Lgr 80 och matematiken WIGGO KILBORN När man får en ny läroplan är det viktigt att fundera över vad som skiljer den nya från den tidigare. Vad var mindre bra i den gamla läroplanen och vad är syftet med den nya? Tar man inte aktivt del av förändringen, är nämligen risken stor att tidigare brister och misslyckanden permanentas i ytterligare tio år, varnar Wiggo Kilborn, Mölndal, i denna artikel. Men är läroplanen så viktig då? Jo, åtminstone borde den vara det. Läroplanen är vårt viktigaste instrument för att garantera demokrati och kvalitet i utbildningen. Efter hand som samhället och dess krav på skolan förändras måste också skolan följa med. Annars riskerar vi att utbilda eleverna för redan passerade krav och att samtidigt missa dagens och morgondagens. Är vi redan bäst i världen? Det stod ju faktiskt så i en tidning för någon månad sedan. En av våra ministrar lär samtidigt ha uttalat att De som säger att svenska elever har dåliga kunskaper vet inte vad de snackar om! Tar man närmare reda på vad utvärderingen i fråga handlar om, finner man att den grundar sig på ett begränsat material och mäter medeltal, inte kvalitet. Att Sverige kom tvåa efter Japan kunde lika väl ha refererats som att vi i matematik tillhörde en grupp som kom långt efter Japan och med inbördes relativt lika resultat. Vad man däremot inte nämnde var att vi, för att nå detta resultat, satsar betydligt större resurser än de andra länderna i gruppen, Australien, England och Kanada. Men sådana faktorer refereras sällan! Är det inte dags att sluta med den här meningslösa, relativa betygsättningen av svensk skola? I stället borde vi fundera över om svenska barn kan det de bör kunna, med tanke på dagens och morgondagens samhälle. Om så inte är fallet måste vi skärpa oss, oavsett om vi i medeltal är bättre eller sämre än Australien. Vi bor inte där och vi utbildar inte våra barn för det samhället! I dag är det inte många som ifrågasätter resultaten från PUMP-projektets räknefärdighetsundersökningar. När nu läroplanen tagit hänsyn till resultaten, kan man fråga sig hur vi skall komma tillrätta med de problem som där belystes. För det finns väl ingen som även under de närmaste 10 åren önskar att var tredje elev i årskurs 5 skall vara så osäker på multiplikationstabellen, att 40 % av alla multiplikationer av tvåsiffriga tal blir fel, bara av det skälet? att 40 % av alla elever i åk 5 skall vara osäkra på subtraktion med växling, och att resultatet inte är bättre i årskurs 6? Vi kan bearbeta det här problemet ur två olika synvinklar: dels hur problemet kan lösas på kortare sikt utgående från kraven i Lgr 80, dels hur problemet kan lösas på längre sikt. Jag kommer att ta upp båda aspekterna. Varför blev det så här? En viktig orsak till de nedslående resultat vi fick på PUMP-projektets räknefärdighetsundersökningar finns att söka i undervisningens tidsramar. Även om matematikundervisningen under 1970- talet inte höll en lika hög hastighet som under 50- talet, är det ändå helt klart att vi under senare år haft på tok för bråttom. Lärarkåren har uppenbart känt sig pressad att driva undervisningen framåt över huvudet på en alltför stor grupp elever. Det värsta är att de elever som en gång blivit överkörda sällan ges en ny chans! Exemplet från subtraktionsalgoritmen ovan belyser detta. Men skulle inte räknefärdigheterna bli ännu sämre om vi gick långsammare fram med aritmetiken? Nej, jag är helt övertygad om motsatsen. Den prestationsmässigt "undre halvan" av våra elever gör så många onödiga fel att t o m medelvärdet skulle kunna höjas kraftigt. Men varför är eleverna då inte lika bra som förr? Det beror på vad man menar. Jag är övertygad om att svenska barn skulle kunna räkna betydligt bättre än de gör. Samtidigt måste vi vara medvetna om att dagens elever inte arbetar med matematik tillnärmelsevis så mycket som förr! Under 50-talet hade vi inte en massa tidssvinn från lektionerna i form av fluorsköljning och annat. Då stal man inte heller tid från de grundläggande ämnena svenska och matematik. Skulle man räkna efter hur många minuter matematikundervisning ett barn får under en vecka nu, jämfört med på 50-talet, skulle svaret sannolikt bli hälften! Man skulle alltså utifrån det perspektivet kunna hävda, att svenska elever är mycket duktiga i dag. Men detta hjälper knappast vare sig eleven eller avnämaren!
