Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 1, 2017-10-30 BERÄKNING AV KARAKTERISTISKA VÄRDEN laster, hållfasthet, öden (frekvensanalys) EXEMPEL: För laster som varierar i tiden, t.ex. snö, utgår man vid statisk dimensionering från årsmaximivärden. Med karakteristisk last menas den last som överstigs med en viss given sannolikhet p. Ett vanligt värde på p är 0.02, motsvarande lastvärde kallas populärt 50-årslasten. Från Umeåtrakten har man samlat in årsmaxima för snödjupet vid 51 år under 1900-talet. 10 8 antal år 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 årsmaximum i snödjup (enhet=?) 0.2 anpassad gammafördelning 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 årsmaximum i snödjup Vilken typ av statistisk fördelning (matematisk modell) beskriver årsmaxima bäst? Utgående från den anpassade fördelningen, vad är 50-årslasten?
RAPPORTERING AV MÄTRESULTAT OCH MÄT- OSÄKERHET EXEMPEL: Höjden H 0 hos ett radiotorn ska bestämmas genom att mäta det horisontella avståndet L 0 från centrum av dess bas till höjdmätningsinstrumentet och den vertikala vinkeln β 0 enligt guren. Avståndet L 0 mäts fyra gånger vilket ger mätresultat L 1,..., L 4. Vilken mätosäkerhet har vi? Vad ska man mena med mätosäkerhet? Hur varierar (fördelar sig) mätningarna? Antag att vi som en uppskattning av L 0 tar mätningarnas medelvärde L, vilken osäkerhet har denna uppskattning? Vinkeln β 0 uppmäts fem gånger och medelvärdet av mätningarna, β används som uppskattning av β 0. Ur relationen tan(β 0 ) = (H 0 h)/l 0 kan H 0 uppskattas genom H = h + L tan( β) Vad har vi för osäkerhet i H, d.v.s. hur har felet fortplantat sig. ii
ÄR GRÄNSVÄRDE ÖVERSKRIDET ELLER ÄR VI SÄKERT UNDER? EXEMPEL: Trots att asbest varit förbjudet i mer än 25 år insjuknar och dör fortfarande människor av asbestrelaterad cancer. Många utsätts för asbest i samband med ombyggnads och rivningsarbeten. Det hygeniska gränsvärdet för asbest är 0.1 ber/ml. På en byggarbetsplats med asbestsanering gör man mätningar av asbesthalten. Antag att man gör tre mätningar med ett instrument och att dessa mätningar blev 0.05, 0.11, 0.08 (ber/ml). De uppmätta värdena visar en viss variation, medelvärdet av mätningarna är 0.08. Låt µ vara förväntad (genomsnittlig) asbesthalt på arbetsplatsen. Kan vi med hög säkerhet säga att µ är understiget gränsvärdet 0.1? Är en annan typ av gränsvärde intressantare? iii
HAR DET SKETT EN SIGNIFIKANT FÖRÄNDRING? EXEMPEL: Blir det ett märkbart tillskott av kväveoxider i luften då man använder villapannor som eldas med naturgas? Hur stort är detta tillskott? Mätningar av NO x (ppm) görs framför och bakom en villa i Åkarp. Samtidigt noteras vindriktningen. Mätningar då det blåser från nordost (från ett stort område av åkrar): Mättillfälle 1 2 3 4 5 6 7 8 Framför 0.06 0.05 0.10 0.03 0.17 0.05 0.07 0.11 Bakom 0.03 0.01 0.04 0.00 0.07 0.11 0.01 0.07 Mätningarna bakom huset fångar bakgrunds-no x, mätningarna framför huset bakgrunds-no x + pannans tillskott. x framför =0.08 medan x bakom =0.043; Slump eller verklig skillnad? Hur ta hänsyn till spridningen mellan mätvärdena? Hur hantera att mätningarna är kopplade? EXEMPEL: Förenklat kan man säga att för nuvarande dör det i Sverige i genomsnitt 32 människor i traken en februarimånad. De senaste februarimånaderna har visat 41, 29, 29, 32, 28 döda. Inom vilka gränser nns den slumpmässiga variationen? Är t.ex. 44 döda förenligt med tidigare mätningar eller tyder det på ökad dödlighet? Samma fråga om vi observerar 52 döda. Var går gränsen? iv
