Vad skulle x kunna vara?

Transkript

1 Vad skulle x kunna vara? Andragradsekvation och andragradsfunktion som objekt för lärande Constanta Olteanu Doktorsavhandlingar inom den Nationella Forskarskolan i Pedagogiskt Arbete nr 10 Doktorsavhandlingar i Pedagogiskt arbete nr 19 Skrifter utgivna vid Högskolan Kristianstad nr 10 1

2 Den Nationella Forskarskolan i Pedagogiskt Arbete (NaPA) är en av de sammanlagt 16 forskarskolor som riksdagen inrättade år Den representerar en strävan att bredda och förnya forskning och forskarutbildning med anknytning till lärarutbildning och pedagogisk yrkesverksamhet dels innehållsligt, dels genom att svara upp mot kravet att samtliga institutioner som medverkar i grundutbildningen också skall bedriva forskning och forskarutbildning i anslutning till grundutbildningsuppdraget. Umeå universitet är värdhögskola och de partnerhögskolor som medverkar är Högskolan Dalarna, Högskolan i Kristianstad, Karlstads universitet, Linköpings universitet, Lärarhögskolan i Stockholm, Malmö högskola samt Örebro universitet. Forskarskolan har en ledningsgrupp med representanter för partnerhögskolorna, yrkeslivet och de studerande. Forskarskolan har organiserats så att framväxten av en sammanhållen forskningsmiljö i Pedagogiskt arbete stärks. Doktoranderna har tillsammans med handledarna deltagit i gemensamma kurser och seminarier. Flertalet av de avhandlingsprojekt som bedrivs inom Forskarskolan placerar sig inom de kategorier som har en mycket tydlig koppling till den pedagogiska praktiken. Arbetet inom forskarskolan har på ett avgörande sätt präglats av det faktum att samtliga doktorander har en så stark knytning till läraryrket. Constanta Olteanu 2007 Omslag Formgivning: Print & Media, Umeå universitet Bild: Thomas Ottosson Tryck: Print & Media, Umeå universitet, Umeå 2007 ISSN , , ISBN Distribution: Högskolan Kristianstad, Institutionen för beteendevetenskap, Kristianstad Tel: +46 (0) E-post: constanta.olteanu@gmail.com 2

3 Olteanu, Constanta, 2007: Vad skulle x kunna vara? : Andragradsekvation och andragradsfunktion som objekt för lärande. ( What could x be? : Second degree equation and quadratic function as objects of learning.) Monograph. Language: Swedish, with a summary in English. Umeå University, Department of Mathematics Technology and Science Education, SE Umeå, Sweden. Doktorsavhandlingar inom den Nationella Forskarskolan i Pedagogiskt Arbete nr 10, Doktorsavhandlingar i Pedagogiskt arbete nr 19, Skrifter utgivna vid Högskolan Kristianstad nr 10 ISSN , , ISBN Abstract Algebraic equations and functions play an important role in various mathematical topics, including algebra, trigonometry, linear programming and calculus. Accordingly, various documents, such as the most recent Swedish curriculum (Lpf 94) for upper secondary school and the course syllabi in mathematics, specify what the students should learn in Mathematics Course B. They should be able to solve quadratic equations and apply this knowledge in solving problems, explain the properties of a function, as well as be able to set up, interpret and use some nonlinear functions as models for real processes. To implement these recommendations, it is crucial to understand the students way of experiencing quadratic equations and functions, and describe the meaning these have for the students in relation to the possibility they have to their experience of them. The aim of this thesis is to analyse, understand and explain the relation between the handled and learned content, which consists of second-degree equations and quadratic functions, in classroom practice. This means that content is the research object and not the teacher s conceptions or knowledge of, or about this content. This restriction implies that the handled and learned contents are central in this study and will be analysed from different perspectives. The study includes two teachers and 45 students in two different classes. The data consist of video-recordings of lessons, individual sessions, interviews and the teachers /researcher s review of the individual sessions. The students tests also constituted an important part of the data collection. When analysing the data, concepts relating to variation theory have been used as analytical tools. Data have been analysed in respect of the teachers focus on the lesson content, which aspects are ignored and which patterns of dimensions of variations are constituted when the contents are handled by the teachers in the classroom. Also, data have been analysed in respect of the students focus when they solve different exercises in a test situation. It can be shown that the meaning of parameters, the unknown quantity in an equation and the function s argument change several times when the teacher presents the content in the classroom and when the students solve different exercises. It can also be shown that the teachers and the students develop complicated patterns of variation during the lessons and that the ways in which the teachers open up dimensions of variation play an important role in the learning process. The results indicate that there is a convergent variation leading the students to improve their learning. By focusing on some aspects 3

