Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1

Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Välkommen till denna modul om möjligheter och utmaningar i matematikundervisningen i grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild utbildning för vuxna. Förutom didaktiska perspektiv finns utvalda matematikområden från det centrala innehållet i kurs- och ämnesplanerna. 1. Inledning och att notera 2. Laborativt arbetssätt 3. Fantasi, mönster och sannolikhet 4. Didaktiskt kontrakt 5. Mätandets idé och pengar 6. Resonemang, kommunikation och språkets roll 7. Om tal och tid 8. Begrepp och representationer I kurs- och ämnesplaner för matematik är kunskapsperspektivet i fokus och därmed undervisningen. Modulen avser att ge underlag för att granska och problematisera den egna undervisningen och ge möjlighet till kollegial diskussion om hur den kan utvecklas. Syftet är också att utmana lärares förväntningar på elevers möjligheter att lära matematik och belysa hur undervisningen kan ta vara på och stärka elevers nyfikenhet och lust att lära. Grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna Benämningen särskola som samlingsnamn försvann i och med att Skollagen 2010:800 trädde i kraft 2011. Den korrekta benämningen är nu Grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna. Dessutom finns i grundsärskolan inriktningen träningsskola och i gymnasiesärskolan ett individuellt program för elever som behöver läsa ämnesområden istället för ämnen. Ansvariga för modulen Nationellt centrum för matematikutbildning Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Del 7. Om tal och tid I Del 7 beskrivs den process som utvecklar förståelse för såväl hela tal som tals helhet och delar. Några nedslag i utvecklingsarbeten belyser hur undervisning med detta innehåll kan stödja elever med kognitiva funktionshinder. Det andra matematikinnehållet är tidsbegreppet och hur matematikämnet kan ge perspektiv på begreppet utöver att kunna klockan. Syftet med Del 7 är att du ska ges möjlighet att fördjupa ditt matematikdidaktiska kunnande om tal och tid samt reflektera över hur detta kan påverka din undervisning. Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Del 7: Moment A individuell förberedelse Läs Texten Grundläggande lärande om tal beskriver uppräknandets idé ur några forskares perspektiv. Texten Tid har ett bredare perspektiv än att kunna klockan. Bland annat handlar det om att elever ska utveckla en känsla för tid, att kunna orientera sig i tiden och att kunna planera sin tid. Anteckna något du reagerar särskilt på när du läser texterna. Känner du igen dig i texterna? Motsvarar teorierna som presenteras ditt eget kunnande eller behöver du fördjupa dig i teorierna om grundläggande lärande om tal? Väcker texten Tid några nya tankar som du bör ta hänsyn till då du planerar din undervisning? Övriga dokument i delen: Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Om tal Träningsskola och individuellt program Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Tid Träningsskola och individuellt program Lektionsaktivitet Del 7 8 Ögna igenom dokument som berör dig så du är förbered inför det val av lektionsaktivitet som ska göras i Moment B. Material Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Material Grundläggande lärande om tal B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar B. Bergius och L. Trygg Om tal Träningsskola och individuellt program B. Bergius och L. Trygg Tid B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon B. Bergius och L. Trygg Tid Träningsskola och individuellt program B. Bergius och L. Trygg Begreppstavla Tals helhet och delar B. Bergius och L. Trygg Begreppstavla Tid B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet Del 7 8 B. Bergius och L. Trygg Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Om tal och tid Grundläggande lärande om tal Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Tidigt i livet möter barn situationer som har med siffror, räkneord och tal att göra. Mängden en(ett) får de erfarenheter av i uttrycket en till. Det kan handla om att en gaffel/ sked/stol/plats fattas och måste ordnas fram eller i uppmaningar som ta en kloss till eller ät en köttbulle till. Uttrycket kan också vara begränsande: du får bara ta en till. I dagliga rutiner används ofta räkneord. Vuxna räknar högt när de hjälper till att knäppa knappar: en, två, tre eller när den dagliga dosen D-vitamindroppar mäts upp: en, två, tre, fyra, fem. Barn hör räkneord i samband med samtal om ålder. De möter skrivna nummer i kölappar och på tillhörande displayer. När numret på lappen och displayen är lika är det vår tur. Väntan är över. Siffersymboler som utläses som räkneord finns ofta vid ingången till huset där man bor eller på postlådan som hör till familjen. På kollektivtrafikens fordon anger siffersymboler vilken linje den trafikerar. Andra exempel på när siffror används som beteckningar är postnummer och telefonnummer. Dessa har inget med antal att göra. I vardagen möter vi ordningstal. Sambandet till räkneord är inte givet. Redan under småbarnstiden möter barn uttrycket först. Först är det mat och sedan dags för något annat. I vardagssammanhang använder vi uttryck som jag bor på fjärde våningen, ta andra tvärgatan till vänster för att beskriva var någon bor. I idrottssammanhang finner vi uttryck som Juha kom först över mållinjen. På andra plats kom Marian och på tredje plats kom Arman. Matcher är t ex uppdelade i första och andra åket, första och andra halvlek, första, andra och tredje perioden eller i ronder där ordningstalet t ex anger var i matchen som avgörandet kom. Ordningstalen första, andra, fjärde och sjätte skiljer sig mer språkligt från räkneorden de hör ihop med än andra ordningstal. Detta måste undervisningen synliggöra. Ett sätt kan vara att låta eleverna placera några föremål på rad och ställa frågor om vilket objekt som står på sjätte plats osv. Subitisering att uppfatta i en blink Förmågan att mycket tidigt i livet kunna skilja mellan antal, åtminstone så länge det rör sig om små mängder, är välkänd. I en studie som en forskargrupp kring Véronique Izard genomförde fick spädbarn se samma antal objekt men som i olika bilder var ordnade på olika sätt. Genom att mäta hjärnaktivitet konstaterade forskarna att inledningsvis var barnens intresse stort men det avtog när de fick se samma antal gång på gång, för att sedan öka när de fick se ett annat antal. Denna medfödda förmåga att uppfatta små antal kallas perceptuell subitisering. Forskarna Alice Klein och Prentice Starkey konstaterade att möjligheten att skilja mellan en, två, tre eller fyra prickar är betydligt större än om antalet prickar är fler än fyra. Den medfödda förmågan till perceptuell subitisering kopplas genom olika erfarenheter samman med ord i räkneramsan och man lär sig att uttrycka små antal med hjälp av räkneorden. Förhållande mellan ett räkneord och en talbild automatiseras. Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (9)

Konceptuell subitisering innebär att vi direkt kan uppfatta även något större antal än 3 4 objekt genom att uppmärksamma mönster eller grupperingar, som prickarna på tärningar eller på dominobrickor. Talbilden är ett mönster, en helhet, men samtidigt en spatial gruppering av dess delar. Andra grupperingar kan vara kinestetiska, t ex sådana vi visar med våra fingrar, som eller rytmiska mönster när vi trummar eller klappar. Enligt matematikdidaktikern Douglas Clements är talbilder i form av prickar som ordnats som på pricktärning eller dominobrickor lämpliga att börja med i undervisningen. För några elever är det en tillräckligt stor utmaning att skilja mellan talbilderna för ett och två. Antalet prickar i talbilden utökas efterhand. Det handlar om att kunna skilja mellan talbilder inte att kunna uttrycka antalet. Tal och antal Tal kan betyda att någon framför någonting muntligt, håller ett tal, medan den matematiska betydelsen är en helt annan. Enligt Matematiktermer för skolan är en siffra ett tecken som representerar ett naturligt tal, medan tal anger antal eller ordning i en följd. 13 är ett litet tal i förhållande till 4982 men stort jämfört med 0,0042. Vikten av att förstå innebörden i det matematiska begreppet tal är välkänd. I det tidiga lärandet inser barn efterhand kopplingen mellan räkneord och siffror och att räkneorden också kan beskriva antalet föremål som finns i en väl avgränsad mängd. Antalet kan uttryckas med tal och talen skrivs med siffror. Kunskap om processen som leder från barns tidiga möten med räkneord till att de kan använda räkneord och tal för att göra antalsbestämningar och beräkningar är viktig för alla lärare i arbetet med att stödja och utmana elevers taluppfattning. Det engelska uttrycket för taluppfattning, number sense, signalerar möjligen tydligare än det svenska att det handlar om att utveckla en känsla för vad tal är och hur tal fungerar. Känslan utvecklas genom många och olika erfarenheter av relationer inom tal, mellan tal och mellan tal och omvärld. Redan urtidsmänniskan använde och dokumenterade tal. Ett exempel finns bevarat i ett ca 30 000 år gammalt vargben där någon har ristat in ett antal streck i femgrupper. Vad strecken representerar vet vi inte, kanske djur, antal dagar eller ägodelar, men bakom markeringarna ligger en grundläggande förståelse för räkning. Barn som växer upp i sammanhang där tal och räkning uppfattas som viktigt får erfarenheter som hjälper dem att lära och använda räkneorden. Vygotskij menar att det är en social rutin där kunnandet gradvis övergår till att bli den enskildes. Föräldrar och andra i omgivning stödjer, utmanar och uppmuntrar barnets lärande. Att föräldrar pratar om antal och använder räkneord har visat sig vara viktigare för barns framgångar i matematik än man tidigare anat, det visar en studie som Susan Levine och hennes kollegor gjort. Forskarna Rochel Gelman och Charles Gallistel har formulerat fem grundläggande principer om processen där förståelsen formas. Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (9)

Abstraktionsprincipen innebär att föremål i väl avgränsade och definierade mängder kan räknas. Ett till ett-principen innebär att ett föremål i en mängd kan bilda par med ett föremål i en annan mängd. Är antalet i de båda mängderna lika eller olika? Räcker bullarna så det blir en var? Det kan också vara att räkneord och föremål bildar par. En känd svårighet för nybörjare är att hålla samma takt för räkneord och föremål, t ex att säga ett räkneord i taget och samtidigt peka på det som räknas. Principen om godtycklig ordning innebär förståelse för att när vi räknar antalet föremål i en mängd spelar det ingen roll i vilken ordning vi räknar dem eller hur föremålen är grupperade. Det viktiga är att veta vilka man har räknat och vilka som återstår. Principen om räkneordens ordning handlar om att varje räkneord följs av ett annat bestämt räkneord. Antalet i mängden bestäms av ett ord i räkneramsan. Antalsprincipen, också kallad kardinaltalsprincipen, innebär att när varje föremål i mängden har parats ihop med ett räkneord så utgör det sist sagda räkneordet antalet föremål i hela mängden. Vi mäter antalet föremål med hjälp av räkneorden. På frågan hur många det är i mängden, svarar många barn med att räkna alla en gång till. De tror att föremålen i mängden heter respektive räkneord. Elever som har förstått antalsprincipen upprepar eller betonar ofta det sista räkneordet för att markera att det skiljer sig från de övriga, att det betecknar hela mängden. För att det ska vara meningsfullt att arbeta med tal och räkning är det nödvändigt att eleven förstår kardinaltalsprincipen och har innebörden i begreppet antalskonservation klart för sig, det vill säga förståelse för att antalet i mängden inte ändras om föremålen räknas i olika ordning eller om de ligger tätt eller är utspridda. Några andra forskare som studerat utvecklingen av uppräknandets idé är Victoria Bermejo, Douglas Clements och Julie Sarama. Deras beskrivning av utvecklingen av förståelse för hur många sammanfattas enligt följande av specialläraren Faith Sadler: Nivå 1, pre-counters. Barnet förstår inte frågan hur många så de ger ett slumpmässigt svar. Nivå 2, reciters. Barnet svarar med att säga en del av räkneramsan, utan att ett till ett-koppla räkneord och föremål. Nivå 3, corresponders. Barnet svarar på frågan genom att räkna mängden en gång till. Oftast har räkneord och föremål ett till ett-korrespondens. Nivå 4, immature counters. Barnet svarar med det sist uppräknade räkneordet även om det inte anger korrekt antal. Barnet har ännu inte kontroll över räknandet. Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (9)

Nivå 5, rigid rule followers. Barnet svarar med det största av de uppräknade räkneorden, även om det inte är det sist använda räkneordet. Barnet börjar upptäcka regler och mönster för hur antalsräkning fungerar men gör fortfarande misstag. Nivå 6, counters. Barnet har kontroll över sin egen och andras antalsräkning och svarar korrekt på frågan om hur många. (Nivåernas engelska beteckningar används eftersom de saknar vedertagna svenska uttryck.) De amerikanska forskarna Joanna Nye, Michael Fluck och Sue Buckley har studerat förståelsen för ramsräkning, antalsräkning och kardinalitet hos förskolebarn med Downs syndrom och en kontrollgrupp med jämnåriga barn utan funktionshinder. Ett huvudresultat är att språket hos barnen med Downs syndrom var mindre utvecklat än kontrollgruppens. Det visar sig till exempel i att den räkneramsa de kunde uttrycka var kortare än kontrollgruppens. Några barn med Downs syndrom använde inte alls räkneord spontant för att ta reda på antalet föremål i en mängd, men med visst föräldrastöd kunde de räkna några få. Det visar vilken den närmaste utvecklingszonen var för dessa barn. Nye, Fluck och Buckley såg ingen direkt skillnad mellan gruppernas närmaste utvecklingszon. Däremot överraskades de av att några barn i båda grupperna klarade att plocka ut ett bestämt antal ur en mängd föremål och ge dem till en docka. De visade kardinal förståelse. Barnen i kontrollgruppen var säkrare i att räkna större antal. Forskarna menar att förväntningarna på vad barn med Downs syndrom har möjlighet att lära sig om tal ökar om gruppen redan tidigt får lämplig stimulans och undervisning. Läraren Anne Gullick, beskriver hur förståelsen för tal och antal utvecklades hos en elev med Downs syndrom genom att i undervisningen utgå från hans visuella styrkor. Hon inspirerades av undervisning i Östeuropa, särskilt Ungern, där de utgår ifrån att för dessa barn är synminnet och visuell bearbetning en styrka. Med utgångspunkt i en berättelse där ett antal i taget (inom tio) fokuserades, fick eleven möta och använda många olika representationer som föremål, rörelser, dramatisering, teckenspråk, tärningar, dominobrickor, Cuisenairestavar, siffror, tallinje och klocka vilka gav eleven en rik och varierad bild av det aktuella antalet och fungerade som referenspunkter (minneskrokar). Språkliga uttryck fokuserades hela tiden, dels för det aktuella antalet och dels för att uppmärksamma och uttrycka relationer inom och mellan tal, till exempel ett mer, ett mindre, udda och jämna. Genom många men korta stunder där innehållet repeterades och varierades, där läraren och eleven samtalade muntligt och med stöd av teckenspråk, utvecklade eleven sin talförståelse och sitt språk. I sexårsåldern uttryckte pojken hela meningar om tal, t ex fyra är ett mer än tre. Han visade en stabil förståelse för talen upp till tio (liten additions- och subtraktionstabell) och var på god väg att generalisera till hela tiotal. Genom visuellt stöd, repetition och överinlärning klarade han att bearbeta erfarenheter och att hantera korttidsminnet. Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (9)

Siffror och tal Svårigheter och missuppfattningar kan uppstå tidigt. Vad är t ex skillnaden mellan siffror och tal? I det dagliga livet används inte sällan uttryck som förvirrar. I media och i samtal möter vi uttryck som siffrorna är större än förväntat, undrar hur stora siffrorna ska bli eller det var längesedan vi hade så låga siffror. Det är inte ovanligt att barn och unga elever kopplar sådana uttryck till siffrors fysiska storlek. För att motverka missuppfattningar är det nödvändigt att korrekta begrepp och uttryck används redan från början i matematikundervisningen, vilket exempelvis också betonas genom benämningen ämnesspecifika begrepp i grundsärskolans kursplan. Vygotskij lyfter fram betydelsen av att vuxna i samspelet med barn och elever utmanar både språk och tänkande. Genom många möten med ord och begrepp, i meningsfulla och varierade situationer, införlivas dessa i elevens eget språkbruk och begreppsapparat. Ett medvetet och konsekvent språkbruk hjälper barn och elever att utveckla korrekt förståelse för de båda begreppen. I Matematiktermer för skolan görs följande definitioner: siffra tecken som representerar ett naturligt tal tal grundläggande matematiskt begrepp som i sin enklaste form anger antal eller ordning i en följd. Ett tal representeras av en eller flera siffror. Genom olika kombinationer av de tio siffrorna kan oändligt många tal skrivas. Tal kan också anges med andra tecken än siffror, t ex (pi). Tals helhet och delar I det tidiga arbetet med tal och antal är de konkreta inslagen vanliga och nödvändiga. Elever möter frågeställningar som: Hur många bollar ligger i lådan? Hur många av dem är gula? Hur många är röda? Vilken färg finns det flest av? Hur många fler/färre är gula? Hur stor skillnad är det mellan antalet röda och antalet gula bollar? Vi leder in elevernas tänkande på tals helhet och delar och använder muntliga språkuttryck som representerar ett matematiskt sammanhang. Att kunna tolka andras muntliga uttryck och att själv kunna uttrycka sig med hjälp av matematiska begrepp är kritiska steg i lärandet. Genom att lyssna till, tolka och använda matematiska uttryck utvecklas språket. Ytterligare ett kritiskt steg är övergången till det skrivna matematiska symbolspråket. Eleverna behöver återkommande och varierade erfarenheter för att göra motsvarande skriftliga symboluttryck till sina. Jämför med de beskrivna arbetsgångarna i laborativt arbetssätt (Del 2). Definitionen av ett enskilt naturligt tal i talraden kan vara att det är lika med det föregående talet + 1. Talet 2 kan då definieras som 1 + 1, talet 3 som 2 + 1 osv. Men ett enskilt tal i talraden, t ex 7, är inte bara 6 + 1 utan också 7 + 0; 5 + 2; 4 + 3 etc. Genom att uppfatta talen i grupperingar kan vi systematisera och kontrollera större mängder. Tio är lika mycket som två femmor, en sexa och en fyra eller en sjua och en trea. Sådant kunnande underlättar i situationer som handlar om uppdelning på olika sätt, exempelvis: Tio barn ska dela upp sig Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (9)