Vad kan vi göra på kortare sikt? För att få rätsida på detta måste vi vara överens om metoden. Ställer inte alla lärare upp i den långa utbildningskedjan över tre stadier, får eleverna leva vidare med problemen. Med tanke på hur få lärare som i dag känner till innehållet i den nya läroplanen eller ens har öppnat kommentarmaterialet i matematik, är prognosen mycket dålig. Någon systematisk fortbildning kring läroplanen och dess viktiga satsning på baskunskaper sker inte heller. Man tog ju för övrigt död på den hittillsvarande organisationen för fortbildning samtidigt som läroplanen sjösattes. Hur ser då en lösning ut? Enklast kan den sammanfattas i raderna: "En elev får inte börja med ett nytt moment utan tillräcklig grund från tidigare moment" (Lgr 80 s 99). Mera konkret kan man beskriva problemet så här: När svenska elever kommer till årskurs 4 brukar närmare hälften av eleverna ha problem med både subtraktion och multiplikation. Med tanke på att skolans tidsramar är låsta och att inlärning alltid kommer att ta sin tid, är på kort sikt den enda lösningen att vi går långsammare fram. Läroplanen föreslår t ex att multiplikationsalgoritmen ska flyttas till mellanstadiet för de elever som inte behärskar addition och subtraktion. Om denna rekommendation följdes, skulle det innebära ett avsevärt steg framåt för alla stadier. Lågstadieläraren skulle ges en reell chans att lära alla elever behärska åtminstone två räknesätt. Men detta förutsätter att mellanstadieläraren följer upp arbetet med de två återstående räknesätten. I så fall måste emellertid högstadieläraren acceptera spelreglerna och sluta ställa orimliga krav på eleverna i sjuan. För allt detta finns en realistisk plan i Lgr 80. Tyvärr tyder mycket på att den här idén, som är av yttersta vikt för hela grundskolan, håller på att brytas ned på grund av att så få lärare läser läroplanen och inte ser poängerna i den. Jag rekommenderar varmt en genomläsning och vänder mig då speciellt till högstadieläraren. Den sista länken i utbildningskedjan utgör onekligen den största risken. Vilken metodik bör vi använda? Är det nu dags att spola den gamla aritmetiken och helhjärtat satsa på miniräknaren? Hur ska vi prioritera huvudräkning i stället för handräkning? Svaret är helt klart enligt läroplanen. Vi skall i dag arbeta med algoritmer som tidigare, men bättre. Enda undantaget är de förskjutningar som skett i stoffet. Högstadieläraren kan i så fall utgå från att eleverna har grundlagt så goda tankeformer i aritmetik, att de med framgång kan använda en miniräknare, ett av mänsklighetens största framsteg inom aritmetiken. Ingen kan i dag, med gott samvete, rekommendera något annat förhållningssätt. Ingen har nämligen (ens teoretiskt) kunnat visa, hur man bygger upp ett aritmetiskt kunnande enbart med miniräknarens hjälp! Här står vi alltså i dag efter snart tio års försöksverksamhet med miniräknare! Inom försöksverksamheten har man inte ens tangerat de intellektuella grundvalarna för ett miniräknarbaserat alternativ! Det kanske mest förvånande i den svenska miniräknardebatten är att man arbetar i ett internationellt vakuum. Låt mig därför spekulera lite över aritmetikens framtid och därvid basera mina funderingar på de omfattande studier som gjorts utomlands, speciellt i USA. Men är det inte bara att räkna på då? Ja, det hävdar en del metodiker, men systematiska utvärderingar säger något helt annat. Låt mig ge ett typiskt exempel från den senaste stora utvärderingen i USA (NEAP 1982): En buss rymmer 36 soldater. Hur många bussar behövs det för att transportera 1 128 soldater... Uppgiften gavs till elever i 13- och 17-årsåldern. 17-åringarna löste uppgiften med hjälp av miniräknare. 13-åringarna delades in i två grupper de som använde miniräknare och de som räknade för hand. Resultatet blev typiskt och trenden är densamma som i ett stort antal liknande utvärderingar: Svar Utan miniräknare Med miniräknare 13 år 13 år 17 år 32 24 % 7 % 18 % 31,333 29 % 16 % 24 % 31 18 % 25 % 38 % Fel oper. 7 % 20 % 4 % Att rätt svar är 32 kan man sannerligen inte sluta sig till av lösningsfrekvenserna! Nu är det emellertid viktigt att man tolkar resultatet med omdö-
