Hållfasthetslära, MTM026 för M1

Transkript

1 Hållfasthetslära, MTM026 för M1 Kursinformation 2012/2013 Lp 4 ver 5 mars 2013 Föreläsare Mikael Enelund, tel , e-post: mikael.enelund@chalmers.se Institution Tillämpad mekanik, dynamik, M-huset, vån 2, tel , Allmänt Välkomna till den andra grundkursen av tre i mekanik och hållfasthetslära. Kursen bygger på kursen Statik och hållfasthetslära och tar vid där den slutade. Här studerar vi deformationer, spänningar, stabilitet och brott. Frågor som vi vill ha svar på kan vara: Vilken väggtjocklek krävs i ett kärnreaktorkärl? Vilka inspektionstider skall väljas för bärande detaljer i en flygplansvinge? För att svara på dessa frågor behövs matematiska modeller av konstruktionerna inklusive laster. De flesta av de matematiska modellerna är uppbyggda av de tre grundsambanden, jämviktssamband som anger hur laster och andra krafter måste förhålla sig till varandra för att jämvikt skall råda, konstitutiva samband som anger hur materialet beter sig, dvs samband mellan kraft och deformation i ett material, och kompatibilitetssamband som beskriver deformationens geometri. Kombineras dessa tre samband fås en differentialekvation som kan lösas om vi känner till randvillkoren, dvs hur konstruktionen är förankrad i grunden. Lösningen till differentialekvationen tillsammans med experimentellt framtagna hållfasthetsdata för ingående material kan ge svaren på frågorna ovan. Syftet med hållfasthetsläran är att förutberäkna konstruktioners dimensioner med hänsyn till hållbarhet, funktion, livslängd, materialval, vikt och energiåtgång. Cirka 80% av alla haverier beror på utmattning, som i sin tur beror på otillräckliga hållfasthetsanalyser, brist på kunskap eller andra överväganden, till årlig samhällskostnad motsvarande 4-5% av BNP. Goda kunskaper i hållfasthetslära är nödvändigt för en teknologiskt, ekonomiskt och socialt hållbar samhällsutveckling! Innehåll Kursen börjar med balkars deformation. Differentialekvationen för balkens böjdeformation och tabellerade lösningar för denna (sk elementarfall) härleds och används. Därefter studeras tryckbelastade balkars elastiska instabilitet eller knäckning. Knäcklasten bestäms genom att undersöka möjliga lösningar till den axialbelastade balkens differentialekvation och de sk Eulerfallen härleds och används vid problemlösning. Vidare behandlas allmänna spänningstillstånd och elasticitetsteori översiktligt. Begreppen huvudspänningar och effektivspänningar gås igenom. Den allmänna elasticitetsteorins (3D) samband behandlas och antaganden som måste göras för att det skall vara möjligt att reducera ett elasticitetsproblem från 3D till ett plant problem (2D) gås igenom. Elasticitetsekvationerna löses för det rotationssymmetriska fallet och används för att dimensionera tex tryckkärl och friktionsförband. Vidare studeras 1(10)

2 spänningskoncentrationer kring anvisningar, hål och kälar. Den linjära brottmekaniken och enkla brottmekaniska beräkningar med hjälp av elemetarfall gås igenom. Vidare ges en introduktion till utmattningsdimensionering och risken för utmattningsbrott i enkla strukturer utsatta för varierande och återkommande laster uppskattas. Under kursen gång ges integrerat en introduktion till finita-elementmetoden i hållfasthetsläran och spänningar, deformationer, kritiska laster och livslängd beräknas med hjälp av finitaelementmetoden. Syfte Varje produkt som konstrueras och tillverkas föregås av mekanistiska analyser i varierande omfattningar. Mekanik och hållfasthetslära är både operativ och förberedande såväl som allmänbildande. Syftet är att kunna lösa konkreta mekaniska problem och bedöma rimligheten i lösningen, dvs förutsäga funktion och tillförlitlighet hos konstruktioner och system. Mål för hållfasthetsläran Kunna ställa upp och lösa matematiska modeller av konstruktioner samt bedöma rimligheten i lösningen. Kunna använda Matlab för lösning av de matematiska modellerna. Kunna bestämma belastningar på hela konstruktioner och delar av konstruktioner. Kunna bryta ner mekaniska konstruktioner i delar och analysera dessa var för sig och tillsammans. Kunna dimensionera mot brott, plasticitet, stabilitet, utmattning och vibrationer med tillämpning i vanliga lastbärande element såsom stänger, balkar, axlar, skivor och kopplingar i maskinkonstruktioner. Kunna dimensionera förband (svetsar, limfogar och skruvförband). Kunna beskriva hur materialvalet påverkar konstruktioners funktion och livslängd. Kunna utföra en dimensionsanalys och bedöma rimligheten i svaren. Kunskaperna skall vara tillräckliga för att bedöma om noggrannare analyser krävs. Med kunna avses här att ha tillräckliga kunskaper om grundläggande lagar och begrepp för att välja rimliga matematiska modeller, formulera modellerna i ekvationer och lösa dessa samt bedöma rimligheten i lösningarna och därefter dra slutsatser om konstruktionens funktion och livslängd. Detaljmål för Hållfasthetslära Efter avslutad kurs skall du kunna: Härleda och använda differentialekvationen för en balks utböjning för att bestämma deformation, tvärkraft och momentfördelning. 2(10)

