Elevkonstruerade matematikuppgifter, en väg till ökad matematisk begreppsförståelse?

Transkript

1 Elevkonstruerade matematikuppgifter, en väg till ökad matematisk begreppsförståelse? Kent Nordbakk Östersund 2014 Handledare: Marie Jacobson

2

3 INNEHÅLL INLEDNING OCH BAKGRUND...1 Bakgrund... 2 Avgränsningar... 2 PROBLEM OCH SYFTE... 3 LITTERATURSTUDIE...4 Motiverande faktorer... 4 Inlärningsteorier... 5 Bedömning... 6 Bedömning och problemlösning...7 Aspekter ur Lgr METOD... 9 Allmänt om metod... 9 Undersökningsmetoder Val av metod och datainsamling Undersökningsgrupp...13 Genomförande Databearbetning...15 Tillförlitlighet validitet och reliabilitet Etik...15 RESULTAT OCH ANALYS...16 Bedömning av elevarbeten...16 Resultat elevtillverkade uppgifter Sammanfattande analys av undersökningens resultat...27 DISKUSSION Bedömning av elevarbeten...29 Validitet och reliabilitet REFERENSER BILAGOR...34

4 INLEDNING OCH BAKGRUND Det som händer på matematiklektionerna i skolan vilar ofta på en invand grund. Eleverna får en genomgång av det aktuella momentet och kommer sedan att lösa en mängd bestämda uppgifter på egen hand. Att införa andra metoder i klassrummet som mer jobbar för matematisk förståelse kan upplevas som ett avbrott i den vanliga rutinen och eleverna börjar snart efterfråga den vanliga situationen, att jobba med boken. Erfarenhetsmässigt blir det ett mer engagerande och bättre arbetsklimat när eleverna får andra uppgifter att jobba med, där kanske en eller två uppgifter fyller en hel lektion, och som har fokus på förståelse av ett matematiskt begrepp. Skillnaden i elevsyn dem emellan kan vara att den traditionella undervisningen är mer konkret, det är lätt att bocka av gjorda uppgifter och på så sätt se en progression. Att jobba med förståelse av begrepp är inte lika lätt att pricka av. Utmaningen ligger då i att som regel och från början av skoltiden, skapa undervisning som mer fokuserar på en kvalitativ förståelse av matematiska begrepp än en kvantitativ räknesituation. Ett exempel kan vara förståelse för genomförandet av addition och subtraktion innan eleverna lär sig använda algoritmer. Exempel, additionen utförs med att dela upp talen i hundratal, tiotal och ental och sedan addera dem var för sig. Uppgiften går dela upp i och sedan se att det blir vilket i sin tur blir = =423. Att ha förståelse för matematik som grundförutsättning i matematikundervisningen, och från tidig ålder, bidrar med stor sannolikhet till en mer förtrogenhet och självförtroende hos elever, när det gäller matematik, än vad den traditionella undervisningen kan ge. Forskning inom t.ex. didaktiska kontrakt visar också att det kan förhålla sig på det sättet. Syftet med denna rapport är att försöka finna en infallsvinkel, bland de många som redan finns, i arbetssätt när det gäller matematikundervisning som mer fokuserar på förståelse av matematiska begrepp än vad en kvantitativ räknesituation kan göra. 1

5 BAKGRUND Bakgrund till arbetet är erfarenhet av matematikundervisning som till stor del bestått i att följa matematikböckers upplägg och planeringar, vilka i sig är bra och genomtänkta och bygger på logiska steg av kunskapsutveckling. Dock tar det upplägget av undervisning mer fasta på vad eleverna skall kunna och var de skall nå, inte hur de skall nå dit, det vill säga, ett uppifrån och ner perspektiv. En annan aspekt är att ta reda på var eleven befinner sig i förhållande till ett kunskapsmål och utgå från detta för att ta de steg som behövs för att nå målet, ett nerifrån och upp perspektiv. Eftersom de flesta diagnoser och prov som används inom skolan är uppifrån och ner, är det inte lätt att exakt ta reda på var eleven befinner sig kunskapsmässigt, därför kan ett arbetssätt med elevkonstruerade matematikuppgifter vara ett sätt att nå den kunskapen för pedagogen. AVGRÄNSNINGAR Önskvärt för detta arbete hade varit att ha en referensklass som följt traditionell undervisning och gjort prov inom samma områden som denna undersökning behandlar och jämfört resultaten grupperna mellan. Tidsramen räcker inte till detta men resultatet kommer ändå att vara till glädje och nytta genom att jag i kommande läsår kommer att beröra samma arbetsområden och ha resultatet från detta arbete kvar som jämförelse och på så vis kunna utveckla undervisningsmetoder ytterligare med hjälp av detta. 2

6 PROBLEM OCH SYFTE Problembakgrund till detta arbete är att undervisning i matematik och elevers generella gensvar på den inte alltid är i fas. Både genomgångar och matematikuppgifter följer troligen oftast önskade kunskapsmål. Undervisningen träffar ändå inte alltid helt rätt, vilket går avläsa i elevers engagemang och intresse för ämnet d.v.s. pusselbitarna undervisning och elevengagemang måste passa ihop. I detta arbete vill jag undersöka om elevkonstruerade matematikuppgifter kan vara en väg till ökat elevengagemang i matematik. Syftet är vidare att undersöka hur elevers konstruerade matematikuppgifter står sig i relation till skolverkets bedömningsmaterial i matematik och om det är en användbar undervisningsmetod. Utifrån denna problemformulering och syfte ställer jag mig följande frågor i denna undersökning: 1. Skapar det ett engagemang och motivation för att lära matematik hos eleverna genom att de att konstruerar egna matematikuppgifter? 2. Hur står sig de egenskapade uppgifterna i relation till kunskapskraven och skolverkets bedömningsunderlag i matematik? 3