i par. I hur många par kan de ställa sig? Tjugo personer ska äta vid fem bord. Hur många kan sitta vid varje bord? Historiskt har olika vägval påverkat människans lärande i matematik. Det romerska systemets struktur och symboler för fem, femtio, femhundra gav gott stöd för att hantera tal. Många menar att det indoarabiska systemets tiobas är lite för stor för människans förmåga att uppfatta antal i en blink. Av det kan man dra slutsatsen att helheten 5 och dess delar är en viktig grund. Säkerhet i de första tio talens helhet och delar, det vi ibland kallar liten additions- och subtraktionstabell, och att kunna göra omgrupperingar är nödvändigt för att hantera mer komplexa tal. Alistair McIntosh, som ägnat sitt forskarliv åt att utveckla elevers och lärares kunnande om tal och räkning, menar att man i undervisningen ska gruppera kombinationerna, så att de som bygger på en viss strategi behandlas tillsammans. Den struktur han rekommenderar för undervisningen är följande: 1 mer (+1) 2 + 1; 3 + 1; 4 + 1; 5+1; 6 + 1; 7 + 1; 8 + 1 och omvänt 1 + 2; 1 + 3 osv 2 mer (+2) 3 + 2; 4 + 2; 5 + 2; 6 + 2; 7 + 2 och omvänt 2 + 3; 2 + 4 osv 3 mer (+3) 4 + 3; 5 + 3; 6 + 3 och omvänt 3 + 4; 3 + 5 osv Inga fler (+0) 1 + 0; 2 + 0; 3 + 0; 4 + 0; 5 + 0; 6 + 0; 7 + 0; 8 + 0; 9 + 0 och omvänt 0 + 1; 0 + 2 osv Tiokamrater 10 + 0; 9 + 1; 8 + 2; 7 + 3; 6 + 4; 5 + 5; 4 + 6; 3 + 7; 2 + 8; 1 + 9 Dubblor 0 + 0; 1 + 1; 2 + 2; 3 + 3; 4 + 4; 5 + 5 Undervisningen bör inriktas på att eleverna ska kunna härleda subtraktionskombinationerna ur additionskombinationerna, t ex 3 + 2 = 5 5 3 = 2; 5 2 = 3 Elever som inte automatiserar de första tio talens helhet och delar, fastnar ofta i ett och ett-räkning, dvs för 4 + 2 räknar de med konkret material, eller med hjälp av fingrarna, först upp de fyra och sedan ytterligare två innan de räknar fram svaret. De räknar antingen alla föremålen eller utgår från någon av delmängderna, två eller fyra, för att få fram summan. Andra dubbelräknar genom att säga nästa räkneord och samtidigt hålla ordning på hur många ord de har sagt. För 2 + 7 räknar de tre ett, fyra två, fem tre, sex fyra, sju fem, åtta sex, nio sju, en komplicerad och i längden ohållbar kognitiv utmaning. Det blir omöjligt att hålla isär de parallella räkneramsorna. Det är viktigt att eleverna också automatiserar stor additionstabell. McIntosh föreslår följande struktur för den: Lägg till 10 10 + 1; 10 + 2; 10 + 3; 10 + 4; 10 + 5; 10 +6; 10 + 7; 10 + 8; 10 + 9 och omvänt 1 + 10; 2 + 10 osv Dubblor 6 + 6; 7 + 7; 8 + 8; 9 + 9; 10 + 10 Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (9)

Nio plus Åtta plus och sju plus Nära dubblor 9 + 2; 9 + 3; 9 + 4; 9 + 5; 9 + 6; 9 + 7; 9 + 8 och omvänt 2 + 9; 3 + 9 osv 8 + 3; 8 + 4; 8 + 5; 8 + 6; 8 + 7; 7 + 4; 7 + 5 och omvänt 4 + 5; 5 + 6; 6 + 7; 7 + 8 och omvänt Liksom med kombinationer inom tio menar McIntosh att undervisningen ska ge eleverna erfarenheter som hjälper dem att härleda subtraktioner ur automatiserade additionskombinationer. Grunden för att förstå och kunna använda räknelagar som underlättar beräkningar ligger i att inledningsvis veta vilka två tal som tillsammans bildar en bestämd helhet. Ett exempel: 7 + 8 omgruppera till 5 + 2 + 8 10 + 5 alternativt 7 + 7 + 1 14 + 1 och på motsvarande sätt 8 + _ = 15; 15 7 = _ etc. Exemplet 57 + 86 = _ + 84 handlar om omgruppering. Det kända talet 84 i högerledet är två mindre än 86 vänsterledet. För att likheten ska kvarstå måste dessa två finnas i den andra termen i högerledet, dvs 59. Ett sådant resonemang bygger på taluppfattning. Elever som rutinmässigt utför beräkningen i vänsterledet stöter på flera tiotalsövergångar. Resultatet ska sedan hanteras i högerledet, troligen i en subtraktion, också med tiotalsövergångar. Att se relationen mellan ingående tal och att uppfatta sambandet mellan dem, speglar elevens förmåga att kunna använda den associativa lagen (a + b) + c = a + (b + c). En kritisk punkt är hur det systematiska arbetet med de tio första talen följs upp i större talområden. Det är inte självklart för elever att 300 + 500, 13 + 5, 103 +5, respektive 800 500, 48 5, 48 45 osv bygger på helhet och delar i talet 8 och ser sambanden mellan 3 + 5; 5 + 3 och 8 5; 8 3. Undervisningen måste redan från början betona detta. En annan kritisk punkt är när lärare tror att när elever har förståelse för helhet och delar i ett litet talområde, kan de på egen hand generalisera till större talområden. Så är det inte. Det är medveten och strukturerad undervisning som hjälper dem att nå den förståelsen. För att utveckla användbara och effektiva strategier för beräkningar i huvudet och för skriftliga beräkningar är det nödvändigt att kunna generalisera. Litteratur och referenser Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking mathematically. Integrating arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann. Svensk bearbetning. Clements, D. H. (1999). Subitizing: What is it? Why teach it? Teaching Children Mathematics 1999 (3). Johansson, B. (2011). Antal. Addition och subtraktion. I B. Bergius, G. Emanuelsson, L. Emanuelsson & R. Ryding. (red), Matematik ett grundämne. NCM, Göteborgs universitet. Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (9)

Gelman, R. & Gallistel, C. (1978). The children s understanding of number. London: Harvard UP. Gullick, A. (2013). A visual approach to number for children with Downs Syndrome. Primary Mathematics (17)2. Izard, V., Deheane-Lambertz, G. & Deheane, S. (2008). Distinct cerebral pathwas for object identity and number in human infants. PLoS Biol 6 (2). Kiselman C. & Mouwitz L. (2008). Matematikterminologi för skolan. Göteborgs universitet: NCM. Klein, A. & Starkey, P. (1988). Universals in the development of early arithmetic cognition. New directions for child development (41). Levine, S. C., Suriyakham,L. W., Huttenlocker, J. & Gundersen, E. A. (2010). What counts in the development of young children s number knowledge. Developmental Psychology. Vol 46(5). Löwing, M. (2009). Elevers kunskaper i aritmetik. Nämnaren 2009:4. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal. Göteborgs Universitet: NCM. Nye, J., Fluck, M. & Buckley, S. (2001). Counting and understanding in children with Down syndrome and typically developing children. Down Syndrome Research and Practice 7 (2) Sadler, F. H. (2009). Help! They still don t understand counting. TEACHING Exceptional Children Plus, 6(1). Vygotskij, L. (1999). Tänkande och språk. Göteborg: Daidalos. Vygotskij, L. (1978). Mind in Society: The Development of Higher Mental Processes. Cambridge, MA: Harvard University Press. Wigforss, F. (1950). Den grundläggande matematikundervisningen. Stockholm: Bergwalls förlag. Begreppstavla På nästa sida finns en begreppstavla över tals helhet och delar. I modulens ursprungliga version kom den in naturligt efter ett teoriavsnitt om begreppstavlor. Här låter vi den ligga kvar för den som önskar gå tillbaka och titta i samband med arbetet med Del 8 där teorin nu presenteras. Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 8 (9)

Grundläggande lärande om tal Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 9 (9)

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Om tal och tid Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Syftet med aktiviteten är att ge erfarenheter av att dela upp hela tal för att synliggöra elevers uppfattning om och förmåga att uttrycka och förklara tals helhet och delar. Att förstå att ett antal kan delas upp i mindre delar är grundläggande för att kunna hantera räkneoperationer med säkerhet och förståelse. Inledningsvis handlar det om att upptäcka hur ett antal föremål kan fördelas i två grupper. Redan antalet ett kan beskrivas så. Lisa och Maja har en surfplatta tillsammans. När Lisa använder den har Maja ingen och vice versa. Med matematikens symboler skriver vi detta 1 + 0 och 0 + 1. Olika problemställningar kan användas för att ge aktiviteten en konkret mening. Elever som ska lösa uppgifter och problem för figurer i kända berättelser, engageras ofta på ett djupare sätt än om uppgifterna handlar om eleverna själva eller om enbart tal. Att lösa någon annans problem är mindre hotfullt och eleverna vågar pröva fler strategier. Sammanhanget har en viktig roll, särskilt inledningsvis. Tal kan representeras av konkreta föremål, bilder, teckenspråk, talat språk, skrivet talspråk och (siffer-)symboler. I den här aktiviteten lägger vi tyngden på föremål och bilder. Material Lådor och kepsar till introduktionen, sedan tvåfärgade markörer eller räknelappar (ev material med olika känsla på ytan på fram- och baksidan) samt anpassat rutnät (2- och 3-centimeterrutat papper finns på ncm.gu.se/matematikpapper), multilinkkuber, markörer, dekorationsstenar, kottar, Material som behövs till Variation och progression beskrivs under respektive punkt. Kontext Inledningsvis har vi valt att använda tre kepsar och två stora lådor för att konkretisera berättelsen. Roy och Roger är bästa kompisar. De jobbar på en bilverkstad. Båda bär alltid keps på huvudet. Roger är på bushumör. Han tänker gömma Roys jobbkepsar. Var? I verksta n finns lådor med färgburkar. Där letar inte Roy, tänker Roger. Ta fram tre kepsar och två lådor. Hur många kepsar har Roy? Hur många lådor har han? Observera om eleverna subitiserar, d v s uppfattar antalet i en blink, eller räknar fram antalet. Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (5)

Ska han gömma alla kepsarna i en låda eller ska han använda båda? Låt eleverna beskriva med ord hur Roger kan göra. Undersök praktiskt. Se till att alla möjligheter kommer med och att olika elever kommer till tals. Dokumentera de gemensamma lösningarna. Använd dokumentationen som underlag för fortsatta samtal där eleverna förklarar lösningarna. Ställ frågor som: Hur många kepsar har Roger kvar att gömma när han inte har gömt någon(noll)/en/två/tre? Roy lägger de kepsar han hittar på bordet. Hur många ska han leta efter när det inte ligger någon alls(noll)/en/två/tre på bordet? En annan dag är det Roy som gömmer Rogers kepsar på andra ställen. Roger har lika många kepsar som Roy. Hur många har Roy gömt om Roger har tre, två, en, ingen keps(ar) i sitt skåp? Låt eleverna förklara hur de vet att det stämmer. Beskrivning 1. Genomför en gemensam introduktion där berättelsen om Roy och Roger används. Modifiera så att antal och material passar elevgruppens kunnande, ålder och intressen. 2. Fortsätt arbeta med uppdelning av tal men byt lådor och kepsar till andra material. Gör ett eller flera gemensamma exempel så eleverna blir uppmärksamma på arbetsgången: Använd föremål där fram- och baksida har olika färg, t ex tvåfärgade markörer eller räknelappar. Undersök tillsammans hur materialet ser ut. Bestäm ett tal, t ex 5. Lägg fem loppor eller räknelappar med samma färg uppåt. Använd rutnät som stöd om det behövs. Hur många markörer (lappar) är röda? Hur många är gula (blå)? Uttryck muntligt. Arbeta systematiskt med att lägga rader av markörer och vända en, två, tre, osv i slutet av raden. Dokumentera lösningarna (rita, färglägg rutor, ta foton). 3. Låt eleverna fortsätta arbetet parvis, om det är möjligt, med olika antal inom de första tio talen enligt arbetsgången: Bestäm tal att arbeta med och lägg upp det med material, samma färg uppåt. (Ev kan eleverna använda en tiosidig tärning och slå fram vilket tal de ska arbeta med.) Eleverna använder materialet gemensamt. Fortsätt som tidigare och vänd en markör eller lapp i taget Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (5)

Uppmuntra till samtal mellan eleverna där de beskriver för varandra hur det ser ut: Nu är det tre röda och två blå. Låt varje elev dokumentera även om de arbetar i par, d v s rita av och färglägga eller fotografera. Fortsätt eventuellt till informella symboler, t ex ringar för en färg och streck för den andra. Fortsätt eventuellt även till formella symboler, dvs siffror i detta fall. Elevers dokumentation Vid arbete med tals helhet och delar passar det utmärkt att låta elever dokumentera genom att först rita av plockmaterialet och eventuellt färglägga (alternativt fotografera), sedan ersätta illustrationerna med egna informella symboler, exempelvis rutor eller streck. I ett senare skede, eller för de elever som redan nu behöver utmaningar, ersätts de informella symbolerna med formella, d v s siffror. Variation och progression Arbeta med räkneramsan så att den successivt blir korrekt och stabil till tre, till fem, till tio. Koppla efterhand ihop med att samtidigt rytmiskt peka på burkar med plockisar (eller band med kulor), en för varje antal. Markera med siffersymbolen på varje burk (eller kulband). Eleven hör och säger (eller med för eleven anpassade uttrycksformer) räkneordet, samtidigt som hon ser antalet och symbolen, siffran, för antalet. Fundera över när och om noll (ingen) ska tas med. Variera genom att använda olika material som pärlor i två färger, markörer, dekorationsstenar, multilinkkuber, koner, rispåsar Det är viktigt med variation så att eleverna inte tror att matematiken finns i materialet. Följ upp med frågor: Hur många olika kombinationer blev det? Hur blir det med sex markörer? Med sju? Ställ hypotes och pröva om den stämmer. Diskutera hur många kombinationer det kan bli för talen 1 till 10. Kan man veta det utan att först undersöka, dvs att räkna dem? Försök hitta mönster. Elever med god förståelse för talfakta inom de tio första talen kan utmanas i större talområden. Det är lättare att generalisera till hela tio-, hundra-, tusental o s v än till tontalen. (De muntliga språkliga uttrycken för tontalen är en barriär att ta sig förbi och bör därför komma senare.) Därför är det lämpligt att först arbeta med uppdelning av t ex talet 50 i hela tior eller talet 900 i hundringar. Använd tiostavar, hundraplattor, tusenkuber och två brickor eller olikfärgade papper. Det är viktigt att materialet åskådliggör talvärdet (tiotal och hundratal). Ett något mer abstrakt alternativ till tiobasmaterial kan vara snäckor eller kottar där Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (5)

storleken tydligt visar vad som representerar tiotal respektive hundratal, exempelvis tallkottar som tiotal och grankottar som hundratal. Däremot är det inte lämpligt att använda pengar här eftersom storleken på mynt och sedlar inte visar värdet. Inför skriftliga sifferuttryck. Använd elevernas dokumentation och fortsätt från informella symboler till formella, d v s siffror i detta fall. Diskutera hur vi skriver ingenting med siffror, d v s lyft fram nollans betydelse och hur vi skriver det som muntligt uttrycks som och (fyra röda och en gul). Arbeta fram sifferuttrycken tillsammans, med stöd i det laborativa materialet och elevernas dokumentation. 5 + 0 4 + 1 3 + 2 2 + 3 1 + 4 0 + 5 Är 5 + 0 och 0 + 5 lika många? Visa på att fem röda och ingen gul är lika många som fem gula och ingen röd. (Senare lyfts innebörden i den kommutativa lagen fram, 5 + 0 = 0 + 5). Låt eleverna hitta på enkla räknehändelser för de olika uttrycken. Synliggör hur talets helhet och delar ger stöd vid en öppen utsaga. Vi har fem markörer. Hur många röda markörer har vi om vi ser två/tre/fyra/fem gula? Lyft fram sambandet mellan addition och subtraktion: 5 = 2 + _ 4 + _ = 5 5 = 5 + _ 5 _ = 3 _ 4 = 1 5 5 = _ Låt elevernas förståelse för tals helhet och delar komma till uttryck i öppna problem, där flera olika lösningar är möjliga. Se exempel på en hel arbetsgång i Bilparkering, Strävorna 2A, ncm.gu.se/media/stravorna/2/a/23a_bilparkering.pdf. Lina delar upp tio cykellampor/mopedtankar/stigbyglar/ridhjälmar/... i två påsar/lådor. Hur kan hon göra? Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (5)

Simon hittar en låda med tio hårsnoddar. De är röda, blå och svarta. Hur många är det av varje färg? I ett högt träd längs Amazonfloden sitter vrålapor. De har sammanlagt tio fötter på grenarna. Hur många är de? Vera har tio kronor i fickorna på sina jeans. Hur många kronor har hon i varje ficka? Utveckla till större talområde eller lägg fast villkor, t ex: Lisa har fångat insekter och spindlar. Tillsammans har de hundra ben. Hur många insekter och hur många spindlar har hon fångat? 32 apor har tillsammans 100 fötter på trädets grenar. Ingen hänger i lianer eller bara i svansen. Hur sitter eller hänger de? Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (5)

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Om tal och tid Om tal Träningsskola och individuellt program Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I träningsskolans ämnesområde Verklighetsuppfattning är det tydligt att heltal är en kvantitet som eleverna ska öva upp sin förmåga att förstå och hantera. Heltalen ska benämnas, storleksordnas och användas för att ange antal och ordning. I individuella programmets ämnesområde Natur och miljö skrivs inte tal av något slag fram, däremot problemlösning med de fyra räknesätten, vilket förutsätter förmåga att förstå och hantera (hel)tal. Lektionsaktivitet: Subitisering Syfte Aktiviteten avser att stärka förmågan att uppfatta antal utan att räkna, subitisera. För någon elev är det en tillräckligt stor utmaning att skilja mellan noll och en, en och två eller en och många prickar. Utgå från elevens möjligheter och utmana därifrån genom att öka antalet talbilder efterhand. Material Talkort med prickar som är ordnade som på en pricktärning eller på dominobrickor. Underlag finns på ncm.gu.se/matematikpapper. I förslagen nedan har inte antalet kort angetts eftersom det behöver anpassas till såväl aktivitetens syfte som den enskilde elevens förutsättningar. Tärningar behövs i en delaktivitet. Exempelvis kan stora tärningar med whiteboardsidor användas så antalet prickar enkelt kan anpassas. Beskrivning Nedan finns ett antal fristående aktiviteter. Beroende på vilken eller vilka som används får introduktion anpassas så eleverna blir nyfikna och får lust att lära. Hitta ett likadant kort Läraren och eleven/erna har var sin uppsättning kort. Läraren visar ett kort och eleven pekar på motsvarande. Läraren visar ett kort en stund och tar sedan bort det. Elev pekar på motsvarande. Tiden som kortet visas kortas ner efter hand. Om tal Träningsskola och individuellt program Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (2)

