett mellanting. Människan använder ofta i sitt språk ord så som lite, ganska och mycket när de beskriver något. Detta går inte att uttrycka med tvåvärdeslogik utan här behöver vi istället en logik som kan anta fler värden än 0 och 1. Ett exempel på detta är att en lakritsbit kan vara väldigt salt och ganska söt i smaken. Detta är något som de flesta har upplevt. De har smakat på något och beskrivit smaken med något i stil med Den smakar lite jordgubbe och massor av grädde. För att kunna uttrycka detta säger man med fuzzy logic att godisen i fråga har ett medlemskap i mängden jordgubbssmak och ett högre medlemskap i mängden grädde. Ett annat exempel är när man ska avgöra hur lång en person är. I tvåvärdeslogik får man nöja sig med att antingen att kalla personen lång eller inte lång, men med fuzzy logic öppnas andra möjligheter upp. Om vi använder oss av tvåvärdeslogik kan vi bestämma en gräns på att en lång person är 170 cm lång eller längre, allt som är under det strecket klassas då som ickelång. En person som är 169,5 cm lång blir då klassad som icke-lång, trots att det kanske inte känns helt rättvist. Men med fuzzy logic använder man sig av grad av medlemskap som ligger mellan värdena 0 och 1. Personen som är 169,5 cm lång kan då tillräknas mängden lång med graden 0,7 och mängden kort med graden 0,4, beroende på hur värdena är fördefinierade. Platon lade för länge sedan grunden för en logik som kan ha fler värden än bara falskt (0) eller sant(1). Han ansåg att det fanns en tredje region som var något mer än bara sant eller falskt. År 1965, introducerade Lofti A Zadeh termen fuzzy logic i hans arbete Fuzzy sets. I artikeln Fuzzy logic (1998) sammanfattar han fuzzy logic på detta sätt: 1
In a nutshell, in fuzzy logic everything, including truth, is a matter of degree. (1998, p. 84) Fuzzy logic eftersträvar att likna den mänskliga förmågan att ta beslut i situationer där miljön är oprecis. Ett exempel på detta är att människan har förmågan att utläsa dålig handstil. Föreställ dig att vi ska bygga en robot som testar smaker. Vi vill att roboten ska göra utlåtanden om smaker så som: den här smaken är väldigt stark och den här smaken är ganska söt och lite salt. Vi ger roboten en sötsur-sås att analysera. I robotens logiska universum U existerar fuzzy mängderna U = {sött, surt, beskt, salt, starkt}. Expertsmakarerobotens uppgift blir nu att avgöra till vilken grad smaken tillhör de olika fuzzy mängderna. Ungefär hur detta skulle kunna gå till redogörs nedan i rapporten. 2. Det logiska systemet Här görs en redogörelse för hur det logiska systemet fungerar. Detta innefattar lingvistiska variabler, crisp- och fuzzy mängder, medlemsfunktioner, operationer, fuzzy om-så regler och fuzzy inference. 2.1 Lingvistiska variabler En av de grundläggande delarna i fuzzy logic är att beräkning görs med ord och inte tal. Detta skiljer fuzzy logic från andra logiker. Fuzzy logic är mer likt den mänskliga förmågan att kunna dra slutsatser om världen baserad på oprecis kunskap. Lingvistiska variabler så som sött, starkt, kort och långt är oprecisa vilket innebär att de inte refererar till något särskilt värde och att deras innebörd beror på i vilken kontext de används. 2.2 Crisp- och fuzzy mängder En så kallad crispmängd tillåter endast att ett element har ett fullt medlemskap eller inget medlemskap alls. Ett värde kan därmed vara antingen sant eller falskt. Om vår expertsmakarerobot skulle använda sig av crispmängd så skulle vi inte tillåta värden att vara lite sött eller ganska starkt utan endast tillåta dem att vara antingen sött eller inte sött, eller starkt eller inte starkt. En fuzzy mängd kan dock tillåta att värden är delvis sanna. Detta görs genom att en fuzzy mängd tillåter att ett element har en grad av medlemskap mellan 0 och 1. Om roboten använder sig av fuzzy mängder kommer lakritsgodisen som ska analyseras att kunna vara både lite söt och ganska stark. 2