3 Använda elementarfall för att bestämma snittkrafter och deformationer hos statiskt obestämda balkar. Härleda, använda och lösa differentialekvationen för axialbelastad balk. Bestämma den kritiska lasten vid elastisk instabilitet (knäcklasten) för tryckbelastade balkar med hjälp av differentialekvationen för axialbelastad balk och/eller med hjälp av Eulers knäckfall. Förklara innebörden av och använda Hookes generaliserade lag för termoelastiska material. Beskriva de samband som används i allmän elasticitetsteori (3D) och kunna reducera dessa till de plana (2D) fallen; plan spänning och plan töjning. Förklara innebörden av och kunna bestämma huvudspänning och huvudspänningsriktningar. Härleda och använda formlerna för spänningar i tunnväggiga cylindriska och sfäriska tryckkärl. Förklara innebörden av begreppet effektivspänning och kunna beräkna effektivspänningen enligt von Mises och Tresca. Använda von Mises och Trescas flytvillkor för att avgöra om risk för plasticering föreligger vid fleraxliga belastningar. Härleda och lösa elasticitetsekvationerna för rotationssymmetriska rör och skivor utsatta för trycklaster, temperaturlaster och rotationslaster. Analysera och dimensionera tjockväggiga tryckkärl och krympförband. Förklara fenomenet spänningskoncentration vid lokala dimensionsändringar och kunna bestämma spänningskoncentrationer kring anvisningar, kälar och hål med hjälp av handbok. Bestämma spänningar i ett plant problem med hjälp av finita-elementmetoden i Matlabs PDE-toolbox. Använda ett industriellt finita-element system för att lösa linjära spännings-, deformationsoch stabilitetsproblem Använda den linjära brottmekaniken för att beräkna spänningstillståndet vid sprickor och avgöra om risk för sprickpropagering föreligger. Förklara till grunderna för utmattningsdimensionering och dimensionera mot högcykel utmattning för enkla geometrier och lastfall. 3(10)

4 Förkunskaper Statik och hållfasthetlära. Vidare är hållfasthetslära analysämnen och har utpräglade matematiska karaktärer. Vi behöver och använder följande matematikkunskaper: Linjär algebra Analys Vektorbegreppet. Linjärt beroende och oberoende vektorer. Skalär- och vektorprodukt, projektioner och geometri. Matrisalgebra, lösa måttligt stora ekvationssystem. Egenvärdesproblem. Elementära funktioner (potens- och exponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska och hyperboliska funktioner) Olikheter Integralkalkyl (area, tyngdpunkt, rotationsvolymer och ytor, längd av kurvor, linjeintegraler, tröghetsmoment och multipelintegraler) Differentialkalkyl (derivator, kurvritning och extremvärden) Differentialekvationer (separabla, system av DE, högre ordningens DE (2:a och 4:e ordningarna), icke-homogena med konstanta koefficienter och icke-homogena randvillkor). Homogenlösning och partikulärlösning. Randvärdesproblem. Eulers differentialekvation. Något om partiella differentialekvationer (grundläggande teori). Grundläggande kunskaper i Matlab (programstruktur, funktioner, matrisberäkningar, grafritning, lösning av ordinära differentialekvationer inklusive omskrivning till system av första ordningens differentialekvationer). Organisation Kursen går i läsperiod 4 och ger efter examination 7,5 högskolepoäng (6 poäng för kursen och 1,5 poäng för projektuppgiften). Kursen omfattar 18 2 timmar föreläsning (F1 F18), 14 2 timmar räkneövning (R1 R14), 11 2 timmar handledning i datorsal (CE), och 7 2timmar räknestuga (Rs1 Rs7). Under räknestugorna arbetar studenten självständigt med möjlighet till direkt konsultation. Vid behov kan fler räknestugor läggas in. Kurslitteratur Samma som i Statik och hållfasthetlära. Introduktion till Hållfasthetslära Enaxliga tillstånd, Ljung, Saabye Ottosen och Ristinmaa, Studentlitteratur, (10)