FINNA SAMBAND OCH GÖRA PROGNOSER EXEMPEL: I en undersökning i England lät man invånarna i ett antal hus under en längre period notera skillnaden mellan innetemperatur och utetemperatur samtidigt som den dagliga gasförbrukningen (kwh) mättes. Nedan är genomsnittlig gasförbrukning angiven: Temp.skilln. ( C) 10.3 11.4 11.5 12.5 13.1 13.4 13.6 15.0 Gasförbrukn. (kwh) 69.81 82.75 81.75 80.38 85.89 75.32 69.81 78.54 Temp.skilln. ( C) 15.2 15.3 15.6 16.4 16.5 17.0 17.1 Gasförbrukn. (kwh) 81.29 99.2 86.35 110.23 106.55 85.50 90.02 115 Gasforbrukning i England 110 105 100 95 gasforbr 90 85 80 75 70 65 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 tempskillnad Linjärt samband? Hur mycket ökar gasförbrukningen då temperaturskillnaden ökar en grad? Osäkerhet i uppskattningen? Vad är den predikterade gasförbrukningen i morgon i MITT HUS om det kommer att vara 4 C utomhus och man har ställt in innetemperaturen på 20 C? Osäkerhet i uppskattningen? Vad är den FÖRVÄNTAD gasförbrukningen hos denna TYP AV HUS, räknat över alla dagar, då det är 4 C utomhus och man har ställt in innetemperaturen på 20 C? Osäkerhet i uppskattningen? v
BETINGAD SANNOLIKHET EXEMPEL: arbetsskada. På en arbetsplats är 30 % kvinnor. Under en viss tidsperiod skadas 1 % av arbetarna. Av de skadade är 20 % kvinnor. Beräkna sannolikheten att en kvinna skadas. EXEMPEL: Vid en trakmätning i trakintensiv stadsmiljö studerade man vuxna cyklister. Man noterade kön och om cyklisten använde cykelhjälm eller inte. För totalt 1000 cyklister ck man följande antal i de olika grupperna: Kvinnor Män Hjälm 330 188 Ej hjälm 270 212 (a) Vad är slh att en slumpmässigt vald cyklist är kvinna? (b) Vad är slh att en slumpmässigt vald cyklist är kvinna och bär hjälm? (c) Vi ser att vår slumpmässigt valda cyklist är kvinna. Vad är slh att hon bär hjälm? (d) Vad är slh att en slumpmässigt vald cyklist bär hjälm? (e) Vi ser att vår slumpmässigt valda cyklist bär hjälm. Vad är slh att cyklisten är en man? (f) Verkar faktorerna hjälmbärande och kön oberoende? vi
KURSMÅL - KUNSKAP OCH FÖRSTÅELSE För godkänd kurs ska du: kunna relatera frågeställningar om slumpmässig variation och observerade data, så som de uppträder i V- och L-tillämpningar, till begreppen slumpvariabler, fördelningar och samband mellan variabler, kunna förklara begreppen oberoende, sannolikhet, fördelning, väntevärde och varians, kunna beräkna sannolikheten för en händelse samt väntevärde och varians utifrån en given fördelning, kunna beskriva grundläggande tekniker för statistisk slutledning och kunna använda dem på enklare statistiska modeller. KURSMÅL - FÄRDIGHET OCH FÖRMÅGA För godkänd kurs ska du: kunna konstruera en enkel statistisk modell utifrån ett problem hämtat ut verkligheten eller från ett insamlat datamaterial, kunna använda ett beräkningsprogram för simulering och tolkning av statistiska modeller samt för analys av data, kunna välja, utföra och tolka en statistik procedur som besvarar en given statistisk frågeställning, kunna använda statistiska termer inom området i skrift, vii