me och inte bara accepterar eller förkastar beroende på ens aktuella uppfattning i frågan. Min tolkning är: Användandet av miniräknaren har uppenbart inte, vilket man ofta förmodar, lett till att eleverna koncentrerar sin uppmärksamhet på själva problemet. Det finns tydligen en eller flera metodiska variabler i kopplingen mellan tankeformer och miniräknare, som vi i dag inte har kontroll över. En av dessa variabler är sannolikt den lotsning förbi förståelsen, som är en följd av att det med miniräknarens hjälp går så snabbt att gissa räknesätt och därefter kontrollera gissningen med hjälp av facit. Vad jag efterlyser är sådana analyser av elevernas tankeformer, att vi med säkerhet kan avgöra, vilka metoder som är lämpliga för olika elevgrupper. Utan en sådan kunskap kommer vi under överskådlig framtid att få det nyss refererade resultatet. Och detta är inte bra. Vi vill ju inte precis förstöra elevernas möjligheter att i framtiden utnyttja ett överlägset hjälpmedel. Aritmetiken i ett längre perspektiv Hur kan man då tänka sig aritmetikens framtid? Självklart kommer den att baseras på miniräknaren (eller ett motsvarande räknehjälpmedel). Lika självklart torde det vara att vi alltid måste ha ett reservförfarande till miniräknaren. Det vore katastrofalt att låsa elevernas tankar till ett elektroniskt hjälpmedel på ett sådant sätt, att de blir helt handlingsförlamade utan det. Algoritmerna utgör därvid ett bra alternativ, samtidigt som de på ett utmärkt sätt hjälper hjärnan att administrera de tal vi arbetar med (t ex vad gäller positioner och räknelagar). Denna egenskap saknar t ex dagens huvudräkningsstrategier. Det är därför mycket allvarligt att vissa personer torgför budskapet att vi i framtiden kan glömma algoritmerna och satsa på miniräknare och huvudräkning. Det finns i dag inga som helst fakta som stöder den hypotesen. Vad har vi då för alternativ? En lösning som snarast borde analyseras och utvärderas är huruvida man kan ta fram ett enkelt reservförfarande, helst kopplat till enhetliga tankeformer (alltså likartade tankeformer för algoritm- och huvudräkning). De algoritmer man då bör söka efter behöver inte längre vara de snabbaste och mest effektiva. Det räcker om de är lätta att förstå och samtidigt leder fram till en algebraiskt sett korrekt uppföljning. Med sådana algoritmer i botten skulle vi dels kunna bygga upp en god bakgrund för miniräknaren, dels spara en hel del undervisningstid, speciellt för de lägst presterande eleverna. Låt mig ge ett par exempel på hur sådana algoritmer skulle kunna se ut: Exempel: 369-187 Vi ställer upp som för addition. I entalskolumnen får vi utsagan 7 + = 9, vilket ger 2. I tiotalskolumnen får vi på motsvarande sätt 8 + = 6. Det går inte, varför vi måste ta 8 + =16. Detta ger minnessiffra och svaret 8. Osv. Observera att resultatet ser ut som en vanlig enkel addition. Fördelen med den här algoritmen är att man inte behöver definiera subtraktion som ett eget räknesätt. Det räcker att kunna addera. Det stora problemet med subtraktionstabellen reduceras samtidigt till en öppen additionsutsaga. Ett annat alternativ till den här metoden skulle kunna vara en algoritm som bygger på vänsterräkning, alltså en tankeform som rimmar bättre med en god huvudräkningsstrategi: Om vi den här gången använder en subtraktionsrutin, så blir arbetsgången den här. Vi börjar med hundratalskolumnen och tar där 3-1 = 2. Vi fortsätter med tiotalen, 6-8 =... går inte. Vi lånar då från 2:an i hundratalkolumnen (det naturligaste lånet!). 