7 LITTERATURSTUDIE Litteraturstudien är inriktad på de faktorer som har en motiverande inverkan på individen att utföra uppgifter och teorier om inlärning. MOTIVERANDE FAKTORER När det gäller motivation, finns det, enligt (Imsen, 1992) en inre motivation och en yttre. Den inre motivationen styrs av en inre kraft eller intresse och hålls vid liv genom ett intresse för en handling. En person gör något för att det känns bra och därför meningsfullt att hålla på med. Den yttre motivationen innebär att det finns en drivkraft bakom en handling som finns utanför personen. En belöning eller ett mål triggar en person att utföra något och är drivkraft bakom något som är ovidkommande för personen. En orsak till att ta sig an en uppgift i en prestationssituation är en balans mellan två impulser, först lusten att börja med arbetet, med utgångspunkt i ett prestationsmotiv och den andra, till vilken grad personen bedömer sig ha en chans att klara av uppgiften. Balansen dem emellan avgör om personen tar sig an uppgiften eller ej. Samtidigt har den inre belöningen stor betydelse för att utveckla prestationsmotivet, det finns en tillfredsställelse bara i att utföra en handling på ett bra sätt. (Imsen, 1992) Den framgång, framgångsmotivet, som uppkommer när prestationsmotivet har triggat en handling är en produkt av tre förhållanden, ett grundläggande framgångsmotiv, individens subjektiva värdering när det gäller sannolikheten att nå framgång och en subjektiv värdering av värdet att nå framgång. I en prestationssituation aktiveras dessa faktorer. Styrkan i framgångsmotivet är olika hos olika personer samt att det bror på situationen individen befinner sig i. En medelsvår uppgift som bedöms som rimlig att klara av och som innehåller en lagom del osäkerhet är gynnsamt för att trigga det latenta framgångsmotivet. (Imsen, 1992) 4

8 INLÄRNINGSTEORIER Skolpsykologer har tidigare funderat på att finna en teoretisk lösning som förklarar individuella skillnader hos elever i inlärningssituationer och hur dessa skillnader praktiskt ska hanteras. Ett fokus lades då på en kategorisering av av modeller i förhållande till individens respons på en uppgift, det vill säga, ett lärcentrerat närmande av utbildning som skapat tanke- och inlärningsmodeller. (Rayner och Riding, 1998) (Imsen, 1992), hänvisar till Piaget om att inlärningsteori måste ha sin utgångspunkt i att börja bygga kunskap på det som redan finns hos eleven, att ha utgångspunkter i elevernas egna strukturer. Grundtanken är dock, enligt den kognitiva inlärningssynen, att människan har en vilja att lära och genom ett undersökande förhållningssätt tränas ett livslångt lärande. (Walldal, 1995) (Lundh, Montgomery och Waern, 1992) menar att problemlösningsprocesser är successiva förändringar av ett kunskapstillstånd. Processerna pågår tills ett eller flera måltillstånd är uppnådda. För att en förändring skall komma till stånd, måste det aktuella kunskapstillståndet påverkas på ett sätt att en förändring kommer igång och skapar ett nytt kunskapstillstånd. Förändringen kommer till stånd via kognitiva operationer. De operationer en person har tillgängliga för att bearbeta kunskap kallas kognitiv kompetens. Med den kognitiva kompetensen kan en person röra sig från det ena kunskapstillståndet till ett nytt tillstånd eller måltillståndet. Kognitiva operationer kan vara att dra slutsatser om nya områden från kunskaper vi redan har. (Lundh, Montgomery och Waern, 1992) Inlärning är i första hand en en aktivitet hos oss själva, där våra uppfattningar om företeelser och händelser i omvärlden förändras. Kunskap är då det samma som en uppfattning och en förändring av en uppfattning om något i den egna verkligheten. (Ference, Marton m.fl., 1986) 5

9 Vidare menar (Ference, Marton m.fl., 1999) att tidigt i utvecklingen av de psykologiska idéerna fanns argument för associationernas betydelse för vad en person kommer ihåg där experiment visade att minnet påverkades av ett sammanhang med idéer eller fakta nära förknippat med varandra samt att övning också har en inverkan på inlärning. De sammantagna intrycken relateras till tidigare erfarenheter och kunskaper vilka sedan utvecklas till begreppsliga hierarkier som sedan lagras enligt en ökande grad av generalitet. (Ference, Marton m.fl., 1999) BEDÖMNING I Lgr 11 står att elever i den svenska grundskolan skall få en utbildning av hög kvalitet, som även skall vara underlag till fortsatt utbildning. Några punkter som är underlag för bedömning av undervisningen i matematik är att eleverna: kan använda matematik i vardagen och inom olika ämnesområden, utvecklar kunskaper för att formulera och lösa matematiska problem, kan tolka och beskriva matematiska situationer med matematikens uttrycksformer, får en vana i att hantera grundläggande matematiska begrepp samt tolka och presentera data. I undervisningen bedöms sedan eleverna utifrån ett antal förmågor, i matematik är de förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Skolverket, 2011) 6

10 I bedömningen används sedan värdeord som anger i vilken grad eleven uppnår respektive förmåga. Exempel, i stigande skala kan eleven ha grundläggande, goda eller mycket goda kunskaper om matematiska begrepp och i vilka sammanhang dessa används, till exempel: i välkända, bekanta eller nya sammanhang. (Skolverket, 2012) Bedömningsaspekter av elevers förmåga att använda, analysera och se samband mellan begrepp kan utgå från hur eleven: Använder begrepp i olika sammanhang och situationer där en högre kvalitet innebär ökad omfattning och ökad precision i användning av begreppet. Tolkar begreppet i relation till uppgiften. Jämför begrepp och hur samband eller relationer mellan begrepp visas. Till exempel relationen mellan kvadratens sida och area. Resonerar kring begrepp och ser hur de relaterar till varandra, till exempel rita bild som beskriver ett bråktal eller redogöra för hur t.ex. medelvärdet hålls konstant när ingående termer varierar. Använder olika uttrycksformer för att beskriva ett begrepp. Vanligt kan vara relationen bråktal, decimaltal och procent eller sambandet graf och formel. Använder uttrycksformer i olika sammanhang och med vilken precision, t.ex. uttrycka förhållanden med bråktal i stället för avrundade decimaltal. (Skolverket, 2012) BEDÖMNING OCH PROBLEMLÖSNING Enligt Larsson (2013) är problemlösning ett sätt att komma åt och träna förmågor. Gemensamt för många matematiska problem är att det finns många sätt att tänka kring dem, där eleven får kommunicera, resonera, utveckla räknefärdigheter och begreppsförståelse. (Larsson, 2013) Helenius (2013) menar också att när eleven tränar en förmåga är de övriga förmågorna hos aktiva elever också närvarande. Förmågan att hantera rutinuppgifter är dock inte alltid med. Problemlösning och resonemang medför ofta att ett flertal förmågor blir berörda. (Helenius, 2013) 7

