1 UTVÄRDERING AV OSÄKERHETER I GEOTEKNISKA PARAMETRAR Anders Prästings, KTH/Tyréns AB Stefan Larsson, KTH Rasmus Müller, Tyréns Sammanfattning Under senare år har omfattande forskning utförts för utvärdering av osäkerheter i geotekniska parametrar med hjälp av statistiska verktyg. För att göra statistisk analys av geoteknisk data mer tillgängligt för geotekniker har ett forskningsprojekt initierats av KTH och Tyréns AB, finansierat av FORMAS/Trafikverket och Tyréns AB. Projektet utförs inom paraplyprojektet Transparent Underground STructures (TRUST) och syftar till att utveckla metoder för snabb och objektiv utvärdering av geotekniska parametrar och tillhörande osäkerheter. Detta genom att utveckla verktyg för statistisk och multivariabel analys för värdering av geotekniska data från olika källor. För att kommunicera nyttan med analyserna syftar projektet även till att integrera och visualisera utvärderade osäkerheter i Byggnadsinformationsmodellering (BIM). I denna artikel presenteras bakgrunden till projektet, kortfattad metodik för utvärdering av osäkerheter i geotekniska parametrar samt teori för multivariabel analys. Vidare presenteras ett koncept på hur ett verktyg för statistisk och multivariabel analys kan utformas. Abstract Extensive research has been performed in the area of multivariate analysis for statistical evaluation of geotechnical data during the last decade. Unfortunately however, probabilistic design and statistical evaluation of data is only scarcely used in the industry. As an attempt to make these methods more accessible for practicing geotechnical engineers, a PhD project have been initiated by KTH and Tyréns AB, founded by FORMAS/Swedish Transportation Administration and Tyréns AB. The project is carried out in close relation to the research collaboration Transparent Underground Structures (TRUST) and the aim is to develop and improve methods for quick and objective evaluation of soil parameters, by implementing the multivariate approach as a tool for evaluation of geotechnical data in BIM. The project further aims at visualizing uncertainties in geotechnical data and the benefits obtained from using data from multiple sources (e.g. multiple investigation methods) to reduce uncertainties in assessed soil parameters.
2 This paper discusses ideas for doing so, the underlying theories and the benefits from using multivariate analysis. 1 INLEDNING I de flesta projekt som involverar geotekniska konstruktioner utvärderas geotekniska parametrar från olika typer av mätmetoder och empiriska samband, mer eller mindre passande för ändamålet. Ofta är underlaget bristfälligt vilket innebär stora osäkerheter. Vanligtvis hanteras dessa osäkerheter mer eller mindre subjektivt utifrån respektive projektörs erfarenhet och intuition vid uppskattning av medelvärdet från en mätsvärm. I slutändan kan detta medföra att säkerhetsnivån för en specifik konstruktion inte kan uppskattas tillräckligt bra. Med hjälp av statistiska analyser kan osäkerheten i en geoteknisk undersökningsmetod struktureras och utvärderas mer objektivt, baserat på naturlig spridning, mätfel, transformationsfel och statistisk osäkerhet (e.g. Beacher & Ladd 1997). Om flera olika mätmetoder och empiriska samband används erbjuder multivariabel analys möjligheten att kombinera informationen från dessa för att reducera den totala osäkerheten i härledningen av medelvärdet för en viss parameter (Ching et al. 2010; Müller 2013, Müller & Larsson 2013). Metoden erbjuder en robust och objektiv utvärdering av geotekniska parametrar där underliggande osäkerheter är strukturerade och kända för betraktaren av utvärderingen. Trots uppenbara fördelar med statistisk och multivariabel analys av geotekniska data, och i förlängningen sannolikhetsbaserad design eller vid utvärdering av projektspecifika partialkoefficienter ( -värden), är ovan nämnda metoder sällan använda i branschen. En orsak till detta är bristande kunskap inom området och avsaknaden av verktyg för ändamålet. Doktorandprojektet som presenteras i denna artikel syftar till att utveckla metoder för snabb och objektiv utvärdering av geotekniska parametrar och tillhörande osäkerheter, genom att utveckla verktyg för statistisk och multivariabel analys av geotekniska data. Förutom att utveckla verktyg för statistisk och multivariabel analys måste resultatet och nyttan av analyserna kommuniceras med andra teknikområden än geoteknik och inte minst beställare. Därför syftar projektet även till att integrera och visualisera utvärderade osäkerheter och medelvärden i Byggnadsinformationsmodellering (BIM). Verktyget kan även vara till stor hjälp vid totalentreprenad och då observationsmetoden används, Prästings et al (2014), där behov finns av att uppdatera geotekniska parametrar under arbetets gång.
