TNSL011 Kvantitativ Logistik

Transkript

1 TENTAMEN TNSL011 Kvantitativ Logistik Datum: 19 december 2012 Tid: 08:00 12:00 i SP71 Hjälpmedel: Hjälpmedel av alla slag, förutom kommunikationsutrustning (telefoner, datorer, och andra saker som kan ta emot signaler från omvärlden) är tillåtna. Böcker, egna anteckningar och alla former av räknedosor är således tillåtna. Antal uppgifter: 7 st (21 poäng totalt). För godkänt krävs minst 1 poäng på varje enskild uppgift. För betyg 4 krävs 14 poäng, för betyg 5 krävs 17 poäng Examinator: Fredrik Persson Jourhavande lärare: Fredrik Persson, tfn Innehåll: 7 uppgifter på 9 sidor Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Om Du använder dig av bifogade lösningsblad, glöm inte att lämna in dem! Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.

2 TNSL11- Kvantitativ logistik 2(14) (3p) Uppgift 1 Det är den 12e december, julen nalkas och det är mycket som behöver göras. Tomtefar, tomtemor och de små nissarna jobbar dygnet runt för att hinna klart i tid. Alla kvarstående aktiviteter återfinns i tabellen nedan. Före- Pessimistisk Mest trolig Optimistisk gångare tid tid tid 1. Tillverka sista julklapparna Putsa släden Borsta renarna Laga tomtegröt Skriva rim Slå in paket Packa släden 2,5, Äta tomtegröt 3,4, a) Rita upp tabellen alla aktiviteter i ett nätverk med aktiviteten på bågen (AoA). (1p) b) Vad är den förväntade tidsåtgången och variansen för respektive aktivitet? (1p) c) Var finns den kritiska vägen? Kommer tomtarna i tomteverkstaden hinna, enligt lösningen baserat på de mest troliga aktivitetstiderna? (1p) 2

3 TNSL11- Kvantitativ logistik 3(14) (3p) Uppgift 2 På torget i Kököping finns tre bankomater utom synhåll från varandra med en varsin kö. Anna står mitt på torget och har lika långt till respektive bankomat. Antag att ankomstprocesserna är poisson-fördelade med ankomstintentitet enligt tabellen nedan. Dessutom är betjäningstiderna exponentialfördelade med betjäningstider enligt tabellen nedan. Data Bankomat 1 Bankomat 2 Bankomat 3 Ankomstintentitet (personer/minut) Betjäningstid (sekunder) a) Vilken bankomat skulle Anna välja om hon valde bankomat baserat på sannolikheten att det inte är kö till bankomaten? Motivera med beräkningar! (1p) b) Antag att det tar en halv minut att gå från var Anna befinner sig till valfri bankomat (lika långt till alla tre). Vilken är det kortaste tiden Anna måste vänta innan hon får sina pengar från vald bankomat? Motivera med beräkningar! (1p) c) Anna är väldigt social. Vid vilken bankomat har hon störst chans att träffa på någon kompis? Motivera med beräkningar! (1p) 3

4 TNSL11- Kvantitativ logistik 4(14) (3p) Uppgift 3 Betrakta följande ruttplaneringsproblem. 7 kunder (A-G) skall få leverans. Varje kund skall få hela sin leverans tillgodosedd av en bil, men varje bil kan naturligtvis leverera till flera kunder på samma tur. Kunderna får besökas i valfri ordning, men naturligtvis vill man göra det så billigt som möjligt. Endast en biltyp med kapacitet 20 enheter finns tillgänglig. Den beräknade kostnaden för bilen uppgår till 10 kr/km, samt en startkostnad på 200 kr för varje bil som används. En kartskiss, efterfrågeinformation, samt en (symmetrisk) avståndsmatris (i km) ges nedan, där 0 är depån. Kund Efterfr. (enheter) A 15 B 3 C 2 D 3 E 5 F 6 G 12 km 0 A B C D E F G A B C D E F G a) Använd svepheuristiken för att hitta en (tillåten) lösning på problemet. Beräkna även totalkostnaden. Förklara och motivera varje steg väl, inklusive hur du väljer första kunden/utgångsvinkeln. (1p) b) Svepehuristiken har en tydlig fördel att den är snabb och enkel, både att implementera/programmera, och att lösa, och att den är relativt lätt att förstå. Förklara ett par tydliga nackdelar som kan inträffa med svepheuristiken, och ge beskrivande exempel på vad som kan hända i ogynnsamma situationer. (1p) 4 Uppgiften fortsätter på nästa sida