11 ASPEKTER UR LGR 11 Några aspekter ur Lgr 11 som jag vill lyfta fram, vilka också beskriver andemeningen bakom denna undersökning. Skolväsendet vilar på en demokratisk grund och enligt skollagen (2010:800) fastställs att utbildning inom svenska skolväsendet skall syfta till att elever inhämtar och utvecklar kunskaper och värden, vilket också skall syfta till elevers framtida utveckling och lusta att lära. (Skolverket, 2011) Genom utbildning i grundskolan är syftet att varje elev skall finna sin egen personliga egenart, vilken ligger till grund till ett obundet deltagande och förmåga att komma till sin rätt i samhället. Vidare har skolan till uppgift att vara vara öppen till enskilda uppfattningar och ställningstaganden och via en saklig och allsidig undervisning uppmuntra att de förs fram. (Skolverket, 2011) Den undervisning som bedrivs i skolan skall vara anpassad till varje elevs förutsättningar och behov och därmed främja elevens fortsatta lärande där elevens bakgrund, erfarenheter, språk och kunskaper ligger till grund. Skollagen föreskriver också att hänsyn i skolan skall tas till elevers olika förutsättningar och behov och därmed finns olika vägar att nå målen för utbildningen och olika vägar till utveckling av elevers förmåga att ta personligt ansvar och utveckla de mer beständiga kunskaper vilka ligger till grund för den gemensamma referensram som finns i samhället. För att nå dit behöver eleverna tränas i att ta initiativ, utveckla studieteknik och lära sig metoder att tillägna sig och använda ny kunskap. En viktig del i detta arbete är att skolan stimulerar elevernas kreativitet, nyfikenhet och självförtroende samt viljan att prova egna idéer och lösa problem med utgångspunkt i såväl arbete tillsammans med andra som självständigt arbete. (Skolverket, 2011) 8

12 METOD Innehåller allmän beskrivning av metod, datatyper, olika typer av studier och metodval samt val av datainsamling. ALLMÄNT OM METOD Vad är metod, (Halvorsen, 1992) besvarar frågan med att det är läran om de instrument som används vid insamling av information, data och fakta. Fakta finns färdig och data kommer från empiriska studier. Vidare säger (Halvorsen, 1992) att metod är ett systematiskt sätt att undersöka verkligheten och i slutändan komma fram till nya kunskaper. Metod är enligt (Ejvegård, 2003) ett vetenskapligt sätt att närma sig det ämne en undersökning kommer att behandla. Metoden kan vara en beskrivning med olika jämförelser, att formulera hypoteser eller göra förutsägelser. Medvetenhet i metodval och metodapplicering är ett viktigt sätt att sträva efter vetenskaplighet. Metodval i en undersökning och hur den tillämpas skall anges i klartext eftersom varje metod går modifiera på olika sätt. (Ejvegård, 2003) Underlag till en forskningsrapport, (Halvorsen, 1992), kan förekomma i två olika datatyper, primärdata och sekundärdata. Primärdata är ny data, insamlad av den som gör en undersökning. Sekundärdata är data insamlad sedan tidigare av andra och kan vara underlag till en undersökning. Kvalitativa metoder, (Halvorsen, 1992). Metod där intervjuer, diskussioner och observationer ligger till grund för insamlad data. Observationer kan vara både på fältet och en så kallad laboratorieundersökning med tillrättalagd miljö. Observatörens delaktighet kan vara känd eller dold. (Halvorsen, 1992) anger fördelar med intervju som exempelvis mindre bortfall och att frågorna går förtydliga vilket medför att svaren går att fördjupa. Kommentarer från intervjuaren kan underlätta tolkning av svar och att den som blir intervjuad inte vet vilka frågor som kommer senare i intervjun vilka inte påverkas av frågor tidigare i intervjun. (Halvorsen, 1992) 9

13 (Halvorsen, 1992), nackdelar med intervju. Intervjuarens personlighet och arbetssätt kan påverka intervjuresultatet, som kan bero på att respondenterna svarar på ett visst sätt för att göra ett gott intryck eller inte verka okunniga, dvs svarar det de tror intervjuaren vill höra. Intervjuer kan också påverkas negativt om respondenterna har möjlighet till kontakt med varandra mellan varje intervju. (Halvorsen, 1992). Kvantitativa metoder, enkäter, metod att samla in data med formulär innehållande övervägande fasta svarsalternativ som respondenten fyller i. Fördelar med enkät: Enkäter kan göras på större urval än intervju. Respondenten kan i lugn och ro fundera över frågorna och överväga svarsalternativ. Frågeformuläret är standardiserat, alla frågor och svarsalternativ presenteras lika för alla, intervjuareffekten, respondentens påverkan av hur intervjuaren ställer frågor, elimineras. Nackdelar enkät: Intervjuer ger möjlighet att gå mer på djupet och kan innehålla mer anpassade uppföljningsfrågor. Respondenten kan ställa frågor till intervjuaren kring det denne inte förstår som rör frågan, där det finns mindre möjlighet med detta vid enkätundersökning. Det är svårare att beröra känsliga frågor med en enkät, vilket en väl genomtänkt intervju kan klara av. (Ejlertsson, 1996) Kvantitativ metod är till stor hjälp då det gäller att finna struktur i data, både för att få överblick och förmedla information på ett effektivt sätt. Kvantitativ metod är ett redskap för analys, att resultatens innebörd klargörs och knyts till undersökningens frågeställningar. (Eggeby och Söderberg, 1999) 10