3 I denna artikel presenteras bakgrunden till forskningsprojektet som initierats av KTH och Tyréns AB, översiktlig teori för utvärdering av osäkerheter i geotekniska parametrar samt för multivariabel analys. Vidare presenteras resultat från inledande litteratur- och idé-studie i form av en konceptuell programbeskrivning. 2 TEORI 2.1 Några enkla statistiska termer För att beskriva spridningen för en geoteknisk parameter i en jordvolym krävs kunskap om några enkla grundläggande statistiska termer, definitioner och analyser. Den naturliga spridningen i jord kan beskrivas med hjälp av en fördelningsfunktion, där mätvärdet (t.ex. från CPT-sondering) representeras av (x). Fördelningen har ett medelvärde ( ) och en spridning som beskrivs med t.ex. dess standardavvikelse ( ). Fortsättningsvis i denna artikel används även variationskoefficienten ( ) för att beskriva osäkerheten. Variationskoefficienten definieras som kvoten mellan standardavvikelsen och medelvärdet ( ) och är därmed ett mått på jordens spridning relaterat till medelvärdet i jorden. I Figur 1a redovisas ett exempel av fördelningsfunktionen för variabeln x. En av de mest grundläggande statistiska analyserna är regressionsanalys. Vid regressionsanalys beräknas medelvärdet, i en mätsvärm, som funktion av t.ex. djupet. I Figur 1a redovisas och för en parameter i en bestämd jordvolym. a Figur 1 a) Fördelningsfunktion för en parameter; b) Medelvärde och standardavvikelse för medelvärdet för parametern som funktion av djupet b
4 Inom geotekniken är vi för det mesta intresserade av hur medelvärdet över en viss jordvolym förändras mot djupet för en parameter ( och osäkerheten i detta medelvärde mot djupet (, snarare än parameterns spridning (. Figur 1b redovisar hur och i jordvolymen förändras mot djupet. Regressionsanalysen utgör grunden för vidare analyser av osäkerhet med ursprung i naturlig spridning och statistisk osäkerhet, se kapitel 2. För djupare studier inom geostatistisk datahantering rekommenderas Beacher & Christian (2003) samt Ang & Tang (2007). 2.2 Geotekniska osäkerheter I processen att utvärdera en geoteknisk parameter från in-situ mätningar i fält eller från laboratorieförsök på upptagna jordprover, uppkommer ett antal olika osäkerheter. Osäkerheterna uppkommer i huvudsak från naturlig spridning i jorden samt från fel vid provning och utvärdering av mätresultat, främst relaterat till mätfel och transformationsfel, se Figur 2. Osäkerheter som uppkommer från fel vid provning och utvärdering av mätresultat kan reduceras med mer tillförlitliga mätmetoder. Till skillnad från dessa kan den naturliga spridningen i jorden inte förändras eller påverkas. Osäkerheterna i medelvärdet som uppkommer från naturlig spridning kan endast reduceras med en mer noggrann beskrivning av spridningen, dvs. fler mätningar. Ovan nämnda osäkerheter beskrivs mer ingående i t.ex. Christian et al. (1994), Beacher & Ladd (1997) och Müller (2013). Figur 2 Uppdelning av totala osäkerheten i medelvärdet av en geoteknisk parameter utvärderad från en mätmetod (efter Müller 2013)
5 I Figur 2 presenteras de huvudsakliga ingredienserna till den totala osäkerheten för utvärderingen av medelvärdet av en geoteknisk parameter utvärderad från en mätmetod. Müller (2013) förslår att totala osäkerheten ( ) för medelvärdet av en geoteknisk parameter ( ) utvärderad från mätmetoden X (baserat på Baecher & Ladd, 1997) beräknas enligt: där + + + + är den naturliga spridningens bidrag till osäkerheten i bestämningen av medelvärdet över en jordvolym är den statistiska osäkerheten i bestämningen av medelvärdet (beror av antalet mätpunkter) är mätfelets bidrag till osäkerheten i bestämningen av medelvärdet är osäkerheten i korrektionsfaktorn som används för att beräkna