Eleverna har sina kort synliga framför sig. Läraren visar ett kort. Eleven söker upp och markerar ett kort med samma talbild. Om talbilden är rätt tas kortet bort. Vem blir först av med alla kort? Hitta tärningens talbild Parspel. Eleverna har var sin uppsättning kort, som de lägger upp framför sig. Turas om att slå en tärning med samma talbilder som på korten. Den som slår söker upp talbilden bland sina kort. Lägg undan korten efterhand som tärning och kort visar samma talbild. Vem blir först av med korten? Memory. Lägg ut två eller fler uppsättningar med kort med baksidan upp. Spela memory på vanligt sätt. Hitta två lika talbilder. Samla par. Två till tre elever har en eller två uppsättningar kort var med lämpliga talbilder. Blanda korten. Eleverna lägger sin korthög framför sig med baksidan uppåt. En likadan uppsättning kort läggs mitt på spelbordet. Vänd upp det översta kortet i den gemensamma högen. Spelare 1 vänder upp sitt översta kort. Om talbilden är densamma som på kortet i den gemensamma högen, sparar eleven kortparet. Om talbilderna inte är lika går spelet vidare till nästa elev. Vem har flest par när spelet är slut? Vilket kort ska bort? Läraren visar t ex två tre -kort och ett fyra -kort. Vilka är lika? Vilket skiljer sig och ska bort? (Varför?) Öka antalet lika kort efterhand. Dominospel Välj ut brickor med talbilder anpassade till elevens förmåga att hantera tal och spela lämpliga varianter av domino. Prickar och föremål Lägg väl valda föremål i samma mönster som prickarna på korten. Parbilda som ovan. Variera efter hand föremålen. Variera också prickarnas utseende; annan färg, andra symboler än fyllda cirklar, större/mindre cirklar, etc. Elevers dokumentation Ett syfte med att elever ska dokumentera sitt arbete är att det i någon mening ska finnas något kvar då konkret material har plockats undan. Det dokumenterade kan sedan användas för återkoppling genom samtal. Kommer du ihåg? Idag ska vi Fotografera eller filma det arbete som eleverna gör med prickkorten. Försök fånga när eleven blir glad eller förvånad över att hon löst en uppgift. Om tal Träningsskola och individuellt program Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (2)

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Tid Tid Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Vi talar om att tiden går. För små barn är verbet går förknippat med att någon förflyttar sig. Tiden finns inte i den bemärkelsen, utan är en abstrakt företeelse. Innebörden i begreppet tid är svår att komma underfund med och svår att definiera trots att hela vår tillvaro kretsar kring begreppet. Tid är något vi erfar och upplever, men inte kan ta på. Vi kan observera att tiden går genom förändringar i rörelser och åldrande. Upplevelser av tid och tidsavstånd varierar både mellan situationer och mellan individer. För att kunna kommunicera om tid, har mänskligheten enats om olika tidsuttryck kopplade till rörelser och relationer mellan solen, jorden och månen. Ett solvarv är den tidsrymd som det tar för vår planet att röra sig ett varv runt solen. På samma tid hinner månen rotera runt jorden tolv gånger, tolv månvarv. Jordens rotation runt sin egen axel gör att halva planeten alltid är solbelyst, medan andra halvan ligger i skugga jordvarvet har en ljus och en mörk del. Dessa cykliska förlopp fortgår utan förändring. Genom historien har mänskligheten fått behov av att benämna hela och delar av solvarv, år och årstider, månvarv, månader och jordvarv, dygn, dag, natt, timmar, minuter, sekunder Tidsförloppet för mänskligt liv är linjärt födelse, barndom, ungdom, vuxenliv, åldrande, död. För att beskriva skeenden i livet används begrepp som ung, yngre, yngst, gammal, äldre, äldst. Begreppen kräver något att referera och relatera till. Ett exempel: Den nyinflyttade grannpojken kom och tittade intresserat på när Astrid rensade rabatter. Som vuxna ofta gör, frågade hon hur gammal han var, men fick inget svar. Hon tänkte att han kanske inte hörde frågan och upprepade den. Först när hon omformulerat till Hur många år är du? svarade pojken att han var fyra år och inte gammal, men du är gammal. Händelsen speglar att ord och begrepp kan ha olika betydelser beroende på vem som använder dem och vem som tolkar. Allt som sker, sker i tid och rum, menar Nanny Hartsmar, som forskat om elevers tidsuppfattning i relation till historieundervisning. Vår vardag styrs i hög grad av ett begrepp som saknar fullständig definition i entydiga logiska termer. Med hjälp av begreppet tid ordnar vi vardagens händelser i korrekt följd. Klockan, kalendern och tidslinjen hjälper oss att hålla ordning på vardagens sysslor och plikter, men även sådant som tillhör det förgångna. Erfarenheter av tid ger perspektiv som hjälper oss att överblicka skeenden bakåt men också att kunna tänka och planera framåt. Vuxna kan föreställa sig tiden när de var barn och tiden när de blir gamla. De kan tänka hundratals år bakåt eller framåt i tiden. Barn saknar tillräckliga erfarenheter för att göra det. Barns tidsperspektiv är kort, de lever i nuet. Att påminna sig det som hände dagen före kan vara lika svårt som att minnas förra sommaren. Minnena finns kanske, men är olika detaljrika och svåra att ordna kronologiskt. Många gånger saknar Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (8)

barn språkliga begrepp för förfluten tid. Igår kan representera all tid som varit. Vuxna kan roas av att barn, till synes på allvar, tror att dinosaurierna levde när mormor var barn eller att läraren nog är sjutton eller kanske hundra år. I någon mening visar detta vilken grad av tidsuppfattning barnet har. Att tänka framåt i tiden kan vara problematiskt. Att vid frukost tänka om tiden efter lunch kan verka lika abstrakt och långt borta som nästa vecka eller till vintern, men barnen får efter hand fler referenser att relatera till och kan då överblicka allt längre tidsavstånd, både bakåt och framåt. Det är lättare att tänka bakåt, om det som redan har hänt, än framåt, om det som vi inte vet någonting om. Behovet av att i allt mer precisa ordalag kunna uttrycka tid, för att berätta om vad som har hänt eller ska hända, växer. Att kunna redogöra för skeenden i kronologisk ordning är viktigt i många sammanhang. För att vardagslivet ska fungera behöver vi kunna planera framåt. Vi behöver också en struktur för händelser i förfluten tid. Barn får tidigt erfarenheter av att händelser under dygnet följer en viss ordning, ofta densamma varje dag. För att återge dessa förlopp räcker begreppen före och efter, idag, igår och i morgon långt. Före frukosten brukar jag ; efter frukosten ska vi. Många barn uttrycker att först gjorde vi sen och sedan Vi lär oss vad tid är genom att leva i och med tiden. Vi möter dagligen uttryck om tid. Det handlar om allt från millennier och sekler till minuter och sekunder. När Usain Bolt springer ett hundrameterslopp är det över på ca 10 sekunder. Ett tidsavstånd som de flesta ser början och slut på och kan relatera till. På den tiden hinner jag. Tiden det tar att gå eller åka till skolan får eleven efterhand en intuitiv uppfattning av. Efter att ha gjort ett antal resor till samma ställe vet många att den tiden räcker till att lyssna på, se på eller spela något välkänt. Tiden däremot som har gått sedan dinosaurierna levde, eller att fantisera om något som kan hända om tusen år, är omöjligt eller svårt också för vuxna. En grupp kognitionsforskare kring Daniel Casasanto menar att centra i hjärnan som hanterar rum, tid och kvantitet går i varandra, men är inte ömsesidigt eller helt beroende av varandra. Det kan förklara att när barn lär sig om tid är det nära kopplat till avstånd. Förlopp handlar ofta både om tid och avstånd. Det är längre väg och tar längre tid att ta sig till skolan än att gå till grannen. Det är kortare väg och tar kortare tid till affären än till simhallen. Avstånd uttrycks ofta med tidsuttryck. Hur långt är det till bussen? Det tar sju minuter att gå. Språkliga tidsuttryck har ofta en spatial innebörd: lång kort; framåt bakåt; före efter; framför bakom (den tid som ligger framför oss ) etc. Gunnel Janeslätt och hennes forskargrupp med experter från olika discipliner, studerar hur barn med utvecklingsstörning utvecklar förståelse för tid. De menar att tidsuppfattning består av flera delar: känsla för tid, förmåga att orientera sig i tiden och förmåga att tidsplanera. Känsla för tid är medfött. Studier visar att nyfödda som fick höra en serie pulsljud med lika långa ljud, reagerar tydligt när de hör en puls av annan längd. Reaktionen visar sig i ögonrörelser och EEG. Denna känsla för tid stärks genom vardagserfarenheter, som tiden det tar att byta blöja eller värma vällingen. Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (8)

Barnen utvecklar en intuitiv känsla för hur lång tid sådana aktiviteter brukar ta. Om det tar längre tid än vanligt, reagerar de. Förmågan att orientera sig i tiden handlar exempelvis om att veta vilken veckodag det är eller månadernas ordningsföljd. Hit hör enheter om tid, men också ordning i skeenden, kronologi, att kunna avgöra vilken aktivitet som tar längst eller kortast tid, t ex att äta en banan eller att gå till simhallen; samt att kunna avläsa klockan. Förmåga att planera tid handlar om att hantera relationer mellan tider: Klockan är kvart i tio en söndagsmorgon. Du ska gå till simhallen kvart över tio. Hur lång tid har du på dig att bli färdig? Vad måste du hinna göra på den tiden? Janeslätt och hennes kollegor menar att hos barn med kognitiva funktionshinder är tidsuppfattningen inte lika utvecklad som hos jämnåriga normalbegåvade barn. Skillnaden motsvarar minst ett par år. För att på sikt bli självständig är det viktigt och nödvändigt att ha god tidsuppfattning. För att nå detta behövs mycket stöd både i undervisningen och i hemmet. Vilket samband har Janeslätts beskrivning med tilltron till elevers möjlighet att lära? Vilka erfarenheter behöver de för att nå optimal förståelse? Pedagogen och forskaren Barbie Norvell menar att förståelse för tid är en samordning mellan det som händer runt ett barn och vad barnet är medvetet om i sin omgivning. Samordningen skapas i individen och bygger på olika erfarenheter. Att kunna tolka och uttrycka tidpunkter är nödvändig vardagskunskap. För att förstå och själv kunna uttrycka tidsuttryck krävs samordning av förståelse för dåtid, nutid och framtid (igår, idag, i morgon), förståelse för i vilken ordning saker inträffar, samt hur lång tid kända händelser tar i förhållande till varandra. Exempel: Äta lunch tar längre tid än att tvätta händerna. Lunchrasten är längre än tiden det tar att äta. Vissa tidsuttryck beskriver fasta tidsavstånd, medan andra är mer flytande: När någon frågar hur länge det dröjer eller hur lång tid det tar saknar svaren ett ögonblick, strax, snart, om en liten stund och liknande mening, enligt Norvell. Att däremot relatera till ett känt tidsavstånd, som ett avsnitt av ett tv-program som är välkänt eller tiden det tar att tvätta händerna har en begriplig innebörd. Hartsmar menar att de flesta normalbegåvade sjuåringar börjar kunna hantera grundläggande begrepp som år, årstider, månader, veckor, dagar och klocktid. Ungefär i trettonårsåldern inser många att tid är en abstraktion. Barn använder ändå tidsuttryck innan de fullt förstår den bakomliggande betydelsen. I spontan lek använder de ord som idag och i morgon tidigare än igår. I intervjuer var det först fyraåringarna som kunde berätta vad de hade gjort igår. För de yngsta kunde det innebära förfluten tid i allmänhet. Att undervisa om tid I särskolans skolformer är träning av tidsbegreppet en vardaglig aktivitet. Elever ser och använder scheman med aktivitetskort, det finns fasta rutiner i verksamheten som hjälper dem att uppfatta och uppleva olika tidsintervall och allt fler tekniska hjälpmedel kommer till bruk. Vi tänker oss några lärare som ska undervisa om begreppet tid och som vill undersöka vilket stöd de kan få av den bakomliggande matematiken för att möta, stödja och utmana eleverna på ännu fler sätt. Någon vecka före introduktionen får eleverna berätta vad Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (8)

de tänker på när de hör ordet tid. Elevernas svar fungerar som en slags fördiagnos där lärarna kan få veta en del om vilket kunnande eleverna har. Vid den fortsatta planeringen tar lärarna hjälp av en begreppstavla. (Teorin bakom en begreppstavla beskrivs senare. Vi tror det fungerar att först läsa om ett konkret exempel, men blir funderingarna för många så titta igenom texten Begrepp och representationer i Del 8. Det kan också underlätta vid läsningen att ha ett finger vid den ifyllda begreppstavlan sist i denna text.) Undervisning har en tendens att reducera begrepp till att vara en matematisk term och man belyser inte alltid innebörden i begreppen. En begreppstavla kan fungera som en tanke- eller arbetsmodell vilken ger stöd för att olika delar av ett begrepp beaktas: egenskaper hos begreppet, hur samma begrepp kan representeras med hjälp av olika uttrycksformer, relationer som finns till andra begrepp samt hur begreppet kan definieras. Utifrån Centralt innehåll i kurs- och ämnesplaner bestämmer lärarna vilka egenskaper hos begreppet tid som i första hand ska belysas. Detta skrivs in vid Egenskaper hos begreppet. Följande uttryck är samlade från styrdokument för grundsärskola och gymnasiesärskola: enheter och uttryck för tid, mäta och uttrycka tid, uppskatta och mäta tidsskillnader, beräkna tid och tidsskillnader, tidsuppfattning, uppdelning av tid, tidsföljd, tidslängd, tidsåtgång, planera sin tid, typ av tidmätare, tid och rum, rimlighet, resonemang. Lärarna är måna om att eleverna ska bli medvetna om hur begreppet tid kan representeras med hjälp av olika uttrycksformer. De funderar och kommer i sin diskussion fram till följande: Laborativa material. Eleverna ska, efter individuella val och anpassningar, möta tidsbegreppet genom exempelvis tidslinjer, tidsaxlar, timglas, timstockar och klockor av allehanda slag. Ord. Här handlar det om både elevernas vardagliga ord och korrekta matematiska termer. Lärarna vill skilja mellan vardagligt språk som klockan är ungefär fyra, vid halvsjutiden, strax efter tre och mer formellt språk som tv-programmet börjar klockan 17:30. Ord som är centrala när det gäller tidsuppfattning är tidsuttryck som igår, idag, i morgon, sen, om en liten stund, snart, strax, nyss, tidigare, före, efter och nu samt tidsenheter som sekund, minut, timme, dygn, vecka, månad och år. Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (8)

Bild. Eleverna får i uppgift att rita, teckna eller måla egna bilder för att illustrera tid. Lärarna kommer att uppmuntra eleverna att rita händelsekedjor av vad som sker under en dag eller annan tidsperiod. De ska även illustrera direkta kopplingar till klockor och mätning av tid som kan svara på frågor som när och hur länge så att eleverna får många olika erfarenheter av begreppet tid. Böcker som Att mäta tid av Hillary Devonshire, Så funkar tiden av William Edmonds och Helen Marsden, Rut & Knut tittar ut på tid och rymd: klockor och planeter av Carin Wirsén m fl samt Allt om tid typ av Johan Unenge och Ewa Thorslund ska användas som inspiration både i samtalen med eleverna och för att konkretisera innehåll som intresserar eleverna. I boken Fängslande matematik av Kjartan Poskitt finns det bland annat en sida med en kul tecknad serie om hur tiden startade som passar för de lite äldre eleverna. Situationer. Eleverna ska tillsammans med läraren föra samtal om vad tid är och i vilka situationer man behöver jämföra, uppskatta eller beräkna tid. När lärarna funderar över vilka förslag de kan tänkas få av eleverna ger de exempel på hur dags saker händer, hur man kan uppskatta hur lång tid något tar, hur man avläser klockor, hur det känns att ha bråttom eller långtråkigt. En lärare föreslår också att de kan ställa något mer filosofiska frågor: Vilka olika sorters tid finns det? Finns det inte-tid? Eleverna ska få fantisera framåt och bakåt i tiden med hjälp av en tidsmaskin. Matematiska symboler. De symboler som kommer att behandlas är hur tid förkortas, t ex tim och sek, men även att det är vanligt att förkorta timme till h eftersom det heter hour på engelska (och heure på franska). Eleverna ska titta på hur tid anges med hjälp av symboler, t ex 2:00, 06:30 och 19:45. En grupp ska närmare undersöka hur de digitala siffrorna ser ut, bland annat genom att använda en aktivitet som finns på nrich.maths.org/49/index?nomenu=1. Under rubriken Relationer till andra begrepp samlar lärarna begrepp a. som kommer att tas upp i direkt anslutning till tid. Vissa kan vara välbekanta för eleverna medan andra kanske behöver repeteras eller förklaras, t ex enkla bråk som hel, halv, fjärdedel/en kvart och tredjedel/tjugo minuter. b. som kan jämföras. För att ytterligare befästa begreppet tid vill lärarna uppmärksamma eleverna på både vad som är tid och vad som inte är tid. Vilka likheter och skillnader finns mellan utvalda begrepp som t ex mellan tid och klocka, tid och händelser eller tid och avstånd? Eleverna kan ge egna förslag på jämförelser samt diskutera likheter och skillnader. c. som har samband med tid i ett något mer utvidgat perspektiv. Exempelvis kan historiska begrepp beröras, kanske via filmer som utspelar sig under andra tider, både förr och i framtiden som Tillbaka till framtiden, Jurassic Park och The day after tomorrow. Enkla grafer som visar tid kan användas, t ex att ju brantare desto snabbare. Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (8)