14 (Andersson, 1985) beskriver information i termer av subjektiv och objektiv. Den objektiva informationen beskriver hur ett händelseförlopp faktiskt gått till. Ett förlopp som går beskriva på ett mätbart sätt, genom tex filmupptagning. Den subjektiva informationen är i form av återberättelse av personer som bevittnat ett speciellt händelseförlopp och ger sin upplevda version återberättad. Informationen är då inte mätbar utan olika orsaker tex uppmärksamhet, syn, hörsel, sinnestillstånd, kan påverka hur exakt något återges. I det fall informationen inte är objektiv kan den enligt (Andersson, 1985) bland annat delas in i: Faktiska förhållanden. Enklare åsikter. Attityder. Mera djupt liggande värderingar. Upplevelser. Tolkningar. Utom i mätbara faktiska förhållanden, ålder, antal barn i familjen, bostads storlek etc kan den subjektiva informationen vara mer eller mindre komplicerad. Dock, anser (Andersson, 1985), att om den tillfrågade inte medvetet försöker lura frågeställaren och händelserna skett relativt nyligen, kan svaren i stort sett ses som objektiva. UNDERSÖKNINGSMETODER Fallstudie (Ejvegård, 2003) är användbar i många forskningssammanhang och ofta en alternativ forskningsväg tillsammans med andra metoder. Fallstudien tar ut en liten del av ett stort förlopp och fallet får då representera och beskriva en större verklighet. Svårigheten är att ett enda fall inte fullt ut kan representera verkligheten. Dragna slutsatser kan mer ses som indicier än vara heltäckande. Ett mer allmängiltigt värde får resultatet om andra indicier från andra 11

15 forskningsmetoder visar på resultat i samma riktning. (Ejvegård, 2003) Den stora fördelen med fallstudier, enligt (Bell, 2000), är att den gör det möjligt för forskaren att koncentrera sig på en enda händelse eller företeelse och de faktorer som påverkar dem. Dessa processer kan vara dolda i en surveyundersökning men ändå vara avgörande för hur ett system eller organisation fungerar. Ett sätt att öka förståelsen av ett undersökningsobjekt är med teoribildning, (Ejvegård, 2003), en teori om hur något är tänkt ska fungera, inte en beskrivning av hur något verkligen fungerar. Teoribildning ger ingen övergripande bild, utan en förenklad bild av hur vissa delar kan tänkas hänga ihop och fungera tillsammans. Aktionsforskning är enligt (Bell, 2000) mer ett angreppsätt än en metod eller teknik för att med en praktiskt och problemlösande inriktning öka förståelse och förbättring under en längre tidsperiod. Forskningsmetoden är en på-platsen-metod där stegen i undersökningen styrs och kontrolleras med många tekniker, tex enkäter, dagböcker och intervjuer vars återkoppling kan förändra, modifiera och anpassa den undersökta situationen. Aktionsforskning är ett återkommande begrepp när det gäller att utveckla en verksamhet, både inom privat och offentlig sektor. Aktionsforskning har en utgångspunkt i praktiken och verkar för ett samarbete mellan forskning och praktisk tillämpning. Forskningens avsikt är att leda till förändring. (Rönnerman, 2004) Förloppet med aktionsforskning kan ses ur ett bottom-up perspektiv, dvs utgår och utvecklas från användarens verklighet, till skillnad från top-down perspektiv, där utomstående beslutar om vad som sker i en verksamhet. Med ett nedifrån-och-upp perspektiv kan då egna praktiska frågeställningar prövas för att finna nya vägar till förändring. Utgångspunkten för forskningen måste då vara en delad syn på vad en förändring skall bestå i. (Rönnerman, 2004) 12

16 VAL AV METOD OCH DATAINSAMLING Till detta arbete har aktionsforskning valts, främst utifrån två aspekter. Det är den metod som känns ligga närmast till hand att använda i min profession och att den uppfyller mina önskningar om användbarhet. Detta till exempel genom att metoden har en praktisk ansats och att den har för avsikt att öka förståelse och förbättringar av en verksamhet under en längre tidsperiod. Vidare att metoden bygger på ett bottom-up perspektiv, som i detta fall innebär att elevens situation är utgångspunkt till ett eventuellt förändringsarbete som kan bli aktuellt utifrån resultatet av denna undersökning. Insamlad data blir kvantitativ via enkät om attityder, samt elevarbeten från en provliknande situation. UNDERSÖKNINGSGRUPP Undersökningsgruppen har bestått av elever från fyra klasser i en grundskola från en stad i mellansverige: två årskurs sju, en årskurs åtta och en årskurs nio med totalt 84 elever. Bortfallet har varit sju stycken, så totalt deltog 77 elever i undersökningen. 13

17 GENOMFÖRANDE Några veckor innan själva arbetet med att låta elever konstruera egna uppgifter kontaktades två andra matematiklärare på skolan för att höra vilka områden i matematik de skulle beröra den närmaste tiden och om det fanns möjlighet att genomföra en undersökning i samband med de momenten. De moment de olika klasserna arbetade med var ekvationer, omkrets och area, diagram och procent. Lärarna gjorde också bedömningen att elevarbeten med egna matematikuppgifter kunde ligga till grund för examination inom området. När eleverna i aktuella klasser genomfört några lektioner inom sitt arbetsmoment fick de en presentation av detta projekt och uppgiften de skulle genomföra. Detta skedde åtta till tio dagar före själva tillfället de skulle konstruera uppgifter. Utöver att presentera projektet fick de samma underlag de senare skulle använda. Ansatsen var densamma som i skolverkets Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik, uppgift procent, sidan 11 (Skolverket, 2012). Att en fiktiv elev inte varit på skolan under den tid eleverna arbetat med aktuellt moment, och att de sedan skulle förklara innebörden av aktuellt moment för eleven och hur det går använda. Slutligen skulle eleverna konstruera matematikuppgifter till den fiktiva eleven som belyser innebörden av momentet. Se bilaga 1-4. Vid genomförandet arbetade eleverna självständigt med uppgifterna. Vidare avslutade de med att besvarade en enkät om hur de uppfattat arbetssättet. Inlämnade uppgifter kopierades och undervisande lärare fick originalen för den egna bedömningen. 14

