ERU I S ALROIIST ASTRONOM. D OCENS. S T IF. M LA ND.

Transkript

1 DE PRINCIPIIS CALCU LI V A R IA T IO N IS DISSERTATIO. QUAM VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL. ^ ' ' / ', hi ' - r * ' p. p. ERU I S ALROIIST ASTRONOM. D OCENS. S T IF. M LA ND. ET A X E L GUSTA VUS VIRGIN NOB. VISTROGOTnCS. STIP. ORD. EQUESTR. IN AUDIT. GUSTAV. DIE XXII FEBR. MDCCCXXXVII. H, P. M. S. P. II. UPSALIÆ EXCUDEBANT REGIÆ ACADEMIÆ TYPOGRAPIU.

2 KONUNGENS HÔGT BETRODDE MAN CABINETTS-KAMMARHERREN, GENERAL-LIEUTENANTEN STÅTHÅLLAREN PÅ ROSERSBERGS SLOTT RIDDAREN OCH COMMENDEUREN AF KONGL. MAJîTS ORDEN RIDDAREN AF KGL. SVÅRDS-ORDENS ST. KORS 2.A CLASSEN RIDDAREN AF KONGL. FRANSKA HEDERS-LEGIONEN HÖGVÅLBORNE HERR GREFVE GUSTAF FREDRIK MÖRNER SAMT I HÖGVÅLBORNA f r u g r e f v i n n a n AUGUSTA MÖRNER föd» v ir g in med djupaste vördn»

3 KONUNGENS TROMAN BERGS-RÅDET VÄLBORNE HERR CARL HEIJKENSKÖLD SAMT VÄLBORNA EÄU BERCS-RADINNAN ADELAIDE HEIJKENSKÖLD föd.» VIRGIN tacksamhet helgadt RGIN.

4 PLURIMUM REVERENDO ATQUE PRÆCLARISSIMo DOMINO AIDRËÆ BLIXÉA AD COHORTEM PRÆTORIAM SECUNDAM CONCIONATORI praeceptori et amico gialissiinae m entis affectionem testificaturus d. d. A. G. VIRGIN.

5 12. Jam vero, quum habemus Qy =s Sy - y Sx, fit etiam per derivationem: (êyf=z(sy-ysx)\ (0ÿ)"s s {Sy - y'sx)'\ sed {Qy)' Qy', (Q y)"~q y", &c. Unde formulas (2) et (5)... in sequentes permutare licet: Sy -= Oy-y'àx)» S y " ~ [Sy - y'ßx)"i &c. Atque similes dat etiam functio z. 13. Sit jam Su variatio completa functionis u, vel variatio ejusdem in.eo casu, quo x, quod in derivando primigenium habeatur variabile, variationem etiam subeat. Habemus itaque in hac hypothesi W»jr ^ J )+ +...( ^ fc>3 02 ÖXS J Cui aequationi, ope formularum (1), (2), (3)... numeri undecimi, hanc speciem dare licet: ( 014 _L b ' 1 bb ', 1)74 o f bu, \, U r*v+* +*» +s* + )* by by bn 'tu. b» + Ttz Z 6z + bs + it" tz ôz" Facile vero apparet, coëffîciens, quod variationem Sx multiplicat, nil aliud esse, nisi primam functiois «, ad x at primigenium variabile relatæ^ derivatam completam, B.

6 quam u vel designamus. Reliqui vero termini confidx ciunt functionis u variationem incompletam vel 9«(r. form. A ). Ita ut tandem liat: Su = 0M-}- u Sx ;... (C). Similiter etiam invenitur: S ti^ z Qu - - u" Sx ; & c. &c. &c. Rx his facile etiam habebitur (v. n. 12) Su [Su - u' Sx)' i Su z z (Su - MSx) ; &c. 14. Quia (0#)' = 0a, est etiam QuzzfdxQu : quo aequatio (C) in hanc mutatur: Su = fdxqu -J «0* ( ) Faciamus uzzfv dx, ideoque u z z V i obtinebitur SfVdx = Fife + f d x W... (D). Posito vero u zz f Vdx habebitur eadem ratione ex formula $ffydx* = â x f F d x + f f < ix * 6r...(E ). & C. & C. 6 cc. 15. Si in formula (^ ) «in V permutatur; deinde,ero ponitur g s ï V g = Tt, &c et simili- B 7 z - ^ - = 2, &e. illa formula in hanc t e r t e ' iw ' abit + r. v +r ( rfl).? Z03 4- Z,Ô2' H ^,02" *** S ed, quum dmc quaelibet quanti.v functiones n et v d at»