5 Hållfasthetslära Allmänna tillstånd, Saabye Ottosen, Ristinmaa och Ljung, Studentlitteratur, Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, Bengt Sundström(red.), KTH, Stockholm, Exempelsamling i hållfasthetslära, Peter W. Möller, Skrift U77b, Institutionen för hållfasthetslära, Chalmers, Göteborg. En matematisk formelsamling är till stor hjälp. Beta Mathematics Handbook av L. Råde och B. Westergren, Studentlitteratur, rekommenderas. (Föregående års lärobok: Grundläggande hållfasthetslära, Hans Lundh, KTH, Stockholm, Kan användas istället för Introduktion till Hållfasthetslära Enaxliga tillstånd och Hållfasthetslära Allmänna tillstånd.) Examination Examinationen består av en skriftlig tentamen och projektuppgifter. Två frivilliga övningsskrivningar ges onsdagen den 17:e april kl och onsdagen den 8:e maj kl Vardera övningsskrivning kan maximalt ge tre bonuspoäng (dvs maximalt 6 bonuspoäng) till tentamen i Hållfasthetslära. Bonuspoängen gäller på de tre tentorna som tillhör årets kurs. Bonuspoäng kan alltså inte sparas till nästa läsårs kurs. Tentamen omfattar 5 uppgifter. Varje uppgift kan ge 5 poäng. Maxpoäng på tentamen är 25. För godkänd krävs minst 10 poäng. (Poäng på tentamen och bonuspoäng ingår i poängsumman). Tillåtna hjälpmedel vid övningsskrivningen och vid tentamen är 1 Introduktion till Hållfasthetslära Enaxliga tillstånd, Ljung, Saabye Ottosen och Ristinmaa, Studentlitteratur. 2 Hållfasthetslära Allmänna tillstånd, Saabye Ottosen, Ristinmaa och Ljung, Studentlitteratur. 3 Alternativt får Grundläggande hållfasthetslära, Hans Lundh, KTH, Stockholm, användas i stället för läroböckerna [2] och [3] ovan. 4 Matematiska tabeller och formelsamlingar tex Beta. 5 Typgodkänd räknare (nytt från läsåret 2012/13 pga nya centrala regler) 6 Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, Bengt Sundström (red.), KTH, Stockholm. 7 Stångens, axelns och balkens differentialekvationer, Inst. för teknisk mekanik. 8 Differentialekvationen för axialbelastad balk, Inst för tillämpad mekanik. 9 Rotationssymmetriska elasticitetsproblem, Inst för teknisk mekanik. 10 Lineär brottmekanik, Inst för hållfasthetslära. 11 Mekanikformler, M.M. Japp, Inst. för teknisk mekanik, Chalmers. Observera! I läroböckerna [1], [2] och [3] ]får anteckningar finnas på befintliga sidor, dock inga lösta exempel. I övriga hjälpmedel tillåts inga egna anteckningar. 5(10)

6 Betygsgränser Betygsgränser för slutbetyg(i poängsumman ingår skrivningspoäng och eventuella bonuspoäng från övningsskrivningar.) Betyg Poäng Tentamenstider Hittas i studieportalen: id=17568 Kontrollera alltid tentamenstider inför tentamen. Ordinarie tentamen , fm, 5 timmars skrivtid. Övningsskrivningar Vardera övningsskrivning består av tre uppgifter. Varje uppgift kan ge 5 poäng. Bonuspoäng på en övningsskrivning delas ut enligt: Bonus Poäng Övningsskrivning 1 (onsdagen den 17:e april) omfattar föreläsning 1 till 5 och räkneövning 1 till 4. Övningsskrivning 2 (onsdagen den 8:e maj) omfattar föreläsning 6 till 11 och räkneövning 5 till 9. Projektuppgift I Hållfasthetslära ingår en obligatorisk projektuppgift. Godkänd projektuppgift ger 1,5 högskolepoäng. Projektuppgiften får lösas i grupper om maximalt två teknologer. Projektuppgiften består av fyra delar. Den första delen behandlar finita elementanalys av balksystem, den andra delen behandlar stabilitetsanalys av axialbelastad ram, den tredje delen behandlar spänningsanalys av en plan skiva med hål och den fjärde delen behandlar spänningsoch livslängdsanalys av konsol i 3D. CAD-underlag att importera till analysen i den fjärde uppgiften är tidigare skapat i kursen PPU155 Datorstödd maskinkonstruktion. Finta elementprogrammet ANSYS och Matlabs pde-toolbox kommer att användas. För att få godkänt på uppgifterna skall en kort rapport med efterfrågade grafer mm finnas vid redovisningstillfällena. Vidare skall uppgifterna redovisas vid datorn då programmen skall köras. Vid detta tillfälle skall båda gruppmedlemmar närvara och kunna svara på frågor. Samtliga deluppgifter skall vara godkända senast tisdagen den 21:a maj. De olika deluppgifterna skall vara redovisade enligt respektive lydelser. 6(10)