I fuzzy logic definieras ett universum vilket innefattar alla de element som kan förekomma i de fuzzy mängderna. En fuzzy mängd kan vara starkt vilket kan innehålla fler fuzzy mängder så som: lite starkt, lagom starkt och mycket starkt. Figur 1 Den vänstra bilden visar mängden height i ett crisp-format och den högra bilden i ett fuzzy format. 2.3 Medlemsfunktioner En fuzzy mängd A i universumet U är bestämt av medlemsfunktionen μa (x) som har ett värde i intervallet [0,1]. En medlemsfunktion är en kurva som visar vad varje punkt i insignalen har för medlemsvärde, det vill säga vilken grad av medlemskap den har mellan 0 och 1. Det finns olika typer av medlemsfunktioner (Figurerna är tagna från emathteatchers hemsida): Figur 2 Trapezoidalfunktion 3
Figur 3 Triangelfunktion Figur 4 Gaussianfunktion En fuzzy mängds beteckning kan vara uttryck som till exempel: liten, stor, medium, lång, snabb och långsam. Dessa element kan vara medlemmar av flera mängder samtidigt. Låt säga att vi återigen riktar vår uppmärksamhet mot expertsmakare-roboten och ger den en grapefrukt att analysera. Grapefrukten får efter analysen en viss grad av medlemskap i de fuzzy mängderna. Frukten får kanske 0,8 i grad av medlemskap i mängden besk och 0,5 i grad av medlemskap i mängden sött. Som tidigare nämnt kan en fuzzy mängd bestå av andra fuzzy mängder, exempelvis kan den fuzzy mängden besk bestå av de fuzzy mängderna väldigt besk och inte alls besk. 4
2.4 Operationer I fuzzy logik används tre operationer. Dessa kallas för union (OR), intersection (AND) och complement (NOT). Figur 5 Med operationen intersection (AND) räknas skärningspunkten mellan två fuzzy mängder ut. Skärningspunkten mellan de två mängderna A och B är de element som finns i både A och B. Graden av medlemskap dessa gemensamma element har bestäms som den lägsta graden av medlemskap elementen hade i någon av mängderna. Unionen (OR) av de två fuzzy mängderna A och B innehåller alla element som finns i antingen A eller B. För en union av två fuzzy mängder är det den största av de två graderna av medlemskap som räknas som graden av medlemskap i unionen. Komplementet (NOT) av A innehåller helt enkelt alla element som inte finns i A. 2.5 Fuzzy om-så-regler En annan viktig aspekt i fuzzy logic är om-så regler. Dessa regler består av en antecedent, vilket är insignalen, och en konsekvent, vilket är utsignalen. Dessa regler ser ut på detta sätt: om antecedenten så konsekvensen Eller: Om X är A(antecedenten) så Y är B(konsekvensen). Ett exempel på detta kan vara om maten är god så är dricksen hög. A och B är alltså lingvistiska variabler i de fuzzy mängderna definierade av X och Y. Ordet god i meningen ovan representeras med ett värde som är en grad av medlemskap mellan 0 och 1. Om maten är god är graden av medlemskap hög och om maten är mindre god är graden av medlemskap mindre hög. 5
Antecedenten, som i detta exempel är maten är god, är en interpretation, som returnerar ett värde mellan 0 och 1. Hög är en fuzzy mängd vilket gör att konsekvensen (dricksen är hög) tilldelar den fuzzy mängden hög till utsignalen vilket är variabeln Y. Antecedenten och konsevensen kan även ha flera delar som t.ex. om maten är god och servicen är bra så är stämningen hög och dricksen är hög. I tvåvärdeslogik är konsekvensen sann om antecedenten är sann. Skillnaden i fuzzy logic är att ett påstående har en grad av medlemskap i en fuzzy mängd. Därför är konsekvensen sann till en viss grad av medlemskap, vilken är samma grad som antecedenten är sann. 2.6 Fuzzy inference systems Fuzzy inference är en process där man använder fuzzy logic för att formulera kartläggningen från en insignal till en utsignal. Denna kartläggning kan sedan användas som en bas vid beslutsfattande eller för att hitta mönster. Fuzzy inference system använder de grundläggande delarna i fuzzy logic som tidigare tagits upp. Detta innefattar medlemskapsfunktioner, fuzzy operationer och om-så regler. Det finns fyra steg dessa system använder sig av och dessa steg är: 1. Fuzzification 2. Inference 3. Composition 4. Defuzzification Vi föreställer oss ett system som ska modellera ett scenario av en person