Kära dataelev på Björnekullaskolan!
|
|
- Gunnel Helena Jonasson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kära dataelev på Björnekullaskolan! fig 1. Blomma plockad från djupet av gränsen till mandelbrotmängden. Kort repetition av hur det funkar Under första lektionen har jag försökt förklara den enklaste trollformel man kan göra fraktaler av: z -> z 2 + c Vad säger nu denna trollformel? Den säger att vi har en variabel z som vi kvadrerar (multiplicerar med sig själv) och därefter lägger till en konstant (parameter) c. Resultatet blir sedan ett nytt z som vi kvadrerar och lägger till konstanten c etc. Både variabeln z och parametern c är s k komplexa tal, se faktarutan sidan 3. Varje varv man kör i formeln kallas för en iteration. Den följd av tal man får för ett visst startvärde på z, kallas detta startvärdes orbit. Färgerna i bilden sätts efter antalet iterationer man måste göra innan variabeln z eventuellt börjar rusa mot oändligheten, vilket den gör när den passerat en radie på 2 från dynamikplanets centrum. För juliamängder representerar bildpunkterna (pixlarna) olika startvärden på z, medan för 1
2 Generering av juliamängder z imag Pixlar c imag z reell c reell Varje pixel representerar ett startvärde på z. z -> z 2 + c = Parameter som styr utseendet på juliamängden. Nytt z Generering av mandelbrotmängden Dynamikplanet Parameterplanet Dynamikplanet Parameterplanet z imag c imag Pixlar z reell c reell z = 0 är startvärde. z -> z 2 + c = Varje pixel representerar ett parametervärde på c. Nytt z 2
3 mandelbrotmängden bildpunkterna representerar olika värden på parametern c medan variabeln z har startvärdet 0. Schemat på föregående sida visar hur det funkar. För dom som vill veta mer rekommenderar jag mitt stora kompendium: Vägen till mandelbrotmängden. Introduktion till matematiken bakom julia- och mandelbrot-fraktalerna för folk med grundskolekompetens i matematik. Drygt 40-sidigt kompendium som beskriver det matematiska och figurmässiga sambandet mellan juliamängderna och mandelbrotmängden. Innehåller ett 30-tal illustrationer. Ett måste för alla som är nyfikna på fraktaler, men som saknar förkunskaper. Alla konstiga ord som iteration, orbit, komplexa tal etc förklaras utförligt. Kompendiet kan laddas ner som en pdf-fil från min hemsida: klippan.seths.se/ik/ik Dispositionen är gjord för dubbelsidig utskrift. Håll till godo! Beträffande bilderna i detta häfte är figur 1-3 samt 9-16 förstoringar i (gränsen till) mandelbrotmängden. Figur 9-14 är en demonstration av hur färgerna sätts. Faktaruta : Komplexa talplanet 3i -1+2i 2i i i 3-i -2i Det finns inget tal på tallinjen som multiplicerat med sig själv blir -1, eller något annat negativt tal heller. Därför har matematikerna uppfunnit de imaginära talen, i, 2i 3i, etc där i är definierat så att i 2 = -1. Dessa imaginära tal bildar en egen tallinje som ligger vinkelrät mot den vanliga reella tallinjen. På så vis bildas det komplexa talplanet (komplex = sammansatt). Figuren ovan visar hur dom båda komplexa talen 3-i och -1+2i ligger i det komplexa talplanet. 3
4 fig 2 & 3. Dessa motiv, liksom figur 1, är jättedjupa förstoringar i gränsen till mandelbrotmängden gjorda med fractal extreme. 4
5 fig 4 (ovan). Anfall från fjärde dimensionen. fig 5 (nedan). Vild dans. 5
6 fig 6. En av det kubiska monstrets otaliga drakkäftar som bara väntar på att slita er rätlinjiga uppfattning om världen i stycken. Chaotic Series År skrev jag en illustrerad artikelserie för ett par mejlgrupper på nätet. Dessa har jag nu (äntligen) laddat upp på en egen sida. Enda förkunskapskravet för den matematiska delen är kännedom om vad komplexa tal är. Men ni var väl vakna under föredraget, så det skall inte vara några problem. Exempel på titlar är, The complete Lesbian Mystery, Cracks, where do they come from, The reason why the Trolls burst etc. Direktadressen till artikelserien är: Ett par av artiklarna handlar om hur mönstrerna i mandelbrotfiguren är uppbyggda, något som jag ska berätta lite om sist i andra föredraget. Från article 16 och ett antal artiklar framåt, introduceras den fulla motsvarigheten till mandelbrotmängden för kubiska polynom. Om trollformeln för mandelbrotmängden (se sidan 10), relaterad till andragrads eller kvadratiska polynom, är: z -> z 2 + c där mandelbrotmängden residerar på c- (parameter-) planet och utgörs av de komplexa parametrar (= #pixlar) c för vilken den kritiska punkten z = 0 har en begränsad orbit (inte rusar mot oändligheten), lyder trollformeln för den fulla motsvarigheten till mandelbrotmängden för kubiska polynom: z -> z 3-3a 2 z + b 6
7 där denna "fulla motsvarighet" utgörs av de komplexa parametrar, a och b, för vilka båda dom kritiska punkterna z = +a och z = -a har begränsade orbits. Vidare innebär det faktum att vi här har två komplexa parametrar, a och b, att vi inte har ett parameterplan utan en parameter- rymd med utsträckning i fyra dimensioner, alltså en dimension mer än rummet. Om högt ärade dataelev kunde röra sig ut i en fjärde dimensionen en lagom sträcka skulle ni se alla inoch ut-sidor samtidigt av det hus ni nu troligen befinner er i. Alla rum och dolda utrymmen skulle ligga vidöppna för er, inbegripet att ni skulle se alla inälvor hos folk och fä som befann sig i huset. Förutsatt att ni hade ert förstånd i behåll, skulle ni sedan kunna tömma skolans elevskåp utan att öppna låset eller lämna några som helst spår efter er. En fotboll skulle ni, genom att ta ut den i fjärde dimensionen, kunna vända ut och in utan att skada den och sedan återföra den till