18 DATABEARBETNING Samtliga inlämnade elevarbeten har bedömts och betygsatts enligt kunskapskraven i matematik, Lgr 11. Bilaga 5 har sammanställts i diagram som visar den grad eleverna var positivt inställda till arbetssättet. Bilaga 5 har fyra svarsalternativ, de två första visar på en mer positiv inställning medan de två sista på en lite mindre positiv inställning. Bortfallsanalysen visade att av sju elever som ej deltog i undersökningen var fem från samma klass. Enligt undervisande lärare var de representativa för klassen i stort, så de skulle inte påverka resultatet i någon större omfattning i någon riktning. De övriga två bedöms vara för få för att kunna ha inverkan på resultatet. TILLFÖRLITLIGHET VALIDITET OCH RELIABILITET Validitet som talar om ifall insamling och tolkning av data överensstämmer med problemformulering och skulle kunna öka ytterligare, vilket inledningsvis nämns under avgränsningar, genom att tillföra referensgrupper. I slutsatser till arbetet nämns också hur resultaten går använda för att öka elevers förståelse av matematiska begrepp. Reliabilitet anger om mätningar i arbetet är de som angivits innan genomförande. I denna undersökning har mätningar har gjorts i fyra oberoende klasser och insamlat material går bedöma och bearbeta på ett likartat sätt, så reliabiliteten bör vara hög. ETIK I samband med att projektet och uppgifter till elever presenterades, fick de också information om, att i rapporten skulle ingen elev gå att identifiera eller framgå vilken skola som deltagit i undersökningen. 15

19 RESULTAT OCH ANALYS Sammanställning av fyra undersökningar i fyra klasser, vilka generellt beskrivits under rubriken genomförande, samt resultatet av en enkätundersökning eleverna gjorde efter genomförd undersökning. Årskurs Antal Pojkar Flickor Bortfall Tabell 1. Sammanställning av deltagande elever. BEDÖMNING AV ELEVARBETEN I samtliga fall är inlämnade elevarbeten bedömda utifrån de kunskapskrav i matematik som återfinns i Lgr 11. Uppgiften till eleverna bestod av två delar, en teoretisk del där eleven skulle förklara innebörden av ett begrepp och hur det går använda, och en mer praktisk del där eleverna skulle ge förslag på matematikuppgifter för aktuellt begrepp. Delarna bedömdes var för sig utifrån kunskapskraven. I stort sett uppnådde eleverna samma kunskapsnivå på de båda delarna. Om bedömningen var betyget E på första delen var det med stor överensstämmelse även så på den andra delen. Betygen B och C har också bedömts på enskilda arbeten vilket kanske inte alltid ska vara fallet utan att dessa betyg mer är tänkt använda som ett slutbetyg. Orsaken till att de använts är att ge en mer tydlig bild av hur långt eleverna nått inom respektive moment. 16

20 RESULTAT ELEVTILLVERKADE UPPGIFTER Ekvationer, årskurs nio A B C D E F Diagram 1. betygsfördelning vid bedömning av elevtillverkade ekvationer. Resultatet avser vad eleverna totalt uppnått sammantaget på uppgiftens båda deluppgifter. I denna undersökning kunde samtliga elever förklara vad ekvationer är. Graden av komplexitet på förklaringar varierar från att det är något man räknar med, någon förklaring till användningsområde till mer komplexa förklaringar med ekvationer insatta i ett sammanhang. Exempel: Bild 2. Exempel på elevförklaring av vad en ekvation är. 17

21 Ytterligare elevexempel på vad en ekvation är: Bild 3. Exempel på elevförklaring av vad en ekvation är. 18

22 Progression i elevarbeten börjar i att elever beskriver det praktiska förfarandet vid ekvationslösning, att höger och vänster led är lika. Förändringar i ett led medför en likadan förändring i det andra ledet. Elever beskriver också att en ekvation har ett okänt tal som går att lista ut genom att se på ekvationen, t.ex. i linjära ekvationer med x i ett led eller genom en x division, t.ex. 4 =25. Ekvationerna är av den art att de går beräkna utan andra operationer. På nästa nivå visar elever på mer handhavande i ekvationslösning, obekanta i båda leden och lösningsförfarande med ledvis eliminering. Eleverna ger även exempel på användningsområden för ekvationer, t.ex. att räkna om recept. Elever som hamnar på de högre betygen använder metoder som visar på mer förståelse av uttryck med okänd, t.ex. att delvis hoppa över elimineringsförfarandet och resonera om 3x 1 uttrycket, t.ex. 1+ 4x =1, täljare och nämnare måste vara lika för att kvoten skall vara ett. Eleverna visar också ett utvecklat redovisningsförfarande vid lösande av ekvationer med systematisk motivering av varje steg. De visar också på mera utvecklade tillämpningsområden samt att lösa ekvationer med prövning, att successivt ringa in värdet på x i uttryck de inte bekantat sig med i grundskolan. Bild 4. Exempel på elevkonstruerade linjära ekvationer. 19

23 Procent, årskurs åtta A B C D E F Diagram 2. betygsfördelning vid bedömning av elevtillverkade procentuppgifter. I en stigande betygsskala har eleverna på första nivån en förståelse för procentbegreppet och kan beskriva det. I flera fall beskriver eleverna samband mellan procent, bråk- och decimaltal. De visar också en förståelse för beräkningar med jämna procenttal, t.ex. 20 och 25% rabatt. Nästan genomgående är det dock en avsaknad av reflektion över resultatet. Ofta blir rabatten det pris som ska betalas och tvärtom. I de egenkonstruerade uppgifterna håller sig varje elev ofta inom samma tema, t.ex. bankränta eller rabatt på inköp. Även i nästa betygsnivå använder eleverna mer grundläggande procenttal och jämna hundra och tusental i uppgifterna. Skillnaden mot tidigare nivå är att eleverna har mer förståelse om vad de beräknar, om det är nya priset eller rabatten i kronor. Varje eleverna har också en viss variation på de uppgifter de skapar. I ytterligare ett betygssteg har uppgifterna en ökad variation och att de innehåller uppgifter som inte alltid garanterar en heltalslösning. Eleverna håller också i beräkningsprocessen på ett tydligare sätt och hamnar i slutändan på en korrekt utförd och redovisad lösning. Den elev som nått längst i undersökningen hade inte tillrättalagda uppgifter utan behärskade 20