5 TNSL11- Kvantitativ logistik 5(14) c) Antag nu att vi använder svepheuristiken endast för att gruppera kunder som skall ingå i samma tur. Detta skulle motsvara att hitta en kolumn med motsvarande ettor för de kunder som ingår i turen, och nollor för övriga i en Set Partitioning (SPP) (eller Set Covering SCP)-formulering av ruttplaneringsproblemet. Ange hur man skulle gå tillväga för att hitta målfunktionskoefficienten för motsvarande kolumn, i SPP eller SCP (1p) 5

6 TNSL11- Kvantitativ logistik 6(14) (3p) Uppgift 4 Betrakta följande planeringsproblem. Tre företag producerar produkter från samma råvaror. Deras fabriker ligger i norra Sverige, men de har huvudsakligen sina kunder i Mellansverige. De har insett att genom att samarbeta i transporterna av gods till kunderna, kan de alla spara transportkostnader. Eftersom produkterna är snarlika, och potentiellt konkurrerar på marknaden, är det viktigt att kostnadsdelningen blir rättvis. Företagen, som vi kan kalla Q, W, Z har en exempeldag leveranser av totalt 10, 30 respektive 5 flakmeter. Bilarna som används kan ta 20 flakmeter. Totala kostnaden för transporterna, vid olika samarbeten, ges i tabellen nedan. Tabell: Kostnader för transporter Norrland-Mellansverige Transport för Transportörer Kostnad Q 3000 W 4000 Z 3200 Q+W 6800 Q+Z 5100 W+Z 6100 Q+W+Z 8100 a) Antag nu att transportkostnaderna skall delas med någon kostnadsdelningsmetod. Givet detta, ange och motivera tydligt om följande delningar ligger i kärnan eller inte. (1,5p) Delning Kostnad till Q Kostnad till W Kostnad till Z 25% besparing till alla Proportion mot antalet flakmeter W s förslag b) Beräkna Shapleyvärdet för företag Z. (1,5p) 6

7 TNSL11- Kvantitativ logistik 7(14) (3p) Uppgift 5 Betrakta följande problem, där ett 8 jobb (1-8) skall utföras av 5 personer (A-E). Det finns fler jobb än personer, och varje person måste utföra minst ett jobb, men får utföra högst två jobb. I tabellen nedan anges en generell kostnad (som i själva verket består av både tid och pengar) för varje person att utföra varje jobb. Tabell med tider för jobben för varje person Jobb/Person A B C D E Målet är att minimera den generella kostnaden. En greedy-heuristik för att lösa detta problem, skulle kunna vara att följande: 1) För varje person i bokstavsordning: Tag det ännu återstående jobbet med minst (generaliserad) kostnad. 2) För varje återstående jobb, välj den person som ännu bara har ett jobb, och som kan utföra det nya jobbet till minst kostnad. Efter steg 1 i heuristiken, har varje person exakt ett jobb var, och efter steg 2 har alla jobben fördelats. a) Använd den ovan beskrivna heuristiken för att fördela jobben. Ange vad den totala generella kostnaden blir för lösningen (1,5p) b) Om man i en lokalsökningsstrategi skall definiera en omgivning, är det rimligt att en sådan omgivning även måste tillåta att man flyttar över ett jobb från en person som har två jobb, till en person som har ett jobb. Givet detta, utgå från en lösningen som har generaliserad kostnad 133, nämligen: A gör jobb 7; B gör 4, C gör 2 & 8, D gör 3 & 5, E gör 1 & 6, och beräkna värdet av följande byten. Ange tydligt om målfunktionsvärdet minskar eller ökar (1,5p) i) D s första jobb (3) byts med E s första jobb (1) ii) C s första jobb (2) byts med D s andra jobb (5) iii) D s andra jobb (5) flyttas till A iv) E s första jobb (1) byts mot E s andra jobb (6) 7

