TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski

TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski För exakt 10 år sedan publicerade Andrew Wiles sitt bevis av Fermats Stora Sats. Nyheten om hans resultat väckte enorm uppmärksamhet i hela världen. Vägen till lösningen av ett av de mest berömda problemen i hela matematiken blev ämnet för hundratals artiklar i dagspressen, flera populärvetenskapliga böcker, filmer och teaterpjäser. Och naturligtvis för flera konferenser, vetenskapliga artiklar och böcker. Man kan fundera varför lösningen av ett matematiskt problem kunde väcka så stort intresse, vilket är mycket ovanligt. Det finns säkert flera förklaringar, men något som onekligen hade stor betydelse var möjligheten att förstå problemet utan några större kunskaper i matematik. Fermats Stora Sats kan uttryckas i termer av grundskolematematik. Påståendet formulerades kring år 1650 och blev känt bland en bredare allmänhet i början av 1900-talet. Dess enkla formulering bidrog till att flera människor försökte komma med en lösning. I det enklaste fallet säger påståendet att summan av två kuber av positiva heltal aldrig är en heltalig kub. Men Fermat påstod helt allmänt att summan av två fjärde potenser av positiva heltal aldrig är en fjärde potens av ett heltal, summan av två femte potenser av positiva heltal aldrig är en femte potens osv för alla högre potenser. Detta i skarp kontrast till kvadrater då summan av två kvadrater kan vara en kvadrat som t ex i den berömda likheten 3 2 + 4 2 = 5 2. Om man använder bokstäver säger Fermats Stora Sats att x n + y n z n om x, y, z är positiva heltal och n är större än 2. Man kan tänka sig Fermats Stora Sats som ett påstående om talen i följande tabell i vilken första raden är alla potenser av 1, andra raden alla potenser av två, tredje alla potenser av 3 och så vidare: 1 1 1 1 1... 2 2 2 2 3 2 4 2 5... 3 3 2 3 3 3 4 3 5... 4 4 2 4 3 4 4 4 5... 5 5 2 5 3 5 4 5 5... 6 6 2 6 3 6 4 6 5... 7 7 2 7 3 7 4 7 5......... Fermats sats säger att om man väljer tre olika tal ur tredje kolonnen så är aldrig summa av två av dessa tal lika med ett tredje. Samma gäller fjärde, femte, sjätte kolonnen och överhuvudtaget alla kolonner förutom den andra (och naturligtvis den första, vilket är ganska ointressant). I andra kolonnen finns det tre tal sådana att summan av två är lika med ett tredje. Vi såg ett exempel ovan, men det finns faktiskt oändligt många liknande tripplar. T ex och mera allmänt 8 2 + 15 2 = 17 2, (2n) 2 + (n 2 1) 2 = (n 2 + 1) 2, 1 En utvidgad version av ett föredrag på Vetenskapsfestivallen i Göteborg, den 25 april 2005. 1

där n kan vara ett helt godtyckligt heltal. Jag tänker inte berätta om beviset av Fermats sats och vill bara nämna att Andrew Wiles resultat kan uppfattas som en del av ett mycket omfattande forskningsprogram inom matematiken som är känt under namnet av Langlandsprogrammet. Detta program som syftar till att utforska talteorins domäner kommer med all säkerhet att sysselsätta matematiker under flera decenier (möjligen flera sekler). Genom Wiles resultat förstärktes tro på programmets grundvalar. Vad har hänt i talteorin efter 1995? Har man gjort något nytt, något lika viktigt? Finns det fortfarande några intressanta och lika lätt formulerade påståenden vars lösning någon gång i framtiden kan väcka lika stor uppmärksamhet som lösningen av Fermats gåta 2? Jag skall försöka besvara dessa frågor. Det är mycket svårt att hitta ett problem i talteorin som är lika känt bland icke-matematiker som Fermats förmodan. Icke-specialister har möjligen hört om Riemanns förmodan eller Goldbachs förmodan, men det är inte lika lätt att förklara vad dessa handlar om. Lösningen