Forskningsmetodik Lektion 8 Systematiska och statistiska fel

Transkript

1 1 Forskningsmetodik Lektion 8 Systematiska och statistiska fel Per Olof Hulth hulth@physto.se Föreläsning 8 Forskningsmetodik Noggrannhet och precision Föreläsning 8 Forskningsmetodik

2 2 Gravitationenskonstanten G F = G m 1 m 2 R 2 Henry Cavendish ( ) mätte gravitationskonstanten G med en torsionsbalansexperiment. Föreläsning 8 Forskningsmetodik Historiska data - bestämning av G (viktade medelvärden) NO. EXPERIMENTER DATE METHOD VALUE OF G x 10 8 dynecm Error REF 2 2 /gm 1. Cavendish 1798 static torsion , Reich #1838 static torsion , Baily #1843 static torsion , Cornu/Baille 1872 static torsion , Jolly #1873 Jolly balance , Eotvos 1886 static torsion , Richarz/K-Menzel 1888 Jolly balance , Wilsing #1889 Jolly balance , Poynting 1891 Jolly balance , Boys 1895 static torsion , Braun 1895 dynamic torsion , Richarz/K-Menzel 1896 Jolly balance , Braun 1897 dynamic torsion , Burgess #1901 dynamic torsion Heyl 1930 dynamic torsion , Zahradnicek 1933 dynamic torsion , Heyl/Chrzanowski 1942 dynamic torsion , Rose et. al rotating table , Pontikis 1972 resonance torsion , Renner 1973 dynamic torsion , Karagioz 1976 dynamic torsion , Rose et. al rotating table , Sagitov 1977 dynamic torsion , Stacey et. al geophysical , Luther/Towler 1981 dynamic torsion , Föreläsning 8 Forskningsmetodik Tabellen till höger visar resultaten från olika bestämningar av gravitationskonstanten G. Bestämningen har skett med flera olika metoder och under lång tid. Källa: org/setterfield/report.html

3 3 Viktad anpassning till G G ur föregående tabell (utom de som är markerade med #) plottade på en tidsaxel. Vi noterar mätvärden med stora fel och flera med mycket små fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är för litet med hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,658 ± 0,011 med ett mer rimligt fel (vi tar då på sätt och vis då även hänsyn till (eventuella) systematiska fel i mätningarna). Föreläsning 8 Forskningsmetodik Med reducerad statistik I Här har vi tagit bort mätningar med stora fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här för litet med Hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,6701 ± 0,0029 Föreläsning 8 Forskningsmetodik

4 4 Med reducerad statistik II Här har vi tagit bort mätningar med mycket små fel som låg långt från medelvärdet (systematiska fel?). En generell metod för detta anges lite längre fram. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här litet och synes ge ett för litet fel. Det oviktade medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,6743 ± 0,0076 eller avrundat 6,674 ± 0,008 ett värde som ligger mycket nära det nominella. Föreläsning 8 Forskningsmetodik En mätnings tidutveckling Mätning av en naturkonstant i den bästa av alla världar: -Tidiga mätningar behäftade med stora fel -Spridning i proportion till felen -Med ny teknik minskar felen -Och konvergerar mot ett gränsvärde Föreläsning 8 Forskningsmetodik

5 5 Ny sida Hur fort går ljuset? Seriösa mätningar från början av 1700-talet! Ljushastigheten avtar till synes med tiden fram till 1940! Föreläsning 8 Forskningsmetodik Definierad C = m/s Föreläsning 8 Forskningsmetodik

6 6 Hubblekonstanten I Bestämning av Hubble konstanten hastighet = H avståndet som funktion av tiden Föreläsning 8 Forskningsmetodik Hubblekonstanten II Bestämning av Hubble konstanten i hastighet = H x avståndet som funktion av tiden WMAP 71 (km/sec)/mpc, +0.04/ Föreläsning 8 Forskningsmetodik

7 7 Pullfördelningen Mätningen av tyngdaccelerationen: Inför chi-variabel (pull): Plotta alla mätta g-värden med sina fel och pullfördelningen: χ i = x i x σ i Låt oss utesluta alla mätningar med χ > 5 χ i Föreläsning 8 Forskningsmetodik års data: pull < 5! Ett nytt medelvärde beräknas: g = 9,755 ± 0,026 m/s 2. Relativa felet = 0,27% Avvikelse från nominellt värde = -0,043 eller -1,7σ I den föregående bilden är motsvarande siffror 0,08% och -15σ, ett opålitligt resultat eftersom data innehåller inkoncistenta mätningar. Föreläsning 8 Forskningsmetodik

8 8 Analys av en mätövning Fallstudie: Pullfördelningen kan med fördel användas vid enklare felsökningar i data. 43 studenter mätte 48 resistorer med hjälp av volt-ampere metoden. Resistansen beräknades genom R=U/I och felet i R genom felpropagering. Varje student mätte flera resistorer och varje resistor mättes av flera studenter pull 6,8,9,10,35,40,43,44,45,48 ser alla skumma ut! Föreläsning 8 Forskningsmetodik Analys av pullfördelningen (resistor nummer 2) Felaktig datapunkt Vi plottar här resistor Nr 2 som funktion av Student. Vi ser att Student 41 har tydligen en avvikande mätning och vi går till databasen för att se efter vad som hänt: Vi ser att studenten har angett A i.st.f ma som var antaget (för alla sina tilldelade resistorer). Föreläsning 8 Forskningsmetodik

9 9 Analys av pullfördelningen (efter korrektion) Dessa ser nu relativt OK ut! Alla resistorer som student 2 mätt påverkas efter denna korrektion (föregående sida) och pullfördelningen för resistor 2 ser nu helt OK ut och är nära normalfördelad med medelvärde och standardavvikelse nära 0 resp. 1. Föreläsning 8 Forskningsmetodik