24 begreppet utifrån situation. Generellt kan nämnas att flertalet elever gick via att först beräkna en procent när de ville ta reda på det procentuella antalet, d.v.s. mer användande av en metod än en förståelse av begreppet. Bild 5. Exempel på en elevkonstruerad procentberäkning, del av hel. 21

25 Omkrets och area, årskurs sju A B C D E F Diagram 3. betygsfördelning vid bedömning av elevtillverkade uppgifter rörande omkrets och area. I enlighet med resultatdiagrammet för omkrets och area kunde alla elever beskriva skillnaden mellan omkrets och area och ge exempel på beräkningar med begreppen. 22

26 Bild 6. Elevexempel på förklaring av areaberäkning. I de mer grundläggande svaren beskrivs omkretsen till exempel med att plussa ihop sidorna och area med att gångra eller multiplicera sidorna. I de mer detaljerade svaren beskrivs omkretsen som längden runt en figur och arean hur mycket innehåll figuren har, samt att ange arean med enheten cm2, förslag på omkrets kan också vara från sammansatta geometriska figurer. För de elever som nått de högre betygen finns beskrivning om hur arean i en parallellogram kan beräknas, detaljerad beskrivning om beräkning av triangelns area samt en uppgift att beräkna en kvadrats omkrets om arean är känd. 23

27 Bild 7. Elevexempel på beräkning av area hos parallellogram. Bild 8. Elevexempel på förhållande area omkrets. 24

28 Diagram, årskurs sju A B C D E F Diagram 4. betygsfördelning vid bedömning av elevtillverkade uppgifter rörande diagram. Uppgiften bestod i att beskriva stolp-, stapel- och linjediagram och deras användningsområden. De elever som inte nådde betyg i denna grupp hade börjat och kommit en bit på väg, vilket gav ett underlag att jobba vidare på. För elever som nådde betyget E fanns korrekta beskrivningar av diagramtyperna och att de var i ett användbart sammanhang. Eleverna med högre betyg beskriver lite mer ingående data som finns i diagrammen och att diagrammen är mer noggrant utformade. Vanligaste elevtillverkade uppgifterna var att skapa och läsa av diagram utifrån tillhandahållna värden. Ytterligare ett steg upp i betygsskalan använder eleverna diagram i ännu mer konkreta sammanhang. Till exempel berör avläsningar skillnader mellan olika staplar, användande av skala, till exempel, 1 cm = en miljon. Vid några tillfällen har eleverna gjort markering att om diagrammet börjar på till exempel värdet 200, kommer värden under inte med. I ytterligare en nivå använder eleven summan av värden i stapeldiagram samt att avgöra hur många som når över ett visst tröskelvärde och att beskriva en bilfärd i linjediagram med pauser inlagda. 25

29 Resultat enkät 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 ett två tre fyra Diagram 5. procentuell fördelning i vilken grad eleverna var positiva till arbetssättet. Stapel ett och två, och vilken grad de var mindre positiva, stapel tre och fyra. 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 ett och två tre och fyra Diagram 6. sammanställning av diagram 5, procentuell fördelning. 26

30 Enkäten eleverna gjorde direkt efter att de konstruerat uppgifter visar att 70 procent av eleverna, 54 stycken, var positivt inställda till arbetssättet och cirka 30 procent var mindre positivt inställda, bilaga 5. Antydan från elever som givit svar i stapel tre och fyra var att arbetssättet bröt mönstret de var vana vid och att det krävde en arbetsinsats utöver den vardagliga för dem. SAMMANFATTANDE ANALYS AV UNDERSÖKNINGENS RESULTAT 1. Skapar det ett engagemang hos elever att skapa egna uppgifter? Svaret på frågan kan vara både ja och nej. Elever kan göra bra ifrån sig genom att både se nyttan av att genomföra skolarbete och ha vanan till det, det vill säga, eleverna har en vilja att genomföra arbetet. Hos många av de inlämnade arbeten finns underlag till matematiskt resonemang som inte är så vanligt vid traditionella prov och tester. Det ger eleverna en bild av vad de kan skapa och vad matematiken kan utföra. Eleverna har då ett bättre underlag, som kursplanen anger, att fatta välgrundade vardagsbeslut och ett deltagande i samhällets beslutsprocesser. Ett generellt intryck undersökningen gav var att eleverna engagerade sig i uppgiften. I merparten av de inlämnade uppgifterna var känslan att eleverna gjort bra ifrån sig och att de haft en vilja att visa vad de kan. 2. Hur står sig de egenskapade uppgifterna i relation till skolverkets bedömningsunderlag i matematik? Att bedöma om eleverna förstått begreppet eller ej var lätt att göra utifrån skolverkets bedömningsmaterial. Att bedöma de högre betygen kräver mer, till exempel att använda färdiga kriterier eller att ta hjälp med bedömningsexempel från nationella prov i matematik. Ett underlag för formativ bedömning kan också vara att låta elever ta del av andra elevers arbeten och se exempel på vad deras eget nästa steg är. Det totala intrycket är att elevlösningarna gick bra att bedöma och att se deras betygsnivå med hjälp av Skolverkets kunskapskrav och värdeord i Lgr