av dessa problem skulle med all säkerhet leda till lika stor uppståndelse i världen. Men sanningen är att efter 1995 har matematiker löst ovanligt många stora problem varav minst två berömda problem i talteorin. Det ena är onekligen Catalans förmodan som den belgiske matematikern Eugène Charles Catalan formulerade år 1844 (och som egentligen bör tillskrivas Levi ben Gerson som var verksam 500 år tidigare). Denna förmodan säger att likheten 3 2 2 3 = 1 är den enda möjligheten att skriva 1 som skillnaden mellan två heltalspotenser med exponenter större än 1. Om vi tittar på tabellen så kan vi också formulera Catalans fråga: finns det två tal i tabellen, men ej i första kolonnen, vars skillnad är lika med 1? Catalan trodde att den enda möjligheten är 3 2 = 9 och 2 3 = 8. Om man använder bokstäver så kan detta påstående uttryckas så att ekvationen x n y m = 1, där x, y, m, n är positiva heltal och m, n > 1, endast har en lösning: x = 3, y = 2, n = 2, m = 3. Flera matematiker försökte lösa Catalans förmodan och fick olika partiella resultat. Ekvationen användes ofta som ett exempel på ett enkelt formulerat och olöst problem. Det var en stor överraskning då Preda Mihailescu presenterade den 18 april 2002 ett manuskript med ett bevis av Catalans förmodan. Det intressanta med denna lösning är att den teori som används för att lösa ekvationen var i princip känt, men det behövdes helt nya idéer hur den kunde tillämpas på Catalans problem. Det andra problemet som löstes under de senaste åren inte har något speciellt namn, men som problem har det troligen existerat sedan Euklides tid dvs i nära 2500 år. Som så många andra problem i talteorin gäller frågan primtalen. Dessa tal som börjar med 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 87, 89, 97,... kan inte skrivas som produkt av två mindre heltal. De är byggstenar för alla andra positiva heltal (större än 1) eftersom varje sådant tal är en produkt av dessa som t ex 10 = 2 5 eller 120 = 2 2 2 3 5. I raden ovan finns alla primtal upp till 100 uppskrivna. Följden av primtalen är ett föremål för mycket intensiv forskning. Redan Euklides visade för nära 2500 år sedan att den är oändlig dvs om man har skrivit en lista med primtal så kan man alltid hitta ett nytt primtal som inte finns på listan. Han observerade att nästa primtal ibland är lika med föregående primtalet plus 2 som t ex 3 och 5 eller 11 och 13 eller 41 och 43. Han frågade om det finns oändligt många sådana primtalstvillingar. Svaret på den frågan är inte känt idag (även om det finns människor som påstår att de har bevisat den egenskapen). Man kan fråga sig om det finns många primtalstrillingar som t ex 3,5,7. Här ökar man det första talet med 2 och får det andra och ökar med 2 igen för att få det tredje. Detta är ovanligt och det är inte svårt att visa att det inte finns några fler trillingar i denna mening. Men t ex 3,7,11 eller 11,17,23 eller 3,11,19 är trillingar i den meningen att avståndet från det första till det andra är lika med avståndet från det andra till det tredje. Man säger att dessa primtal bildar en aritmetisk följd av längden 3. År 1939 visade Johannes van der Corput att det finns 2 Fermats gåta är den svenska titeln på Simon Sings mycket intressanta och populära bok som beskriver historien som ledde till Wiles bevis av Fermats sats. 2