7 Schema Observera att schemat och salar varierar veckovis. Lv1 Lv2 Lv3 Lv4 må 18/3 8/4 15/4 22/ F1, HB1 F3, HB1 F6, HB1 F8, HB R1,ML12-16 R3, ML12-16 R5, ML12-16 R7, ML12-16 ti 19/3 9/4 16/4 23/ CE1 CE3 CE CE2 RS3/CE CE5 on 20/3 10/4 17/4 24/ F2, HB1 F4, HB1 Ös1, ML1,4,11-16 F9, HB R2, ML11-15 R4, ML R8, ML11-15 fre 22/3 12/4 19/4 26/ F5, HB1 F7, HB RS1, ML14-16 RS2, ML14-16 R6, ML11,13-16 RS4, ML14-16 Lv5 Lv6 Lv7 Lv8 må 29/4 6/5 13/5 20/ F10, HB1 F12, HB1 F14, HB1 F17 HB R9, ML12-16 F13, HB1 R10, ML12-16 R13 ML12 16 ti 30/4 7/5 14/5 21/ CE6 CE8 CE9 CE CE7 RS6/CE CE10 CE12 on 1/5 8/5 15/5 22/ ÖS2, ML1,4,11-16 F15, HB1 F18, HB R11, ML11-15 R14 ML12 16 fre 3/5 10/5 17/5 24/ F11, HB1 - F16, HB1 RS7, ML RS5, ML R12 ML11 15 RS8, ML16-16 CE-salar=HC105, HC110, MT0, MT13, MT9 F=Föreläsning, R= Räkneövning, CE=datorövningar RS= Räknestuga, ÖS= övningsskrivning Vid övningar går grupp a till den sal med lägst nummer osv. Salar till RS3 och RS6 meddelas senare. 7(10)

8 Föreläsningar KTH=Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, ut=utdelat material, fö=föreläsning, E= Introduktion till hållfasthetslära- Enaxliga tillstånd, A=Hållfasthetslära- Allmänna tillstånd. Fö Datum Innehåll Kapitel F1 må 18/3 Teknisk balkteori 4. Deformationer vid balkböjning E4.7 En kurvas krökning ut Balkens differentialekvation E4.7, ut Randvillkor E4.7 F2 on 20/3 Teknisk balkteori 4, forts. Elementarfall E4.7, KTH Statiskt obestämda balkar E4.7 F3 må 8/4 Elastisk instabilitet/knäckning 1 Introduktion, Fjädermodellen fö, E5 Jämvikt i utböjt läge fö Eulers 1a och 2a knäckfall E5.2 Differentialekvationen för axialbelastad balk E5.1, ut F4 on 10/4 Elastisk instabilitet/knäckning 2. Differentialekvationen för axialbelastad balk E5.1, ut Eulers knäckfall, forts. E5.2 Praktiska tillämpningar E5.3 F5 fre 12/4 Problemlösning, Repetition F6 må 15/4 Elasticitetsteori/fleraxliga spänningstillstånd 1. Introduktion spänningstillstånd fö, A1 Spänningsvektor och spänningsmatris A1.2, A1.3, A1.5 Allmänna jämviktsekvationer A1.8 Allmänna töjningstillstånd A Hookes generaliserade lag A3-3.1, KTH F7 fre 19/4 Elasticitetsteori/fleraxliga spänningstillstånd 2. Spänning på godtycklig snittyta A1.6 Huvudspänningar A1.7, KTH Speciella spänningstillstånd A1.3, A3.2 Mohrs spänningscirkel A1.4 Effektivspänning och flytvillkor A , KTH 3.3 F8 må 22/4 Elasticitetsteori/fleraxliga spänningstillstånd 3. Spänningar i tunnväggiga rör, cylindrar och sfärer fö, E1.2 s18-19 Jämvikt och töjning vid cylindrisk och sfärisk symmetri fö, A7-7.1 Elastiska randvärdesproblem, Naviers ekv A4, ut F9 on 24/4 Elasticitetsteori/Axisymmetriska problem 4. Jämvikt och töjning vid cylindrisk och sfärisk symmetri fö, A7-7.1 Cirkulära skivor och tjockväggiga rör A7.2, ut 8(10)

