Tabell 5.1: Uppdelning av avsättning för oreglerade skador.

96 5 RESERVSÄTTNING MED GLM 5 Reservsättning med GLM Den premieintäkt ett försäkringsbolag får för försäkringar som gäller under ett visst bokslutsår (eller annan bokslutsperiod) ska täcka kostnader för skador som inträffar under året. Normalt är dock den slutliga kostnaden för dessa skador inte känd vid periodens slut, dels därför att alla skador inte hunnit rapporteras av försäkringstagarna, dels därför att den slutliga kostnaden för rapporterade skador tar tid att fastställa. För ansvarsförsäkring kan det gå decennier innan alla skador kan slutregleras, för andra försäkringstyper kan det röra sig om några år. Bolaget måste därför sätta av medel för att täcka de framtida kostnaderna för den aktuella perioden. Man kan göra tankeexperiementet att bolaget slutade nyteckna försäkring: det ska då ändå finnas tillräckligt med avsatta medel för att ge försäkringstagarna de ersättningar de har rätt till. I bokslutet kallas dessa medel avsättning för oreglerade skador i dagligt tal kallas de ofta ersättningsreserven. Denna bokslutspost kan delas upp enligt tabell 5.1. Svenska Engelska Akronym Inträffade men ej rapporterade skador Incurred But Not Reported IBNR + Rapporterade men ej slutreglerade skador Incurred But Not Enough Reported IBNER = Inträffade men ej slutreglerade skador Incurred But Not Settled IBNS Tabell 5.1: Uppdelning av avsättning för oreglerade skador. Not. Till ersättningsreserven hör även avsättning för skaderegleringskostnader, men den hanteras normalt inte med statistiska metoder och därför bortser vi från denna post här. Av samma skäl behandlar vi heller inte det som i dagligt tal kallas premiereserven, egentligen avsättning för ej intjänade premier och kvardröjande risker. Tyvärr florerar ett stort antal olika akronymer för samma saker: IBNYR för IBNR, där Y står för Yet, IBNFR för IBNER, där F står för Fully, etc. En i vårt tycke bättre engelsk benämning på den andra posten är RBNS (Reported But Not Settled), men denna tycks vara mindre ofta förekommande än IBNER. Slutligen låter man ibland IBNR beteckna vårt IBNS förvirringen är alltså total. Det vi ska behandla här är hur man kan använda statistiska metoder med anknytning till GLM för att uppskatta IBNR, IBNER och IBNS.

5.1 Data 97 5.1 Data I litteraturen om reservsättning brukar man utgå från data i form av en triangel, där raderna representerar skadeår och kolumnerna utvecklingsår. Låt d ij beteckna värdet exempelvis det belopp bolaget betalar ut för skador inträffade år i under utvecklingsår j och låt D ij vara motsvarande stokastiska variabel. Vi antar att alla skador är slutreglerade efter m år. Vi får då utvecklingstriangeln i 5.2. Diagonalen där i+j = m+1 är det senaste årets utbetalda belopp Skadeår 1 2 3 m 1 m 1 d 11 d 12 d 13 d 1,m 1 d 1,m 2 d 21 d 22 d 23 d 2,m 1 3 d 31 d 32 d 33... m 1 d m 1,1 d m 1,2 m d m,1. Tabell 5.2: Utvecklingstriangel H historiska data. och allteftersom åren går rör vi oss mot sydost med en ny diagonal varje år. Skadeår 1 är ju i detta fall slutreglerat, men för övriga årgångar måste bolaget göra avsättningar för oreglerade skador. Det statistiska problemet är alltså att med hjälp av data i den historiska triangeln H i tabell 5.2 prediktera de framtida okända betalningarna, vilka ges av framtidstriangeln F i tabell 5.3. Skadeår 1 2 3 m 1 m 1 2 D 2,m 3 D 3,m 1 D 3,m... m 1 D m 1,3 D m 1,m 1 D m 1,m m D m,2 D m,3 D m,m 1 D m,m Tabell 5.3: Utvecklingstriangel F framtida, okända värden. Summan av värdena i F är det belopp som ska tas upp i bokslutet och det är prediktionen av detta värde som är vårt slutliga mål.