Genom att visa på relationer till andra begrepp synliggörs den väv av begrepp som matematik är uppbyggd av. Matematiken ses som en helhet och inte som isolerade delar utan samband med varandra och inte heller som ett ämne skilt från skolans andra ämnen eller ett område som står för sig självt utan koppling till elevens verklighet. I Definition av begreppet uppges innebörden så precist och exakt som möjligt. I undervisningen kan ett begrepps olika delar egenskaper, uttrycksformer, relationer och definition tas upp i den ordning som är mest lämplig för eleverna. Kanske börjar man med att nysta i en persons definition av tid och avslutar med en laboration där eleverna undersöker vad som händer med upplevelsen av tid beroende på vad man gör under en viss tidsrymd. Andra gånger kanske lärare väljer att gå mellan de fyra aspekterna beroende på hur eleverna resonerar. Definitionen kan också ses som en avslutning på den process som ska leda fram till utökad förståelse för det aktuella begreppet. Ytterligare ett sätt är att redan inledningsvis ta upp definitionen som en slags inspiration för det här är vad vi ska förstå när vi har arbetat med Vi bad Lars Mouwitz, matematikdidaktiker och filosof, att bidra med en definition av tid: Tid är ett samlingsbegrepp för att allt i tillvaron förändras i en riktning från att vara ett nuvarande tillstånd till att bli ett förflutet tillstånd som ej längre finns i nuet. Han kommenterade också att det finns andra sätt att definiera tid, till exempel genom att låta tiden ingå i en vetenskaplig teori. För Newton var tiden som en oberoende klocka som tickade på i universum. För Einstein var tiden en fjärde dimension, med egenskapen att man bara kan röra sig längs den i ena riktningen. Det kommer säkert att komma nya förslag från dagens eller framtidens fysiker. Man kan också definiera tid utifrån vår subjektiva upplevelse av ett flöde där allt förändras, såväl vår yttre värld som våra kroppar. Ett tredje sätt är att jämställa tid med hur vi mäter den. Utan klockor och andra tidmätare skulle inte tid finnas till för oss. Det som kan hända när elever slår upp ett begrepp i en bok eller söker på webben, är att definitionen består av ännu fler och än mer svårförståeliga begrepp. Definitionen är förhoppningsvis matematiskt korrekt, men den underlättar kanske ändå inte alltid för elevernas förståelse. Lärarna tänker därför att tillsammans med eleverna skriva egna förklaringar med vardagligt språk. Att kunna välja en lämplig definition som speglar begreppet tillräckligt strikt för sammanhanget och samtidigt är greppbar för eleverna är en central aspekt i undervisningen. Definitionen kan även öppna upp för en upptäcktsfärd genom att ännu fler begrepp tas upp, vilka ytterligare kan fördjupa och bredda begreppet tid. Efter genomförd undervisning avsätter lärarna tid för att gemensamt följa upp hur arbetet fallit ut, vilka lärdomar som kan dras utifrån elevernas förståelse och vilka förändringar och förbättringar som kan göras inför den fortsatta undervisningen eller med nya elevgrupper. Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (8)

Litteratur och referenser Casasanto, D., Fotakopolou, O. & Boroditsky, L. (2010). Space and time in the child s mind: Evidence for a cross-dimensional assymetry. Cognitive Science 34, s 387 405. Hartsmar, N. (2001) Historiemedvetande. Elevers förståelse av tid i en skol-kontext. (Studia psychologica et paedagogica, 155) Malmö: Malmö högskola, Institutionen för pedagogik och specialmetodik Janeslätt, G., Granlund, M., Kottorp, A. & Almqvist, L.(2010). Patterns of Time Processing Ability in Children with and without Developmental Disabilities. Journal of Research in Intellectual Disabilities 2010 (23), s 250 262. Norvell, B. (2007). Have we been to lunch yet? Helping children conceptualize time. Coastal Carolina University, Research Brief 6. www.coastal.edu/education/research/time.pdf Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (8)

Egenskaper hos begreppet som jag ska ta upp i min undervisning tidsuppfattning och uppdelning av tid tidsföljd och tidslängd tidsåtgång och att planera sin tid enheter och att uttrycka tid mäta med olika typer av tidmätare uppskatta och mäta tidsskillnader, rimlighet beräkna tid och tidsskillnader tid och rum Tid Hur begreppet kan representeras Ord: Vardagligt: Klockan är snart tre. Matematiskt: 14:57 Laborativa material: Bild: Situationer: Relationer till andra begrepp a. Enkla bråk som hel, halv, fjärdedel (kvart), tredjedel (tjugo minuter) b. Tid klocka, tid händelser, tid avstånd c. Historiska tidsbegrepp, förr nu i framtiden, grafer som visar tid/hastighet Definition av begreppet Symboler: Tim = timme H = hour, heure Sek = sekunder Tid = fundamental egenskap hos världen som är en nödvändig förutsättning för att något ska kunna ske. B egreppstavlan är ett stöd för att olik a aspek ter av det ak tuella begreppet uppmärk sam mas i undervisningen. Tid Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 8 (8)

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Representationer och uttrycksformer Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Aktiviteten tar upp tidsbegreppet i vid mening. Eleverna får arbeta med sin tidsuppfattning genom att de med hjälp av både egna erfarenheter och sin fantasi resonerar om kronologisk ordning på händelser och uppskattar rimlighet i bedömningar som de behöver göra. Resonemangen behandlar kronologi genom först sedan och rimlighet med om så Material Demonstrationsklockor, händelsekort, tidsaxlar, årshjul, tidtagarur, timglas, etc. Kontext Det är mörkt i rummet när Cilla vaknar. Är det dags att gå upp, undrar hon. Vilken dag är det? Hur mycket är klockan? Har jag någon tid att passa? Hon sätter sig på sängkanten, sträcker på sig och tittar på sin väckarklocka. Visa bilder med olika tidsangivelser vilken stämmer med Cillas klocka? Visst ja, det är torsdag. Idag ska jag med Jenny till badhuset. Kul! Fast det är förstås efter skolan. Torsdag, hmm då har vi idrott. Måste komma ihåg gympakläder och handduk. Cilla kliver upp ur sängen, går till toaletten (Vad gör hon där? I vilken ordning?) och klär sedan på sig. Använd händelsekort som eleverna ordnar kronologiskt. Nu blir det gott med frukost! När Cilla ätit färdigt ser hon att det är dags att gå iväg. Bussen går om tio minuter. Skönt att hållplatsen ligger nära. Cilla hinner lagom fram till hållplatsen innan bussen kommer. Beskrivning 1. Läs den inledande berättelsen. Ange tidpunkter för de olika händelserna med uttryck som morgon, förmiddag, lunchtid, eftermiddag, kväll och natt. Använd händelsekort. Diskutera hur lång tid aktiviteterna i Cillas torsdag tar. Precisera tidpunkterna, t ex klockan åtta kommer bussen. Visa på en analog och / eller digital klocka. 2. Fortsätt berättelsen. Komplettera och formulera tillsammans den kronologiska fortsättningen på Cillas torsdag. Illustrera de olika händelserna under dagen med bilder (t ex foton av enkla dramatiseringar), vilka sorteras i kronologisk följd. Diskutera om några bilder kan byta plats, t ex att äta middag och sedan vakna, och varför / varför det inte går. Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (3)

3. Utifrån den nivå de enskilda eleverna befinner sig på finns det mycket som det kan vara möjligt att resonera om och åskådliggöra på demonstrationsklockor: Avläsa tid (hela timmar) analogt och / eller digitalt. Parbilda klockslag och dagliga aktiviteter. Parbilda analoga och digitala klockslag. Sortera några tider i tidsföljd (hela timmar). Hur lång tid är det mellan angivna tidpunkter? 4. Diskutera och arbeta konkret med intuitiv uppfattning av tid: Vad hinner jag på en minut? Hur långt hinner jag på en minut/fem minuter/en timme? Hur lång är en minut? sätt dig när en minut gått. Vilken blir skillnaden på upplevelse och verklig tid om det är tyst i rummet, om det är musik, om man klappar händerna ljudlöst... 5. Diskutera och arbeta konkret med tidsavstånd. Använd ett schema för att se skoldagens längd; hur lång tid det är tills vi ska äta, ha rast, sluta för dagen? När behöver Simon senast gå hemifrån för att hinna till? 6. Diskutera och arbeta konkret med tidtabeller av olika slag. Använd frågor som hur länge, hur länge sedan, hur lång tid har gått, hur lång tid är kvar? Introduktion Kontexten med Cillas torsdag är ett förslag på introduktion. Ifall innehållet inte passar elevgruppen kan det bytas till exempelvis en berättelse om att laga och äta mat, att baka, att åka på skogsutflykt, att träffa kompisar för att fika och se en film. Elevers dokumentation Största delen av aktiviteten består av samtal och gemensamma muntliga (motsvarande) resonemang. Eleverna kan kort dokumentera med bild och skrift vad de har samtalat om och något som de kommit fram till. En längre dokumentation kan göras gemensamt med svenskämnet. Om den fortsatta berättelsen illustreras med händelsebilder kan dessa vara start för en ny berättelse. Låt eleverna fantisera om en annan person som gör samma saker som på bilderna men vad som då händer. Istället för att åka buss kommer en motorcykel med sidovagn, istället för badhuset på eftermiddagen blir det bowling, etc. Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (3)

Utveckling och progression Det finns ett stort antal böcker, pärmar, arbetsblad (se t ex ncm.gu.se/matematikpapper), webbsidor och appar som erbjuder underlag för att öva på klockan. Ordna gärna en gemensam mapp (fysisk och/eller digital) där ni samlar underlag för kopiering, länkar etc. Finns underlag som täcker hela progressionen från den enklaste heltimmesavläsning till avläsning som även innehåller sekunder och kanske även ännu mindre enheter? I de böcker (och säkert fler) som nämndes i modultexten Begrepp, representationer och uttrycksformer samt tid finns många goda idéer för fortsatt arbete om tid. Att mäta tid av Hillary Devonshire Så funkar tiden av William Edmonds och Helen Marsden Rut & Knut tittar ut på tid och rymd: klockor och planeter av Carin Wirsén m fl Allt om tid typ av Johan Unenge och Ewa Thorslund Fängslande matematik av Kjartan Poskitt Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (3)

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Om tal och tid Tid Träningsskola och individuellt program Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I det dagliga livet används olika tidsbegrepp som beskriver dåtid, nutid och framtid. Att hantera kronologiska följder, bestämda tidpunkter och tidsåtgång är nödvändigt för att kunna planera sin vardag. Undervisningen behöver ge elever möjlighet att inse betydelsen av att hantera sådana begrepp, vilket framgår i ämnesområdena för träningsskolan och individuella programmet: Undervisningen i ämnesområdet Verklighetsuppfattning ska ge eleven förutsättningar att utveckla sin förmåga att ordna händelser och upplevelser i tid och rum. Som exempel anges tidsuttrycken länge, före och strax; nutid, dåtid och framtid samt uppdelning av tid, till exempel morgon, veckodag och årstid samt planering av händelser i tidsföljd och tidsåtgång för aktiviteter. Undervisningen i ämnesområdet Natur och Miljö ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att orientera sig i tid och rum. Som exempel anges begreppen dåtid, nutid och framtid samt tidsintervall som raster i minuter. Vidare ska eleverna få möta måttenheter för tid och mäta tid med till exempel klocka, timer eller timglas. Lektionsaktivitet: Nu och sen Syfte Aktiviteten tar upp tidsbegreppen nu sen, först sen samt före efter. Elevernas tidsuppfattning utmanas genom att de ges möjlighet att resonera om kronologisk ordning på händelser utifrån egna erfarenheter och fantasi samt att uppskatta rimlighet i bedömningar av tid. Material Händelsekort, demonstrationsklockor, timer, timglas, etc. Beskrivning Aktiviteten utgår från en föreslagen kontext som berättar om Cilla och vad som händer under hennes dag. Kontext Det är mörkt i rummet när Cilla vaknar. Är det dags att gå upp, undrar hon. Vilken dag är det? Hur mycket är klockan? Har jag någon tid att passa? Hon sätter sig på sängkanten, sträcker på sig och tittar på sin väckarklocka. Tid Träningsskola och individuellt program Juli 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (3)

Visst ja, det är torsdag. Idag ska jag med Jenny till badhuset. Kul! Fast det är förstås efter skolan. Torsdag, hmm då har vi idrott. Måste komma ihåg gympakläder och handduk. Cilla kliver upp ur sängen, går på toaletten och klär sen på sig. Nu blir det gott med frukost. När Cilla ätit färdigt ser hon att det är dags att gå iväg. Bussen går om tio minuter. Skönt att hållplatsen ligger nära. Cilla hinner lagom fram till hållplatsen innan bussen kommer. Utgå från berättelsen. Använd händelsekort som eleverna ordnar kronologiskt. Stanna upp vid en händelse och samtala om vad Cilla gjorde före och efter. Led in samtalet på tidpunkter för de olika händelserna. Använd uttryck som morgon, förmiddag, lunchtid, eftermiddag, kväll och natt. Samtala om Cillas frukost. Vad gör hon och i vilken ordning: först sen; före efter. Precisera tidpunkter, t ex klockan åtta kommer bussen. Visa på en analog och/eller digital klocka. Komplettera och formulera tillsammans den kronologiska fortsättningen på Cillas torsdag. Illustrera de olika händelserna under dagen med bilder (t ex foton av enkla dramatiseringar) och sortera i kronologisk följd. Diskutera om några bilder kan byta plats, t ex att äta middag och sen vakna, och varför/varför det inte går. Låt eleverna beskriva sin egen morgon. Vad hände? I vilken ordning? Aktivera begreppen först sen; före efter. Samtala om klockslag och visa på demonstrationsklocka. Gå vidare med den gemensamma fortsättningen på dagen. Vad finns på dagens schema? I vilken ordning? Vad ska eleverna göra efter skolan? Samtala om klockslag och visa på demonstrationsklocka. Gör i ordning händelsekort eller kort med kortkorta texter att använda parvis, exempelvis kontextens Cilla eller en för eleverna känd figur som: äter, lagar mat, diskar, fikar, bakar, borstar tänderna, vaknar, duschar, klär på sig, går till stranden, hoppar i vattnet, simmar, målar, tvättar penslar, sågar, spikar, hämtar en spade, gräver, startar bilen, kör sin bil, etc. Låt eleverna lägga korten i kronologisk ordning och om möjligt motivera den. Genomför om möjligt någon aktivitet tillsammans och mät tiden med lämpligt mätverktyg. Utvidga eventuellt till att även resonera om vilka aktiviteter som jämförelsevis tar kort eller lång tid. Läs en kort berättelse, titta på en kort film eller ett kort avsnitt ur en film. Samtala om vad som hände? I vilken ordning? Vad kommer att hända sen? Låt om möjligt eleverna motivera varför. I boken Ni kan räkna med oss och medföljande film finns autentiska exempel som kan ge uppslag och inspiration. Fler exempel ges på tekniska hjälpmedel som underlättar för eleverna att få en beredskap för vad som kommer att hända senare och även ge dem möjlighet till egna val. Tid Träningsskola och individuellt program Juli 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (3)

Introduktion Kontexten med Cillas torsdag är ett förslag på introduktion. Ifall innehållet inte passar elevgruppen kan det bytas till exempelvis en berättelse om att laga och äta mat, att baka, att åka på skogsutflykt, att träffa kompisar för att fika och se en film. Elevers dokumentation Största delen av aktiviteten består av samtal och gemensamma muntliga (motsvarande) resonemang. Eleverna kan kort dokumentera genom att fotografera händelsebilder eller göra egna bilder och skriva eller diktera vad arbetet handlat om eller något som de kommit fram till. Tid Träningsskola och individuellt program Juli 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (3)

Hur begreppet kan representeras Egenskaper hos begreppet som jag ska ta upp i min undervisning Naturliga tal 1 till 10 hur de kan storlekordnas, jämföras och delas upp hur de kan uttryckas och visas även föra in nollan Relationer till andra begrepp a. Större talområden b. Enkla bråk som hel, halv, fjärdedel (kvart), tredjedel (tjugo minuter) c. Decimaltal och procent Tals helhet och delar Ord: ett, två, tre, etta, tvåa, trea, första, andra, tredje, Laborativa material: Oändligt många material kan användas, allt ifrån leksaker till pedagogiska material som exempelvis markörer, multilinkkuber och tiobasmaterial. Bild: informella symboler som θ J û o z M O È â tallinje Situationer: Välj i första hand händelser och situationer som direkt berör eleverna och deras vardag. Definition av begreppet Tal = grundläggande matematiskt begrepp som i sin enklaste form anger antal (kardinaltal) eller ordning i en följd (ordinaltal) Symboler: 0, 1, 2, 3, 0,1; 4,75; 378 542; 1/2; 3/4; 1/100; π, φ, Begreppstavlan är ett stöd för att olika aspekter av det aktuella begreppet uppmärksammas i undervisningen.

Egenskaper hos begreppet som jag ska ta upp i min undervisning tidsuppfattning och uppdelning av tid tidsföljd och tidslängd tidsåtgång och att planera sin tid enheter och att uttrycka tid mäta med olika typer av tidmätare uppskatta och mäta tidsskillnader, rimlighet beräkna tid och tidsskillnader tid och rum Relationer till andra begrepp a. Enkla bråk som hel, halv, fjärdedel (kvart), tredjedel (tjugo minuter) b. Tid klocka, tid händelser, tid avstånd c. Historiska tidsbegrepp, förr nu i framtiden, grafer som visar tid/hastighet Tid Definition av begreppet Hur begreppet kan representeras Ord: Vardagligt: Klockan är snart tre. Matematiskt: 14:57 Laborativa material: Bild: Situationer: Symboler: Tim = timme H = hour, heure Sek = sekunder Tid = fundamental egenskap hos världen som är en nödvändig förutsättning för att något ska kunna ske. Begreppstavlan är ett stöd för att olika aspekter av det aktuella begreppet uppmärksammas i undervisningen.