rummet. Eftersom vi människor inte ens kan fantisera om fler än tre dimensioner, får detta monstrum därför studeras i tre- eller tvådimensionella genomskärningar (vilket man gör genom att fixera värdet längs en eller två av axlarna och låta datorn plotta de övriga). Matematiken har däremot inga som helst fördomar om hur många dimensioner det finns. I detta häfte är fig 4 & 5 två olika 3D-snitt och fig 6-8 inzomningar av olika 2D-snitt av detta fyrdimensionella monster. Figur 4-6 är körda med avseende på båda dom kritiska punkterna. En väldigt instruktiv sajt om fjärde dimensionen, som i sig inte har med fraktaler att göra, är: Filtyper i fraktalprogram Alla fraktalprogram som är något att ha har dels interna filtyper, d v s filer som öppnas i programmet, samt externa filtyper, t ex bmp och jpg, avsedda att exporteras till andra program. Dessa senare behandlas under kapitlet Publicering av bilder (nedan). Om interna filtyper: 1) Fraktalfil. Hela den uppkörda bilden laddas tillbaka i fraktalprogrammet och man kan fortsätta att zooma, ändra färgskala etc. Denna filtyp saknas i Fractal Explorer. 2) Parameterfil. Den sparade bilden körs upp på nytt varefter man, precis som ovan, kan fortsätta att zooma, ändra färgskala etc. Fördelen med en parameterfil jämfört med en fraktalfil är att den tar väldigt lite plats, endast 1-3 kb. Tala om informationskomprimering! Nackdelen är att datorn måste räkna fram bilden på nytt när den laddas, vilket ibland kan ta lite tid. 3) Färgskalefil. En fil som innehåller endast färgskalan för en bild. Vitsen med att spara endast färgskalan hos en bild är att man sen kan ladda in den i en annan bild. Färgskalan ingår alltid i en parameterfil. Publicering av bilder, anti-aliasing Ju högre upplösning man kör upp en fraktalbild i, desto bättre blir den. Om ni ska publicera en sådan på nätet eller i tryck räcker det inte att köra upp den i skärmupplösningen (oftast 1024x768) om den ska bli bra. Därför kör man upp 7
8 bilden i ett par gånger högre upplösning och krymper den sedan i ett grafiskt program, t ex Paint Shop Pro eller Photoshop. När bilden krymps utförs s k anti-aliasing vilket innebär att varje bildpunkt i den krympta bilden visar ett slags färgmedelvärde för bildpunkterna den representerar i den större bilden. På detta vis får man en mycket mindre blurrig och mer tydlig bild. Många fraktalprogram har möjligheter till intern anti-aliasing, men jag rekommenderar starkt denna externa metod, man har bättre koll bl a. Om du vill göra en bakgrundsbild på 1024x768 pixlar med extern anti-aliasing, gör enligt följande: 1) öka upplösningen till åtminstone 3600x2700. Själv kör jag nuförtiden ofta upp dom till 6400x ) Spara den som bmp, inte som jpg. 3) Ladda in den i Paint Shop Pro eller Photoshop. 4) Krymp den till, i detta fall, 1024x768. 5) Om bilden blivit fadd kan man lägga på lite oskarp mask. 6) Spara bilden som jpg med lämplig komprimeringsfaktor Proceduren är densamma om man ska skriva ut den, men då bör ni inte spara den som jpg. OBS! Ska ni skriva ut eller trycka den hos en reprofirma, bör ni leverera den i sin ursprungliga höga upplösning och ej som jpg-fil. Dom gör själva det grafiska arbetet med att ändra storlek etc. Fraktaler på Internet Under nedanstående länk finns ett stort antal fraktalprogram att ladda hem Bilderna i detta häfte är gjorda med två olika program. Djupförstoringarna i mandelbrotmängden, fig 1-3, är gjorda med fractal extreme. Med detta program kan man zooma långt bortom gränsen för s k dubbel precision. Detta har att göra med hur långa flyttal mattechipset kan räkna med. Bortom denna gräns används inte detta chips utan programmet får använda sig av hemmasnickrade rutiner. Resten av bilderna är gjorda med kultprogrammet Ultra Fractal. Till detta kan man skriva egna plugins. En mycket duktig plugin-programmerare är min gode vän Stig Pettersson. Det är han som skrivit modulen som jag gjort dom "kubiska" bilderna i detta lilla häfte med. Om du söker på sökorden fraktaler, fractals, Mandelbrot, på t ex Google, får du en halv oändlighet av träffar. På min egen hemsida (sist i häftet) hittar du länkar till andra sajter med fraktaler, bl a till ovan nämnde Stig Pettersson. Det finns många bildsajter där man kan lägga upp sina fraktaler på, t ex som har en särskild avdelning under Digital art som heter Fractal art. Själv har jag ett konto där med fler än 350 bakgrunder. Direktadressen till mitt konto är: Detta var kort fraktaler. Har ni några frågor, hör gärna av er till er lärare i matte/data/bild, eller till mig. 8
9 fig 7 (ovan). Ikebana (förstoring av övre vänstra partiet i nästa bild). fig 8 (nedan). Silverhammare. 9
10 Färgerna runt mandelbrotmängden I en fraktal av mandel & julia typ, befinner sig en punkt endera innanför eller utanför mängden. Ta nu mandelbrotmängden som exempel. I en datorbild av mandelbrotmängden (eller en del av den) är skärmen uppbyggd av ett antal bildelement (pixlar) som representerar olika c i iterations formeln z -> z 2 + c med start z = 0. När vi nu itererar kommer variabeln z antingen efter ett antal iterationer att börja rusa mot oändligheten, vilket den gör om den kommer utanför radien 2, eller att för evigt vara fångad inom en radie av 2 sett från z- planets centrum. I det första fallet tillhör korresponderande c inte mandelbrotmängden, medan den tillhör mandelbrotmängden i det andra fallet. Men detta har behandlats på dom första sidorna av detta häfte samt under föredraget. Nedan följer en serie på sex bilder (fig 9-14) som alla visar samma utsnitt av mandelbrotmängden. Dom 