98 5 RESERVSÄTTNING MED GLM Ofta brukar man istället arbeta med radvis kumulerade värden c ij = j k=1 d ik. Variablerna d ij = c ij c i,j 1 benämns då inkrement. Vi ställer upp de båda trianglarna för kumulerade värden tillsammans i tabell 5.4. Skadeår 1 2 3 m 1 m 1 c 11 c 12 c 13 c 1,m 1 c 1,m 2 c 21 c 22 c 23 c 2,m 1 C 2,m 3 c 31 c 32 c 33 C 3,m 1 C 3,m... m 2 c m 2,1 c m 2,2 c m 2,3 C m 2,m 1 C m 2,m m 1 c m 1,1 c m 1,2 C m 1,3 C m 1,m 1 C m 1,m m c m,1 C m,2 C m,3 C m,m 1 C m,m Tabell 5.4: Utveckling av skador - kumulerade värden för H och F. Här blir vårt mål att prediktera C 2,m, C 3,m,..., C m 1,m, C m,m, vilkas summa är det belopp som ska in i bokslutet. Vi har hittills talat medvetet vagt om belopp som bolaget betalar ut. I praktiken kan metoder för prediktion i trianglar användas för olika sorters data. Några vanliga fall är: Antal rapporterade skador. Medelskadan får sedan modelleras separat. Betalt belopp. Egentligen snarare utgifter, det vill säga bokade betalningar själva utbetalningen behöver inte nödvändigtvis ha ägt rum. Känd skadekostnad (eng: incurred claims ). Betalt plus individuellt satta reserver det senare är vanligen av skadereglerarna erfarenhetsmässigt bedömda värden. I det sistnämnda fallet får vi alltid räkna med att negativa inkrement kan uppstå, de bedömda värdena kan ju både vara för höga och för låga. I de båda andra fallen kan man ofta anta att D ij 0, men det kan ibland förekomma negativa belopp i betalningstrianglar, exempelvis på grund av återkrävda utbetalningar. Exempel 5.1 (Försäkring om avgångsbidrag, AGB.) 4 Försäkringen AGB betalar ut ersättning vid förlust av anställning: ett engångsbeloppbelopp direkt vid friställningen, samt 4 Vi tackar Michael Furuheim, AFA, som vänligen ställt data från AGB till vårt förfogande. Mer info om AGB finns på http://www.afa.se/.

5.1 Data 99 om försäkringstagaren är äldre än 40 år 3 000 kronor var tredje månad så länge arbetslösheten varar, dock maximalt 27 000 kronor om försäkringstagaren är 40-59 år och maximalt 39 000 om försäkringstagaren är över 60 år. I tabell 5.5 ges antal försäkringar där utbetalningar har gjorts (inkrement) och i tabell 5.6 motsvarande kumulerade värden (av utrymmesskäl har vi utelämnat år 11 i den sistnämnda tabellen). Skadeår 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1992 14 100 8 915 785 211 86 51 5 3 1 1 0 1993 18 234 6 437 525 126 103 60 12 4 0 0 1994 8 501 2 982 324 112 66 25 6 1 0 1995 3 987 1 952 257 93 54 15 4 2 1996 4 994 2 883 214 94 30 14 5 1997 6 054 2 251 233 56 32 10 1998 5 475 2 292 166 48 21 1999 8 037 2 211 143 45 2000 5 605 1 274 103 2001 4 364 1 723 2002 6 366 Tabell 5.5: AGB: Antal ärenden där ersättning utbetalats inkrement. Skadeår 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1992 14 100 23 015 23 800 24 011 24 097 24 148 24 153 24 156 24 157 24 158 1993 18 234 24 671 25 196 25 322 25 425 25 485 25 497 25 501 25 501 25 501 1994 8 501 11 483 11 807 11 919 11 985 12 010 12 016 12 017 12 017 1995 3 987 5 939 6 196 6 289 6 343 6 358 6 362 6 364 1996 4 994 7 877 8 091 8 185 8 215 8 229 8 234 1997 6 054 8 305 8 538 8 594 8 626 8 636 1998 5 475 7 767 7 933 7 981 8 002 1999 8 037 10 248 10 391 10 436 2000 5 605 6 879 6 982 2001 4 364 6 087 2002 6 366 Tabell 5.6: AGB: Antal ärenden där ersättning utbetalats kumulerat. Vi ser att skadeutvecklingen avstannar efter ungefär tio år. Hur långt man går tillbaka i tiden kan beror på hur länge man vågar tro på att skadorna haft samma utvecklingsmönster, eller helt enkelt tillgången på data för AGB anser man att inget dramatiskt skett sedan 1992. Den standardiserade triangeluppställning som alltid används i litteraturen är alltså inte helig; den