som går på restaurang, har ätit klart och ska betala notan. Personen ställer sig nu frågan: Hur mycket dricks ska jag ge? För att räkna ut detta kan systemet exempelvis skatta hur god maten var och hur bra service servitören gav. Vi kan anta att: om maten är god så ska dricksen vara hög. Om vi ska skatta maten på en skala som är mellan 0-10, och anser att maten var god väljer vi siffran 8, vilket är ett crispvärde. Första steget i ett fuzzy inferenssystem är fuzzification, vilket innebär en konvertering av crispvärdet till ett fuzzy värde, genom att insignalen, vilket i detta fall är om maten är god, görs om till en grad av medlemskap i en viss fuzzy mängd, som i detta fall är god. 6
Genom medlemsfunktioner kan vi sedan avgöra graden av medlemskap insignalen ska ha i mängden god. Figur 6 nedan visar ett exempel på att om food blivit skattad som 8, så blir 0,7 den grad av medlemskap food får i den fuzzy mängden delicious. Figurerna som är till hjälp för att illustrera exemplet är från MathWorks hemsida och emath-teachers hemsida. Figur 6 När sedan den grad av medlemskap antecedenten har i mängden och när konsekvenserna är kända så appliceras en operator för att få en ny fuzzy mängd. Operatorn som vanligen används är minimum eller MIN, vilket är densamma som operatorn AND som tidigare förklarades som skärningspunkten mellan två fuzzy mängder. Bilden nedan illustrerar hur minimum-operatorn (AND) fungerar. Här ser vi att medlemsfunktionen, som är utsignalen, har blivit kapad på en höjd som korresponderar till antecedentens grad av sanning. Figur 7 Service is excellent or food is delicious är antecendenten och tip is genereous är konsekvensen. Servicen ges en trea i betyg vilket resulterar i att graden av medlemskap service har i mängden excellent är 0,0. Food har blivit skattat som 8 vilket innebär att 7
graden av medlemskap food har i mängden delicious är 0,7 vilket går att läsa ut på grafen i figur 6. Genom att applicera operatorn OR får vi: MAX((0,0), (0,7)) = (0,7), eftersom att OR tar ut det högsta medlemsvärdet. Detta värde ska sedan användas för att ta reda på hur mycket dricks som ska ges, genom att graden av medlemskap tip har i mängden generous (vilket är konsekvensen), ska kapas av så att det korresponderar till värdet av antecedenten. Detta görs med operatorn AND. AND är som tidigare nämnt skärningspunkten mellan fuzzy mängder vilket då blir den mängd med lägst grad av medlemskap. Detta kan vi se i figur 7, som illustrerar hur detta ser ut. Nu har vi från de tre olika reglerna, tre fuzzy mängder som visar vilken grad av medlemskap tip har i mängderna cheap, average och genereous, vi har alltså en fuzzy mängd för varje regel. Figuren nedan visar reglerna där proceduren för att räkna ut graden av medlemskap i de olika mängderna går till på samma sätt som exemplet visat ovan. Nästa steg är att ta dessa utsignaler från vardera regel och kombinera dem till en gemensam fuzzy mängd. Figur 8 nedan visar hur detta görs genom att använda maximum-operatorn MAX, vilken även kallas OR och som tidigare nämnt är unionen av fuzzy mängder. Figur 8 8
Sista steget är defuzzification. Detta innebär att göra utsignalen, som nu är en fuzzy mängd, till ett crispvärde. Anledningen till defuzzification är att vi behöver kunna sluta oss till ett specifikt värde; om vi ska bestämma oss för hur mycket vi ska ge i dricks räcker det inte att veta att dricksen ska vara hög. Ett specifikt värde är däremot till bättre hjälp. Det finns olika sätt att göra en defuzzification, men centroid- och maximum-metoder är bland de vanligare. Utsignalen av en centroid metod är medelvärdet av arean på den gemensamma mängd som skapades i föregående steg. Figur 9 nedan visar hur formeln ser ut där xi är en flytpunkt i ett diskret universum och u(xi) är punktens grad av medlemskap. En centroid metod fungerar på så vis att summan av alla element multipliceras med dess grad av medlemskap och divideras sedan med summan av alla grader av medlemskap. Detta är medelpunkten av grafen vilket är ett crispvärde