16-8 = 8. Osv. När man till slut skriver svaret tar man hänsyn till den strukna 2:an. På motsvarande sätt kan man analysera behovet av enkla algoritmer inom övriga räknesätt. Jag ger ytterligare ett exempel: Det här är en s k lång algoritm, där man räknar från vänster till höger såsom vid huvudräkning. Additionen kan i de flesta fall göras direkt i huvudet! Att algoritmen skulle bli komplicerad vid multiplikationer som 35 287 är med nuvarande utgångspunkter ointressant. Dels är ju detta bara ett reservförfarande till miniräknaren. Dels kan man ju använda den distributiva lagen (!) och räkna ut 20 287 för sig och 5 287 för sig. Inte lär man förlora i förståelse på den räkneoperationen! Lägg för all del märke till att jag inte har föreslagit en övergång till någon av dessa algoritmer. Jag har endast gett exempel på hur man skulle kunna leta efter bättre anpassade varianter. Där-
emot vill jag allvarligt rekommendera att ett arbete av det här slaget utförs snarast. I annat fall kan vi bli rejält akterseglade i en internationell konkurrens. Det tar ju ett par år att analysera och ytterligare ett par år att utvärdera och sedan är det 1990! Om och när detta arbete kommer i gång vore det för övrigt roligt att till omväxling se ett professionellt arbete, inte ett amatörarbete styrt av individuella hugskott som vid tidigare algoritmbyten. Nya krav nya tankeformer Ibland blir man förvånad över vad eleverna kan eller inte kan. Moment som man vet att eleverna behärskade för en kort tid sedan är ibland som bortblåsta. En uppgift som: Ett spinnspö kostar 625 kr. Du får 25 % rabatt. Hur stor är rabatten? hade t. ex en förbluffande låg lösningsfrekvens i USA år 1982 (44 % i 17-årsåldern). Hade resultatet blivit bättre här? Kanske något, men intressantare är att de amerikanska eleverna sannolikt löste motsvarande uppgifter i läroboken, och då med stor säkerhet, några veckor tidigare. Varför? Svaret är så här enkelt. När eleverna får sida efter sida med likartade uppgifter, så lär de sig snarare en rituell handling än en strategi för att lösa problem. Detta gäller speciellt om problemen föregås av en mängd uppgifter av typen: 7 % av 530 kr = 9 % av 360 kr = 6 % av 495 kr = Antag nu att vi i framtiden lär eleverna att göra dessa beräkningar med hjälp av en miniräknare. Då kommer eleverna att lösa dem med ännu mindre tankeverksamhet. Det kommer i så fall att krävas ännu bättre tankeformer för att tolka och transformera problemen. Problemet blir inte mindre komplicerat med tanke på kravet att även de lägst presterande eleverna skall lära sig lösa vardagsproblem. Hur brukar vi i Sverige arbeta med procentbegreppet och hur borde vi göra? För det mesta försöker vi lära ut den mest effektiva beräkningsmodellen. Därvid är vi helt okänsliga för de orimliga tankeformer detta leder till. De flesta lärare vill tydligen att eleverna skall uppfatta 7 % av 380 kr så här: Procent betyder hundradel alltså är 7 % = 0,07. Av detta följer att 7 % av 380 kr = 0,07 380 = 26,60 kr. Men detta är inte en logiskt förankrad tankeform för procenträkning! Det är snarare en del av en matematisk transformation. Genom att vi inte längre arbetar med bråk som förr, har vi uppenbarligen glömt hur det här faktiskt hänger ihop. I matematikens barndom arbetade man enbart med stambråk: 1/2, 1/3, 1/4 osv. 1/5 av 520 kr betydde då inte multiplikationen (1/5) 520 utan 520/5 alltså femtedelen av 520. Skulle man ha 2/5 av 520 tog man logiskt riktigt två sådana femtedelar, alltså 2 104. Detta betraktelsesätt ledde till helt andra och enklare tankeformer än de ovan beskrivna. Man