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Om tal och tid Lektionsaktivitet Del 7 8 Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Diskussionsfrågor Moment 7B Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Om tal Träningsskolan och individuella programmet Tal har alla elever mött under sin skolgång och de kommer helt säkert att göra det även i fortsättningen. Aktualisera funderingar och diskussioner som ni brukar ha om elevers grundläggande lärande om tal. Lektionsaktiviteten Tals helhet och delar tar upp uppdelning av antal i en mängd. Diskutera för vilka av era elever som aktiviteten är användbar eftersom den förutsätter att eleverna förstår kardinaltalsprincipen. För elever som behöver mer grundläggande undervisning om tal finns lektionsförslag i Om tal där aktiviteten har fokus på subitisering. Vilka erfarenheter har eleverna av att dela upp tal? Hur ser det till exempel ut i de läromedel ni använder? Vad i den planerade aktiviteten har eleverna inte erfarenhet av? Hur ska det förberedas? Vilka erfarenheter har eleverna, som ni bedömer bör arbeta med subitisering, av att tolka talbilder? Hur kan dessa erfarenheter avgöra var i aktiviteten det är lämpligt att starta? Jämför texten Grundläggande lärande om tal, innehållet i den aktivitet ni har valt och elevernas erfarenheter. På vilket sätt behöver eleverna förberedas? Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Tid Träningsskola och individuellt program I texten om tid breddas begreppet till att vara vidare än att kunna klockan. I lektionsaktiviteten ligger fokus på tidsbegreppet eftersom det i många läromedel finns gott om material för arbete med avläsning av klockan. Lektionsaktivitet Del 7 8 Juli 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (3)

Diskutera vad i tidsbegreppet som ni av erfarenhet vet att elever behöver förstå för att på sikt självständigt kunna hantera viktiga aspekter som att planera sin tid, att komma i tid, att inse hur lång tid något tar. Försök föreställa er vad som kommer att hända när ni genomför aktiviteten. Vad behöver ni förbereda eleverna på? Diskussionsfrågor Moment 7D Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Om tal Träningsskolan och individuella programmet Man skulle kunna tänka sig att förberedelser om tal är jämförelsevis enkla att genomföra med tanke på att tal för många är så nära förknippat med matematikämnet. Var det så? Skiljer det sett ur elev- respektive lärarperspektiv? Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Tid Träningsskola och individuellt program Framkom det något under förberedelserna som gjorde er uppmärksamma på elevers kunnande, eller brist på kunnande, om tidsbegreppet som ligger utanför att kunna klockan? Diskussionsfrågor Moment 8D Lektionsaktivitet: Tals helhet och delar Om tal Träningsskola och individuellt program Blev ni på något sätt överraskade av hur eleverna hanterade tals helhet och delar alternativt uppfattade talbilder? (subitisering) Vilka egna idéer fick ni om hur ni skulle kunna fortsätta vid nästa lektionstillfälle med detta innehåll? Lektionsaktivitet: Från morgon till morgon Tid Träningsskola och individuellt program Vilken tidsuppfattning gav eleverna uttryck för? Hur formulerade eleverna sig? Förstod de varandra? Hur vet ni det? Hur varierade elevernas uppfattningar om tidpunkter, tidsåtgång och kronologi? Lektionsaktivitet Del 7 8 Juli 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (3)

Hur kan elevernas olika uppfattningar tas tillvara i den fortsatta undervisningen? Hur samtalade eleverna om möjligheten att låta vardagliga aktiviteter byta plats? Hur hanterade ni förslag som ni lärare uppfattade som omöjliga? Lektionsaktivitet Del 7 8 Juli 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (3)

Del 7: Moment B kollegialt arbete Inled med att diskutera det ni har läst och antecknat, fortsätt sedan med förberedelse av lektionsaktivitet. Diskutera Vilka reflektioner har ni gjort om matematikinnehållet? På vilket sätt kan reflektionerna påverka den fortsatta undervisningen på kort sikt? Lång sikt? Vilket av matematikinnehållen är det mest angeläget att arbeta med nu? Varför? När ni senare genomför den valda lektionsaktiviteten, vad är det i första hand som ni vill att eleverna ska bli medvetna om, upptäcka, få erfarenhet av? Förbered en aktivitet Ta som tidigare fram texten Förbered en aktivitet från Del 2 och följ planeringslistan med avseende på det matematikinnehåll ni har valt då ni planerar hur ni ska förbereda eleverna inför den kommande lektionsaktiviteten. De allmänt hållna frågorna kan kompletteras med innehållsfrågor i texten Lektionsaktivitet Del 7 8. Notera För att hålla modulens tidigare didaktiska perspektiv levande föreslår vi att ni noterar något som rör det didaktiska kontraktet. Gör en snabb repetition av vad ni tidigare diskuterade om det. Eller är det något helt annat ni anser intressant att notera, t ex det matematiska innehållet i förberedelserna av lektionsaktivitet? Skriv ner det ni noterat och ta med till Moment D. Material Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Del 7: Moment C aktivitet Genomför förberedelserna och notera enligt era diskussioner i Moment B. Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Del 7: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Utgå från det ni noterat. Om ni noterade om didaktiskt kontrakt, såg ni något som hade förändrats? Vad? Varför? Hur? Vad kan dessa insikter leda vidare till? Om ni noterade utifrån matematikinnehåll, kunde ni se något som visar på ert eget lärande och kunnande? Vilka konsekvenser medför det? Nu när ni använt metoden att notera under en period, skulle ni kunna säga att ni inom (vissa delar av) undervisningen rört er på Masons skala omedveten okunnig medvetet okunnig medvetet kunnig? Ge exempel! Följande frågor kan vara till stöd i den fortsatta planeringen: Vad hände under förberedelserna? Vilka reaktioner och kommentarer fick ni från eleverna? Hur bemötte ni dessa? Vilka blev konsekvenserna? Kunde ni avgöra om eleverna nu har tillräcklig förförståelse för att genomföra aktiviteten? Hur? Upptäckte ni att ni hade missat att ta med t ex något specifikt ord eller material i förberedelserna? Har ni i så fall möjlighet att komplettera före eller i inledningen av genomförandet av lektionsaktiviteten? Blev ni på något sätt överraskade av hur eleverna hanterade det ni avsåg att förbereda dem på? Hur såg variationen mellan elevernas möjligheter att förbereda sig ut? Berodde variationerna på elevernas personliga förutsättningar (kognitiv förmåga, fysiska och neurologiska hinder etc) eller berodde variationerna på hur mycket de har haft möjlighet att tillgodogöra sig tidigare undervisning? På vilket sätt gavs eleverna tillfälle att samtala om den kommande lektionsaktiviteten? Kunde fantasi, lust och nyfikenhet stimuleras och utmanas? Är det något annat ni behöver tänka på eller planera för? Vad? Varför? För fortsatt diskussion om förberedelser för lektionsaktiviteten kan frågori Lektionsaktivitet Del 7 8 användas. Sammanfatta Sammanfatta arbetet med Del 7 i några punkter. Vad är viktigast att komma ihåg då lektionsaktiviteten slutplaneras i nästa del? Anteckna också sådant ni vill följa upp senare. Material Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Fördjupning särskola Del 7. Om tal och tid Tal i bråkform och decimalform är en direkt fördjupning till texten Grundläggande lärande om tal i Moment A. Till den hör också Lektionsaktivitet: En hel och hälften av den. I Morötter i Bergasalen beskrivs ett utvecklingsarbete där en påse nyupptagna morötter inspirerade till undersökningar kring uppdelning av tal och relationer mellan tal. Snart, om en minut, nästa år är en artikel som problematiserar vad tid är för mindre barn och hur förskolan kan vidga och utveckla barns tidsbegrepp. Exempel ges bland annat från arbete med ett konkret årshjul. Att utveckla små barns antalsuppfattning handlar om det mest grundläggande arbetet med att utveckla förståelsen för antal. Referens G. Sterner (2013). Morötter i Bergasalen. I Förskolans matematik, NämnarenTEMA 9, NCM, Göteborgs universitet, s 27 34. Material Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Material Tal i bråkform och decimalform B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet: En hel och hälften av den B. Bergius och L. Trygg Att utveckla små barns antalsuppfattning E. Doverborg och I. Pramling Samuelsson Snart, om en minut, nästa år C. Åslund, Nämnaren 2010:4 Revision: 2 Datum: 2017-04-28

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Om tal och tid Tal i bråkform och decimalform Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Elever möter inte enbart naturliga tal i sin vardag och i undervisningen. Många får tidigt erfarenheter som kan ge förförståelse för tal i bråk- och decimalform samt procent. De är med och delar frukter, både hemma och i skolan. De får frågan om de vill ha en hel eller en halv. Eleverna får konkreta erfarenheter av att en halv är mindre än en hel. Andra exempel från vardagen är uttryck som nu har vi åkt halva vägen; du får ett halvt glas juice; ge halva bananen till Stina; ni får spela halva tiden var; ät åtminstone halva potatisen; jag betalade halva priset för tröjan. I recept anges mängden av en ingrediens som tal i bråk- eller decimalform. En iakttagelse är att mängden allt oftare anges i decimalform. Media uttrycker förändringar i samhälleliga frågor, t ex opinionsmätningar eller ekonomiska frågor, som procent eller procentenheter. I intervjuer och tidningsrubriker möter vi uttryck som Jag ske ge allt, minst hundra procent. Idrottsresultat presenteras som tal i decimalform, t ex Usain Bolts rekord på 200 m är 19 komma 19 sekunder. Vlasic hoppade på sin rekordhöjd två noll åtta; Sara slog världsrekord på 50 m fjärilsim med tiden 24,43 sekunder. Vilken förståelse för tal i bråk-, decimal och procentform behövs för att kunna granska och bedöma information som underlag för att ta ställning i olika frågor, i t ex samhälls- och yrkesliv? Vilken förståelse kan elever ge uttryck för? Tal i bråkform Kim tittar på brödskivan han ska äta och säger Jag vill ha den i två halvor. Du kan skära här. Kim pekar i luften på mittlinjen. Han vet vad halvor är och hur mamma ska dela brödbiten. Olle frågar Har du någon choklad? Han tittar på de cirkelrunda bitarna i asken som farfar tar fram. Får jag ta två? Olle lägger två bitar framför sig. Du kan dela dem på mitten, säger Olle och pekar längs en osynlig diameter. Dela dem på mitten åt andra hållet också, så får jag många. Olle räknar. Han lyckas parbilda räkneord och chokladbitar. Åtta. Det är många. Förut var det bara två, fast större. Kim och Olle visar och uttrycker förståelse för att när en hel delas i lika stora delar ökar antalet, men varje del är mindre än helheten. Många barn får tidigt erfarenheter som att när de sitter ensamma i soffan eller runt bordet får de all plats själv. När fler ska sitta där blir utrymmet mindre för var och en. Många barn har också erfarenheter av att dela rättvist. Då delar de ofta ut en i taget, en till dig, en till mig, en till dig, en till mig osv. Hur gör de när tre barn rättvist ska dela fyra kakor? Några exempel från klassrummet. Eleverna får uppdraget att i grupp lösa problemet Patrik, Mario och Gada ska dela sina fyra runda kakor lika. Hur? Eleverna ger varje barn en kaka var. En kaka återstår. Många delar kakan i fyra lika delar, först på hälften och sedan de båda delarna på hälften. Barnen får var sin mindre bit och sedan finns en liten bit kvar. Den får hunden eller mamma, eller så smulas den sönder och kastas bort. Hur gör de om kakorna är rektangulära? Eleverna delade den fjärde Tal i bråkform och decimalform Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (4)

kakan på två sätt: och. Den fjärde delen hanterades på samma sätt som med den runda kakan. Någon grupp delade kakan i tre lika delar. Vid ett annat tillfälle diskuterade läraren med eleverna hur tre barn skulle dela fyra äpplen lika. Också de lösningarna liknar kakdelningen, med ett undantag. Den gruppen menade att de inte kunde vara säkra på att äpplena var lika stora, så det var bättre att först göra äppelmos och sedan dela lika. Rättviseaspekten får ibland oväntade följder. Att vika en så kallad loppa kan ge elever viktiga erfarenheter för att förstå tal i bråkform. Vi utgår från en kvadrat. Vik pappret på mitten. Då finns två alternativ, längs diagonalen eller mittlinjen. Båda vikningarna halverar kvadraten, de ger två kongruenta (lika stora) delar. Vikning längs mittlinjerna ger fyra lika stora kvadrater, vardera en fjärdedel av helheten. Vikning längs båda diagonalerna ger fyra likbenta trianglar, också vardera en fjärdedel av helheten. Vik längs mittlinjer och diagonaler så får vi sexton kongruenta trianglar, sextondelar av kvadraten. Mitt i kvadraten finns en skärningspunkt. Vilken form får vi när vi viker de fyra hörnen på den ursprungliga kvadraten mot den? Hur stor är den jämfört med kvadraten vi utgick ifrån? När vi viker upp papperet kan vi med linjernas hjälp undersöka och markera olika representationer för olika bråkuttryck och jämföra dem med varandra och helheten. Olika former representerar samma storlek. Det kan ibland vara svårt att uppfatta för ögat och vi behöver undersöka och resonera för att vara säkra. I bråkloppan kan uppdragen som gömmer sig innerst handla om tal i bråkform, visa hälften av, två fjärdedelar av, Kända svårigheter och missuppfattningar Forskningen kring att förstå tal i bråkform har identifierat områden där svårigheter och missuppfattningar är vanliga. McIntosh påvisar vad vi särskilt behöver vara medvetna om och beakta. När vi lär något nytt eller när vi vidgar och fördjupar kunnande tar vi utgångspunkt i det vi redan kan. För elever som är väl bekanta med de hela talen blir de utgångspunkt när de möter tal i bråkform. En del elever tror att en tiondel är större än en fjärdedel, eftersom tio är större än fyra. Ordningstalens likhet med muntliga uttryck för tal i bråkform, som nu följer fjärde delen i serien och fjärdedelen, kan leda till att eleven tror att fjärdedelen är den fjärde delen i en mängd eller av en helhet. Många elever har svårt att förstå att flera bråkuttryck kan ha samma värde, 1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 osv, eller att en fjärdedel kan vara större än en halv. Den svårigheten hör samman med att eleven inte har insett att delen alltid enbart kan relateras till den helhet den är en del av. Den konkreta hälften av en småkaka är normalt mycket mindre än fjärdedelen av en pizza. Vid likadelning utgör varje del en av antalet delar i helheten eller mängden. När de åtta burkarna är lika fördelade på fyra personer, har varje person fått en fjärdedel av antalet burkar. För att bygga upp förståelsen krävs många och varierade laborativa erfarenheter, Tal i bråkform och decimalform Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (4)

samtal och diskussioner, där det talade språket är utgångspunkten och bråkuttryck skrivs med hela ord, t ex fjärdedel. På sikt uttrycker vi helheten som 1 och de olika delarna med symboler. Eleverna behöver efterhand referenspunkter, som en halv och en fjärdedel att förhålla sig till för att kunna storleksordna bråk. För att undvika att elever missuppfattar eller får onödiga svårigheter behöver läraren vara medveten om kritiska punkter i utvecklingen av förståelse för bråkbegreppet. En annan kritisk aspekt är att elever inte uppfattar att symboluttrycket (t ex 2/3) är en helhet, ett tal, som beskriver ett förhållande. Täljaren anger antalet delar av helheten och nämnaren visar hur många delar helheten är delad i. Bråkstrecket åtskiljer täljare och nämnare, så att förhållandet syns. Detta ska alltid ses i relation till den aktuella helheten. Elever som inte förstår detta hanterar ofta täljare och nämnare var för sig, något som blir förödande till exempel när de ska addera flera tal i bråkform, 2 5 + 5 4-9 8 =?. För att stärka ordningen för de hela talen i talraden är det viktigt att gemensamt räkna högt i kör, både framåt och bakåt. McIntosh menar att det också gäller tal i bråkform. Ovan ett exempel där olika representationer används. Hur ser talraden ut, när den ökar eller minskar med fjärdedelar? I ett inledande skede behövs visuellt stöd av helheten. Förståelse för tal i bråkform är en process, där undervisningen gör det möjligt att vidga och fördjupa kunskapen efter hand. Till vardags använder vi uttryck som ta halva var och dela i fyra delar. Då menar vi inte alltid en exakt likadelning, som är just grunden för att förstå tal i bråkform och måste göras synlig i undervisningen. Att ordet bråk kommer ur tyskans gebrochen, som betyder bruten, är bra att känna till. För länge sedan användes uttrycket brutne tal. Tal i bråkform är just tal som brutits i mindre, men lika stora delar. En liten historisk tillbakablick av vardagsanvändning av bråk ger intrycket att bråkuttryck brukade användas mer frekvent till vardags förr. Avstånd mättes och uttrycktes som fjärdingsvägar, fjärdedelar av en mil. I affären användes ett kvarts kilo och en halv liter I recept kunde vi läsa ¼ kg, ½ liter. Sinneserfarenheter gav en intuitiv känsla för en aktuell mängd. Numera uttrycks storheter ofta i decimalform, 1 meter och 50 centimeter (1,5 m), Tal i bråkform och decimalform Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (4)

3 kilo och 400 gram (3,4 kg), osv. Uttryck som nog är vanligare idag är till exempel två av tre väljer, varannan buss, nio av tio använder, var fjärde klarar inte, vilka beskriver förhållande, alltså del av. Hur tar vi upp det i undervisningen? Begreppet kvart används ofta om tid. Kopplingen till fjärdedel är inte självklar och behöver förklaras. Ordet kvart kommer från medeltidslatinets quarta rium = fjärdedelen av ett mått. För att förstå begrepp kan liknande härledningar ge stöd. Tal i decimalform För ytterligare läsning om undervisning om tal i decimalform föreslår vi: Kapitel 5, Tal i decimalform i Mc Intosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. och Maria Hilling-Drath, Konkretion av decimaltal, i Nämnaren 2007:1. Procent Mer att läsa om undervisning om procent finns i Kapitel 6, i Förstå och använda tal. Där knyts tal i bråk- decimal- och procentform samman. Litteratur och referenser Bergius, B. (2011). Bråk från början. I B. Bergius, G. Emanuelsson, L. Emanuelsson & R. Ryding (red). Matematik ett grundämne. Göteborgs universitet: NCM. Kiselman C. & Mouwitz L. (2008). Matematikterminologi för skolan. Göteborgs universitet: NCM. Lamon, S. J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning. I F. Lester (red). Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte, NC: Information Age Pub. Levine, S. C., Suriyakham,L. W., Huttenlocker, J. & Gundersen, E. A. (2010). What counts in the development of young children s number knowledge. Developmental Psychology. Vol 46(5). Löwing, M. (2009). Elevers kunskaper i aritmetik. Nämnaren 2009:4. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal. Göteborgs Universitet: NCM. Reys, R. E., Lindquist, M. M., Lambdin, D., Smith, N. & Suydam, M. N. (2001). Helping children learn mathematics. New York: John Wiley & Sons, inc. Vygotskij, L. (1978). Mind in Society: The Development of Higher Mental Processes. Cambridge, MA: Harvard University Press. Wigforss, F. (1950). Den grundläggande matematikundervisningen. Stockholm: Bergwalls förlag. Tal i bråkform och decimalform Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (4)

Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 7: Om tal och tid Lektionsaktivitet: En hel och hälften av den Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Som en fortsättning på aktiviteterna med att dela upp ett antal hela tal (främst 1 till 10) kommer att dela upp en helhet. Här finns några grundläggande aktiviteter som ger elever erfarenheter av att uppmärksamma vad som är det hela och vad som är dess hälft. Avslutningsvis finns idéer för arbete med det hela när det är 100 % och hälften av det. Material Det mesta som finns i ett klassrum kan användas! Beskrivning 1. Plocka fram några föremål. Låt eleverna diskutera vilka som kan delas i två lika stora delar och fantisera om vad som skulle kunna hända Vilka föremål är enkla att dela? (frukter, pappersark, chokladkaka, snöre, en bit bomull, ) Vilka föremål går att dela om man får använda verktyg av något slag? Vilka verktyg behövs? (bräda, stenplatta, timmerstock, ) Vilka föremål kan delas men går sönder eller blir oanvändbara? (bok, klädesplagg, sedel, ballong, ) 2. Använd kvadratiska papper, t ex origamipapper. Vilka elever kan bli inspirerade av att använda mönstrade papper och vilka behöver enfärgat för att ha möjlighet att uppfatta innebörden i helheten och vad som är hälften? Be eleverna dela var sitt papper i två lika stora delar. På hur många olika sätt går det att göra? Diskutera om två lika stora delar måste se exakt likadana ut (kongruenta)? Eller räcker det att de är lika stora (har lika stor area) även om de ser lite olika ut? Alltså att man får lika mycket chokladkaka även om bitarna har olika form. Gör en gemensam utställning av alla olika sätt att dela ett kvadratiskt papper. (Utveckla gärna till en bilduppgift ) Diskutera och skriv olika sätt för hur man kan benämna delarna: halv, hälften, en av två, 1/2. Fortsätt på samma sätt men använd olika material och olika former. Hur delas ett snöre, en klump modellera, ett glas med vatten, en cirkel, en rektangel i två lika delar? När i vardagen använder vi uttryck som en halv och hälften? Hur mycket är en halv timme? Hur ser det ut på klockan? Diskutera Hur stor är en halv? och upp- Lektionsaktivitet: En hel och hälften av den Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (3)

märksamma om eleverna uppfattar att det inte är en fast storlek utan att det alltid beror på vad som det hela. 3. Använd en tallinje. Fråga om det finns några tal mellan 0 och 1. Många svarar nej. Om vi töjer en tallinje, som ett resårband, får vi avstånd mellan talen. Inte sällan kommer någon elev då på att det kan finnas en halv emellan 0 och 1. Diskutera var ni ska placera det. När tallinjen 0 10 tänjs ut kan 1/2 placeras i förhållande också till andra tal. Ramsräkningen på tallinjen kan då vara 0, ½, 1, 1 ½, 2, 2 ½, 3 Sätt upp ett snöre, använd klädnypor och låt eleverna placera ut först de hela talen sedan de halva. 4. Efter halvor är det enklare att gå vidare till fjärdedelar än till tredjedelar eftersom det är en direkt fortsättning av att dela hälften igen. Titta på vilka föremål eller former som enkelt kan delas i fjärdedelar. Låt eleverna vika, klippa och klistra upp olika delningar i fyra. Samtala om hur de kan benämnas och skrivas; en fjärdedel, en av fyra, 1/4, en kvart. Var på tallinjen finns en fjärdedel? Är det lika stort, större eller mindre än en halv? Vad händer om vi fortsätter dela hälften, hälften, hälften Låt elever som behöver utmaningar undersöka, t ex genom att vika papper. Vik upp och benämn delarna. 5. Tredjedelar är betydligt svårare att vika fram än halvor och fjärdedelar. Det är ofta en framgångsrik väg att starta med ett (godis)snöre som ska delas i tre lika långa delar. Elever som fastnar kan vara hjälpta av att börja med att lägga snöret som en liksidig triangel. Sen går det att putta samman de tre sidorna. Lektionsaktivitet: En hel och hälften av den Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (3)

Hundra procent Vi omges dagligen av procentuttryck, allt ifrån formella beräkningar till vardagliga talesätt som Det är jag hundra på! Dagens barn och ungdomar lägger ofta märke till de staplar som växer fram på elektroniska apparater som laddas, och inser att när det kommer till 100 % är det fulladdat eller klart på något annat sätt. I dagspressen finns det dagligen annonser baserade på procentuttryck och i reatider blir vi fullständigt översköljda av procentskyltar. Denna aktivitet är tänkt för inledande samtal om grunden för all procentberäkning, det hela. Som ett andra steg följer hälften, 50 %. Nedan finns några annonser. Använd dem eller leta egna tillsammans med eleverna. Diskutera ord som ordinarie pris, reapris, rabatt, rea/realisation, sale, etc. Vad är det hela? Vad syftar annonsen på? Om det står Rea 50 %, hur vet man hur mycket man ska betala? Hur kan man ta reda på hur mycket 50 % av något är? Diskutera annat omvärldskunnande som annonserna innehåller. Var ligger Seychellerna? Hur långt är det dit? Hur lång tid tar det? Hur skulle det vara att åka dit? Vad menas med medresenär? Vad är en safari? Vad finns det för olika slags mattor? Vad brukar mattor vara gjorda av? Hur stor är en matta? Orienten, var ligger det? Vad kan 30 % och 40 % som det också står i annonsen betyda? Hur ska en skön kudde vara? Hård? Mjuk? Av vilket material? Dun? Hur många kuddar vill du ha i sängen? Har du någon kudde som är extra fin? Hur ser den ut? Hur stora brukar kuddar vara? Lektionsaktivitet: En hel och hälften av den Maj 2015 http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (3)

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning Barnens fascination och intresse tas som utgångspunkt för att utveckla förståelse. 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning Elisabet Doverborg & Ingrid Pramling Samuelsson Små barns kunnande i matematik kan utvecklas om man arbetar medvetet och systematiskt med deras sätt att erfara och reflektera som utgångspunkt. I detta ligger en utmaning för alla de pedagoger som inte arbetar med matematiska begrepp och idéer i småbarnsgrupper eftersom de anser att barn i dessa åldrar inte är mogna för sådant tänkande. Vi kommer att följa hur lärandet i matematik tar sig uttryck hos barn som är mellan 2 och 3 år då man börjar arbeta med en speciell pedagogisk ansats i förskolan. Lärande och kunskap Det lilla barnet föds med en förmåga att uppleva och erfara sig själv och sin omvärld. Men det är inte endast det lilla barnet som blir påverkat av omvärlden utan barnet påverkar också människorna där. Redan som spädbarn ingår barnet i en kommunikation och en dialog med omvärlden en dialog som utvecklas och med största sannolikhet utgör den väsentligaste källan till att barnet skapar innebörd och förståelse för olika fenomen i omvärlden. Kunskap är nämligen, i det perspektiv denna artikel bygger på, en fråga om att skapa mening och förståelse, att byta fokus, att erfara ett visst fenomen på ett kvalitativt nytt sätt. Barnet har utvecklat sitt kunnande när en företeelse framstår på ett annorlunda sätt än tidigare. Med förståelse menar vi här hur barn ser, uppfattar eller erfar något (Marton, 1981). Erfarandet är alltså det som framträder i barnets medvetande och som av andra ibland brukar benämnas inre bilder. Nämnaren Tema: Matematik från början 99

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 Eftersom vi tagit ställning till att det är förståelse som vi vill att barn skall utveckla följer också av detta vissa principer för lärandet. Marton och Booth diskuterar i boken Learning and Awareness (1997) hur barn skapar förståelse för det okända med utgångspunkt i det kända. Ett barns tidigare erfarenheter finns alltid som en grund för det nya som barnet skall lära sig. Författarna menar vidare att förståelseskapande kräver variation i erfarande samt en förmåga hos barnet till att samtidigt uppfatta variationen. Begrepp som antal kan bli synliga för barn genom att de får möjlighet till att samtidigt uppmärksamma ett varierande antal föremål. Skulle man alltid räkna samma antal föremål finns en risk att lärandet begränsas till ett bestämt antal. Andra sätt att erfara antalsbegreppet kan bli synliga genom att man varierar föremålens storlek, utbredning och gruppering. Ett annat exempel på hur förståelse kan skapas genom variation och samtidighet tar vi från ett arbete med begreppet att dela. Genom att barn delar på olika sätt och i olika antal delar framträder en variation som ger mening åt detta begrepp. När man vid ett tillfälle delat tex ett äpple på ett visst sätt finns förmodligen denna erfarenhet i barnets medvetande vid ett nästa tillfälle då ett äpple delas på ett annat sätt. Barnet kan då samtidigt uppfatta hur man delar just nu och hur det förhöll sig vid det tidigare tillfället. Något som aldrig varierar tas oftast för givet och blir då inte heller föremål för reflektion. Såväl ting som människors agerande varierar i barns värld (Valsiner, 1989). Genom att exempelvis ting som stolar ser olika ut förstår barn vad det är som karakteriserar en stol. Genom att barn erfar många olika sorters stolar, oftast i relation till bord, förstår barn att man sitter på stolar medan man ställer saker på bord. Barnen uppfattar möblernas funktion utifrån sina upprepade erfarenheter och uppfattar det därför som fel om någon sitter på bordet. Stolar och bord kan variera, i storlek, stil, form, etc, medan funktionerna förblir desamma. Studier har visat att det är mångfalden som ger barnet de pedagogiska möjligheterna till att utvecklas och lära (Doverborg & Pramling, op cit). Denna ansats är enligt vår uppfattning inte särskilt vanlig i förskolans och skolans institutionaliserade aktiviteter. Inom den utvecklingspedagogiska ansats som utvecklats med grund i fenomenografin har pedagogiska principer utarbetats (Pramling, 1996). Dessa pedagogiska principer är: att få barn att tänka, reflektera och uttrycka sig på olika sätt samt att använda sig av den mångfald av sätt att tänka som barn ger uttryck för som ett innehåll i sig. Dessa principer har prövats i förskolan, med framför allt äldre förskolebarn. Det har då visat sig att dessa barn har utvecklat en överlägsen förståelse för olika fenomen jämfört med barn som inte undervisats efter dessa principer (Pramling, 1988; 1994). I den utveck- 100 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning lingspedagogiska ansatsen ligger just ett antagande om att pedagogiska aktiviteter av olika slag kan bidraga till att utveckla olika förmågor och förståelse hos barn. De erfarenheter som gjorts från tidigare studier med äldre förskolebarn använder vi oss här av i arbetet med yngre förskolebarn och deras tidiga möten med matematik. Hur små barn börjar utveckla förståelse för antal Innan barn kan räkna kan de skilja mellan grupper av 2 eller 3 föremål. Förmågan att med en blick kunna skilja grupper åt är medfödd och brukar i engelsk litteratur kallas subitizing (Fischer, 1992; Ekeblad, 1992). Barn i 2-årsåldern kan oftast skilja mellan 1, 2 och 3 föremål. 4 eller fler föremål brukar de kalla för många. Fischer (op cit) beskriver att han visade 4 föremål för yngre barn och frågade dem Hur många är det? Det fanns då barn som höll upp 4 fingrar och sa Så många är det utan att uttala fyra. Dessutom fanns det barn som sa att det är 2 och 2 till. Många barn i 2 4 års åldern visar antal genom att hålla upp ett visst antal fingrar. De visar sin ålder, hur många bilar de har, hur många godisbitar de vill ha, etc på detta sätt. Det är inte endast det muntliga språket som räknas som språk. Även fingervisning kan ses som ett språk (Johnsen Høines, 1990). Liknande sätt att gestalta talen 4 och 5 blev synliga då barnen i en förskola skulle få 4 eller 5 äppelklyftor. Detta uttryckte barnen genom att visa fram lika många fingrar som de ville ha äppelklyftor eller genom att säga att de ville ha tex 2 och så 3 till då de ville ha 5 klyftor, eller 2 klyftor och 2 till för 4 klyftor. En annan grupp barn i åldrarna 2:4 9 (2 år 4 9 månader), skulle få 3 russin var. Russinen var placerade på ett fat och barnen fick ta 3 russin var. Det blev då synligt att barnen tog sina russin på olika sätt; de som tog russinen ett efter ett tills de hade lagt upp 3 russin framför sig de som först tog 1 russin och sedan 2 till utan att räkna Nämnaren Tema: Matematik från början 101

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 de som först tog 2 russin och sedan 1 till utan att räkna de som tog 3 russin direkt. Barnen fick sedan i uppgift att på en teckning rita hur många russin de hade tagit och då tecknade samtliga barn sina russin. Många barn ville också rita 1 och 2 russin. Några barn tecknade 4 6 russin och sa att det är många. Barnen försökte inte räkna russinen utan såg dem som många (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999). Fischer (1992) refererar till Descoeudres (1921/1946) som gjorde en observationsstudie där drygt 100 barn deltog. I denna studie fann han att en stor del av barnen benämnde räkneorden efter 2 eller 3 för många. Han menar att barn måste ges möjlighet att möta antal på många olika sätt och i olika sammanhang så att de kan skapa sig en inre bild av talen. Hughes (1986) har visat på betydelsen av att barn får utgå från det som är konkret och känt för dem då de skall räkna. I en intervjustudie ställde Hughes två frågor till barn, en mer abstrakt fråga av matematisk karaktär och en fråga som innehöll ett för barnen känt sammanhang. Följande samtal med Amanda, (3:11), är enligt Hughes typiskt. Hughes: Hur många är två och en? (Lång paus. Ingen respons.) Nå, hur många klossar är två klossar och en kloss? Amanda: Tre. Hughes: Jaha, så hur många är två och en? Amanda: (Paus, sedan tvekande) Fyra. Hughes: Hur många är en kloss och en kloss till? Amanda: Två klossar. Hughes: Så hur många är en och en? Amanda: En, kanske. Hughes, 1986, s. 46, förf:s översättning Enligt Hughes ser inte Amanda något samband mellan de båda frågorna den mer abstrakta frågan och frågan som hänger samman med klossarna. Att barn kan lösa ett konkret problem innebär inte automatiskt att de kan lösa motsvarande problem uttryckt i ett generellare matematiskt språk även om det handlar om små antal som 2 eller 3. Att uppfatta små antal och att urskilja dem i olika mönster är inte detsamma som att ha utvecklat ett generellt antalsbegrepp. För att man skall kunna säga att ett barn har en antalsuppfattning måste deras förståelse enligt Gelman & Gallistel (1978) omfatta följande fem principer. 102 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning 1. Principen om ett till ett korrespondens. Barnen måste kunna jämföra antalet föremål i två mängder genom att para samman föremålen två och två. Ett föremål från den ena mängden bildar par med ett föremål i den andra mängden. 2. Principen om den stabila ordningen betyder att barnen vid uppräkning konsekvent använder en och samma sekvens av räkneord. 3. Kardinalprincipen innebär att barnen förstår att det sist uppräknade räkneordet också anger antalet föremål i den uppräknade mängden. 4. Abstraktionsprincipen betyder att alla föremål som ingår i en väl avgränsad mängd kan räknas oavsett slag av föremål. 5. Principen om godtycklig ordning betyder att man kan starta var man vill då man skall räkna föremålen i en mängd, men att inget föremål får räknas mer än en gång. Gelman och Gallistel menar att dessa principer utvecklas med stigande ålder och att de är i det närmsta genetiskt nedärvda. Neuman (1998) visar i sin undersökning att dessa principer kan utvecklas på olika sätt hos olika barn och att vissa principer kan förstås samtidigt, utan någon hierarkisk ordning, beroende på barnens erfarenheter och intresse. Studiens uppläggning och genomförande För att studera hur barns antalsuppfattning utvecklas i en stimulerande pedagogisk miljö har vi följt en pedagog i hennes medvetna och systematiska arbete med att utveckla barns antalsuppfattning. Vi kommer här att följa små barn när de utvecklar en begynnande förståelse för antal vilket kommer till uttryck i deras arbete med stjärnkort. En utvärdering och en jämförelse med en annan grupp barn i samma ålder görs också men kommer inte att redovisas här (se Doverborg & Pramling Samuelsson, manus). Hur gick arbetet till och vad hände? Vi skall här följa hur man arbetar med att utveckla barns antalsuppfattning. Det hela börjar med att en av pedagogerna en dag av en händelse upptäcker att barnen är otroligt fascinerade av stjärnor. Hon tar denna fascination och detta intresse hos barnen som utgångspunkt för att försöka utveckla deras förståelse för antal. Hon tillverkar stjärnkort Nämnaren Tema: Matematik från början 103