4 of the objects of learning and create convergent variations, it is possible for the students to understand the difference between various interpretations of these aspects and thereafter focus on the interpretation that fits in a certain context. Furthermore, this variation leads the students to make generalisations in each object of learning (equations and functions) and between these objects of learning. These generalisations remain over time, despite working with new objects of learning. An important result in this study is that the implicit or explicit arguments of a function can make it possible to discern an equation from a function despite the fact that they are constituted by the same algebraic expression. Keywords: parameters, unknown quantity, argument, second degree equations, quadratic functions, teaching, mathematics education, experience, theory of variation, dimensions of variation 4

5 Förord Att jag en gång sökte mig till forskarutbildningen i pedagogiskt arbete beror på att jag läste en kurs i matematikdidaktik för professor Barbro Grevholm. Där väcktes intresset till forskning. Ett avhandlingsarbete sträcker sig över tiden och består av ett omfattande arbete. På vägen har jag mött många människor som bidragit till dess tillblivelse. Den allra största hjälpen fick jag av min handledare professor Torgny Ottosson genom en fin och bra handledning. Han har följt arbetet från idé till produkt och kontinuerligt gett mig den hjälp som jag varit i behov av. Oavsett vilka problem jag har upplevt under arbetet, har Torgny lyckats vända min blick mot ljuset. I samma andetag vill jag tacka Ingemar Holgersson som har gjort det möjligt att slutföra mitt arbete och alltid har tagit sig tid att diskutera matematikdidaktiska problem. Torgny och Ingemar har det sista året gett mig mer stöd än vad som är rimligt att begära. Stort tack för detta! Jag vill också rikta ett stort tack till Ference Marton som har följt mitt arbete under åren och har haft tid att diskutera och ge mig värdefulla synpunkter och tips när jag inte kunde se vägen för alla träd. Under slutskedet av mitt skrivande läste Jonas Emanuelsson mitt manus och gav mig värdefull och konstruktiv kritik. Dessutom vill jag tacka Daniel Kallós och Per-Olof Erixon som var moraliska stöd för mig under hela forskningsutbildningen. Inte minst vill jag tacka professor Barbro Grevholm som spelade en viktig roll i konstruktionen av prov. Institutionen för matematik och naturvetenskap vid Högskolan Kristianstad är en oerhört intellektuellt stimulerande arbetsplats och särskilt forskningstemat LISMA (Matematikämnet och de naturvetenskapliga ämnenas didaktik). Den Nationella Forskarskolan i Pedagogiskt Arbete (NaPA) gjorde det bland annat möjligt för mig att delta i en diskurs som gav perspektiv på den pedagogiska och didaktiska forskningens olika frågor såväl i internationellt som i nationellt avseende. Jag vill därför rikta ett tack till alla kollegor för deras bidrag till det fortgående intellektuella samtalet. Men störst tacksamhet känner jag inför min dotter Monica. Hon är den som tålmodigt läst och korrigerat de flesta av avhandlingens versioner. Genom hennes uppmuntrande förhållningssätt har hon betytt mycket för mitt fortsatta arbete och min utveckling till forskare. Det har varit tufft många gånger och jag betvivlar att jag hade klarat allt detta utan hennes stöd, främst genom att lyssna. Lyssna till mitt tvivel