parametern Y från mätmetoden X är det statistiska modellfelet För att beräkna osäkerheten i bestämningen av medelvärdet som uppkommer från den naturliga spridningen i en jordvolym ( ) kan medelvärdet och standardavikelsen för en jordvolym beräknas med regressionsanalys. Vid regressionsanalys uttrycks medelvärdet och standardavvikelsen i en mätsvärm som en funktion av t.ex. djupet. Den naturliga spridningen beskrivs, utifrån denna funktion, i form av mätpunkternas variationskoefficient, se kapitel 2.1. Inom en viss jordvolym förekommer ofta lösare och fastare områden, dvs. områden med lägre respektive högre hållfasthet eller modul än genomsnittet för hela jordvolymen. Detta medför att det utvärderade medelvärdet har en variation över jordvolymen. Statistiskt kan detta t.ex. beskrivas med fluktuationsavståndet, Müller & Larsson (2013). Om brottytan är liten i förhållande till fluktuationsavståndet finns risk för att lösare jord med lägre hållfasthet än genomsnittet mobiliseras emedan större brottytor sannolikt mobiliserar en hållfasthet mer likt medelvärdet över jordvolymen. Den naturliga spridningen i en jordvolym utvärderas från ett begränsat antal mätpunkter. Som tidigare nämnts kan den naturliga spridningen inte förändras eller påverkas, osäkerheten i bestämningen av medelvärdet kan dock reduceras med fler mätpunkter. Den statistiska osäkerheten ( )
6 representerar osäkerheten i det utvärderade medelvärdet kontra det sanna medelvärdet i jordenvolymen, baserat på ett begränsat antal mätpunkter. Ytterligare osäkerhet uppkommer från mätfel ( ), i fält eller i laboratorium vid provning av jorden. Osäkerheten beror bland annat av dåligt kalibrerad utrustning och handhavandefel i utförandet. Studier har utförts med syftet att uppskatta, men de är tyvärr få. Mätfelets storlek från ett flertal olika mätmetoder sammanfattas bl.a. av Phoon and Kulhawy (1999). När en sökt parameter Y (t.ex. odränerad skjuvhållfasthet) inte utvärderas direkt från referensmetoder såsom direkta skjuvförsök eller triaxialförsök, utan utvärderas från t.ex. CPT, vingförsök eller fallkon, införs en korrektionsfaktor. Korrektionsfaktorn baseras normalt på empiriska studier. Transformationsfelet representerar osäkerheten i denna korrektionsfaktor. Modellosäkerheten hanterar osäkerheter relaterade till den statistiska modellen som antas i samband med att den totala osäkerheten beräknas. 2.3 Multivariabel analys (MVA) Multivariabel analys erbjuder en metodik för att analysera och kombinera information från flera olika källor med hjälp av Bayes sats (Bayes & Price 1763). Ett praktiskt exempel för tillämpning presenteras i Müller et al. (2014). Att utföra en MVA kan i stort liknas vid det arbete som en geotekniker ställs inför dagligdags. Inledningsvis, innan eller i samband med tidiga skeden av utredningar, kan ofta medelvärdet för t.ex. hållfastheten i en jord antas variera inom ett visst intervall. Uppskattningen kan t.ex. grunda sig på geoteknikerns erfarenhet alternativt tidigare undersökningar i närliggande områden. Osäkerheten i uppskattningen om jordens hållfasthet är då ofta relativt stor. Trots stora osäkerheter används denna uppskattning som ingångsparameter (s.k. á priori information) vid en MVA. I takt med att geotekniska undersökningar utförs tillförs successivt mer information och á priori värdet kan därmed uppdateras och osäkerheten gradvis reduceras. Inverkan på den uppdaterade osäkerheten beror på respektive undersökningsmetods relativa osäkerhet ( ), som diskuteras i kapitel 2.1. Är osäkerheten i en undersökningsmetod stor blir inverkan på den uppdaterade osäkerheten liten. Är osäkerheten istället liten jämfört med osäkerheten i á priori uppskattningen reduceras den uppdaterade osäkerheten avsevärt.