100 5 RESERVSÄTTNING MED GLM kan snarare ses som ett pedagogiskt hjälpmedel än som en regel för hur data måste se ut. I avsnitt 5.2 ska vi prediktera framtidstriangeln F för dessa data. Not. I praktiken kan man inte alltid vänta sig att det finns ett absolut m, utan detta får ses som en operativ slutpunkt, ofta bestämd av tillgången på data. Det slutliga beloppet kallas i försäkringsjargong ofta för ultimo. Man kan alltså tvingas att göra en mer eller mindre välgrundad gissning av utvecklingen från m till ultimo. Detta problem behandlas inte vidare här. 5.2 Chain Ladder-metoden för antal och dess GLM-tolkning Historiskt har aktuarier arbetat med olika metoder för prediktion av framtidstriangeln F, vilka från början bygger mer på sunt förnuft än statistiska modeller. Den kanske mest använda metoden kallas chain ladder. Metoden kan användas allmänt, men i detta avsnitt arbetar vi bara med antalstrianglar. Här arbetar man med kumulerade värden och söker skattningar av så kallade utvecklingsfaktorer f j som talar om hur mycket vi ska skriva fram väntevärdet av c ij till nästa utvecklingsår j +1, vilket kan uttryckas som E(C i,j+1 ) = E(C i,j ) f j. Man antar här som synes att f j inte beror på i, vilket inte nödvändigtvis är realistiskt i alla tillämpningar. På varje rad i där vi har data för både år j och j + 1 ger nu ˆf (i) j = c i,j+1 /c ij en naturlig skattning av f j. Dessa skattningar kan vägas ihop på många olika sätt. I chain ladder-metoden väljer man vikter c ij och får följande skattning m j ˆf j = i=1 m j (i) i=1 c ij ˆf j = c i,j+1 m j i=1 c i,j (5.1) Nu är ju alla värden på rad i upp till c i,m i+1 kända. Med hjälp av ˆf m i+1 kan vi nu prediktera nästa värde på raden enligt ĉ i,m i+2 = c i,m i+1 ˆfm i+1 Vi kan nu stega oss fram kolumn för kolumn och får därigenom prediktorer som kan skrivas ĉ i,j = c i,m i+1 ˆfm i+1 ˆfm i+2 ˆf j 1 för j > m i + 1 (5.2) och den totala skadekostnaden för skadeår i predikteras till ĉ i,m = c i,m i+1 ˆfm i+1 ˆfm i+2 ˆf m 1 (5.3)