5 första är rent svartvita medan den sjätte är i gråskala. Låt oss titta på den första (fig 9). Det framgår väldigt tydligt vad jag talar om. Den svarta delen är en del av mandelbrotmängden, den vita är det inte. Men stopp ett ögonblick. I denna bild ger programmet upp efter 100 iterationer. Med det menas att om inte variabeln z, för ett visst värde på c = #pixel, nått utanför en radie på minst 2, ger programmet upp och färgar den pixel svart som motsvarar detta värde på c. Men om vi höjer det maximala iterationstalet till 250? Resultatet visas i figur 10. Den delen av bilden som tillhör mandelbrotmängden har nu krympt. I figur har antalet iterationer ökats ytterligare till respektive 500, 1000, och Ytterligare höjning av max iterationstalet ger ingen skillnad för detta motiv. De partier som fortfarande är svarta är dom som VERKLIGEN tillhör mandelbrotmängden. Det är dom större och mindre cirklarna samt kopiorna av mandelbrotmängden som till synes flyter omkring för sig själva. Det var så här Benoit Mandelbrot först såg delar av sin mängd. En fråga som nu dyker upp är följande: Är dessa minikopior isolerade öar, eller är dom förbundna med kontinenten med tunna trådar, för tunna att upptäckas av datorns raster? Det var i början av 80-talet som matematikern John Hamal Hubbard (som inte alls ska förväxlas med Ron Hubbard, Scientologins grundare) på matematiskt väg visade att mandelbrotmängden är sammanhängande. I själva verket utgörs dom tunna trådarna i sin helhet av en oändlig hierarki minikopior av olika storlekar! Betrakta nu figur 14. Precis som i figur 13 ger programmet upp efter iterationer. Observera att dom svarta partierna är exakt dom samma. Men utanför mängden har nyanserna av gråskala (för dyrt att göra kompendier i färg) satts efter antalet iterationer (upp till ) som programmet gjort innan orbiten (följden av olika z ) passerat escape-radien, som måste vara minst 2 (i mina bilder här är den 10). Detta är det enklaste och mest pedagogiska sättet att sätta färg på denna typ av fraktalbilder. Grånyanserna (som lika gärna kunde vara färger) i figur 14 är som avlagringarna längs en kust som visar hur den svarta kontinenten dragit sig tillbaka, en historia om den iterativa processen. Med en smart färskala bildar färgerna en aura som gör det möjligt att se grenverken där mängden för det mesta är för tunn för att synas. Nära mängden bör färg (eller i vårt fall) gråskalan vara töjd så att det inte är ett enda stort blurr runt grenverken, utan att grenarna syns så pass så man räkna armarna i stjärnorna (om dom inte är för många). 10
11 fig 9. Max iterationer = 100. fig 10. Max iterationer = 250. fig 11. Max iterationer =
12 fig 12. Max iterationer = fig 13. Max iterationer = fig 14. Max iterationer = Gråskalan anger iterations- historien. Dom vitaste färgerna anger dom c för vilka variabeln z sist har börjat rusa mot oändligheten. 12
13 Enkelhet och komplexitet Mandelbrotfraktalen har sitt ursprung i den mest enkla icke-linjära funktion man överhuvudtaget kan iterera, z 2 + c, d v s en variabel i kvadrat plus en konstant (parameter). Trots att gränsen till mandelbrotmängden är en oändligt invecklad fraktal, är receptet för alstrandet av den mycket enkel. För dom som lär sig programmera är ett enkelt mandelbrotprogram ren nybörjarprogrammering. Komplexiteten hos resultatet har alltså inget samband med hur komplicerad receptet eller algoritmen är. Folk som kan programmera säger att algoritmen för mandelbrotmängden kräver färre programrader än algoritmen för den oändligt mycket enklare von Koch snöflinga som jag visade i början av föredraget. Detta skulle kunna sammanfattas med följande: 1) Algoritmen (receptet) för att generera mandelbrotmängden och detaljer av denna är mycket enkel (z -> z 2 + c, där z = 0 i utgångsläget, "c varierar med bildpunkterna, och färgerna sätts efter hur många iterationer man måste göra innan z eventuellt börjar rusa mot oändligheten). 2) Beräkningarna för att ta fram en bild av densamma är dock så omfattande att, i praktiken endast en dator kan göra det. För varje bildpunkt på skärmen måste beräkningsloopen snurra kanske upp emot ett antal tusen gånger. Det gör miljoner eller kanske miljarder multiplikationer med långa decimaltal för en förhoppningsfullt vacker fraktalbild. 3) Förklaringen till att krusidullerna i dom på enkla grunder empiriskt framräknade bilderna ser ut som dom gör är dock en fråga för elitmatematikerna. Jag har för mig (när det gäller mandelbrotmängden) att det på deras rotvälska lyder något i stil med bla bla bla bla fundamentalgruppen av ensidigt tvåskift bla bla bla. 4) Tvåskift är nära knutet till den matematiska leken: Jag är ett bråk mellan 0 och 1, dubbla mig gång på gång, men blir jag större än 1 dra ifrån 1 (t ex 1/6 -> 2/6 = 1/3 -> 2/3 -> 4/3 1 = 4/3 3/3 = 1/3 etc). Man kan se bråken som delar av ett helt varv och leken som vinkelfördubblingar. I vidstående exempel får vi alltså orbiten: 1/6 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 etc. När man roterat till 4/3 varv är man i själva verket tillbaka till 1/3 varv, man har sugits in i en 2-periodisk cykel. Ärade läsare kan själva se vad som händer om man kör denna lek med andra bråk mellan 0 och 1. Prova t ex 1/7 eller 3/7! M a o ur yttersta enkelhet växer via ändlösa beräkningar oändlig komplexitet fram, vars förklaringar på mycket hög nivå återigen snubblar över yttersta enkelhet. Eftersom fler och fler former dyker upp i all oändlighet, måste det innebära att vi till slut har att göra med mönster som överträffar varje jordisk struktur inklusive den mänskliga hjärnan. Man har t o m på skämt ställts sig frågan om mandelbrotmängden innehåller intelligent liv!!! Frågan är inte fullt så vrickad som den först kan tyckas. Kanske är det en dold fraktal ordning som gör att en cell kan innehålla all information om en människa? Strukturen framträder mer och mer efterhand som den iterativa processen, i detta fall celldelningen, fortsätter. 13