7 Beräkningsstegen för den multivariabla analysen är i högsta grad att likna vid det arbete som utförs av geotekniker mer eller mindre dagligen. Vid härledningen av medelvärdet för en mätsvärm hanteras osäkerheten till stor del subjektivt baserat på erfarenhet och intuition hos den geotekniska projektören och olika mätmetoder antas vara mer eller mindre tillförlitliga. Multivariabel analys erbjuder en mer objektiv analysmetod där det viktade medelvärdet är baserat på mer verkliga osäkerheter vilka kan utläsas från resultatet oavsett utvärderare. 3 PROGRAMBESKRIVNING 3.1 Inledning I projektet har en inledande idéstudie utförts och ett koncept har arbetats fram för hur ett möjligt verktyg (datorprogram) för praktisk tillämpning av multivariabel analys kan utformas. Vidare har huvudsakliga funktioner i programmet (utvärderingsmodulen) definierats vilka behandlas vidare i kapitel 3.2-3.5. I Figur 3 presenteras ett översiktligt flödesschema för de funktioner som bör integreras i utvärderingsmodulen. I kapitel 3.3 och 3.4 och Figur 4-6 presenteras ett översiktligt exempel på resultat från utvärdering av osäkerheter och multivariabel analys i ett jordlager. Presenterade resultat från analyserna är från arbeten utförda av Müller (2013) och Müller et al. (2013). De huvudsakliga kraven på utvärderingsmodulen kan brytas ned i 4 punkter: 1. Koppling till BIM, importera och exportera data 2. Utvärdera total osäkerhet för respektive mätmetod 3. Utvärdera uppdaterad osäkerhet för samtliga metoder (MVA) och viktat medelvärde av hållfastheten 4. Visualisera den utvärderade osäkerheten i en jordvolym (BIM) 3.2 Avgränsningar Initiellt har följande avgränsningar formulerats i projektet: Endast utvärdering av odränerad skjuvhållfasthet i jord Endast linjär regressionsanalys av data Statistiska modellfelet försummas vid beräkning av Storleken på brottytan för en planerad konstruktion i förhållande till fluktuationsavståndet försummas vid utvärdering av osäkerheten Befintlig forskning inom området för utvärdering av geotekniska osäkerheter samt för multivariabel analys behandlar vanligtvis lösa kohesionsjordar och
8 mätmetoder relaterade till dessa. Detta medför att utvärderingsmodulen initiellt utformas för utvärdering av odränerad skjuvhållfasthet. Den kan dock användas på liknande sätt för andra parametrar som t.ex. friktionsvinkel eller permeabilitet. Det statistiska modellfelet antas vara litet i jämförelse med övriga osäkerheter och försummas i analysen. Vid beräkning av den totala osäkerheten försummas även inverkan av den geotekniska konstruktionens storlek (brottytan) i förhållande till fluktuationsavståndet vilket ger en osäkerhet på säkra sidan. Vid en mer detaljerad analys påverkas termen (naturlig spridning) av en s.k. variansreduktionsfaktor för den aktuella konstruktionen i relation till jordens naturliga variation och fluktuationsavstånd. Vid en liten konstruktion och stort fluktuationsavstånd i jorden är sannolikheten större att konstruktionen placeras på en svag punkt vilket medför att osäkerheten ökar, vid en stor konstruktion minskar osäkerheten. I framtida versioner av utvärderingsmodulen är önskemålet att även integrera variansreduktionsfaktorn vid utvärderingen av den totala osäkerheten för respektive mätmetod. Figur 3 Översiktligt flödesschema för beräkningssteg i utvärderingsmodul
9 3.3 Koppling till BIM, importera och exportera data Målet i projektet är att utveckla verktyg för statistisk och multivariabel analys av geoteknisk data, integrerat och kopplat till BIM. Första steget, översta rutan i Figur 3, är att skapa en modell av en geologisk formation. Steg 2 är att koppla modellen till geoteknisk basdata och exportera dessa till utvärderingsmodulen. Den geologiska modellen kan primärt genereras från stoppkoder och jordartsgränser definierade i Autograf-katalogen. För att öka tillförlitligheten krävs dock att den genererade modellen modifieras för hand baserat på samtliga undersökningar och ingenjörsmässiga bedömningar. En helt automatiskt genererad och tillförlitlig geologisk modell bedöms i dagsläget inte vara möjlig. Mätmetoder (fältförsök och laboratorieförsök) för bestämning av skjuvhållfasthet i jord och som integreras i den geologiska modellen presenteras i Tabell 1. Detta är även den information som utvärderingsmodulen initiellt utvecklas för. Tabell 1: Mätmetoder (fältförsök och laboratorieförsök) som