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 som förvaras i en ask, vilken är indelad i fem fack. I varje fack finns kort med alternativt 1, 2, 3, 4 eller 5 stjärnor på. Stjärnmönstren ser ut som tärningsmönster. Vid samlingen låter pedagogen barnen välja ett stjärnkort vilket de sedan sätter upp på en tavla vid sitt namn. Under ca 10 minuter, nästan varje dag i drygt tre månader arbetar pedagogen med barnen i olika steg vilka delvis utvecklas utifrån barnens kommentarer under tiden de arbetar med korten. En sekvens av aktiviteter utvecklas i samspelet mellan barnen och pedagogen, där hon tar hänsyn till barnens reaktioner och intressen. Denna sekvens kan sammanfattas med: att barnen får ta ett stjärnkort vars mönster de tycker är fint, att barnen får para ihop kort med samma antal stjärnor, att barnen får räkna stjärnorna på sitt kort, att barnen får jämföra kortradernas längd (längre kortare lika långa), längderna varierar beroende på hur många barn som valt de olika korten, att barnen får räkna efter hur många kort det är i de olika kortraderna, att barnen får välja ett kort själva och de uppmanas också att ta ett kort med ett givet antal stjärnor. Låt oss nu i form av observationer följa några nedslag i hur arbetet praktiskt tar sig uttryck i barngruppen. Barnen får ta ett stjärnkort vars mönster de tycker är fint Anna-Lena, pedagogen, skapar en otrolig spänning och barnen jublar då hon öppnar askens lock. Tillsammans tittar de på korten i facken och ser att det i det första facket finns kort med en stjärna på. I det andra facket finns det kort med två stjärnor på osv tills det femte facket där korten har fem stjärnor. Anna-Lena gör barnen uppmärksamma på att stjärnornas mönster är de samma som prickmönstret på sådana tärningar som de har när de spelar spel. Vet ni vad ni skall få göra nu? Ni skall få välja ett stjärnkort, precis vilket ni vill och det skall ni få sätta upp under ert namn. Mats, du får börja att ta ett stjärnkort. Mats (2:5) går fram till asken och tar ett kort. Vilket kort tog du Mats? Hur många stjärnor är det på kortet? 104 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning Mats pekar och räknar (svårt att uppfatta). Han sätter sitt kort under sitt namn. Kortet har två stjärnor. Elin, du får ta ett stjärnkort. Elin (3:2) tar ett kort och sätter det under sitt namn. Elin: Vilket valde du? 2! (ett kort med två stjärnor på). Lars vilket stjärnkort väljer du? Hur många stjärnor är det? Lars (2:11) håller fram kortet till Anna-Lena som frågar Ska jag räkna? Hon pekar på stjärnorna en efter en och räknar högt medan de övriga barnen tittar på med stor förtjusning. Hon säger 1, 2, 3...3 är det. Därefter tar Lars kortet för att sätta upp det. Han lyfter då på sin namnskylt och sätter dit stjärnkortet på tavlan, och ovanpå stjärnkortet sätter han sin namnskylt. Anna-Lena uppmuntrar honom och säger att under också kan betyda att man kan sätta fast kortet nedanför sin namnskylt. Anna-Lena och Lars hjälps åt att flytta stjärnkortet och namnskylten och de sätter dit namnet och sedan stjärnkortet på flanotavlan. Nu är det Annas tur. Anna (2:10) tar ett kort. Vilket kort valde du? Anna pekar på stjärnorna och säger 5. Nu får du sätta upp kortet under ditt namn. Nu är det Peters tur. Peter (2:8) tar ett kort och börjar räkna 1, 2, 5 utan att Anna-Lena frågar honom hur många stjärnor det är. Oj, det tog du, nu får du sätta upp det! Peter har tagit ett kort med 3 stjärnor. Nu är det Lisas tur. Hon tar ett kort och säger 1, 2, 3. Jaha, Du valde det kortet. Nu får du sätta upp det. Lisa (3:1) sätter kortet med två stjärnor under sitt namn. Nu får du välja ett kort, Stig. Hur många stjärnor tar du? Stig (2:11) håller upp kortet utan att säga ett antal eller att räkna. Det valde du, Stig. Nämnaren Tema: Matematik från början 105

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 Stig sätter då upp sitt kort som det är 5 stjärnor på. Bra! ropar något barn. Nu är det Magnus tur. Nu får vi se vad du väljer. Magnus (2:11) tar ett kort, håller upp det och räknar tyst. Han säger 3, vilket det också är. Så bra! Nu har alla satt upp sina stjärnkort. Nu skall vi titta på vilka stjärnkort ni valt. Stig har valt det där kortet, Lars det där kortet, Magnus det där kortet osv. Tänk vad ni kan! Vilka fina kort ni valt! Anna-Lena vill i första hand att barnen skall få välja det stjärnkort som fascinerar dem. Hon kräver inte av barnen att de skall försöka räkna stjärnorna på sitt kort. Hon rättar heller inte någon som räknat fel. Likaså bejakar hon barnets sätt att tänka, som i Lars fall, när ordet under betyder olika för dem. Hon korrigerar inte barnen men visar på att det kan finnas olika sätt att uppfatta ett ord. Barnen får para ihop kort med samma antal stjärnor En dag då barnen skall plocka ner korten upptäcker några barn att de har tagit ett likadant kort som någon annan i gruppen. Anna-Lena tar då vara på detta tillfälle och låter Lars, Anna och Lisa stanna kvar vid tavlan. Anna har upptäckt att hon har samma som Peter och hon har därför satt sitt kort under Peters kort. Anna-Lena sätter upp en rad stjärnkort på det här sättet: Anna-Lena säger att barnen skall få ta ett likadant kort och sätta det under något av de kort hon redan satt upp. Lars får börja och han tar ett kort med 2 stjärnor och sätter det under kortet med 4 stjärnor. Lars, är det likadant? Lars nickar men Anna säger: Nej. (Anna-Lena låter det passera.) Lisa får ta ett kort och tar ett med tre stjärnor på och sätter det där kortet med 3 stjärnor är uppsatt. Anna tar nästa kort och väljer ett kort med 4 stjärnor. Hon sätter det under kortet med 3 stjärnor. Är de likadana? Nej, svarar Anna och försöker se var det skall sitta. Det som komplicerar det hela är att Lars satt sitt kort med 2 stjärnor under raden 106 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning av kort med 4 stjärnor. Lars upptäcker vad han har gjort och tar bort kortet med 2 stjärnor och säger till Anna att det är där som hon skall sätta sitt kort. Lars, var skall ditt kort sitta nu? Det som du har i handen? Lars får då hjälp av Anna som pekar och visar honom var kortet med 2 stjärnor skall sitta. Ja, just det. Där skall det sitta. Vem vill ta ett kort nu? Är det Lisas tur? Lisa går fram och säger att hon tar ett likadant. Hon tar återigen ett kort med 3 stjärnor och sätter det i raden med kort med 3 stjärnor. Lars, det är din tur. Lars väljer en liten stund och tar sedan ett kort med 4 stjärnor på som han sätter i raden med 4 stjärnor. Det är bra. Nu har du tagit ett precis likadant. Anna ställer sig upp och vill fortsätta. Anna: Ja, nu är det din tur. Nu tar jag den igen. Vilken är den likadan som, Anna? Anna tittar och sätter kortet med 2 stjärnor under raden för två stjärnor. Lisa: Lisa: Nu är det jag, Vill du igen, Lisa? Jag tar där igen, den (kortet med 3 stjärnor). Ja, du tar den där igen. Lisa pekar på raden med korten med 3 stjärnor och vill visa att den är den längsta raden. Anna vill igen. Anna: OK. Nu tar du ett kort. Den igen. (Tar kortet med 2 stjärnor.) Ja visst, så bra. Nu är det Lars tur. Nu skall vi se vad Lars väljer. Vad tog du? Lars visar fram sitt kort med 2 stjärnor. Var skall du sätta det? Nämnaren Tema: Matematik från början 107

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 Lars sätter det under kortet med 4 stjärnor. Lars: Lars, är det likadant? Ja. (Anna-Lena låter det passera.) Nu är det din tur, Lisa. Lisa tar åter igen ett kort med 3 stjärnor och sätter upp det i raden med 3 stjärnor. Ja, det är ett säkert kort. Anna tar ett kort med 2 stjärnor och sätter det under Lars kort med 2 stjärnor. Det kort som han satt i raden med 4 stjärnor. Det var likadant som Lars, men hur ser de ut som sitter ovanför? Ingen av barnen bryr sig om Anna-Lenas undran. Nu är det du Lisa, säger Anna-Lena. Lisa tar direkt ett kort med 3 stjärnor och sätter kortet i den raden där det hör hemma. Oj, nu är det fullt i den raden. Nu får du ta ett kort, Anna. Anna tar åter ett kort med 2 stjärnor vilket hon sätter i den nya raden med kort med 2 stjärnor. Nu Lars, får du ta det sista kortet, säger Anna-Lena. Lars tar än en gång ett kort med 2 stjärnor och sätter det under Annas kort. 108 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning Tillsammans tittar Anna-Lena och barnen på de kortrader som de satt upp. Anna-Lena ber Anna berätta vad hon ser. Hon har satt upp många kort med 2 stjärnor. Det är därför inte konstigt att hon säger att det är mest kort med 2 stjärnor. Lisa instämmer och pekar på den fjärde raden som innehåller kort med 2 stjärnor. Anna protesterar och visar på den första raden med stjärnkort. Lars upptäcker då att kort med 2 stjärnor finns uppsatta på två ställen. Han tar då och flyttar bort de kort med 2 stjärnor som finns i kortraden för 4 stjärnor. Anna-Lena undrar om barnen kan se om det är likadana kort som sitter i varje rad. Barnen står framme vid tavlan och tittar på rad efter rad och jämför korten innan de är överens om att de har tagit kort som är likadana i varje rad. Anna-Lenas syfte här är att låta barnen få sortera, para ihop och jämföra kort som har lika många stjärnor. Detta är en övning som görs många gånger och oftast ser barnens val av kort olika ut och därmed också de kortrader som de sätter upp på tavlan. Barnen får leta efter det kort som är lika som deras eget kort och försöka att para ihop dessa. Oftast blir det rätt, men då det blir fel påpekar ibland något annat barn att det är fel, men om inte det barn som satt kortet fel själv reagerar på påpekandet låter pedagogen det passera utan kommentar. Pedagogen uppmanar barnen att jämföra korten och se de mönster som stjärnorna bildar. Barnen får räkna stjärnorna på sitt kort Nu skall vi se vad Stig har tagit för kort idag? Stig håller upp kortet som han tagit och säger 8, 5, 6, 7 och sätter därefter upp kortet som har 3 stjärnor. Nu är det Lisas tur. Hon tar ett kort med 3 stjärnor och Anna-Lena säger: Det där kortet tog Lisa. Lisa sätter upp kortet direkt och börjar sedan räkna 1, 2, 3, 4, 5 utan att Anna-Lena frågar henne om hur många stjärnor det är på kortet. Hon räknar upp räkneorden utan att peka på stjärnorna eller mot kortet. Nu skall vi se vad Mats tar för kort idag, säger Anna-Lena. Mats tar ett kort vilket han håller framför sig. Han börjar räkna och pekar på stjärnorna under det att han säger 1, 8, 3. Han sätter därefter upp kortet vilket har 5 stjärnor. Anna säger att hon vill ta ett kort med en stjärna på vilket hon gör innan någon hinner reagera. Nu är det Elins tur. Hon tar ett kort med 4 stjärnor och sätter upp det direkt. Nu skall vi höra vad Elin tog för kort idag. Elin tar ner kortet igen och håller det i handen och pekar på en stjärna i taget och räknar: 1, 2, 3, 4. Nämnaren Tema: Matematik från början 109

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 Såg ni vad Elin tog för kort? Såg ni att Elin räknade 1, 2, 3, 4, och 4 det var precis vad det var. Nu skall vi se vad Magnus tar idag? Magnus tar ett kort och säger: Samma som du, Anna, 1. Jag tog likadant som Anna.. Du tog likadant som Anna, 1. Anna tycker då att Magnus skall sätta upp sitt kort bredvid hennes namn och kort. Det gör han också. Lisa tar sitt kort och sätter det under Stigs kort. Elin vill plötsligt byta kort. Hon tar ner sitt kort med 4 stjärnor och sätter upp ett kort med 5 stjärnor. Nu passar det bättre med Lars kort, säger hon. Anna har tagit 1 stjärna och Magnus har också 1. Stig har tagit 1, 2, 3 och Lisa har tagit 1, 2, 3, 3 stjärnor på sina kort. Lars har 1, 2, 3, 4, 5 och Mats har 1, 2, 3, 4, 5 och Elin har 1, 2, 3, 4, 5, 5 stjärnor på sina kort. Peter, har du samma som någon annan? Elin säger då samma som mitt och går fram för att flytta hans kort bort till sitt. Anna-Lena betonar här själva räknandet av stjärnorna och hur många de är på varje kort. Barnen grupperar själva korten och engagerar sig i varandras val av kort. Anna-Lena har en tillåtande attityd som accepterar att man vill byta kort och att man räknar på sitt eget sätt. 110 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning Barnen får jämföra kortradernas längd Efter det att barnen har satt upp sina kort uppstår en diskussion om vilka kort de valt och hur långa kortraderna blev. Nu Elin får du tala om vem du har likadant som idag. Elin går fram till tavlan och tittar. Hon tar Annas kort och sätter det under sitt eget. Anna protesterar, det går inte bara att ta hennes kort och flytta på det utan att hennes namn också flyttas med. Ja, Anna och Elin har likadana kort. Mats, vem har lika många stjärnor på sitt kort som du? Han pekar då på Elin och Annas kort. Ja, där kan du sätta ditt kort och ditt namn. Lisa tar sitt kort och sätter det under Stigs kort. Det är tre stjärnor men korten är vända olika men det bekymrar inte barnen. Titta nu Magnus, vilken rad skall det vara i? Magnus sätter sitt kort i raden för 5 stjärnor. Peter tar sitt kort och sätter det under Lisas kort. Lars har tagit ett kort med 1 stjärna på och sätter det kortet för sig. Här är inte huvudsyftet att räkna antal stjärnor utan att gruppera korten och se hur raderna ser ut. De samtalar om den längsta kortaste mittemellanlånga raden och hur man ser att det är den längsta eller kortaste raden osv. Läraren försöker göra barnen uppmärksamma på hur många slags stjärnkort det finns och hur frekventa de olika korten är. Nämnaren Tema: Matematik från början 111

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 Barnen får räkna efter hur många kort det är i de olika kortraderna Vid ett annat tillfälle har barnen än en gång valt kort och satt upp dem i grupper. Har ni sett att både Anna, Mats och Lars har tagit lika många stjärnor idag. Hur många är det på ditt kort, Lars? Peter ser att det bara är han som har ett kort med 4 stjärnor på och att det bara är Stig som har 1 stjärna på sitt kort. Hur många kort är det i den längsta respektive kortaste raden? Hur många fler i den längsta än i mellanraden? Osv. Här är inte huvudsyftet att räkna antal stjärnor utan att gruppera korten och se antalet kort i varje kortrad. Eftersom barnen väljer olika vid olika tillfällen varierar de grupper som korten bildar. Ibland kan alla fem stjärnkortsvarianterna vara representerade men ibland kan det bara vara två alternativ. Vid ett annat tillfälle räknar Anna-Lena upp alla barn som tagit ett kort med 3 stjärnor. Hur många kort är det som har 3 stjärnor? Lisa räknar efter och säger att det är 5 kort. Anna-Lena fortsätter och säger att Mats och Anna tog kort med 1, 2, 3, 4, 5 stjärnor på. Vilket stjärnkort är det flest av? Tre-korten, ropar några barn i munnen på varandra. Anna-Lena håller upp ett kort med 1 stjärna på och säger att ingen tog ett kort med 1 stjärna idag. Och ingen tog ett kort med 2 stjärnor och ingen tog kort med 4 stjärnor, (hon håller upp korten och alla tittar). Ingen valde de korten idag! Va spännande! säger hon och kommenterar antal kort, flest, inte så många mm. 112 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning Barnen får välja ett kort var och uppmanas också att ta ett kort med ett givet antal stjärnor Arbetet med stjärnkorten hade pågått intensivt nästan varje dag under ca 3 månader. Efter ett längre uppehåll börjar barnen åter intressera sig för stjärnkorten. Pedagogen uppmärksammar då att alla barn med stor säkerhet kan ta ett kort och sedan tala om hur många stjärnor det är på kortet. Här följer ett exempel på ett tillfälle då barnen får välja ett kort och också ta ett kort med ett av pedagogen bestämt antal stjärnor. Nu skall Lars få välja. Lars tar ett kort med 2 stjärnor på och sätter det nedanför sitt namn. Lars: 1, 2. Vad var det? 2 valde du. Nu kan du få ta ett kort med 4 stjärnor på. Han tar rätt kort direkt och sätter upp det under det andra kortet. Lars: Lars: Bra, det var det. Men Lars hur många stjärnor var det på kortet som du tog? 1, 2, 3...4. (Pekar och räknar.) Hur kan man veta det? Man kan räkna dem. Nu är det Mats som skall få ta ett kort och sätta fast det under sitt namn. Han tar ett kort och sätter upp det. Han tog 5, säger något av barnen i gruppen. Anna-Lena frågar hur många stjärnor han har på sitt kort. Han pekar då på varje stjärna och räknar tyst och säger sedan: 5. Nu skall du få ta ett kort med 3 stjärnor. Mats tar ett kort med 3 stjärnor direkt. Mats: Hur kunde du veta att det var 3 stjärnor på kortet? Vet inte! Nu är det Lisa. Nu är det spännande att se vad det är för kort Lisa tar. Lisa tar ett kort med 5 stjärnor på. Hur många stjärnor är det på ditt kort? Nämnaren Tema: Matematik från början 113