14 fig 15 (ovan). Metallic Medusa. fig 16 (nedan). Spirallabytrint (spiralen belägen ca kl 8 i föregående bild). 14
15 "Hur stor är mandelbrotmängden?" Efter ett populärföredrag inkluderande en videoshow fick jag vid ett tillfälle en knivig fråga av ett ljushuvud om "hur stor mandelbrotfiguren är". Eftersom frågan berör lite av kärnan i begreppet fraktaler återger jag nedan en fingerad version av diskussionen jag hade med vederbörande: - Hur stor är mandelbrotmängden? - Längst den reella talaxeln ligger spetsen av "spiken" på -2, huvudet är centrerat kring -1 och skrevet ligger på +0,25. Längden längs utmed den reella axeln, från skrevet till spetsen av spiken är alltså 2,25 längdenheter. - Ja men hur stort är mandelbrotmängden egentligen? - Mitt svar är kort och gott: Mandelbrotfiguren är precis så stor som du låter ditt datorprogram göra den! - Varav detta diffusa svar? - Mitt svar härpå blir: Betrakta tallinjen. Hur långt är det mellan två heltal, t ex mellan 1 och 2 (en matematisk enhet)? Det bestämmer den som ritar tallinjen. Det hela beror på skala. Vill du se tiondelarna också på ditt kanske rutade papper har du förmodligen större avstånd än om du bara vill se heltalen (se figur 17 nederst på sidan som exempel). Mandelbrotfiguren har en längd mellan spjutspets och skrev på 2,25 matematiska enheter (koordinaterna är -2+0i respektive +0,25+0i). Sedan är det upp till DIG om du vill låta dessa enheter representera centimetrar, metrar, mil, eller ljusår. Eftersosm en fraktal har detaljer hur mycket du än förstorar den, måste du låta datorprogrammet göra förändringar av skalan för att kunna se fler detaljer. När man med sitt datorprogram zoomar i (gränsen av) mandelbrotmängden, fixerar man en viss punkt och förändrar skalan (avståndet mellan varje bildpunkt på skärmen representerar kortare och kortare sträcka) så att fler och fler detaljer framträder. Observera dock att detta endast är förändringar i skala som INTE förändrar mandelbrotfigurens storlek mätt i matematiska enheter. Längden längs den reella talaxeln på 2,25 matematiska enheter är evigt oförändrad. Beträffande dom tre djupförstoringarna i (gränsen till) mandelbrotfiguren i början av detta häfte (fig 1-3), är förstoringen i den sista är så stor att hela mandelbrotfiguren skulle sträcka sig mer än tusen gånger utanför det kända universums gränser! ,2-0,1 0 0,1 0,2 fig 17. Tio gångers inzoomning runt nollan på tallinjen. 15
16 Engelsk läsövning Till sist ett utdrag ur en betraktelse av Jim Muth. Varje dag (nästan) publicerar han sin Fractal of the Day tillsammans med några funderingar. Länk finns på den fraktala delen av min hemsida (se nedan). I have always had a desire to explore the unknown regions, but found myself frustrated because the unknown parts of this world have already been explored and the vast unknown places of other worlds are yet to be reached. The world of fractals fulfilled that desire. To me, fractals are mystical things, objects of a world neither real nor unreal. I am fascinated by them, by the tremendous enigma of their existence, by the way they go on and on forever infinity reduced to the size of a computer screen. I am fascinated by the simplicity of the mathematics behind them, as well as by the incredible pictures they make. But I am fascinated most of all by their philosophical aspect. As I work with them, I constantly wonder what they are, and what do their beautiful patterns mean. What is a fractal? The question is simple; the simple answer is, the mapping of a recursive function to the screen. But stop a moment to consider the Mandelbrot set, one of the simplest fractals. How many Mandelbrot sets exist, one or many? If the Mandelbrot set is merely the image that appears on the computer screen when the formula z -> z 2 + c is reiterated, then thousands of identical Mandelbrot sets are constantly coming into existence and vanishing as thousands of computers are switched on and off worldwide. If these images are separate entities, then why are they identical? Apparently, a unity lies behind the separate images. But if the Mandelbrot set is a single object that has an existence beyond the ephemeral images that flicker on the worlds computer screens, then the question arises, what type of existence does this type of this archetypal Mandelbrot set possess? The question sounds almost comical until one thinks about it. One might also ask, did the Mandelbrot set exist before the computers were invented? Questions such as these are not so easily answered. In some way the Mandelbrot set is no more than an idea, a potentiality like sub-atomic particles, which according to certain interpretation of quantum theory, don't come into existence until they are actually observed. Klippan Många Hälsningar Ingvar Kullberg tel ik@klippan.seths.se klippan.seths.se/ik/ik 16
Kort om mandelbrotfiguren i anslutning till bilden Blomkålsfort
Kort om mandelbrotfiguren i anslutning till bilden Blomkålsfort Illustrerat kompendium till bild av Ingvar Kullberg 2005 1 2 Kort om mandelbrotfiguren i anslutning till bilden Blomkålsfort fig 1. Mandelbrotmängden
Läs merOm konst med hjälp av datorn