7 sunt, invenitur, productum earum derivando; (««)'=r*'u -J-v'u: unde uv = (mu)'- u'u... (i) sim iliter est etiam :,,, u"'v = (u " v )'-u " v \ n v = (m u ) - u v },,,, I / #\,,, v ( (<*) et m u = (» u ) - mu >-..(b) u v = [uv ) - uv >, //V L u V = («u ) - «U r E x aequationibus (a) evadit: u v = («u )'- (m v j -j- mu"..., (a) et ex aequationibus (b) nt, n v/ / / V i / H\t >" / \ u v =n («u) - (m u ) H - (uu ) - mu... (o). L e x, quam sequuntur bæ formulae, facilis est perspectu; ita ut sine ulteriori calculo scribere liceat: «""u = («'"u)'- («v / + («vy - («u'7 + *»"".. (4) et ceteras. In his form ulis substituatur Qy pro m; in prima vero T t pro u, in secunda, in tertia 7*^, et sic in ceteris. Quibus rite substitutis, primani lineam aequationis (Ai) in sequentem facile mutari form am, apparet: [r-{ry + (rf-(tj" + (rj &c.] + [(r - [rj + (rj-(rj"+ «ce.) ôÿj +. [(r-(rj + (r j-&e...)«/]'+ Kr, -(r J ' + &c...* )9y"]' + &C. &c. &c.

8 Similem speciem, litteris tantum mutatis, secundae etiam lineæ aequationis (Ai)t eodem modo dare licet. Quum aequationem [A i) hoc modo pt reparatam cum differential! dx multiplicemus, dein vero integremus, habebitur tandem, addendo V iïx atque Sy-y^x pro Öy, - z t x pro Qz, et sic pro ceteris variationibus incom- pletis valores earum completos e numero undecimo, substituendo: i / F i x J [ Z '- ( Z J + (Z J - (Z J " + & C.]. ( * - '& ) + \. r,r( r j + ( r j - ( r, j " + &c ]. _,* * )+ [* - (Z J + (ZJ'- ( Z j " + &c ]. (ht- *"&)+ [ * > ( O + c r,j " - ( r J " 4 Ac] (%"-y'"^)+ [2, - J + (2 A c], (hf- + dec. Æc. etc. 4- v ïx -f it + /«fy y 'M [( r - (r ) '+ ( ( + a c.) \+ /(h zsx) ((Z - (Z )' + (Z J"- ( Z J + Ac.) rf*]/ Simili modo transformare æquationem (E ) liaud diikcile est ib. In æquatione Qk -+ Æ'Ja; rz: o (n. io) loco k' subbk bk, bk b$, bfc slituatur r + r - ÿ + r 2 + r '? + T ' 2 + &c-i b* by bs by bs exterminatis dein variationibus ôy, Qz et ceteris, haec aequatio in similem transmutatur speciem, quam habet aequatio (B): ita ut habeamus

9 Quia vero est (Qk)' z u Qk\ ex quo etiam Q kzzifdxq k'; habebimus quoque Sk in Sfk'dx := k'sx f dxqk' = o. Quae aequatio ejusdem plane formae atque aequationis ( D ) similiter etiam in speciem aequationis (F ) transmutatur. 17. d, B et F> formulae sunt principales Calculi Variationis, quum de uno solo quanto primigenio variabili quaestio sit. Si vero plura primigenia occurrant variabilia, haud difficile erit eandem persequendo viam ad formulas ei casui adcommodatas pervenire. Quod tainen hoc loco omittimus, ne limites, quas opellae nostrae proposuimus, excedamus. Restat igitur, ut usum formularum earumque adpli- cationem ad problemata, quae ope Calculi Variationis solvi solent, ostendamus. Quod summatim tantum persolvamus. Pars enim Calculi Variationis practica in omnibus, qui nobis sunt noti, libris elementa hujus disciplinæ tractantibus, omni cura atque diligentia explicata aptisque exemplis adornata nobis Yidetur. 18. In quaestionibus ope Calculi Differentialis tractandis, nexus, quem inter se habent variabiles, vel ipsa forma functionis constans esse debet; quippe quum hac conditione adsumta, omnes illius Calculi regulae atque formulae constructa» sint. Illis vero problematibus, in