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 Lisa: 5 1, 2, 3, 4, 5. Lisa tar kortet direkt. Lisa: Nu skall du ta ett kort med 4 stjärnor på. Men Lisa hur kan du veta att det är 4 stjärnor på det kortet. Det såg jag. Hur kan du se det? Det såg jag, säger flera barn medan ett barn säger: Men inte jag. Magnus tar ett kort med 5 stjärnor. Hur många stjärnor är det på ditt kort? Magnus: 1, 2, 3, 4, 5. (Pekar och räknar.) Kan du också ta ett kort med 3 stjärnor? Han pekar direkt på kortet och säger: 1, 2, 3. Hur kan du veta att det är 3? Magnus: Jag räknade först så hörde jag. Jag räknade så här 1, 2, 3,... 3, så här. Nu är det Peters tur att välja ett kort. Han tar ett kort med 4 stjärnor på. Peter: Han tar rätt kort direkt. Peter: Peter hur många stjärnor var det nu på det kortet? 1, 2, 3, 4. (Pekar och räknar) Nu skall du få välja ett kort med 3 stjärnor. Hur kunde du veta det, att det var 3 stjärnor på det där kortet? 1, 2, 3. (Pekar och räknar.) Nu är det Elins tur. Hon går fram och tar ett kort direkt. Elin svarar snabbt: 1. Vad valde du Elin? Kan du också välja ett kort med 5 stjärnor på? Hon tar direkt ett kort med 5 stjärnor. Elin: Hur kunde du veta det? Jag bara såg. 114 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning Nu får vi se vad Anna tar för kort. Nu blir det spännande att se. Anna tar ett kort med 5 stjärnor och sätter upp det direkt. Anna: Hur många stjärnor valde du? 1, 2, 3, 4, 5. (Pekar och räknar.) Kan du nu ta ett kort med 4 stjärnor på. Anna tar direkt ett kort med 4 stjärnor och sätter upp det. Anna: Nu är det Stigs tur. Hur kunde du veta att det var 4 stjärnor på det kortet? Jag bara såg det. Nu skall vi se vad Stig väljer, det blir spännande. Han tar ett kort med 3 stjärnor. Stig: Hur många stjärnor valde du Stig? 3. (Svarar direkt.) Kan du nu ta ett kort med 4 stjärnor på. Han tar direkt ett kort med 4 stjärnor. Stig: Stig: Hur kunde du veta att det var 4 på det kortet? Jag bara visste! Hur då? Jag såg det! De mönster av aktiviteter som vi beskrivit ovan kan ses som en utvärdering av de aktiviteter som pedagogen genomför som en del av verksamheten. Hon får på så sätt en respons på sitt eget arbete och barnens förståelse (Doverborg & Pramling, 1985; 1988). Sammanfattningsvis kan vi konstatera att då barnen får välja det kort de själva vill kan samtliga barn tala om hur många stjärnor det är på kortet. Samtliga barn, förutom Stig och Elin, räknar varje stjärna på det kort som de själva valt då de får frågan Hur många stjärnor är det på ditt kort? Ett barn svarar snabbt att det är 5 men börjar ändå räkna 1, 2, 3, 4, 5. Det sist uppräknade räkneordet betonar barnet för att markera hur många stjärnor det är totalt på kortet (se tex Neuman, 1987). Stig däremot svarar direkt att det är 3 stjärnor på hans kort Nämnaren Tema: Matematik från början 115

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 utan att räkna efter. Elin valde ett kort med 1 stjärna vilket inte ger tillfälle till uppräkning. Barnen väljer kort med olika antal stjärnor. Fyra av barnen tar var sitt kort med 1, 2, 3 eller 4 stjärnor på. De övriga fyra barnen väljer kort med 5 stjärnor på. Det visar sig att barnen har olika tankar om varför de valde just kortet med 5 stjärnor. Skälen kan vara att det är mest stjärnor, man tycker att det är det finaste kortet eller att man valde det igår. Då barnen uppmanas att ta ett kort med ett bestämt antal stjärnor på kan samtliga barn ta rätt stjärnkort direkt. De kort som barnen uppmanas att ta har mellan 3 och 5 stjärnor. Beroende på vilket kort de själva valt tidigare uppmanar Anna-Lena dem att ta ett visst kort, dvs hon ger dem uppgiften att ta ett annat kort än det de själva valt. Då Anna-Lena frågar barnen hur de kan veta hur många stjärnor det är på kortet som de har uppmanats att ta vid detta tillfälle, ger de uttryck för det på olika sätt. Ett barn säger att han inte vet men han har tagit rätt kort med 3 stjärnor på. De övriga barnen talar antingen om att de bara såg det (4) eller att de räknade (3). Barnen som sa att de bara såg hur många stjärnor det var på kortet hade blivit ombedda att ta ett kort med 4 eller 5 stjärnor på. Barnen som pekade på och räknade stjärnorna hade blivit ombedda att ta ett kort med 3 eller 4 stjärnor. Det finns en skillnad bland barnen som räknade. Då Anna-Lena undrar hur de kan veta antalet börjar någon att peka på stjärnorna och räkna dem stjärna för stjärna medan någon annan säger att man kan räkna och slutligen ett barn som förklarar hur han gör: Jag räknade först så hörde jag. Jag räknade så här 1, 2, 3... 3 så här. Man kan anta att dessa tre olika sätt att svara på frågan hur de vet, är uttryck för barnens metakognitiva nivåer, dvs deras medvetenhet om sitt eget tänkande (Pramling, 1983; 1986). Sammanfattning och diskussion Vi ser hur barnen gradvis skapar en förståelse för antal upp till fem. Vi redovisar hur en målmedveten pedagog lyckats fånga barns intresse och det som barn spontant börjar uppfatta för att utveckla arbetet på ett sätt som kan betraktas som en progression. Vissa saker som barnen gör och funderar över leder till att pedagogen skapar nya utmaningar för barnen. Man kan säga att innehållet utvecklats i interaktion med barnen. Barnen har fått möjlighet att reflektera och uttrycka sina tankar i ord och handling. Detta är en ansats som flera gånger tidigare visat 116 Nämnaren Tema: Matematik från början

Kapitel 2 Att utveckla små barns antalsuppfattning sig ge positiva effekter i förskolan i form av en mer utvecklad förståelse, både för det egna lärandet och för olika aspekter av sin omvärld (Pramling, 1988; 1994; 1996). Om eller hur man arbetar med små barn och matematik hänger sannolikt samman med hur man uppfattar vad matematik är och hur man tror att barns matematiska förmåga visar sig eller grundläggs i förskolan och skolan. Fejdes (1997) undersökningsgrupp, bestående av både förskollärare och lågstadielärare ger uttryck för att de uppfattar matematisk begreppsutveckling hos barn relaterat till: vardagskunskaper, matematikboken, de fyra räknesätten, logiskt tänkande eller sociala faktorer. Självklart blir det också då så att det som man uppfattar som matematik är det som avgör vad man arbetar med inom detta fält eller väljer bort att arbeta med om man tycker att barnen ännu inte är mogna för detta (Doverborg, 1987). Som vi ser har barnen börjat utveckla en antalsuppfattning åtminstone upp till fem. Detta visar sig inte endast i den gjorda utvärderingen, utan också på många sätt i barnens spontana lek och i deras sätt att tänka. En sådan episod utspelar sig i byggleken. Barnen bygger ett större antal torn och på varje torns topp är det placerat olika antal små klossar. Antalet klossar varierar mellan 1 och 5. Barnen talar om att tornen är olika gamla och att man kan se deras ålder genom att räkna de små klossarna på toppen. Anna säger Det är ett 2-års torn och det där är ett 5-års torn! Vid ett annat tillfälle sitter barnen och målar. När ett barn målar en cirkel säger att annat barn att det är en nolla. Exemplen kan mångfaldigas, men det är viktigt att notera att barnen har gjort delar av det matematiska språket och de matematiska begreppen till sina. Dessa bildar en del av barnets erfarenhetsvärld och därmed får barnen också möjlighet att erfara vardagen i matematiska termer. Låt oss gå tillbaka till Gelman och Gallistels (se sid 103) fem principer för att ha utvecklat en antalsuppfattning. Att barn kämpar med att utveckla en förståelse genom att på sitt sätt använda sig av dessa principer har vi sett många bevis på. Vissa barn bildar exempelvis par mellan sina fingrar och stjärnorna (princip 1). En del barn räknar stjärnorna genom att använda sig av räkneordssekvenser medan andra väljer de räkneord som de kommer på som tex 8, 5, 3, 1 (princip 2). När det gäller princip 3 ser vi att många barn, då de räknar stjärnorna, gör det genom att räkna 1, 2, 3, 4... 4 är det. Barnen vet alltså att det sist uppräknade räkneordet talar om det totala antalet stjärnor. De som ännu inte utvecklat en kardinalprincip räknar föremålen en gång till om de får frågan: Hur många är det?. Alla barn uppfattar att stjärnorna går att räkna (princip 4), och att man kan börja räkna stjärnorna var som helst på korten, men varje stjärna får bara räknas en gång (princip 5). Nämnaren Tema: Matematik från början 117

Att utveckla små barns antalsuppfattning Kapitel 2 Barns lärande, språk och identitet är tre aspekter som i barnets erfarenhetsvärld inte kan skiljas åt (SOU 1997:108). Begreppen och språket är det man lär sig, men det är också via språket och begreppen som man lär sig om sig själv och sin omvärld. Att starta det livslånga lärandet inom matematiken betyder just att ge barn möjlighet att utveckla språk och begrepp som är användbart inom detta fält. Vi har sett åtskilliga bevis på att små barn gjort detta redan före fyra års ålder då man systematiskt arbetat med det. Men det är också viktigt att notera att man arbetar på ett alldeles bestämt sätt. Pedagogen har ett mål, en intention med sitt arbete med barnen. Men det är hela tiden barnen och deras värld som är i centrum. Vi kan tex se i dialogerna att pedagogen aldrig rättar någon utan alla idéer uppmuntras. Barnen rättar varandra spontant ibland, precis som barn gör i leken. Med största sannolikhet uppfattar barn korrigeringar från andra barn annorlunda än rättningar från vuxna. Barns erfarenhetsvärld är i centrum genom att tillfällen till lärande präglas av agerande, kommunikation, reflektion och ett stödjande av mångfalden av idéer och tankar (Doverborg & Pramling, 1995). Clay (1996) säger just att poängen med att ta utgångspunkt i varje enskilt barns erfarenhetsvärld är att bygga lärandet på maximal kommunikation, eftersom barn självklart befinner sig på sin individuella nivå när de kommunicerar med andra. Att kommunicera kräver att man är engagerad och intresserad, att man har sin uppmärksamhet inriktad mot att skapa mening och att förstå något. Sammanfattningsvis kan vi konstatera att resultaten från denna studie tyder på att utvecklandet av antalsuppfattning inte bara är en fråga om barns ålder eller mognad, utan framförallt en fråga om vad pedagogen riktar barns uppmärksamhet mot och att man utnyttjar barns erfarenheter och intresse. Pedagogen ger här ett exempel på att hon lyckats med den svåra konsten att ha en egen avsikt (vad hon vill att barn skall lära sig), att skapa situationer som fångar barns intresse samt låtit barnen vara de som lär sig. Hon har medvetet synliggjort matematiska begrepp och problematiserat dessa. Detta förfarande är nu formulerat som ett mål för förskolan att sträva mot, som en del i det livslånga lärandet (Utbildningsdepartementet, 1998; SOU 1997:157; Pramling Samuelsson & Sheridan, 1999). 118 Nämnaren Tema: Matematik från början

Camilla Åslund Snart, om en minut, nästa år Vad betyder tid för barn i förskoleåldern? Hur kan vi vidga och utveckla barns förståelse av olika tidsbegrepp? Här beskrivs hur de dagliga samlingarna kring ett konkret årshjul kompletteras med lockande uppdrag från Pippi Långstrump i ett längre temaarbete kring tid. Hela vår tillvaro kretsar kring tid. Tiden styr vår vardag, vårt sociala umgänge och vårt arbete. Det finns många ord för tid som är svårdefinierade, även för oss vuxna. Vi lägger in olika betydelser i samma ord. Det kan lätt uppstå förvirring och irritation om ord inte betyder detsamma för alla inblandade. Detta gäller naturligtvis även för barnen. Många gånger under deras vistelse på förskolan ställer de frågor eller hamnar i situationer som vi vuxna besvarar med ett tidsrelaterat ord. Det kan vara frågor som när det är dags att äta eller när de fyller år. Vi svarar kanske klockan åtta, om en liten stund, om fem minuter, snart eller till hösten. Vet barnen vad alla dessa tidsangivelser innebär eller använder vi vuxna oss av ord som vi bara tar för givet att barnet förstår utan att vi närmare förklarar vad vi menar med ordet? Barn och tid Tidsuppfattning hänger nära samman med verklighetsuppfattning och är en viktig grund för ett barns självständighet, därför kan det vara mer betydelsefullt än vi tror för ett barn att ha koll på tiden. Det menar forskaren och arbetsterapeuten Janeslätt (2009) som beskriver utvecklingen av tidsuppfattning som tre byggstenar. Den första byggstenen, känslan för tid, finns redan hos det nyfödda barnet och vardagsrutiner utvecklar sedan denna medfödda tidskänsla. Små barn skaffar sig en tidsuppfattning när de ligger på skötbordet, de får en känsla för hur lång tid ett blöjbyte tar. Den andra byggstenen är förmågan att orientera sig i tiden, som sker när barnet är 2 3 år. I denna ålder handlar det om tid på dagen, veckan, månaden och året. När barnet sedan kommer upp i 4 5-årsåldern börjar de fråga om hur mycket klockan är. Den tredje byggstenen är förmågan till tidsplanering, som börjar utvecklas i 6-årsåldern. När barnet förstår vad tid är får barnet en känsla av kontroll och självständighet och vet hur vardagen fungerar. För att stimulera barnets tidsuppfattning skall man enligt Janeslätt ha tydliga rutiner, då det är genom rutiner barnet lär sig hur lång tid olika aktiviteter tar. Man skall även ge barnet tidsreferenser. Om barnet undrar hur lång tid något tar kan vi ge ett exempel på en annan aktivitet som de känner till: det tar lika lång tid som det tar att gå till förskolan. Vi måste också prata om tid när barnet blir lite äldre, till exempel regelbundet berätta vilken årstid, månad och veckodag det är. 8 Nämnaren nr 4 2010

Barn saknar erfarenheter av tid för att de helt enkelt inte har hunnit skaffa sig sådana. Det är bland annat detta som bidrar till att tid är ett så svårt begrepp anser forskarna Solem Heiberg och Reikerås Lie (2004). För de yngsta barnen är nutiden det viktigaste, efter middagen kan vara lika långt borta som nästa dag. Efter hand som de blir äldre kan de överblicka större tidsrymder. Många gånger handlar det om vilket språk vi använder oss av när vi pratar med barnen. För dem är minuter, timmar, dagar och veckor svåra begrepp. Barnet har lättare att förstå tid om vi refererar till något det känner till. Halv sju kanske inte säger barnet något men om vi lägger till efter barnprogrammet blir språket ett redskap som gör att tiden och händelserna blir överblickbara. I mitt fördjupningsarbete ville jag vidga och utveckla barnens förståelse av ord och begrepp inom området tid. Jag ville även utmana barnen till att fundera och resonera om varför det blir som det blir ibland eller varför det inte blev som de hade trott. Året går Varje dag, under nästan två år, har vi på samlingen pratat om vilken dag det är idag, var igår, i förrgår, blir i morgon eller i övermorgon. Vi pratar om vilket väder som hör till vilken årstid, om det kan vara samma väder under olika årstider, vilka kläder som behövs och vad man kan göra ute en årstid som man inte kan göra en annan. Vi utgår från vår årshörna med veckohjulet, årshjulet med månadsburkar, almanackan och bilder. Barnen turas om att komma fram och berätta, flytta dagskulan, dra almanackslapp och eventuellt byta bilder beroende på vilket väder det är. Varje dag i veckohjulet har en egen färg (från särskolan) och kulorna i månadsburken motsvarar dessa färger. Antalet kulor i varje burk är lika många som antalet dagar i den aktuella månaden. Varje dag flyttas dagens kula över till den stora årsburken. När alla burkar är fyllda med kulor är det ett nytt år och när alla burkar är tömda är året slut. Under den fria leken en dag tog jag fram inplastade bilder som motsvarar alla moment/aktiviteter som förekommer under en dag på förskolan från det att förskolan öppnar tills den stängs. Fem barn fick lägga ut sin dag i den ordning som de uppfattade att aktiviteterna kom och därefter placera alla bilder från öppning till stängning. Alla barn kunde med lätthet placera de aktiviteter som de brukar vara med om och de valde att lägga ut bilderna som en linje. Ett barn kom på att vi kunde lägga bilderna i en cirkel och då blev det som en klocka. En avbruten blompinne fick bli timvisaren. Av utrymmesskäl valde vi att sätta upp bilderna i en rad i vår årshörna. En röd kula får markera hur långt i dagsrutinerna vi kommit. Nämnaren nr 4 2010 9

Klockan En dag var vår temafigur, handdockan Pippi, ledsen när hon kom. Hon kunde inte klockan! Hon hade med sig en klocka och barnen fick berätta vad de visste om alla pilarna, strecken och krumelurerna (siffrorna) och varför det var bra att kunna klockan. Barnen tyckte att det var svårt att förstå klockan eftersom det finns så många siffror och visare. Samtidigt ansåg de att det var viktigt att kunna klockan för att till exempel veta när Bolibompa startar, när man börjar i skolan och när man får gå hem från skolan. Pippi Långstrumps nya klocka Pippi gav barnen i uppdrag att göra en klocka som var lätt, en klocka som visar när hon skall göra olika saker under en dag. Vi kom då fram till att Pippis klocka bara skulle ha bilder på det hon skulle göra på dagarna (som våra bilder som visar vad vi gör under en dag på förskolan) och att klockan bara skulle ha en visare, timvisaren. Vi skrev upp vad vi trodde Pippi behövde kunna se på sin klocka och skrev ut bilder som vi behövde. Tillsammans placerade vi ut dessa, monterade urverket och timvisaren. När klockan var färdig tyckte en flicka att vi skulle skicka med siffrorna i fall Pippi skulle ångra sig. Ett annat barn ville att vi skulle sätta fast siffrorna med kludd så kunde Pippi själv ta bort dem för utan siffror är det ju ingen riktig klocka! En minut En annan dag kom ett brev till förskolan från Pippi med ett nytt uppdrag: Hur lång är en minut? Barnen skulle uppleva med hela kroppen vad en minut är med hjälp av timglas. I ett par av uppdragen skulle barnen först gissa (uppskatta) innan det var dags att utföra uppdragen. Både uppskattningar och resultat antecknades för att senare ha som stöd för minnet. Uppdragen var bland annat att under en minut sitta tysta, hoppa på olika underlag inne och ute, cykla, spela fotboll, samla pinnar och räkna för att slutligen utan hjälp av timglaset sätta sig ner när minuten var slut. De skulle även resonera om resultaten och vad skillnaderna kunde bero på. En minut kan kännas kort och... 10 Nämnaren nr 4 2010... en minut kan kännas lång.