6 och ibland till min överdrivna glädje och entusiasm. Det var hon som med sitt fina humör på ett kärleksfullt sätt fick mig upp på benen i mina svåra stunder när jag inte riktigt såg fortsättningen med mitt arbete. En annan viktig person är min make, Lucian som var ett tålmodigt och pedagogiskt stöd i det att han lugnade ner mig och fick mig att fokusera på en sak i taget då intrycken och kraven kändes övermäktiga. Tack för ert stöd Monica och Lucian! Ett varmt tack vill jag slutligen rikta till mina informanter, det vill säga de elever och lärare som så villigt har ställt upp och låtit sig videofilmas och intervjuas. Jag kan inte låta bli att berömma af Chapmangymnasiet för den fina studiemiljö och öppenhjärtiga atmosfär ni skapat på den lilla gymnasieskolan som har möjliggjort mina studier. Tack Maria Person och Göran Palmér! Karlskrona i augusti 2007 Olteanu Constanta

7 Innehållsförteckning Kapitel 1 Inledning Studiens bakgrund Studiens avgränsning Problemområde Studiens forskningssyfte och frågeställningar Avhandlingens disposition...19 Kapitel 2 Andragradsekvationer och funktioner i relation till kursplanen Mål i matematikkurs A och B Andragradsekvationer historisk utveckling Funktionsbegreppet och andragradsfunktioner Mål och innehåll i matematikkurs B...37 Sammanfattning...40 Kapitel 3 Tidigare forskning Kort översikt Process objekt-perspektivet Generaliseringar i matematik Algebraiskt resonemang Övriga resultat Några studier om innehållet i matematik...66 Sammanfattning...71 Kapitel 4 Teoretiska utgångspunkter Att erfara ett innehåll Lärande och undervisning Det avsedda, erbjudna och erfarna lärandeobjektet Relationer mellan det erbjudna och erfarna lärandeobjektet...85 Sammanfattning...88 Kapitel 5 Undersökningens genomförande Ansatsen Urval av klasser och intervjuelever Datainsamling Metoddiskussion och genomförande Avgränsning och bearbetning av data Kvalitetsdiskussion Forskningsetiska frågor Sammanfattning Kapitel 6 Resultatredovisning och analys Lärandesituationer...116

8 6.2 Förkunskaper i början av kurs B Andragradsekvationer som erbjudet lärandeobjekt Andragradsekvationer i Marias klass Andragradsekvationer i Annas klass Andragradsekvationer i läromedlet Andragradsekvationer som erfaret lärandeobjekt Andragradsfunktioner som erbjudet lärandeobjekt Andragradsfunktioner i Marias klass Andragradsfunktioner i Annas klass Andragradsfunktioner i läromedlet Andragradsfunktioner som erfaret lärandeobjekt Sammanfattning Kapitel 7 Diskussion Sammanfattning av forskningsprocessen Objekten för lärande och kontexten för deras tillblivelse Mönster och relationer Erbjudna lärandeobjekt (R1) Erfarna lärandeobjekt (R2) Erbjudna och erfarna lärandeobjekt (R3) Studiens resultat i relation till tidigare forskning Väckta frågor inför fortsatt forskning och praktik Summary Referenser Bilaga Bilaga Bilaga Bilaga Bilaga Bilaga