oändligt många sådana triplar. Man har försökt bevisa att det också finns oändligt många fyrllingar som t ex 11,17,23,29 dvs aritmetiska följder av längden 4 (nästa är 61,67,73,79). Ett mycket gammalt problem var frågan om det finns godtyckligt långa aritmetiska följder av primtal (dvs aritmetiska följder av primtal av varje given längd). Det är svårt att datera detta problem, men redan 1770 studerades frågan i arbeten av Lagrange och Waring. Senare sattes olika rekord den senaste från 2004 är följden av 23 primtal som bildar en aritmetisk följd med avståndet 199678 23 mellan konsekutiva talen och det minsta primtalet 56211383760397 (detta exempel av Markus Frind, Paul Jobling och Paul Underwood visar att det inte är lätt att hitta relativt långa sekvenser av primtal som bildar en aritmetisk följd). Svaret på den allmänna frågan kom förra året då Ben Green och Terry Tao publicerade ett arbete i vilket på 50 sidor visas att för varje given längd finns det oändligt många aritmetiska följder bestående av primtal. Deras bevis utnyttjar flera tidigare resultat bland annat en viktig sats av Szemerédi från 1975, resultat av Goldston och Yildirim från 2003 (som också handlar om ett gammalt problem om avstånden mellan direkt efterföljande primtal dess lösning skulle också innebära världssensation men tyvärr är den presenterade lösningen inte fullständig), olika idéer från kombinatoriken och ergodteorin. Beviset underlättar inte konstruktioner av långa aritmetiska följder av primtal (vilka möjligen ändå inte är så intressanta). Allt detta visar att det händer mycket i talteorin (precis som i hela matematiken) och att Wiles resultat om Fermats ekvation endast var ett inslag i en mycket dynamisk process. Därför låt oss återkomma till frågan om talteorins problem som kan uppfattas som intressanta och viktiga. Det finns många onekligen mycket intressanta matematiska problem som möjligen är jämförbara med Fermats sats som väckte mycket stort intresse utan att egentligen ha några direkta tillämpningar. Men de matematiska metoder som har använts för att lösa problemen hade och kommer att ha en mycket stor betydelse. Därför är det ofta viktigt att syssla med grundforskning för att utveckla ny matematik som gör det möjligt att i framtiden ha tillgång till nya matematiska metoder i situationer som idag kan vara svåra att förutse. Låt mig berätta om två problem. Ett är troligen ganska marginellt och anknyter direkt till Fermats Stora Sats. Det andra betraktas redan nu som ett av de viktigaste i talteorin och kommer med all sannolikhet spela en mycket stor roll i matematikens utveckling. Fermats och Catalans ekvationer är intressanta och enkla att beskriva. Men det finns ekvationer som kan formuleras lika enkelt och som fortfarande gäckar matematiker. Redan frågan om skillnaden mellan två heltalspotenser med exponenter större än 1 kan vara lika med 2 dvs om det kan inträffa att x n y m = 2, där x, y, m, n är positiva heltal och m, n > 1 inte har något svar. Men vi skall diskutera ett problem som ligger lite närmare Fermats Stora Sats. Det har samband med några märkliga likheter: 1 p + 2 3 = 3 2, 2 5 + 7 2 = 3 4, 7 3 + 13 2 = 2 9, 2 7 + 17 3 = 71 2, 3 5 + 11 4 = 122 2, ( ) 17 7 + 76271 3 = 21063928 2, 9262 3 + 15312283 2 = 113 7, 43 8 + 9622 3 = 30042907 2 1414 3 + 2213459 2 = 65 7, 33 8 + 1549034 2 = 15613 3. Dessa likheter handlar alltså om situationer då summan av två potenser av positiva heltal är en potens av ett positivt heltal. Alla exponenter är större än 1, men det finns andra viktiga villkor som vi diskuterar om en stund (i den första likheten kan vi välja en helt godtycklig exponent med 1 därför skriver vi en bokstav: p). Alltså handlar det om ekvationen x p + y q = z r som är en direkt generalisering av Fermats ekvation. Om p = q = r = 2 så finns det oändligt många lösningar som t ex 3 2 + 4 2 = 5 2 eller 5 2 + 12 2 = 13 2. Som vi vet börjar problemet då t ex p = q = r > 2 som är Fermats ekvation och enligt Wiles saknar lösningar i positiva heltal. Hur blir det med andra uppsättningar av exponenter? Det visar sig att svaret beror på summan 1 p + 1 q + 1 r. 3