8 TNSL11- Kvantitativ logistik 8(14) (3p) Uppgift 6 Modellera följande försörjningskedja i SCOR-modellens nivå 2. Fabrik I fabriken hos producent A tillverkas produkt W mot kundorder. Produkt W består av två komponenter som sammanfogas; komponent X som är en lagerprodukt från leverantör B och komponent Z som är en kundorderstyrd produkt från leverantör C. Trasiga komponenter skickas tillbaka till respektive leverantör. Alla processer planeras, dessutom har producent A ett övergripande ansvar för hela försörjningskedjan. Leverantörer Leverantör B och C levererar komponenter till fabriken hos producent A. Leverantör B tillverkar mot prognos och leverantör C tillverkar mot kundorder. Trasiga komponenter tas tillbaka från producent A. Alla processer planeras. Kunder Kund till producent A är företag D som säljer produkt W mot kundorder. Trasiga produkter skickas tillbaka till A som där tas emot. Även här planeras alla processer. 8

9 TNSL11- Kvantitativ logistik 9(14) (3p) Uppgift 7 Fredrik köper många trisslotter (Triss), nästan på gränsen till besatthet. Innan julledigheten har han sparat ihop kr som skall satsas på Triss fullt ut. Varje Triss kostar 30 kr/st och Fredrik kan köpa st (det tar ett tag att skrapa!). Sannolikheten att vinna framgår av tabellen nedan: Vinstplan Triss Vinstnivå Antal lotter [st] Vinst per lott [kr] Total prissumma Summa Eftersom den totala prissumman måste vara hälften av total omsättning så är antalet lotter i omlopp denna gång st. Sannolikheten att köpa en lott med vinst är 3,86% (vilken vinst som helst). Därefter kan sannolikheten för olika vinstnivåer beräknas baserat på hur många lotter som finns i varje vinstnivå. Sannolikheten att vinna kr är alltså först (6 645/ =) 3,86% för att köpa en vinstlott och sedan (1/6645 = ) 0,015% för att vinna just kr a) Ställ upp Fredriks satsning på Triss i ett beslutsträd för en enda lott för att ta reda på om det är vettigt (eller inte) att köpa en lott. Vad blir rådet till Fredrik? (2p) b) Är det någon skillnad på att köpa en lott eller st? Vad blir rådet till Fredrik om han köper lotter istället för bara en? Motivera ditt svar! (1p) 9

10 TNSL11- Kvantitativ logistik 10(14) Lo sningsfo rslag Lösning 1 Deluppgift a) 5,5 1,5 6,4 2,2 7,3 8,2 4,1.5 3,3 Deluppgift b) 1. (8+4*5+2)/6=5.0 ((8-2)/6)^2= Deluppgift c) Den kritiska vägen är 1,5,7,8. Det tar troligen 15 dagar för tomtarna och då hinner de inte till jul, 12+15=27e december. 5,5 5,5 10, 10 1,5 6,4 10, 10 0,0 2,2 7,3 8,2 15,15 3,3 13, 13 4, , 13 10

11 TNSL11- Kvantitativ logistik 11(14) Lösning 2 Deluppgift a) P = 1 ρ = 1 λ μ Ankomstintentitet λ = 6 och betjäningsintentiteten μ=6.66 (1/9*60) ger sannolikheten P =1- λ / μ =1-6/6,66=0,10 λ = 5 och μ =6 ger P =0,17 λ = 8 och μ =10 ger P =0,2 Hon går till bankomat 3 eftersom sannolikheten att kön är tom är störst där. Deluppgift b) Ankomstintentitet λ = 6 och betjäningsintentiteten μ=6.66 (1/9*60) ger väntetid W=1/( μ λ)=1/0.66=1,5 minuter λ = 5 och μ =6 ger W=1 minut λ = 8 och μ =10 ger W=0.5 minuter Anna måste vänta minst 1 minut. Hon måste då välja bankomat 3. Deluppgift c) Genomsnittligt antal kunder i kösystemet L = som betjänas, annars Lq = = om hon antas kunna träffa även den Ankomstintentitet λ = 6 och betjäningsintentiteten μ=6.66 (1/9*60) ger antal i kö L= λ /( μ λ)=6/0.66=9 λ = 5 och μ =6 ger L=5 λ = 8 och μ =10 ger L=4 Anna bör gå till bankomat 1 där det står flest i kö. Lösning 3 a) Vilken som är första kund spelar ingen roll. Tex kan man börja klockan 12 och gå medurs, och plocka på kunderna i den ordning man träffar på dem. Besöksordnigen blir Ordning Efterfrågan Ack. Efterfårgan Kommentar B 3 3 A Full bil E 4 4 G C 2 18 Full bil D 3 3 F 9 12 Alla kunder täckta (Tyvärr var avståndsmatrisen fel, tittar man på den så är avstånden inte alls rimliga I förhållande till kartan Detta påverkar, dessbättre, inte hur man prinicpiellt kan lösa uppgiften. Vid en djupare analys av problemet, kan man eventuellt stöta på konstigheter ) 11