Om konst med hjälp av datorn Av Otto Nilsson (Denna artikel är ursprungligen publicerad i hembygdstidskriften Rötter, Medlemsblad för Östra Ljungby-Källna socknars hembygdsförening, våren 2004, dock inte
Läs merKort om mandelbrotfiguren i anslutning till bilden De blå spiralernas oändlighet
Kort om mandelbrotfiguren i anslutning till bilden De blå spiralernas oändlighet Illustrerat kompendium till bild av Ingvar Kullberg 2005 1 2 Kort om mandelbrotfiguren i anslutning till bilden De blå spiralernas
Läs merVägen till mandelbrotmängden
Vägen till mandelbrotmängden Introduktion till matematiken bakom julia- och mandelbrot-fraktalerna för folk med grundskolekompetens i matematik Copyright Ingvar Kullberg 1993 pdf-version 2005 1 2 Förord
Läs merhttp://marvel.com/games/play/31/create_your_own_superhero http://www.heromachine.com/
Name: Year 9 w. 4-7 The leading comic book publisher, Marvel Comics, is starting a new comic, which it hopes will become as popular as its classics Spiderman, Superman and The Incredible Hulk. Your job
Läs merFlervariabel Analys för Civilingenjörsutbildning i datateknik
Flervariabel Analys för Civilingenjörsutbildning i datateknik Henrik Shahgholian KTH Royal Inst. of Tech. 2 / 9 Utbildningens mål Gällande matematik: Visa grundliga kunskaper i matematik. Härmed förstås
Läs merPedagogisk planering. Ron Chlebek. Centralt Innehåll. Svenska/Engelska. Lego Mindstorms. Syfte: Matematik
Pedagogisk planering Ron Chlebek Lego Mindstorms Åk 5 har programmerat tidigare i Scratch, Microbit och Code.org. Vi har börjat skolåret med att packa upp och bygga basmodel. Eleverna kommer att arbeta
Läs merAnvändarhandledning Version 1.2
Användarhandledning Version 1.2 Innehåll Bakgrund... 2 Börja programmera i Xtat... 3 Allmänna tips... 3 Grunderna... 3 Kommentarer i språket... 4 Variabler... 4 Matematik... 5 Arrayer... 5 på skärmen...
Läs merPer Holm Inlämningsuppgift 2, PTDC 2014/15 2 / 19. Med c = i konvergerar inte talföljden:
Inlämningsuppgift 2, Mandelbrot Mandelbrots talföljd Beräkna och rita bild av Mandelbrotmängden. Färdigskrivet användargränssnitt. Ganska mycket och ganska komplext börja i tid! 0, k = 0 z k = + c, k =
Läs merKvalitetsarbete I Landstinget i Kalmar län. 24 oktober 2007 Eva Arvidsson
Kvalitetsarbete I Landstinget i Kalmar län 24 oktober 2007 Eva Arvidsson Bakgrund Sammanhållen primärvård 2005 Nytt ekonomiskt system Olika tradition och förutsättningar Olika pågående projekt Get the
Läs merWittgenstein for dummies Eller hur vi gör det obegripliga begripligt. Västerås 15 februari 2017
Wittgenstein for dummies Eller hur vi gör det obegripliga begripligt Västerås 15 februari 2017 En värld är varje människa, befolkad av blinda varelser i dunkelt uppror mot jaget konungen som härskar över
Läs merWriting with context. Att skriva med sammanhang
Writing with context Att skriva med sammanhang What makes a piece of writing easy and interesting to read? Discuss in pairs and write down one word (in English or Swedish) to express your opinion http://korta.nu/sust(answer
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merBOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström
BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström Frågeställningar Kan asylprocessen förstås som en integrationsprocess? Hur fungerar i sådana fall denna process? Skiljer sig asylprocessen
Läs merModule 6: Integrals and applications
Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important
Läs merInformation technology Open Document Format for Office Applications (OpenDocument) v1.0 (ISO/IEC 26300:2006, IDT) SWEDISH STANDARDS INSTITUTE
SVENSK STANDARD SS-ISO/IEC 26300:2008 Fastställd/Approved: 2008-06-17 Publicerad/Published: 2008-08-04 Utgåva/Edition: 1 Språk/Language: engelska/english ICS: 35.240.30 Information technology Open Document
Läs merVid Göteborgs universitet pågår sedan hösten 2013 ett projekt under
Christina Skodras Muffles truffles Undervisning i multiplikation med systematiskt varierade exempel I Nämnaren 2015:4 beskrivs ROMB-projektet övergripande i Unga matematiker i arbete. Här redovisas och
Läs merWebbregistrering pa kurs och termin
Webbregistrering pa kurs och termin 1. Du loggar in på www.kth.se via den personliga menyn Under fliken Kurser och under fliken Program finns på höger sida en länk till Studieöversiktssidan. På den sidan
Läs merConsumer attitudes regarding durability and labelling
Consumer attitudes regarding durability and labelling 27 april 2017 Gardemoen Louise Ungerth Konsumentföreningen Stockholm/ The Stockholm Consumer Cooperative Society louise.u@konsumentforeningenstockholm.se
Läs merAdding active and blended learning to an introductory mechanics course
Adding active and blended learning to an introductory mechanics course Ulf Gran Chalmers, Physics Background Mechanics 1 for Engineering Physics and Engineering Mathematics (SP2/3, 7.5 hp) 200+ students
Läs merSymmetri är ett begrepp, som kan berika matematikstudierna i alla åldrar.
Thomas Martinsson Symmetri skön matematik för många sinnen Symmetri förekommer inom bilder och att skapa symmetriska bilder kan berika undervisningen i matematik. Med hjälp av bilderna kan förståelsen
Läs merMMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Läs merMatematik klass 4. Vårterminen FACIT. Namn:
Matematik klass 4 Vårterminen FACIT Namn: Använd ditt facit ofta för att se om du är på rätt väg och förstår. Om det är något som är konstigt, diskutera med din lärare eller en kompis. Du måste förstå
Läs merPre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.