kan t o m lätt övertyga sig om dess riktighet genom enkla laborationer. Vad jag kan förstå är detta än i dag den enda logiskt acceptabla förklaringen för ett barn i grundskolan. På motsvarande sätt är den logiskt riktiga tankeformen för 7 % av 380 kr följande: 1 % av 380 kr är en hundradel av 380 kr. Att ta 7 % av 380 kr innebär att man tar 7 sådana hundradelar alltså 7 3,80 kr. Det är logiskt oförsvarbart och tankemässigt oförståeligt att i stället ta hundradelen av procentsatsen! Men varför har vi då så länge gjort så? Sannolikt av rädsla för att eleverna skall behöva lära om. Lära en ny formel. Och nu blir det hela ännu mer ologiskt. Man blandar då samman tankeformen, den grundläggande idén, med beräkningsmetoden. Det intressanta är emellertid att eleverna redan från lågstadiet är inställda på en bättre modell. De lär där (får jag verkligen hoppas) att en subtraktion kan utföras på flera olika sätt: 21-2 = 19 utförs enklast som nedräkning i huvudet 531-169 = 362 säkrast med hjälp av algoritm 401-398 = 3 som en uppräkning eller som additionen 1 + 2 i huvudet. Att den skicklige räknaren beräknar 7 % av 380 kr eller 2/5 av 520 kr med den effektivare beräkningsmodellen är alltså inte exempel på en (god) tankeform utan på en god matematisk strävan, nämligen att finna allt effektivare beräkningsinstrument. Men poängerna med dessa ligger till en början över barnets horisont. Vad jag menar är att man bör börja med den logiskt riktiga tankeformen. Efter hand som eleverna lär sig mera matematik, blir det klart att 2 (520/5) = 2 520/5 = (2/5) 520 och att 7 (1 % av 380) = 7 (380/100) =... = (7/100) av 380... och då blir det också naturligt att utnyttja dessa genvägar. De elever som aldrig kommer så här långt under sin grundskoletid mår emellertid bäst av att ha en konkret förankrad tankeform. De elever som lärt sig behärska räknereglerna kan å
andra sidan med dess hjälp gå vidare och därvid kombinera samma sunda tankeform med en effektivare kalkyl (som på sikt kan utvidgas till beräkningsmodeller för t ex ränta på ränta och marginalskatt). Problemlösning ett nytt huvudmoment I Lgr 80 är den verkligt stora nyheten problemlösning. Inte den traditionella typen, utan lösning av vardagsproblem. Hur behärskar vi i dag metodiken för problemlösning? Mycket dåligt vill jag påstå. De gamla problemen med badkar, diken och A och B som cyklar runt en sjö och möts på andra sidan, kastades bort då den nya matematiken kom. Men en tidigare generation lärare var kanske inte så dum och varför skulle den ha varit det? Uppgifterna ifråga gav ypperliga möjligheter att träna olika lösningsalternativ och att pröva nya tankeformer vid problemlösning. Men dessa unika möjligheter skrattade vi bort i stället för att ta tillvara dem och omplantera dem i en ny och modernare miljö. Som ersättning köpte vi en tyst, läromedelsstyrd matematik som snarast förhindrade de samtal och tankeutbyten som är så viktiga då man lär sig lösa problem. De problem vi bör arbeta med enligt Lgr 80 är av en helt annan typ än de vi varit vana vid de senaste åren. Det är inte de matematiskt raffinerade problemen som står i fokus utan de vanliga jordnära problemen som möter oss var dag. Viss problemlösningsförmåga behöver vi som verktyg i vardagens matematik, en annan för att tolka matematiska problem knutna till andra ämnen. kräver lösningen beräkningar i ett enda steg (enstegsproblem) eller i flera steg (två- eller flerstegsproblem)? är de ingående beräkningarna enkla eller mer komplicerade? är språket enkelt eller komplicerat? (Hur många olika budskap finns det t ex i varje mening?) Det räcker om en av dessa variabler väljs felaktigt för att en elev skall misslyckas med lösningen av problemet. Vi måste alltså vara ytterst känsliga då vi arbetar