9 You are reading a preview. Would you like to access the full-text? Access full-text

10 Bilaga 5 341

11 342

12 Bilaga 6 343

13 344

14 Doktorsavhandlingar inom den Nationella Forskarskolan i Pedagogiskt Arbete (NaPA) Fakultetsnämnden för lärarutbildning, Umeå universitet I serien har utkommit: 1. Gunbritt Tornberg, Bara man ser till barnens bästa. En studie av lärares yrkesetiska överväganden i en skola för alla. ISSN ISBN X. 2. Carin Jonsson, Läsningens och skrivandets bilder. En analys av faktiska villkor och potentiella möjligheter för barns läs- och skrivutveckling. ISSN , ISBN Kenneth Nordgren, Vems är historien? Historia som medvetande, kultur och handling i det mångkulturella samhället. ISSN ISBN Anders Holmgren, Klassrummets relationsetik. Det pedagogiska mötet som etiskt fenomen. ISSN , ISBN Kenneth Ekström, Förskolans pedagogiska praktik. Ett verksamhetsperspektiv. ISSN , ISBN Anita Håkansson, Lärares pedagogiska arbete inom den kommunala vuxenutbildningen. ISSN , , ISBN Ulf Lundström, Gymnasielärare perspektiv på lärares arbete och yrkesutveckling vid millennieskiftet. ISSN , ISBN Gudrun Svedberg, Entreprenörskapets avtryck i klassrummets praxis. Om villkor och lärande i gymnasieskolans entreprenörskapsprojekt. ISSN , ISBN Kristina Hellberg, Elever på ett anpassat individuellt gymnasieprogram: skolvardag och vändpunkter. ISSN , , ISBN Constanta Olteanu, Vad skulle x kunna vara? : Andragradsekvation och andragradsfunktion som objekt för lärande. ISSN , , ISBN

15 Doktorsavhandlingar i pedagogiskt arbete Dissertations in Educational Work Fakultetsnämnden för lärarutbildning, Umeå universitet I serien har utkommit: 1. Monika Vinterek, Åldersblandning i skolan: elevers erfarenheter. ISSN ISBN Inger Tinglev, Inkludering i svårigheter. Tre timplanebefriade skolors svenskundervisning. ISSN ISBN Inger Erixon Arreman, Att rubba föreställningar och bryta traditioner. Forskningsutveckling, makt och förändring i svensk lärarutbildning. ISSN ISBN Berit Lundgren, Skolan i livet livet i skolan. Några illitterata invandrarkvinnor lär sig tala, läsa och skriva på svenska som andraspråk. ISSN ISBN Camilla Hällgren, Researching and developing Swedkid. A Swedish case study at the intersection of the web, racism and education. ISSN ISBN Mikaela Nyroos, Tid till förfogande. Förändrad användning och fördelning av undervisningstid i grundskolans senare år? ISSN ISBN Gunnar Sjöberg, Om det inte är dyskalkyli vad är det då? ISSN ISBN Eva Leffler, Företagsamma elever. Diskurser kring entreprenörskap och företagsamhet i skolan. ISSN ISBN Ron Mahieu, Agents of change and policies of scale. A policy study of entrepreneurship and enterprise in education. ISSN ISBN Carin Jonsson, Läsningens och skrivandets bilder. En analys av villkor och möjligheter för barns läs- och skrivutveckling. ISSN , ISBN Anders Holmgren, Klassrummets relationsetik. Det pedagogiska mötet som etiskt fenomen. ISSN , ISBN Kenneth Ekström, Förskolans pedagogiska praktik. Ett verksamhetsperspektiv. ISSN , ISBN

16 13. Anita Håkansson, Lärares pedagogiska arbete inom den kommunala vuxenutbildningen. ISSN , , ISBN Ulf Lundström, Gymnasielärare perspektiv på lärares arbete och yrkesutveckling vid millennieskiftet. ISSN , ISBN Gudrun Svedberg, Entreprenörskapets avtryck i klassrummets praxis. Om villkor och lärande i gymnasieskolans entreprenörskapsprojekt. ISSN , ISBN Eva Nyström, Talking and Taking Positions. An encounter between action research and the gendered and racialised discourses of school science. ISSN ISBN Eva Skåreus, Digitala speglar föreställningar om lärarrollen och kön i lärarstudenters bilder. ISSN ISBN Elza Dunkels, Bridging the Distance Children s Strategies on the Internet. ISSN ISBN Constanta Olteanu, Vad skulle x kunna vara? : Andragradsekvation och andragradsfunktion som objekt för lärande. ISSN , , ISBN