Pre-Test : M3M - Linear Algebra. Test your knowledge on Linear Algebra for the course M3M by solving the problems in this test. It should not take you longer than 9 minutes. M3M Problem : Betrakta fyra
Läs mer1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Läs merTal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal
Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1
Läs merMÅLSTYRNING OCH LÄRANDE: En problematisering av målstyrda graderade betyg
MÅLSTYRNING OCH LÄRANDE: En problematisering av målstyrda graderade betyg Max Scheja Institutionen för pedagogik och didaktik Stockholms universitet E-post: max.scheja@edu.su.se Forskning om förståelse
Läs merKelly, Kevin (2016) The Inevitable: Understanding the 12 Technological Forces The Will Shape Our Future. Viking Press.
Every utopia is a fiction, with necessary flaws that prevent it from ever becoming real. I have not met a utopia I would even want to live in. H O W T O B U I L D A G E N C Y I N T H E F A C E O F U N
Läs merAtt skriva en matematisk uppsats
Att skriva en matematisk uppsats Del av kommunikationsspåret på matematikprogrammet. Tidigare har ni skrivit och presenterat kortare texter, nu ska vi fokusera på längre texter. Varför? Det räcker inte
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merInstitutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning
Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning
Läs merPå en dataskärm går det inte att rita
gunilla borgefors Räta linjer på dataskärmen En illustration av rekursivitet På en dataskärm är alla linjer prickade eftersom bilden byggs upp av små lysande punkter. Artikeln beskriver problematiken med
Läs merFilformat / bildformat
Filformat / bildformat Filformat/bildformat är olika modeller för att spara bilden. När du sparar ett foto finns det en uppsjö av olika filformat att välja bland. Först och främst har programmet (ex. Adobe
Läs merMultipel tilldelning. Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 6: Iteration. while-satsen. Kom ihåg. Snurror kontra rekursion
Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 6: Iteration Multipel tilldelning Helt ok att tilldela en variabel flera gånger: bruce = bruce, bruce = 7 bruce Output: 7 Som tillståndsdiagram: bruce
Läs merEtt hållbart boende A sustainable living. Mikael Hassel. Handledare/ Supervisor. Examiner. Katarina Lundeberg/Fredric Benesch
Ett hållbart boende A sustainable living Mikael Hassel Handledare/ Supervisor Examinator/ Examiner atarina Lundeberg/redric Benesch Jes us Azpeitia Examensarbete inom arkitektur, grundnivå 15 hp Degree
Läs merLennart Rolandsson, Uppsala universitet, Ulrica Dahlberg och Ola Helenius, NCM
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg II Del 1: Om programmering Aktiviteter Del 1 Lennart Rolandsson, Uppsala universitet, Ulrica Dahlberg och Ola Helenius, NCM Ni
Läs merEnglish. Things to remember
English Things to remember Essay Kolla instruktionerna noggrant! Gå tillbaka och läs igenom igen och kolla att allt är med. + Håll dig till ämnet! Vem riktar ni er till? Var ska den publiceras? Vad är
Läs merSjälvkörande bilar. Alvin Karlsson TE14A 9/3-2015
Självkörande bilar Alvin Karlsson TE14A 9/3-2015 Abstract This report is about driverless cars and if they would make the traffic safer in the future. Google is currently working on their driverless car
Läs merUpprepade mönster (fortsättning från del 1)
Modul: Algebra Del 2: Resonemangsförmåga Upprepade mönster (fortsättning från del 1) Anna-Lena Ekdahl och Robert Gunnarsson, Högskolan i Jönköping Ett viktigt syfte med att arbeta med upprepade mönster
Läs merEn bild säger mer än tusen ord?
Faculteit Letteren en Wijsbegeerte Academiejaar 2009-2010 En bild säger mer än tusen ord? En studie om dialogen mellan illustrationer och text i Tiina Nunnallys engelska översättning av Pippi Långstrump
Läs merModule 1: Functions, Limits, Continuity
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 1: Functions, Limits, Continuity This module includes Chapter P and 1 from Calculus by Adams and Essex and is taught in three lectures,
Läs merMatematik klass 4. Vårterminen. Namn: Anneli Weiland Matematik åk 4 VT 1
Matematik klass 4 Vårterminen Namn: Anneli Weiland Matematik åk 4 VT 1 Först 12 sidor repetition från höstterminen. Addition 7+5= 8+8= 7+8= 7+7= 8+3= 7+6= 6+6= 8+5= 6+5= 9+3= 9+5= 6+9= Subtraktion 11-2=
Läs merWebbreg öppen: 26/ /
Webbregistrering pa kurs, period 2 HT 2015. Webbreg öppen: 26/10 2015 5/11 2015 1. Du loggar in på www.kth.se via den personliga menyn Under fliken Kurser och under fliken Program finns på höger sida en
Läs merPreschool Kindergarten
Preschool Kindergarten Objectives CCSS Reading: Foundational Skills RF.K.1.D: Recognize and name all upper- and lowercase letters of the alphabet. RF.K.3.A: Demonstrate basic knowledge of one-toone letter-sound
Läs merRead Texterna består av enkla dialoger mellan två personer A och B. Pedagogen bör presentera texten så att uttalet finns med under bearbetningen.
! Materialet vill ge en gemensam bas av användbara fraser för dialoger i klassrummet. skapa dialoger mellan elever på engelska. skapa tydliga roller för två personer, och. presentera meningsfulla fraser
Läs merAtt stödja starka elever genom kreativ matte.
Att stödja starka elever genom kreativ matte. Ett samverkansprojekt mellan Örebro universitet och Örebro kommun på gymnasienivå Fil. dr Maike Schindler, universitetslektor i matematikdidaktik maike.schindler@oru.se
Läs merThis is England. 1. Describe your first impression of Shaun! What kind of person is he? Why is he lonely and bullied?
This is England 1. Describe your first impression of Shaun! What kind of person is he? Why is he lonely and bullied? 2. Is Combo s speech credible, do you understand why Shaun wants to stay with Combo?
Läs merFortsatt Luftvärdighet
Fortsatt Luftvärdighet Luftvärdighetsuppgifterna Underhåll CAMO och Del-145 Vem ansvarar för vad Presentatör Johan Brunnberg, Flygteknisk Inspektör & Del-M Koordinator Sjö- och luftfartsavdelningen Enheten
Läs merUppgift 1 (vadå sortering?)