integreras i den geologiska modellen Mätvärde från mätmetod (X i ): Autograf Geosuite: CPT (q net ) Vingborr ( ) Fallkon ( ) Flytgräns (w L ), från avancerade labbförsök: Direkta skjuvförsök Triaxialförsök, från avancerade labbförsök: Ödometer, CRS Ödometer, stegvis pålastning 3.4 Utvärdera total osäkerhet för respektive mätmetod Efter att geotekniska data exporterats till utvärderingsmodulen utförs linjär regressionsanalys av data från respektive metod (enligt tabell 1). Baserat på regressionsanalysen beräknas osäkerheten i naturlig spridning i jorden och i den statistiska utvärderingen ( och ). Vidare ansätts övriga osäkerheter relaterade till mätfel och transformationsfaktor för respektive jordlager och mätmetod, se exempel nedan. Exempel: Den geologiska modellen består av tre jordlager (Figur 4-6); Siltig lera (Silty clay), Sulfidlera (Sulphide clay) och glacial lera (glacial clay). I exemplet utvärderas endast osäkerheterna för Sulfidleran. Mätmetoder som exporterats till utvärderingsmodulen är nettospetstrycket ( ) från CPT,
10 okorrigerade hållfasthetsvärden från vingförsök ( ) och fallkon ( ) samt empirisk utvärdering baserat på överkonsolideringsgraden (OCR) och förkonsolideringstrycket ( ). Linjär regressionsanalys utförs för respektive metod och medelvärdet ( ) samt standardavvikelsen ( ) beskrivs med funktionen. Figur 4 visar regressionsanalys för (CPT) mellan nivån +2 och -1. I Figur 5 redovisas beräknade totala osäkerheter för respektive mätmetod i sulfidleran mellan nivån +2 och -1. I detta exempel erhölls störst osäkerhet ( ) från den empiriska härledningen av via OCR och och minst osäkerhet erhålls från härledningen baserat på (CPT). Efter att osäkerheten utvärderats för respektive mätmetod beräknas baserat på valda korrektionsfaktorer. Figur 4: Regressionsanalys på mätvärden från (CPT)
11 Figur 5: Utvärdering av total osäkerhet i av samtliga utvärderade mätmetoder i sulfidleran, sammanställning 3.5 Utvärdera total osäkerhet med MVA Med hjälp av Bayes sats kan information från flera olika källor, i detta fall geotekniska mätmetoder, kombineras med syftet att reducera den uppdaterade osäkerheten. När den uppdaterade osäkerheten sedan kombineras med den utvärderade hållfastheten skapas även ett viktat medelvärde av denna. I Figur 3 nämns även möjligheten att simulera borrpunkter för att visualisera hur osäkerheten reduceras med tillkommande undersökningar. Dels den totala osäkerheten från en specifik mätmetod men även hur den uppdaterade osäkerheten reduceras. Med tillkommande mätpunkter reduceras den statistiska osäkerheten ( ) och samtidigt även den totala osäkerheten ( ) för en specifik undersökningsmetod. Exempel (forts.): I Figur 6 presenteras hur den uppdaterade osäkerheten reduceras i takt med att mätmetoder läggs till i analysen. I exemplet utgör beräknat via OCR och (P) á-priori värde. Osäkerheten för P i Figur 6 är
12 den samma som osäkerheten för OCR i Figur 5. När P och kombineras reduceras osäkerheten och blir därmed mindre än osäkerheten från endast. När informationen från samtliga källor (,, q net, P) kombineras reduceras osäkerheten ytterligare. Den kombinerade osäkerheten medför i sin tur att designvärdet för kan höjas på grund av minskade osäkerheter. I Figur 6 ges även möjligheten att simulera ytterligare borrpunkter vilket inte har utförts i detta exempel. Om så vore fallet kan osäkerheten reduceras ytterligare, och funktionen kan därför användas som ett planeringsverktyg vid kompletterande undersökningar. 3.6 Visualisera osäkerheten i en jordvolym i BIM Slutligen ska den uppdaterade osäkerheten och utvärderat viktat medelvärde exporteras och visualiseras i BIM. Denna del av projektet tillhör fortsatta studier. Figur 6: Simulering av borrpunkter samt utvärdering av uppdaterad osäkerhet och skjuvhållfasthet (MVA)