10 quibus solvendis hic nexus variationem subire potest, adhibendus est Calculus Variationis. Ut, si V" dalain quan- dam functionem variabilium x et y eorumque differentia - lium vel derivatarum functionum repræsentet, haec ipsa functio V pro uno eodemque valore x, ejusque integrale intra limites semper eosdem valorum x, diversos tarnen valores amplecti potest. Ita ut quaerere liceat, quaenam sit relatio inter y et x vel qualis sit i] functio ipsius x, ut functio V, vel etiam integrale ejus intra datos limites, majorem aut mitiorem habeat valorem, quam quem dare possint reliquæ functionis forma;. In geometria integrale fl^ d x, quum de relatione inter y et x nihil statuitur, proprietatem generalem vel omnibus curvis communem indicat: et curvam, quae hanc ipsam proprietatem maximum aut minimum reddat, quærere certe possumus. Problematibus ejusmodi naturae, quae uno nomine /ro- ptrimeirica dicere solent, vulgo Calculus variationis adhibetur. Maxime tamen hic Calculus in scientia Mechanica yalet. Quod hoc loco obiter tantum admonemus. 19. Sit itaque propositum, relationem inter x et y quærere, quæ functionem datam U = z /( *,#» y \ y ) maximum aut minimum reddat. Jam igitur concedamus exsistentiam ejusmodi relationis ; functionem vero, quæ illam exprimat variationem subire ponamus. Qua variatione y i*1 V "h fy* y y + Qy' &c«> U autem in 7 -f- AZ7 permutetur. Eodem plane modo atque in Calculo Differential! de Maximis et Minimis hic etiam demonstratur pars

11 încrementi A /, quæ primae est dimensionis respectu ad variationes Qy, 9y \ Qy" &c. habito, nihilo»qualis esse; vel quod idem est, ÔC/rro. Sed ut hoc maximum aut minimum absolutum sit, necesge erunt omnia atque singula variationum coëflicientia nihilo aequalia. inter se omnes conveniunt, Quæ aequationes, si atque eandem inter x et y relationem constituunt, possibilitatem tnaximi aut minimi absoluti comprobant: aliâs vero hoc maximum aut mininum relativum tantum esse potest. Si æquatio quædam conditionalis data est, ut F(x, y, y, y" adhibebitur loco variationis incomplet* QU variatio completa; ita ut in eo casu <$Uzz,o: e qua, ope aequationis aut sub forma B aut F, una quaelibet variationum Jjc, Sy Scc. exterminetur: si plures sint aequationes conditionales, plures etiam variationes eliminentur. 20. Si ipsa fnnctio U est formæ f V d x *), adhibebitur formula iïffdxzzzo; in qua, si nulla æquatio conditionalis data est, facere licet Jïr zr o, quo y in Qy &c, mutantur. De reliquo observandum est, omnes æqüationis F terminos, qui extra signa integrationis sunt positi, ad limites integralium spectare. Præterea hæc æquatio induas dividetur partes distinctas, utramque nihilo»qualem, alteram terminos extra, alteram vero terminos, qui intra signa integrationis inveniantur, continentem. Quod supra *) Dat» functiones differentiales k vel u vel v ~ f(x ;y,z,dx,dy, dz, d1x, d2y, d2z,....) in ejusmodi lorinas, quas nos posuimus, facile mutantur (y. Cale. Difl.).

12 (n. 18, 19) adnotavimus, ad eum casum, quo plures quam y quanti x functiones variabiles occurrant, facile e x tenditur. Regulae speciales ad diversos casus adcommodatas, atque exempla ad eas illustrandas apta, hoc quidem loco recte atque ordine sequerentur; sed, ut supra diximus: hoc officium tam est diligenter expletum in libris Mathematicis, tironibus conscriptis, ut nobis nil fere aliud restaret, quam ad verba transscribere, sive Gamier sive L«acroix sive Francoeur; id quod prroposito nostro haud convenit. *