12 TNSL11- Kvantitativ logistik 12(14) Givet att man använder avståndsmatrisen fås ur 3 turer: 0-B-A- 0; =78 km 0-F-G-C-0; =172 km 0-D-E-0; =137 km Total sträcka =387km; kostnad 3870 kr Fast kostnad: 3 bilar à 200; kostnad 600 kr b) Fungerar egentligen bara på Euklidiska avstånd Den bygger bara på vinkeln, och det beskriver inte alls varken egenskaperna för en enskild kund, eller kundens relationer med andra Kan inte hoppa över kunder och gå vidare till nästa Tar inte hänsyn till fler biltyper. Ett beskrivande exempel skulle i det givna exemplet kunna vara om B hade efterfrågan 2, A efterfrågan 19, E efterfrågan 2, skulle man köra en bil till B, och åka hem igen, ta en ny till A, och ta ytterligare en ny till E, istället för att använda bilen som gick till B. c) Lös ett handelsresandeproblem (TSP) för kunderna i turen. Optimala (minimala) kostnaden för TSP är målfunktionskoefficienten. Lösning 4 a) 1: Ligger inte kärnan. Bara kostnaden 7650 delas, och totalkostnaden är på : Ligger inte i kärnan. W är missnöjd. Även koalitionerna QW & WZ är missnöjda 3: Ligger i kärnan. Alla koalitioner nöjda och totalkostnaden delas b) Ordning bilda stora koalitionen Kostnad fore Z Kostnad efter Z Skillnad QWZ QZW WZQ WQZ ZQW ZWQ Summa Shapley=Medel 13200/6=2200 Shapley-värdet för Z är 2200 kr Lösning 5 a) Jobben fördelas enligt följande A7, B4, C8, D6, E1 Nu återstår jobb 2,3,5. Jobb 2 fördelas till C, Jobb 3 till D och Jobb 5 till E. Totala generella kostnaden (tiden) blir =80 12

13 TNSL11- Kvantitativ logistik 13(14) b) Uppgift Före Efter Tid jobb som utgår Tid jobb som tillkommer Värde Målfunktionen ändras D3: 16 D1: Ökar 40 i) D3; E1 D1; E3 E1: 4 E3: =+40 C2: 10 C5: =- Minskar 37 ii) C2; D5 C5; D2 D5: 57 D2: iii) D5 A5 D5: 57 A5: =-31 Minskar 31 iv) E1; E6 E6; E1 Samma Lösning! Oförändrad Lösning 6 13

14 TNSL11- Kvantitativ logistik 14(14) Lösning 7 Deluppgift a) Beslutsträd för en enda lott. Sannolikheter: Sannolikheten för vinst; / = 3,86 % Därav följer att sannolikheten för att inte vinna är 1 0,0386 = 96,14 % Den betingade sannolikheten att vinna en viss summa givet att lotten är en vinstlott: kr; 1 / = 0,015 % kr; 4 / = 0,060 % kr; 40 / = 0,602 % kr; 600 / = 9,029 % 30 kr; / = 90,293 % EMV för den andra utfallspunkten beräknas enligt; EMV = ( ) * 0, ( ) * 0, ( ) * 0, ( ) * 0, (30 30) * 0,90293 = 358,26 kr Och för den andra utfallspunkten; EMV = 358,26 * 0, * 0,9614 = - 15 kr EMV för trädet (då en lott köps) är -15 kr, dvs. i snitt kommer halva beloppet att återbetalas i form av vinst. Det sammanfaller med hela idén om ett lotteri (enligt lag). Rekommendationen blir därför att inte köpa någon lott, men fortfarande är det så att sannolikheten för att vinna kr är 1 / = 0, % (dvs. inte noll) och chansen finns. Deluppgift b) Om Fredrik köper lotter går det bra att använda beslutsträdet från deluppgift a och resonera kring EMV = -15. Med tillräckligt många lotter kommer det förmodligen att finnas vinster motsvarande hälften av satsade pengar. Inköpspris = * 30 kr = kr. Förväntat resultat = * -15 = kr. Detta resonemang håller INTE vid en lott! 14