9 Fö Datum Innehåll Kapitel F10 må 29/4 Elasticitetsteori/Axisymmetriska problem 5. Roterande strukturer A7.2, ut Termiska laster fö, ut Tillämpningar/krympförband A7.2 F11 fre 3/5 Problemlösning, Repetition F12 må 6/5 Elasticitetsteori/Axisymmetriska problem 6. Roterande skiva med varierande tjocklek fö Spänningskoncentration vid hål och anvisningar A7.3, KTH 32 Introduktion till projektuppgift F13 må 6/5 Gästföreläsning Tillämpning av Finita-elementmetoden F14 må 13/5 Brottmekanik 1 Introduktion till brottmekaniken A9-9.1, KTH , , ,ut Spänningstillstånd vid sprickor ut, A9.2, KTH Brottvillkor ut, A9.2, KTH Elementarfall A9.2, KTH s Superposition av elementarfall A9.2, KTH s F15 on 15/5 Brottmekanik 2 Repetition linjär brottmekanik, Plasticering vid sprickspets ut, A9.3 Irwinkorrektionen ut Spricktillväxt Paris Lag A9.5 F16 fre 17/5 Utmattning 1 Introduktion till utmattning A , KTH Wöhlerkurvan A , KTH s Palmgren-Miners delskadeteori A10.5 Haighdiagrammet (oreducerat) A10.7, KTH s 289 F17 må 20/5 Utmattning 2 Reducerat Haighdiagram, säkerhet mot utmattning A Säkerhet mot utmattning A10.9, KTH F18 on 22/5 Repetition 9(10)

10 Räkneövningar Hemproblem är rekommenderade hemproblem. Du behöver inte lösa alla. Börja tex med vartannat. Problemen är hämtade ur Exempelsamling i hållfasthetslära U77b om inget annat anges. De flesta uppgifterna är gamla tentatal. Under räkneövning 14 räknas repetitionstal. Rö Datum Salsproblem Hemproblem R1 må 18/3 6.29, 32, 33, 35, , 28, 30, 31, 34 R2 on 20/3 6.10, 11, 25, , 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 23 R3 må 8/4 VP1, 7.3, ,2, 7, 23 R4 on 10/4 7.12, 17, 19, , 10, 11, 13, 16, 19, 30 R5 må 15/4 VP2, 8.1, 4, , 3, 6 R6 fre 19/4 8.7, 12, 13, 25, , 21, 22, 23, 26 R7 må 22/4 8.9, 15, 16, , 18 R8 on 24/4 VP3, 9.1, 3, 4, 5 9.2, 6, 7, 8, 9 R9 må 29/4 9.13, 16, , 11, 12, 14, 15 R10 må 13/5 VP4, 10.5, 11.1ade, 2, , 4, 6, 10, 11.1bcf, 3, 4, 5, 6 R11 on 15/ , 14, , 16, 20 R12 fre 17/5 VP5, 12.1,2, A10.6 R13 må 20/5 12.4, 8, , 5, 7, 9, 14 R14 on 22/5 Repetition VP1 5 är veckans problem. Studenterna förväntas ha löst eller försökt lösa problemet till övningen. På övningen går läraren igenom lösning. Veckans problemet dels ut på föreläsningen närmast före aktuell övning och hittas på kurshemsidan. Övriga lärare Räkneövningsledare och handledare Grupp Lärare E-post tel a Hossein Abadikhah hossein.abadikhah@chalmers.se b Sara Caprioli sara.caprioli@chalmers.se c Xin Li xin.li@chalmers.se d Peter Torstensson peter.torstensson@chalmers.se e Mikael Öhman mikael.ohman@chalmers.se Kursmaterial i WWW Allt utdelat material, föreläsningsanteckningar, gamla övningsskrivningar och tentor samt övrig information hittas på kursens hemsida/aktivitet i ping-pong. 10(10)