2011-06-08.kl.14-19 Uppgift 1 (vadå sortering?) Du skall skriva ett program som sorterar in en sekvens av tal i en vektor (en array ) enligt en speciell metod. Inledningsvis skall vektorn innehålla endast
Läs merJoin the Quest 3. Fortsätt glänsa i engelska. Be a Star Reader!
Join the Quest 3 Fortsätt glänsa i engelska. Be a Star Reader! PROVLEKTION: A Book Review, Charlie and the Chocolate Factor by Roald Dahl Följande provlektioner är ett utdrag ur Join the Quest åk 3 Textbook
Läs mer- A Scrum Planning Tool Case Study to Evaluate the The Rich AJAX Platform
Datavetenskap Opponent(er): Jhonny Carvajal Johan Bjärneryd Respondent(er): Fredrik Häggbom Erik Olsson Haglund Scrumptious - A Scrum Planning Tool Case Study to Evaluate the The Rich AJAX Platform Oppositionsrapport,
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
Läs merScratch Junior. makeandshape.com. by MIT. Gränssnitt Scratch Junior
Scratch Junior by MIT Gränssnitt Scratch Junior 1. Spara 2. Scen 3. Presentationsläge (fullskärm) 4. Rutnät 5. Byt bakgrund 6. Lägg till text 7. Återställ figur (till sin ursprungliga position) 8. Grön
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merQuicksort. Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9
Quicksort Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9 1 Quicksort Quicksort väljer ett spcifikt värde (kallat pivot), och delar upp resten av fältet i två delar: alla element som är pivot läggs i vänstra delen
Läs merKort lektion i skannerteknik
Sammanställd av Jan Borgfelt Vad är en skanner? En skanner är en bildläsare, som läser in bilder till Din dator. Det finns 2 typer av skanners som Du kan koppla till Din dator: 1. Flatbäddskanner. Läser
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merGrafisk teknik IMCDP IMCDP IMCDP. IMCDP(filter) Sasan Gooran (HT 2006) Assumptions:
IMCDP Grafisk teknik The impact of the placed dot is fed back to the original image by a filter Original Image Binary Image Sasan Gooran (HT 2006) The next dot is placed where the modified image has its
Läs merMake a speech. How to make the perfect speech. söndag 6 oktober 13
Make a speech How to make the perfect speech FOPPA FOPPA Finding FOPPA Finding Organizing FOPPA Finding Organizing Phrasing FOPPA Finding Organizing Phrasing Preparing FOPPA Finding Organizing Phrasing
Läs merGrunder. Grafiktyper. Vektorgrafik
2 Grunder All vår början bliver svår eller hur det nu brukar heta, och detta är något som gäller även Flash. För den som är ovan vid Flash gäller det säkert extra mycket, då det kan vara knepigt att förstå
Läs merSecond handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM)
Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM) The effects of classroom mathematics teaching on students learning. (Hiebert & Grouws, 2007) Inledande observationer Undervisningens
Läs merInlämningsuppgift 3 Mandelbrot
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA 1(6) Institutionen för datavetenskap Inlämningsuppgift 3 Mandelbrot EDAA10, Programmering i Java Mål: I denna uppgift ska du lära dig att implementera komplicerade algoritmer med
Läs merDigital bildhantering
Digital bildhantering En analog bild blir digital när den scannas. Bilden delas upp i småbitar, fyrkanter, pixlar. En pixel = den digitala bildens minsta byggsten. Hur detaljrik bilden blir beror på upplösningen
Läs merSupport Manual HoistLocatel Electronic Locks
Support Manual HoistLocatel Electronic Locks 1. S70, Create a Terminating Card for Cards Terminating Card 2. Select the card you want to block, look among Card No. Then click on the single arrow pointing
Läs merTo Lauren Beukes Tune: Top of the World Written by Marianna Leikomaa
To Lauren Beukes Tune: Top of the World Written by Marianna Leikomaa Life is hard when you re in Zoo City there are criminals most everywhere I see. I did something real bad, got a Sloth on my back and
Läs merRepetition i Pascal. Exemplen fac. Exemplen fac i Pascal. Exemplen fac motivering. Orginalet
Repetition Introduktion Repetition i Exemplen fac Orginalet I Scheme använde vi rekursion för all slags repetition. Efterom Scheme är ett funktionellt språk återsänder alla språkkonstruktioner ett värde
Läs merInstallation av F13 Bråvalla
Website: http://www.rbdesign.se Installation av F13 Bråvalla RBDESIGN FREEWARE - ESCK Norrköping-Bråvalla 1. Ladda ner och packa upp filerna i en mapp som du har skapat på ett lättöverskådligt ställe utanför
Läs merHur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga?
Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Martin Peterson m.peterson@tue.nl www.martinpeterson.org Oenighet om vad? 1.Hårda vetenskapliga fakta? ( X observerades vid tid t ) 1.Den vetenskapliga
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merProgrammering. Den första datorn hette ENIAC.