Om denna samma är större än 1 som t ex för Pythagoras ekvation x 2 + y 2 = z 2 då den är lika med 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 2 med 1 som t ex i ekvationen så har ekvationen oändligt många lösningar. Om denna summa är lika x 3 + y 3 = z 3 då 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1, så saknar ekvationen lösningar. Detta gäller också alla andra fall då p, q, r är 2, 4, 4 eller 2, 3, 6 i en godtycklig ordning 3. Om summan är mindre än 1 (dvs 1 p + 1 q + 1 r < 1) så vet man att ekvationen endast kan ha ändligt många lösningar. Det visar sig dock att det är mycket svårt att hitta sådana lösningar och alla som man känner till är just dem i likheterna ( ). Man tror att det inte finns några andra, men detta är inte bevisat. Ett bevis av detta påstående skulle innebära en långtgående generalisering av Fermats Stora Sats. Slutligen låt mig berätta om ett mycket viktigt problem som troligen är mycket svårt men vars lösning (om dess formulering är riktig och om dess bevis någonsin ges) kommer att ha många konsekvenser i talteorin. Problemet heter abc-förmodan och formulerades av Masser och Oesterlé år 1980. Låt oss börja med ett exempel: 1 + 2 3 = 3 2. Man jämför talet till höger dvs 9 med produkten av de olika primtalen som delar alla tal som finns i likheten dvs 2 och 3. Man har 2 3 = 6. 6 är mindre än talet till höger 9, men 6 2 är större än 9. Ta ett annat exempel: 3 + 5 3 = 2 7. Här är högerledet 2 7 = 256. Produkten av de olika primtalen är däremot 3 5 2 = 30. Som tidigare är högerledet mindre än denna produkt i kvadrat dvs 256 < 30 2. abc-förmodan (i en något förenklad version) säger att det alltid är på det sättet dvs om man har tre positiva heltal a, b, c utan gemensamma delare sådana att a + b = c och r(abc) betecknar produkten av de olika primtalen som delar a, b, c så är alltid: c < r(abc) 2. Exponenten 2 kan troligen väljas mindre. Man har tittat på tusentals exempel på liknande likheter och en världsrekord i form av den största kända exponent e som behövs för att svarar mot likheten: c < r(abc) e 2 + 109 3 10 = 23 5 då denna exponent är e 1.629912 (exempel konstruerat av E. Reyssat). Världsrekord samlas på abc-förmodans hemsida (se http://www.math.unicaen.fr/ nitaj/abc.html) och författarens eget resultat (tillsammans med J. Browkin) har plats 3 på denna: 3 Detta är dock inte fallet då man tar den allmänna ekvation Ax p + By q = Cz r, där A, B, C är heltal om 1 p + 1 q + 1 r = 1 så finns det inga lösningar eller oändligt många. 4

19 1307 + 7 29 2 31 8 = 2 8 3 22 5 4 där e 1.623490. Varför är abc-förmodan så viktig? Sanningen är att många olösta frågor följer ur abc-förmodan. Idag är Fermats Stora Sats bevisad, men satsen är en nästan direkt konsekvens av abc-förmodan. Om vi antar att a n + b n = c n med tre positiva heltal a, b, c utan en gemensam delare, så säger abc-förmodan att c n < r(abc) 2. Men det är klart att r(abc) abc och abc < ccc = c 3 så att c n < c 6, vilket innebär att om en lösning finns så måste n vara mindre än 6. Att lösningar inte finns då n = 3, 4, 5 visste man redan för länge sedan (för n = 3 Euler på 1700-talet, för n = 4 Fermat själv på 1600-talet, och för n = 5 Dirichlet i början av 1800-talet). Det finns flera andra resultat i talteorin som är en konsekvens av abc-förmodan. Man kan hoppas att abc-förmodan bevisas någon gång i framtiden, men det kan ta flera hundra år innan någon hittar ett sådant bevis. Detta är tjusningen med talteorin att dess problem kan ofta förklaras för alla och att de handlar om de mest grundläggande egenskaper hos välbekanta objekt de vanliga heltalen som vi möter varje dag. 5