13 4 SLUTORD Fördelarna med statistisk och multivariabel analys av geoteknisk data är många. Utvärdering av osäkerheter i en geoteknisk parameter är dels en förutsättning för sannolikhetsbaserad design och utvärdering av projektspecifika partialkoefficienter (η-värden). En multivariabel analys erbjuder även möjligheten att uppdatera värdena på osäkerhet och medelvärde, vilket gör att den planerade utvärderingsmodulen kan användas vid planering av geotekniska undersökningar och som designverktyg tillsammans med observationsmetoden (Prästings et al 2014). Observationsmetoden är tyvärr litet använt som designmetod i Sverige (t.ex. Holmberg & Stille 2007, Spross & Larsson 2014). Detta beror dels på avsaknaden av praktiskt användbara verktyg för sannolikhetsbaserad design, vilket enligt Eurocode 7 (CEN 2004) är en förutsättning för korrekt användande av observationsmetoden. Visionen med doktorandprojektet som presenteras i denna artikel är att underlätta utförandet av statistiska analyser av geotekniska data och därigenom möjliggöra mer objektiva analyser av data och även främja användandet av sannolikhetsbaserad design i branschen. I denna artikel och i planeringen av projektet har det konstaterats att det inte räcker med att bara utveckla verktyg för statistisk hantering av geoteknisk data. Resultatet och nyttan med dessa analyser måste även kunna kommuniceras på ett begripligt sätt, både med andra geotekniker och icke-geotekniker, vilket medför att verktyget ska integreras i BIM. I denna artikel har en vision och ett översiktligt koncept presenterats. Omfattande arbete återstår för att forma, dels verktyget men även analysmetoderna för att anpassa dessa till vår något oregelbundna verklighet. Bland annat ska analyserna och beräkningsstegen kontrolleras mot data från verkliga fall för att identifiera kritiska moment och utvärderingsmodulens kompabilitet med olika fiktiva geologiska modeller. Vidare ska visualisering av osäkerheter utvecklas i BIM, vilket utförs tillsammans med andra delprojekt inom TRUST. 5 KORT OM TRUST Forskningsprojektet TRUST (TRansparent Underground STructure) består av nio fristående, men sammanlänkade, delprojekt med en total forskningsbudget på cirka 75 miljoner kronor. Projektet syftar till att uppnå uthållig utveckling av urban underjordisk infrastruktur. Delprojektet som presenteras i denna artikel ingår i TRUST 4.1 och är finansierat av svenska forskningsrådet FORMAS och Sven Tyréns Stiftelse (www.trust-geoinfra.se).
14 Referenser Ang AH-S and Tang WH (2007) Probability Concepts in Engineering, Emphasis on Applications to Civil and Environmental Engineering, 2 nd ed. Wiley, New York, NY, USA Baecher GB, Ladd CC (1997) Formal observational approach to staged loading. Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board 1582: 49-52 Baecher GB, Christian JT (2003) Reliability and Statistics in Geotechnical Engineering. Wiley, Chichester, UK Bayes T. and Price R. (1763) An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr Bayes, communicated by Mr Price, in the letter to John Canton, M.A. Philosophical Transaction of the Royal Society of London 53(0): 370-418. CEN (2004) EN 1997-1:2004 Eurocode 7: Geotechnical design Part 1: General rules. European Committtee for standardization (CEN), Brussels Christian JT, Ladd CC, Beacher GB (1994) Reliability Applied to Slope Stability Analysis. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 120(12): 2180-2207 Ching J, Phoon KK and Chen YC (2010) Reducing shear strength uncertainties in clays by multivariate correlations. Canadian Geotechnical Journal, 47(1): 16-33. Holmberg M, Stille H (2007) Observationsmetodens grunder och dess tillämpning på design av konstruktioner i berg. SveBeFo, Stockholm, 2007, Rapport 80 Müller R (2013) Probabilistic stability analysis of embankments founded on clay. Doctoral thesis, Royal Institute of Technology Division of Soil and Rock Mechanics, Stockholm, TRITA-JOB PHD:1018 Müller R, Larsson S, Spross J (2013) Extended multivariate approach for uncertainty reduction in the assessment of undrained shear strength in clays. Canadian Geotechnical Journal, Published on the web 25 November 2013, 10.1139/cgj-2012-0176. Müller R, Larsson S (2013) Multivariabel analys hur mycket ska jag undersöka för att vara säker? Bygg & teknik, 1/13: 71-74 Müller R, Larsson S, Spross J (2014) Multivariate stability assessment during staged construction. Accepted for publication in Géotechnique Phoon KK, Kulhawy FH (1999) Characterization of geotechnical variability. Canadian Geotechnical Journal, 36(4): 612-624
15 Prästings A, Müller R, Larsson S (2014) The observational method applied to a high embankment founded on sulphide clay. Submitted to Engineering Geology. Spross J, Larsson S (2014) On the observational method for groundwater control in the Northern Link tunnel project. Bulletin of the Engineering Geology and the Environment, Epub ahead of print, DOI 10.1007/s10064-013-0501-8