31 DISKUSSION Den, som jag anser viktigaste, generella aspekten inom studier och inlärning är att vara motiverad och tycka att det är roligt att lära sig nya saker och på så sätt utvecklas. I litteraturstudien nämns några orsaker som ligger till grund för motivation, att en person tar sig an en uppgift och i slutändan påverkar framgångsmotivet. Då undersökningen var klar hade 75 av 77 elever nått betyget E eller högre. De som inte nått betyg hade påbörjat uppgiften på ett bra sätt och hade med lite handledning kunnat nå längre. Vid en ytterligare genomläsning av elevarbeten inför analys av resultatet justerades några betyg upp, då de innehöll aspekter som missades vid den första bedömningen. Litteraturdelen har berört Rayner och Riding, vilka nämner utbildning som en respons på uppgifter. Imsen hänvisar till Piaget, som förfinar aspekten om att inlärningsteorier måste ha sin utgångspunkt i att börja bygga kunskap på det som redan finns hos eleven. En utgångspunkt till inlärning menar Walldal, är att människan har ett inneboende vilja att lära. Lundh, Montgomery och Waern talar om att kognitiva operationer bidrar till en kunskapsförändring. De operationer en person har tillgängliga, det vill säga, det som redan finns hos personen, kallas kognitiv kompetens. Den slutsats som går dra av detta är att uppgifter till elever måste matcha deras kognitiva kompetens för att de ska kunna ta sig an dem. Ference, Marton m.fl. samt Egidius tar också upp frågan om inlärning och en förändring av vår uppfattning om omvärlden som en process, som också innehåller och bygger på personens tidigare erfarenheter. Den inledande delen av detta arbete som berör aspekter från Lgr 11, nämner skolverket att några av skolans uppgifter är att skapa en framtida lust hos eleven att lära. Eleven skall finna sin personliga egenart genom att undervisningen skall vara anpassad till varje elevs förutsättningar och utveckla elevens förmåga till personligt ansvar och tillit till den egna förmågan. Undervisningen skall också successivt öka elevens inflytande på den egna utbildningen och utveckla mer beständiga kunskaper. Vidare nämner skolverket att kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivet och ökad möjlighet att delta i samhällets beslutsprocesser. 28

32 Den personliga bedömningen efter att ha tagit del av elevarbeten som detta arbete genererat är att många av dess aspekter blir uppfyllda med elevtillverkade matematikuppgifter. Eftersom de utgår från elevens tidigare erfarenheter bygger de vidare på individens egenart, undervisningen blir anpassad till elevens förutsättningar då det går se var eleven befinner sig kunskapsmässigt. Det finns också förutsättningar till personligt ansvar då eleven inte bara förväntas kunna lösa färdigtillverkade uppgifter utan även också tillverka egna och på så sätt se arbetet bakom en uppgift. Detta lägger också troligen en grund för tillit av den egna förmågan och en inblick i att eleven kan påverka den egna utbildningen. BEDÖMNING AV ELEVARBETEN Precis som Helenius nämner är det svårt att jobba med en förmåga utan att få de andra förmågorna på köpet. De arbeten elever som deltagit i undersökningen redovisat berör olika nivåer av komplexitet. Första nivån har berört begreppet som sådant, vad det innebär och grundläggande tillämpningsområde, t.ex. att beräkna arean på en rektangel är basen multiplicerat med höjden och ett räkneexempel kopplat till detta. I andra nivån har eleven i viss mån fört ett självständigt resonemang kring begreppet och även berört exempel från undervisningen. I den tredje nivån för eleverna ett självständigt resonemang, ger bredd på exempel som inte uppenbart är hämtade från undervisningen utan är egna reflektioner. De eleverna har också haft fler förmågor med i sina redovisningar. I bedömningen har betygsstegen B och D också använts för att ge en blick av hur långt elever nått i respektive område. VALIDITET OCH RELIABILITET Validitet i arbetet. I vilken grad har det som avsetts mäta blivit mätt. Syftet var att se om elevkonstruerade matematikuppgifter var motivationsskapande och engagerande för elever och hur uppgifterna står sig i relation till Skolverkets kunskapskrav och bedömningsunderlag i matematik, vilket också i stor utsträckning blivit undersökt. Eleverna har konstruerat uppgifter och sedan har de besvarat en enkät om hur motiverande och engagerande det var att skapa egna matematikuppgifter. 29

33 Reliabilitet, skulle samma undersökning i en annan skola eller klass ge samma resultat. Resultatet var att en större andel elever upplevde arbetssättet som motiverande. Det som kan påverka resultatet är arbetet som gjorts innan testet. I detta fall gjordes undersökningen i samband med att eleverna haft undervisning inom arbetsområdet och var på så sätt uppdaterade. Eleverna hade då hjälp av undervisningen att skapa uppgifter, vilket också resultat inom betygsskalan D-E visade, att konstruerade uppgifter speglade undervisningen. I betygsnivåerna C-A fanns det mer inslag av egna funderingar hos eleverna. Att undersökningen gjordes i samband med att arbetsområdet behandlades kan vara en förklaring till att många tyckte arbetssättet var motiverande, då de hade draghjälp av undervisningen att konstruera uppgifter. Ett annat alternativ kan vara att eleverna gör motsvarande uppgifter en tid efter att arbetsområdet klarats av. Förberedelser då kan vara egna studier för att uppdatera sig inom området. Konstruerade uppgifter kan då mer mäta vad eleverna lärt sig och kommer i håg. Grad av motivation kan inför uppgiften kan då troligen vara mer varierad, då nyligen genomförd undervisning inte hjälper till på samma sätt som i tidigare exempel. Ytterligare aspekt kan vara hur vana eleverna är av formativ bedömning och ser uppgiften som en del i detta. Då kan resultatet troligen också bli ett annat. Grad av generell motivation hos eleverna kan då ha större effekt på resultatet än vad som visades i den gjorda undersökningen. Sammanfattningsvis kan sägas att undersökningen gjordes i fyra klasser och tendensen i det elevproducerade materialet var i stort detsamma oavsett vilket begrepp de arbetade med. Det känns därför troligt att samma undersökning i en annan skola skulle kunna ge ett liknande resultat. 30