som sedan kan användas i beslutsfattandet. Resultatet i detta fall blir att dricksen ska vara 16,7 % som vi kan se i figur 9 nedan och eftersom att detta är ett crispvärde kan vi använda oss av det för att bestämma dricksen. Figur 9 3. Tillämpningsområden Fuzzy logics användningsområden har ökat på den senaste tiden. Fuzzy logic används i elektronik för att spara energi och göra elektronisk apparatur mer effektiv. För att nämna några exempel på elektronik i vilken man använder sig av fuzzy logic har vi tvättmaskiner, diskmaskiner och kylskåp. Tvättmaskiner som använder sig av fuzzy logic fungerar på så sätt att tvättmaskinen har sensorer som kan ta reda på faktorer som hur mycket tvätten väger, hur smutsiga kläderna är 9
och vattnets hårdhet. Tvättmaskinen kan sedan använda den informationen för att reglera hur lång tid tvätten ska ta, mängden vatten som behövs och rotationshastigheten. Den kan sedan lära sig av sina erfarenheter och förbättras med tiden. Ett exempel på ett scenario där tvättmaskinen lär sig av erfarenheten är att maskinen lär sig att den behöver mindre tvättmedel än vad som tidigare använts för att göra en tvätt ren (J, Red. 2012). På senare tid har det kommit diagnostiseringshjälp för läkare. Läkarna kan använda ett datorprogram som använder sig av fuzzy logic för att få hjälp att ställa diagnoser av sina patienter. Läkarnas expertkunskaper går dock inte att bortse ifrån och inte heller människans förmåga att ta beslut trots att miljön är osäker. I detta fall kan tillämpning av fuzzy logic vara behjälplig om läkaren har att göra med symptom som inte är glasklara eller ifall man inte ser alla symptom. Genom att använda fuzzy logic kan en diagnos ställas ändå och läkaren får ett stöd för diagnosen (Innocent & John & Garibaldi, 2004). 4. Diskussion Efter att ha läst en del om fuzzy logic känns det som att jag inte behöver övertyga mig själv om att fuzzy logic är användbart. Tillämpningsområdena, först och främst de som används av människor i vardagen, är mycket intressanta ur flera aspekter. Att ha en tvättmaskin som har fuzzy logic kan resultera i minskade kostnader för t.ex. tvättmedel och vatten och även en förbättring ur miljösynpunkt. Att undvika att slösa på resurser är något som ligger i tiden. Fuzzy logic är skapat i syfte att formalisera en viktig aspekt av människans sätt att tänka och resonera. Därför kan den också i vissa sammanhang fungera som ett stöd i beslutfattande. Ett sådant sammanhang är det ovan beskrivna fallet, i vilket man använder fuzzy logic i program för att hjälpa läkare att ställa diagnoser. Det finns många tillämpningsområden för fuzzy logic och vi kommer att se fler i framtiden. Om vi har tur kanske vi får se expertsmakare-robotar. 10
Referenser E-math. Membership functions.http://www.dma.fi.upm.es/java/fuzzy/fuzzyinf/funpert_en.htm (Besökt: 2012-07-10) E-math. Fuzzy inference http://www.dma.fi.upm.es/java/fuzzy/fuzzyinf/introfis_en.htm (Besökt: 2012-09-08) Fuzzy logic fundamentals: http://www.ece.msstate.edu/courses/ece4723/fall11/notes/fl_chapter.pdf (Besökt: 2012-06-27) Hellman, M. Fuzzy Logic Introduction. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.85.9757&rep=rep1&type=pdf (Besökt: 2012-07-10) James Red. 2012. What is fuzzy logic in washing machines? 22 April. http://www.answerbag.com/q_view/2027598 (Besökt: 2012-07-25) Lofti A. Zadeh. 1998. Fuzzy Logic. University of California, Berkley. http://www.geocities.ws/hhvillav/00000053.pdf (Besökt: 2012-06-27 ) MathWorks. What is fuzzy logic? http://www.mathworks.se/help/toolbox/fuzzy/bp78l6_- 1.html#bp78l70-7 (Besökt: 2012-09-08) M. Kantrowitz, E. Horstkotte & C. Joslyn. 1993. Fuzzy logic part 1. 21 april. http://www.cs.cmu.edu/groups/ai/html/faqs/ai/fuzzy/part1/faq-doc-6.html (Besökt: 2012-09-08) P.R Innocent, R.I. John & J.M. Garibaldi. 2004. Fuzzy Methods and Medical Diagnosis. 24 Januari. http://ima.ac.uk/papers/innocent2005.pdf (Besökt: 2012-07-25 ) Russel, S. & Norwig, P. (2009). Artificial Intelligence: A modern approach. New Jersey: Pearson 11