Programmering Datorn är bara en burk. Den kan inget själv. Hur får man den att göra saker? Man programmerar den. Människor som funderar ut program som fungerar. Datorn förstår bara ettor och nollor och
Läs mer3.0. Tips och Trix Sida 1 av 18
3.0 https://beta.scratch.mit.edu/ Tips och Trix 2018-08-31 Sida 1 av 18 Innehåll Starta nytt program 3 Scenens koordinatsystem 3 Centrumpunkt / rotationspunkt 4 Sprajtens inställningar 5 Placering i Z-led
Läs merDimensioner och fraktal geometri. Johan Wild
Dimensioner och fraktal geometri Johan Wild 9 februari 2010 c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 9 februari 2010 1 Inledning och
Läs merBildbehandling, del 1
Bildbehandling, del Andreas Fhager Kapitelhänvisningar till: Image Processing, Analysis and Machine Vision, 3rd ed. by Sonka, Hlavac and Boyle Representation av en bild Så här kan vi plotta en bild tex
Läs merProvlektion Just Stuff B Textbook Just Stuff B Workbook
Provlektion Just Stuff B Textbook Just Stuff B Workbook Genomförande I provlektionen får ni arbeta med ett avsnitt ur kapitlet Hobbies - The Rehearsal. Det handlar om några elever som skall sätta upp Romeo
Läs merCHANGE WITH THE BRAIN IN MIND. Frukostseminarium 11 oktober 2018
CHANGE WITH THE BRAIN IN MIND Frukostseminarium 11 oktober 2018 EGNA FÖRÄNDRINGAR ü Fundera på ett par förändringar du drivit eller varit del av ü De som gått bra och det som gått dåligt. Vi pratar om
Läs merLär dig programmera! Prova på programmering med enkla exempel! Björn Regnell www.bjornregnell.se
Lär dig programmera! Prova på programmering med enkla exempel! Björn Regnell www.bjornregnell.se Mål Så enkelt som möjligt: låg tröskel Ett riktigt programmeringsspråk: inget tak Roliga uppgifter som går
Läs merKomplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.
Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs merLinjära ekvationer med tillämpningar
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel
Läs merVi börjar med en penna som ritar när du drar runt den på Scenen.
Nivå 3 Målarlådan All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/ccwreg to register your club. Introduktion
Läs merStyrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1
Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1 Digitala kursmoment D1 Boolesk algebra D2 Grundläggande logiska funktioner D3 Binära tal, talsystem och koder Styrteknik :Binära tal, talsystem och koder
Läs mer1 Josefs bil har gått kilometer. Hur långt har den gått när han har kört (3) tio kilometer till? km
Test, version, lärarversion Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona
Läs mer4-8 Cirklar. Inledning
Namn: 4-8 Cirklar Inledning Du har arbetat med fyrhörningar (parallellogrammer) och trehörningar (trianglar). Nu skall du studera en figur som saknar hörn, och som består av en böjd linje. Den kallas för
Läs merSmåprat Small talk (stressed vowels are underlined)
Småprat Small talk (stressed vowels are underlined) Vad heter du? Varifrån kommer du? Vad har du för modersmål (1 st language)? Vad studerar du? Var bor du? Hur gammal är du? Cyklar du till universitetet?
Läs merProcedurer och villkor. Rekursiva procedurer. Exempel: n-fakultet
Procedurer och villkor Rekursiva procedurer (define lessorequal (lambda (x y) (or (< x y) (= x y)))) (define between (lambda (x y z) (and (lessorequal x y) (lessorequal y z)))) > (between 3 4 5) #t > (between
Läs merÖversättning av galleriet. Hjälp till den som vill...
Hjälp till den som vill... $txt['aeva_title'] = 'Galleri'; $txt['aeva_admin'] = 'Admin'; $txt['aeva_add_title'] = 'Titel'; $txt['aeva_add_desc'] = 'Beskrivning'; $txt['aeva_add_file'] = 'Fil att ladda
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merHur leder vi transformationer?
Hur leder vi transformationer? Offentlig chef 14 mars 2019 #offentligchef @gaialeadership Vad är transformation? Hur leder vi en transformation? 7 steg för en lyckad transformation I think there are good
Läs merProcedurer och villkor
Procedurer och villkor (define lessorequal (lambda (x y) (or (< x y) (= x y)))) (define between (lambda (x y z) (and (lessorequal x y) (lessorequal y z)))) > (between 3 4 5) #t > (between 3 2 5) #f DA2001
Läs mer#minlandsbygd. Landsbygden lever på Instagram. Kul bild! I keep chickens too. They re brilliant.
#minlandsbygd Kul bild! I keep chickens too. They re brilliant. Så vacka bilder. Ha det bra idag. @psutherland6 Thanks Pat! Yes the sun was going down... Hahahaha. Gilla Kommentera Landsbygden lever på
Läs merAnvända Internet. med hjälp av Internet Explorer. Nybörjarguide
Använda Internet med hjälp av Internet Explorer Nybörjarguide Av Carl Ewnert 1 Innehåll: 1. Introduktion 3 2. Utseendet 4 3. Verktygsfältet 4 4. Börja Surfa. 5 5. Att söka på Internet 5 6. Spara en sida
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merÖkat personligt engagemang En studie om coachande förhållningssätt
Lärarutbildningen Fakulteten för lärande och samhälle Individ och samhälle Uppsats 7,5 högskolepoäng Ökat personligt engagemang En studie om coachande förhållningssätt Increased personal involvement A
Läs merKurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version
Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and
Läs merMedicinska Bilder, TSBB31. Lab: Mätvärden på Medicinska Bilder
Medicinska Bilder, TSBB3 Lab: Mätvärden på Medicinska Bilder Maria Magnusson, 22 Senaste updatering: september 25 Avdelningen för Datorseende, Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet Introduktion
Läs merObemannade flygplan. Namn: Hampus Hägg. Datum: 2015-03-02. Klass: TE14B. Gruppmedlemmar: Gustav, Emilia, Henric och Didrik
Namn: Hampus Hägg Obemannade flygplan Datum: 2015-03-02 Klass: TE14B Gruppmedlemmar: Gustav, Emilia, Henric och Didrik Handledare: David, Björn och Jimmy Abstract In this task I ve been focusing on unmanned
Läs merFör elever i gymnasieskolan är det inte uppenbart hur derivata relaterar
Thomas Lingefjärd, Djamshid Farahani & Güner Ahmet En motorcykels färd kopplad till derivata Gymnasieelevers erfarenhet av upplevda hastighetsförändringar ligger till grund för arbete med begreppet derivata.
Läs mer19-21. Samling och kaffe. Temakväll Bildhantering i släktforskningen Genomgång kring temat. Forska själv. Forska själv. Diskussion kring temat
19-21 Samling och kaffe Temakväll Bildhantering i släktforskningen Genomgång kring temat Forska själv Diskussion kring temat Forska själv Höstens temakvällar 13/9 Digitala bilder i släktforskningen 11/10
Läs mer