kunna redovisa en statistisk analys i en teknisk rapport. KURSMÅL - VÄRDERINGSFÖRMÅGA OCH FÖRHÅLLNINGS- SÄTT För godkänd kurs ska du: kunna granska en statistisk modell och dess förmåga att beskriva verkligheten. INFÖR ÖVNING OM MOMENT GRUNDLÄGGAN- DE SANNOLIKHET: Aktuella avsnitt i Vännman är kap 1 och 2. Studera de olika exemplen på slumpmässig variation i kap 1.1. Koncentrera er på gurerna i avsnitt 1.3 och 1.4 och lägesmåtten medelvärde och median samt på spridningsmåtten varians, standardavvikelse och variationsbredd. Mycket av detta kommer vi att arbeta med på laborationerna. Läs allt i avsnitt 2.1! Exempel 2.9 på sid 49 är nyttigt. Fördjupa er inte i sats 2A vid en första genomläsning, vi återkommer till den. Läs avsnitt 2.2 om betingad sannolikhet. Studera exempel 2.12 och 2.13. viii
FMSF50: Matematisk statistik för L och V OM KURSEN KURSLITTERATUR Vännman: Matematisk statistik, Studentlitteratur, 2002 Kompendium Sambandsanalys; nns som pdf på kurshemsidan Studiematerial Räkna med variation, 2017. Använd bokens kod för att nå det omfattande digitala materialet (e-bok, digitala uppgifter, videolösningar, Matlabhandledningar). Handledningar till övningar och laborationer; har delats ut ix
ÖVNINGARNA (8 st schemalagda) Arbeta gärna i grupp (möblera om vid behov) Alla övningstillfällen är öppna för alla studenter på kursen Ett lektionsblad vid varje moment i kursen (d.v.s. för varje övning): ( ) pekar på highlights i boken (satser, exempel, hur teorin hänger ihop) ( ) anger vilka uppgifter som ska räknas ( ) tips om text att läsa inför nästa kursmoment Uppgifterna nns i det digitala studiematerialet Räkna med variation: ( ) Uppgifter som görs med papper och penna. ( ) Digitala uppgifter för begreppsträning (korta, snabba, tolka gurer, sant/falskt, huvudräkning). ( ) Matlabuppgifter På lektionsbladet blandas de olika uppgiftstyperna. Ordningen av uppgifterna på bladet har en pedagogisk tanke. MAN HINNER INTE SAMTLIGA UPPGIFTER PÅ ÖVNINGSTID! x
MATLABUPPGIFTER Omfattande beräkningar, visualisering och modellanpassning görs med hjälp av Matlab. Två av uppgifterna (Miniprojekt I och II) är större och analysen redovisas i en rapport. Stöd i arbetet med Matlabuppgifter: ( ) Matlabhandledningar i studiematerialet Räkna med variation. ( ) Test i Mozquizto säkerställer att du tänkt rätt och gjort rätt numeriska beräkningar. ( ) Fråga handledare på övningarna. ( ) Fråga kursansvarig. xi
EXAMINATIONEN Detta ska du göra: Tre test i systemet Mozquizto. Deadline är 14/11 och 21/11 (2 st). En rapport från analysen av de två Miniprojekten. Skriftlig tentamen 11 januari 2018. Betyg på tenta ger betyg på kursen. xii
DETTA ÄR ÄNDRAT PÅ KURSEN FRÅN FÖRRA ÅRET Schemalagd handledning till Matlabuppgifter och Miniprojekt borttagna (8h) och delvis ersatta med ytterligare två test i Mozquizto. Studiematerialet utgivet på Studentlitteratur. Videoclip till era av kursens teorimoment producerade och utlagda på ScalableLearning. xiii