5.2 Chain Ladder-metoden för antal och dess GLM-tolkning 101 Prediktorn av antalet okända skador för skadeårgång i blir nu ĉ i,m c i,m i+1 = c i,m i+1 ( ˆf m i+1 ˆfm i+2 ˆf m 1 1) (5.4) På senare år har man försökt hitta statistiska modeller som ger samma prediktorer som chain ladder, och som därutöver ger möjlighet till skattning av precisionen i prediktorerna och helst även av fördelningen för prediktionsfelet. En ofta föreslagen modell är att anta att inkrementen följer en (eventuellt överspridd) Poissonfördelning, D ij P o(µ ij ) med log-länk, det vill säga en multiplikativ modell för väntevärdet µ ij = α i β j. Som vanligt i sådana modeller måste en parameter normeras bort. I stället för den vanliga normeringen med en bascell väljer vi här att låta β 1 +...+β m = 1 och låta α i variera fritt, vilket kommer att ge naturliga tolkningar av parametrarna. (Om vi använder ett färdigt program som Proc Genmod för våra skattningar så kan vi enkelt räkna om de erhållna skattningarna till denna form.) Med vår valda parameterisering får vi tolkningen i AGB-fallet att β j talar om hur stort andel av det totala antalet skador som rapporteras under utvecklingsår j. Parametern α i blir helt enkelt totalantalet skador för årgång i, det vill säga det tal vi i första hand är intresserade av. Det fundamentala antagandet i denna modell är att den andel skador som rapporteras under ett visst utvecklingsår inte beror på skadeåret. Detta kräver alltså att skadeutvecklingen är densamma över tiden (även om volymen α i är olika för de olika skadeåren). Om något dramatiskt skett med försäkringen eller med skaderegleringsrutinerna är detta antagande knappast uppfyllt, men annars kan det te sig realistiskt. Poissonantagandet känns ju ofta rimligt för antal, särskilt om vi tillåter överspridning. Observera att vi inte har några vikter w ij i denna enkla modell skillnader i affärens volym år från år får reflekteras av α i. Sambandet mellan GLM-modellens parametrar och utvecklingsfaktorerna i chain ladder ges av f j = E(C i,j+1) E(C i,j ) = β 1 + + β j+1 β 1 + + β j här har i-beroendet försvunnit genom att α i kan förkortas bort. Således medför vår multiplikativa modell att chain ladder-antagandet om att f j är oberoende av i är uppfyllt.

102 5 RESERVSÄTTNING MED GLM ML-ekvationerna får det vanliga utseendet (dock med w ij = 1) utseendet, se (1.5), m i+1 j=1 m j+1 i=1 α i β j = α i β j = m i+1 j=1 m j+1 i=1 d ij i = 1,..., m (5.5) d ij j = 1,..., m (5.6) där ju m i + 1 är det senast observerade utvecklingsåret på rad i och m j + 1 det sista skadeåret med data i kolumn j. Här behöver vi inte iterera utan kan få en explicit lösning. Från den första evationen, (5.5) med i = 1, får vi, genom att använda villkoret β 1 +... + β m = 1, ˆα 1 = m d 1j = c 1,m j=1 Nu ger den sista ekvationen, (5.6) med j = m, omedelbart den mycket naturliga skattningen ˆβ m = d 1,m ˆα 1 = d 1,m c 1,m Vi fortsätter nu med i = 2 insatt i (5.5) och får ˆα 2 = m 1 j=1 d 2j 1 β m = c 2,m 1 c 1,m c 1,m 1 vilket också är en naturlig skattning vi projicerar det kända värdet c 2,m 1 till utvecklingsår m med hjälp av utvecklingen mellan m 1 och m för det första året. Man kan nu fortsätta på detta sätt och få en skattning av β m 1, därefter en av α 3, sedan av β m 2, etc. Antag att vi hållit på i k 1 steg och därmed erhållit skattningar av α 1,..., α k 1 och β m,..., β m k+2. Ekvation nummer k i (5.5), respektive m k + 1 i (5.6), ger nu, tillsammans med villkoret β 1 +... + β m = 1, att α k (1 β m k+2 β m ) = c k,m k+1 k β m k+1 (α 1 + + α k ) = i=1 d i,m k+1 ur vilka vi i tur och ordning får ˆα k+1 och ˆβ m k+1. Startvärdena är ˆα 1 och ˆβ m ovan. Vi kan nu rekursivt beräkna ML-skattningarna för alla parametrar i m steg, något som ju oftast inte är möjligt i GLM-sammanhang, där numerisk ekvationslösning är det normala.