med problemlösning i grundskolan. Lägg emellertid märke till att det går att hålla den här typen av variabler under kontroll på samma sätt som med PUMP-matriserna för de fyra räknesätten. Låt mig ge ett exempel på hur man genom att kontrollera variablerna ovan kan individualisera stoffet och därmed bygga upp en undervisningsmodell för problemlösning: Exempel portotabellen Vikt Högst g 20 50 100 250 500 1 000 2 000 Flygpost Europa Avgift, kr 2,70 4,70 6,20 11,50 22,00 39,00 61,00 Övriga världsdelar Avgift, kr 3,20 6,00 8,50 14,50 29,00 54,00 91,00 Men att lära elever lösa vardagsproblem är inte enkelt och helt problemfritt. Även vardagsproblem kan innehålla metodiskt svåra variabler såsom är problemet redan bekant eller helt obekant? Den första viktiga förutsättningen vid lösning av vardagsproblem är att problemmiljön är bekant. Hur skall man annars kunna analysera problemet och lösningens relevans? Genom en sund ämnesintegration torde man i det här fallet kunna få eleverna tillräckligt bekanta med baskunskapen "Hur fungerar posten?". Samtidigt har man löst de språkliga problem som har med termer och uttryck att göra. De tre övriga variablerna samverkar på ett annorlunda sätt. Var och en av dem kan varieras från enkel till mycket svår. Låt mig demonstrera detta genom att formulera tre uppgifter som representerar olika djup i alla variablerna: Du har två brev med dig till posten. Breven väger 100 g och 250 g. De skall sändas inom Europa. Hur mycket får du betala i porto? Detta är ett enstegsproblem, aritmetiken är enkel (ingen minnessiffra) och språket strukturerat i korta meningar med ett enkelt budskap i
varje. Om vi nu stegrar svårighetsgraden i alla tre variablerna samtidigt, blir uppgiften av typen: Du har två brev som skall skickas till Jugoslavien. Hur mycket får du betala i porto om breven väger 40 g och 230 g? Varje mening innehåller här flera budskap och additionen ger minnessiffra. Tankemässigt är uppgiften av tvåstegstyp, man måste göra en avrundning innan avläsningen kan ske i tabellen. Lägg märke till att det räcker om en elev missar på en av de tre variablerna, för att lösningen skall bli fel. Vid konstruktion av problem gäller det därför att kunna styra de tre variablerna utgående från elevernas aktuella förkunskaper. De elever som behärskar variablerna på nivå två kan gå vidare till nästa nivå. Där kan man tillåta trestegsproblem och det öppna problemet, och beräkningarna kan bli såväl krångliga som omfattande. Även den språkliga formuleringen kan tillåtas vara öppen: Du skall skicka fem brev till samma adressat i Holland. Hur mycket kostar det om varje brev väger 210 g? Till det här problemet finns det många lösningar, varav en är smartare än de övriga. Lösningen förutsätter att man lägger flera brev i samma kuvert. Jag överlämnar åt läsaren att närmare analysera de här problemen. Innan jag avslutar artikeln vill jag emellertid ta upp frågan: "Är det här matematik?" Mitt svar är självklart ja. "Men får de duktigaste eleverna ut något av det här och vad händer med begåvningarna?" På detta vill jag svara att begåvade elever sannolikt mår mycket bra av att till en början lösa konkreta problem. Men vad som är ännu intressantare är att man med lätthet kan bygga vidare på vardagsproblemens teman: I tabellen ovan presenteras t ex två konkreta funktioner. Rita grafen till dem! Utnyttja därefter grafen till att fundera över några intressanta matematiska problem såsom: "Vad borde ett brev på 1 500 g eller 2 500 g rimligtvis ha kostat om dessa vikter funnits med i tabellen?" eller "Antag att man höjer portot på 20 g-brev inom Europa till 3,00 kr. Hur borde då resten av tabellen göras om?" Osv, osv. Tabell till uppslaget s 34-35 SANNOLIKHETER Önskat tal Antal kastade tärningar