34 Har undersökningen visat på något resultat som går använda i matematikundervisning som inte gick förutse innan undersökningen genomfördes? Ansatsen innan genomförandet av denna undersökning var att elever skulle få bättre förståelse av matematiska begrepp genom att de skulle förankras på ett tydligare sätt när de själva tillverkar uppgifter. Så är nog också fallet, den oväntade aspekten av undersökningen var den mångfald av olika elevlösningar som eleverna bidrog med. Detta skapar en annan förutsättning än vad som kunde förutses när det gäller formativ bedömning. Den gängse formen för formativ bedömning är utifrån diagnoser och prov och från dem göra en bedömning. Att använda färdigt material är bra och fungerar på många, kanske främst på motiverade, elever. Det som skiljer är den detaljrikedom som finns hos elevtillverkade uppgifter. De ger ett tydligt svar på var eleven befinner sig kunskapsmässigt, om de svarat uttömmande, och ett underlag för formativ bedömning och anpassning av individuellt lärande. 31

35 REFERENSER Andersson, Bengt-Erik. (1985). Som man frågar får man svar. Kristianstad: Rabén & Sjögren. Bell, Judith. (2000). Introduktion till forskningsmetodik. Lund: Studentlitteratur. Eggeby, Eva. Söderberg, Johan. (1999). Kvantitativa metoder. Lund: Studentlitteratur. Egidius, Henry. (2009). Pedagogik för 2000-talet. Stockholm: Natur & Kultur. Ejlertsson, Göran. (1996). Enkäten i praktiken. Lund: Studentlitteratur. Ejvegård, Rolf. (2003). Vetenskaplig metod. Lund: Studentlitteratur. Helenius, Ola. (juni 2013). Förmågor en tillbakablick och summering. Skolverket: Lärportalen förmatematik. Larsson, Maria. (april 2013). Undervisa i matematik genomproblemlösning. Skolverket: Lärportalen förmatematik. Lundh, Lars-Gunnar. Montgomery, Henry. Waern, Yvonne. (1992). Kognitiv psykologi. Lund: Studentlitteratur. Halvorsen, Knut. (1992). Samhällsvetenskaplig metod. Lund: Studentlitteratur. Imsen, Gunn. (1992). Elevens värld Introduktion i pedagogisk psykologi. Lund: Studentlitteratur. Ference, Marton m.fl. (1986), Hur vi lär. Falun: Norstedts Akademiska Förlag. 32

36 Ference, Marton m.fl. (1999). Inlärning och omvärldsuppfattning. Smedjebacken: Norstedts Akademiska Förlag. Rayner, Stephen. Riding, Richard. (1998). Cognitive Styles and Learning Strategies. London: David Fulton Publishers Ltd. Rönnerman, Karin (red.). (2004). Aktionsforskning i praktiken. Lund: Studentlitteratur. Skolverket. (2012). Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik. pdf-fil. Skolverket. (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet. Västerås: Edita. Walldal, Elvi. (1995). Problembaserad inlärning- ett utvärderingsexempel. Lund: Studentlitteratur. 33

37 BILAGOR Ekvationer bilaga 1 En elev, Erik, har inte varit i skolan på ett tag och har inte varit med på genomgång av ekvationer. 1. Berätta för Erik vad ekvationer är och hur de går använda. 2. Gör några ekvationer som Erik kan lösa, på ett annat papper skriver du facit och tillvägagångssätt för att lösa varje ekvation du tillverkat.

38 Procent bilaga 2 En elev, Elisabet, har inte varit i skolan på ett tag och har inte varit med på genomgång av procent. 1. Berätta för Elisabet vad procent är och hur de går använda. 2. Gör några uppgifter med procent som Elisabet kan lösa, på ett annat papper skriver du facit och tillvägagångssätt för att lösa varje uppgift du gjort till Elisabet.

39 Omkrets och area bilaga 3 En elev, Anders, har inte varit i skolan på ett tag och har inte varit med på genomgång av omkrets och area. 1. Berätta för Anders vad omkrets och area är och hur de går använda. 2. Gör några uppgifter med omkrets och area som Anders kan lösa, på ett annat papper skriver du facit och tillvägagångssätt för att lösa varje uppgift du gjort till Anders.

40 Diagram bilaga 4 En elev, Stina, har inte varit i skolan på ett tag och har inte varit med på genomgång av diagram. 1. Berätta för Stina vad stolp- stapel och linjediagram är och hur de går använda. 2. Gör några uppgifter med stolp- stapel och linjediagram som Stina kan lösa plus att du skriver facit och tillvägagångssätt för att lösa varje uppgift du tillverkat.

41 Enkät bilaga 5 Årskurs: Är du: flicka pojke Uppgift klassen jobbat med: 1. Hur tycker du det varit att förklara för en annan elev om den uppgift klassen jobbat med? lätt ganska lätt ganska svårt svårt 2. I vilken grad tyckte du det var motiverande att börja med uppgiften? stor ganska stor ganska liten liten 3. I jämförelse med att till exempel göra prov efter ett kapitel, hur kändes det att redovisa på detta sätt? bra ganska bra mindre bra inte bra 4. Hur nöjd känner du dig med hur du beskrivit det matematiska begreppet för en annan elev? nöjd ganska nöjd mindre nöjd inte nöjd

42 5. Hur nöjd känner du dig med de matematikuppgifter du skapat till en annan elev? nöjd ganska nöjd mindre nöjd inte nöjd 6. I hur stor grad kändes det som du kunde utgå från din egen erfarenhet när du beskrev det matematiska begreppet för en annan elev? stor ganska stor liten inte alls 7. I hur stor grad kändes det som du kunde utgå från din egen erfarenhet när du skapade matematikuppgifter till en annan elev? stor ganska stor liten inte alls 8. När ni fick uppgiften, i vilken grad upplevde du dina möjligheter att klara den? stor ganska stor ganska liten liten 9. Hur upplevde du som helhet efter att du gjort uppgiften att du klarade den? bra ganska bra mindre bra inte bra 10. Som helhet, tycker du att du lärt dig mer om detta område i matematik med detta arbetssätt än du annars lär dig? mer Tack! lika mycket lite mindre mindre

43 Elevexempel diagram bilaga 6

44

45

46

47

48