5.2 Chain Ladder-metoden för antal och dess GLM-tolkning 103 Ur denna rekursiva algoritm kan man skriva upp explicita, men ganska komplicerade, formler för parameterskattningarna. Summan av framtidstriangelns skattade väntevärden blir vår prediktion, det vill säga ersättningsreserven. Vi ska nu se att GLM-analysen ger samma resultat som chain ladder. Lemma 5.1 Under en multiplikativ Poissonmodell kan skattningarna av inkrementens väntevärden µ ij = α i β j i framtidstriangeln F, det vill säga för i + j > m + 1, skrivas ˆµ ij = c i,m i+1 ˆfm i+1 ˆfm i+2 ( ˆf j 1 1) (5.7) vilket är precis samma skattningar som man får med chain ladder-metoden. Att chain ladder ger (5.7) är mycket lätt att visa, se övning 5.1 nedan. GLM-delen av beviset är dock algebraiskt besvärligt och vi hänvisar till Renshaw & Verrall (1998) eller Mack (1991). Not. Även om vi hittat en GLM som ger CL-skattningen kan vi inte säga att vi därmed har hittat den modell som gör det. Det finns helt andra sätt att bädda in chain ladder i en statistisk modell, se t ex Mack (1993). Man kan alltså använda chain ladder utan referens till någon statistisk modell. Fördelarna med att använda en modell är dels att modellen säger något om när skattningen kan användas, dels att den öppnar för möjligheten att beräkna varians, prediktionsintervall och att bestämma hela fördelningen för prediktorn. Det senare är dock tämligen komplicerat och vi hänvisar till England & Verall (2002) för en översiktlig beskrivning av hur det kan gå till. Not. Prediktorn i (5.3) kallas ofta för en skattning, men här är det ju fråga om att prediktera ett utfall av en stokastisk variabel och inte bara att skatta parametrarna. Skillnaden spelar roll när man undersöker prediktionsfelet. Övning 5.1 Visa att prediktorn i (5.7) följer från (5.2). Övning 5.2 Visa att (5.7) i fallet µ 2m stämmer med våra explicita skattningar ˆα 1 och ˆβ m ovan.

104 5 RESERVSÄTTNING MED GLM Exempel 5.2 (AGB forts.) Vi beräknar individuella utvecklingsfaktorer ˆf ij för AGB-exemplets kumulerade antal i tabell 5.6 och får tabell 5.7 nedan, där vi även lagt in chain ladderskattningarna av faktorerna ˆf j. Tack vare att vi beräknat de enskilda ˆf ij kan vi se om modellen Skadeår 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1992 1.632 1.034 1.009 1.004 1.002 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1993 1.353 1.021 1.005 1.004 1.002 1.000 1.000 1.000 1.000 1994 1.351 1.028 1.009 1.006 1.002 1.000 1.000 1.000 1995 1.490 1.043 1.015 1.009 1.002 1.001 1.000 1996 1.577 1.027 1.012 1.004 1.002 1.001 1997 1.372 1.028 1.007 1.004 1.001 1998 1.419 1.021 1.006 1.003 1999 1.275 1.014 1.004 2000 1.227 1.015 2001 1.395 2002 ˆf j 1.415 1.026 1.008 1.004 1.002 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Tabell 5.7: AGB: Antal skador utvecklingsfaktorer. verkar rimlig. I detta fall finns ingen tydlig trend i dessa faktorer kolonnvis så modellen verkar vara acceptabel samtidigt ser vi att ˆf j är en ganska osäker skattning. Med hjälp av ˆf j beräknar vi nu den predikterade framtidstriangeln och får tabell 5.8 nedan vars sista kolumn är det slutliga antal skador vi söker. Skadeår 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1992 14 100 23 015 23 800 24 011 24 097 24 148 24 153 24 156 24 157 1993 18 234 24 671 25 196 25 322 25 425 25 485 25 497 25 501 25 501 1994 8 501 11 483 11 807 11 919 11 985 12 010 12 016 12 017 12 017 1995 3 987 5 939 6 196 6 289 6 343 6 358 6 362 6 364 6 364 1996 4 994 7 877 8 091 8 185 8 215 8 229 8 234 8 235 8 235 1997 6 054 8 305 8 538 8 594 8 626 8 636 8 640 8 641 8 641 1998 5 475 7 767 7 933 7 981 8 002 8 019 8 022 8 023 8 023 1999 8 037 10 248 10 391 10 436 10 480 10 502 10 506 10 508 10 508 2000 5 605 6 879 6 982 7 036 7 066 7 080 7 083 7 084 7 084 2001 4 364 6 087 6 245 6 293 6 319 6 333 6 335 6 336 6 336 2002 6 366 9 007 9 240 9 311 9 351 9 370 9 374 9 376 9 376 Tabell 5.8: AGB: Antal skador predikterat kumulerat.

5.3 Chain Ladder för skadebelopp 105 5.3 Chain Ladder för skadebelopp Ovan har vi beskrivit chain ladder-metoden i termer av skattning av antal skador. I praktiken används den nog så ofta även för bestämning av total skadekostnad ur data över betalningar eller känd skadekostnad ( incurred claims ). Prediktion av framtidstriangeln med chain ladder, det vill säga med (5.2), känns fullt rimligt även i detta fall. Vi kan naturligtvis inte anta att data är Poissonfördelade däremot föreslår en del författare att vi ska ansätta en quasi-likelihood-modell, jämför avsnitt 3.4, med v(µ) = µ och okänt φ, det vill säga en så kallad överspridd Poissonmodell, se avsnitt 3.4.1. Man kan dock tillåta sig att tvivla på det rimliga i att ha variansen proportionell mot väntevärdet i detta fall. Slutsatsen av ett sådant tvivel blir då att vi kanske bör överväga att ansätta v(µ) = µ p för lämpligt p och därmed överge CL-skattningen. Ett sådant förslag får nog anses kontroversiellt och ingenting vi kan rekommendera utan vidare undersökning. Trots allt är ju CL-skattningen både rimlig och lättbegriplig det senare ett nog så viktigt argument när man ska presentera sina beräkningar för icke-matematiker. Övning 5.3 Prediktera slutligt skadebelopp för försäkring om avgångsbidrag (AGB, jämför tidigare exempel) med chain ladder-metoden. Här har vi utbetalda belopp enligt nedanstående tabell 5.9. 5.4 Andra metoder Det finns ett stort antal olika reservsättningsmetoder i litteraturen. Eftersom de flesta inte bygger på GLM faller de dock utanför detta kompendium och vi hänvisar till exempelvis Dahl (2003) eller den mycket omfattande Institute of Actuaries Claims Reserving Manual, 1997. Målsättningen med detta kapitel har endast varit att visa att GLM-modeller kan komma till använding även inom reservsättning.

106 5 RESERVSÄTTNING MED GLM Skadeår 1 2 3 4 5 6 7 1992 165 802 406 080 539 589 589 143 602 048 608 722 610 224 1993 214 371 428 569 542 038 585 536 601 549 608 171 609 559 1994 103 530 204 239 259 796 283 982 291 083 293 693 294 326 1995 48 545 105 331 137 990 150 963 154 968 156 664 157 154 1996 58 294 138 118 176 405 192 362 196 979 198 406 198 722 1997 73 859 147 096 182 377 196 337 200 191 201 541 1998 65 707 133 339 166 171 178 329 181 998 1999 92 901 173 832 210 340 223 147 2000 66 834 114 464 136 295 2001 45 838 86 396 2002 66 334 Skadeår 8 9 10 11 1992 610 516 610 638 610 716 610 716 1993 609 885 610 050 610 082 1994 294 427 294 460 1995 157 220 Tabell 5.9: AGB: Utbetald ersättning i tkr - kumulerat.